Zur Dynamik bewegter Systeme

Zur Dynamik bewegter Systeme.

Von Max Planck.

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Einleitung.

Seitdem die neueren Forschungen auf dem Gebiete der Wärmestrahlung von experimenteller wie auch von theoretischer Seite her übereinstimmend zu dem Ergebniss geführt haben, dass ein von jeglicher ponderabler Materie entblösstes, lediglich aus elektromagnetischer Strahlung bestehendes System sowohl den Grundgesetzen der Mechanik wie auch den beiden Hauptsätzen der Thermodynamik in einer Vollständigkeit gehorcht, die bei keiner einzigen der bisher aus diesen Sätzen gezogenen Folgerungen etwas zu wünschen übrig lässt, ist es nothwendig geworden, eine Reihe von Vorstellungen und Gesetzmässigkeiten, die bisher gewöhnlich als feste und fast selbstverständliche Voraussetzungen allen theoretischen Speculationen auf diesen Gebieten zu Grunde gelegt wurden, einer principiellen Revision zu unterziehen, und eine nähere Betrachtung zeigt, dass einige der einfachsten und wichtigsten unter ihnen in Zukunft nur mehr den Charakter von allerdings weitgehenden und praktisch sehr wichtigen Annäherungen, aber keineswegs mehr genaue Gültigkeit beanspruchen können. Einige Beispiele werden dies näher begründen.

Man ist gewohnt, die gesammte Energie eines bewegten ponderablen Körpers aufzufassen als additiv zusammengesetzt aus einem Glied, welches, unabhängig von dem inneren Zustand des Körpers, nur mit seiner Geschwindigkeit variirt: der Energie der fortschreitenden Bewegung, und einem zweiten Glied, welches, unabhängig von der Geschwindigkeit, nur von dem inneren Zustand, nämlich von der Dichte, der Temperatur und der chemischen Beschaffenheit abhängt: der inneren Energie des Körpers. Diese Zerlegung ist von nun an, principiell genommen, in keinem einzigen Falle mehr gestattet. Denn ein jeder ponderable Körper enthält in seinem Innern einen endlichen angebbaren Betrag von Energie in der Form strahlender Wärme, und wenn dem Körper eine gewisse Geschwindigkeit ertheilt wird, so wird diese Wärmestrahlung zugleich mit in Bewegung gesetzt. Für bewegte Wärmestrahlung aber ist, obwohl deren Energie merklich von der Geschwindigkeit der Bewegung abhängt, eine Trennung der Energie in eine innere und eine fortschreitende Energie durchaus unmöglich; folglich ist eine solche Trennung auch für die Gesammtenergie nicht durchführbar. Mag nun auch in den meisten Fällen die innere Strahlungsenergie weitaus überwogen werden von den übrigen Energiearten, so ist sie doch stets in nachweisbarer Menge vorhanden und unter wohlrealisirbaren Umständen sogar von derselben Grössenordnung wie jene. Am merklichsten wird ihr Betrag für gasförmige Körper. Nehmen wir z. B. ein ruhendes ideales einatomiges Gas unter dem Druck $p$ bei der Temperatur $T$, so ist die im Gase vorhandene Strahlungsenergie $aVT^{4}$, wobei im absoluten C.G.S.-System $a=7{,}061\cdot 10^{-15}$ und $V={\frac {RNT}{p}}$. $(N$ die Molzahl, $R=8{,}31\cdot 10^{7})$. Dagegen ist die innere Energie des Gases, soweit sie von der lebendigen Kraft der Molecularbewegungen herrührt: $Nc_{v}T+\mathrm {const.}$, wo $c_{v}$ die Molwärme bei constantem Volumen, in dem nämlichen Maasssystem gleich $3\cdot 4{,}19\cdot 10^{7}=1{,}257\cdot 10^{8}$. Führt man also dem Gase von aussen bei constantem Volumen Wärme zu, so vertheilt sich diese Wärme auf die beiden genannten Energiearten im Verhältniss:

${\frac {4aVT^{3}}{Nc_{v}}}={\frac {4aRT^{4}}{c_{v}p}}$.

Für 0,001 mm Druck und die Temperatur des schmelzenden Platins, also in absolutem Maasse $p=1{,}33$ und $T=1790+273=2063$ wird dies Verhältniss, mit Benutzung der angegebenen Zahlen, gleich 0,25; d. h. bei den angenommenen Werthen von Druck und Temperatur beträgt die bei der Erwärmung eines einatomigen Gases zur Vermehrung der Strahlungsenergie dienende Wärme bereits den vierten Theil der den Molecularbewegungen zu Gute kommenden Wärme.

Ein weiteres Beispiel betrifft die träge Masse eines Körpers. Der Begriff der Masse als eines absolut unveränderlichen, weder durch physikalische noch durch chemische Einwirkungen irgendwie zu modificirenden Quantums gehört seit Newton zu den Fundamenten der Mechanik. Wenn irgend einer Grösse, so scheint dieser vor allen anderen das Attribut der Constanz zuzukommen: sie ist es, welche bis in die neueste Zeit, auch noch in der Hertz’schen Mechanik, als die Grundeigenschaft der Materie betrachtet und daher fast in jedem physikalischen Weltsystem als erster Baustein verwendet wird. Und doch lässt sich jetzt ganz allgemein beweisen, dass die Masse eines jeden Körpers von der Temperatur abhängig ist. Denn die träge Masse wird am directesten definirt durch die kinetische Energie. Da es aber, wie vorhin gezeigt, unmöglich ist, die Energie der fortschreitenden Bewegung eines Körpers vollständig zu trennen von seinem inneren Zustand, so folgt sogleich, dass eine Constante mit den Eigenschaften der trägen Masse nicht existiren kann. Der Grund hiervon liegt wiederum in der Energie der inneren Wärmestrahlung, welche an der Trägheit des Körpers sicher einen, wenn auch geringen, so doch angebbaren Antheil hat, und zwar mit einem von der Strahlungsdichte, d. h. von der Temperatur abhängigen Gliede. Will man aber die Masse, statt durch die kinetische Energie, durch die Bewegungsgrösse definiren, nämlich als den Quotienten der Bewegungsgrösse durch die Geschwindigkeit, so kommt man zu keinem anderen Resultat. Denn nach den Untersuchungen von H. A. Lorentz, H. Poincaré und M. Abraham besitzt die innere Wärmestrahlung eines bewegten Körpers, ebenso wie überhaupt jede elektromagnetische Strahlung, eine bestimmte endliche Bewegungsgrösse, welche in der gesammten Bewegungsgrösse des Körpers mit enthalten ist. Dieselbe hängt aber, ebenso wie die Strahlungsenergie, von der Temperatur ab, und in Folge dessen auch die durch sie definirte Masse.

Der Ausweg, zwischen „wirklicher“ und „scheinbarer“ Masse zu unterscheiden, und der ersteren allein die Eigenschaft der absoluten Constanz beizulegen, stellt im Grunde nur eine veränderte Formulirung desselben Sachverhalts dar. Denn wenn der „wirklichen“ Masse nun auch die Constanz gewahrt bleibt, so geht ihr dafür auf der anderen Seite ihre bisherige Bedeutung für die kinetische Energie und für die Bewegungsgrösse verloren.

An diese Betrachtung schliesst sich sogleich ein drittes Beispiel, nämlich die Frage nach der Identität von träger und ponderabler Masse. Die Wärmestrahlung in einem vollständig evacuirten, von spiegelnden Wänden begrenzten Raume besitzt sicher träge Masse; aber besitzt sie auch ponderable Masse? Wenn diese Frage zu verneinen ist, was wohl das Nächstliegende sein dürfte, so ist damit offenbar die durch alle bisherige Erfahrungen bestätigte und allgemein angenommene Identität von träger und ponderabler Masse aufgehoben. Man darf nicht einwenden, dass die Trägheit der Hohlraumstrahlung unmerklich klein ist gegen die der begrenzenden materiellen Wände. Im Gegentheil: durch ein gehörig grosses Volumen des Hohlraumes lässt sich die Trägheit der Strahlung sogar beliebig gross machen gegen die der Wände. Eine solche, durch dünne starre spiegelnde Wände von dem äusseren Raum vollständig abgeschlossene, im Übrigen frei bewegliche Hohlraumstrahlung liefert ein anschauliches Beispiel eines starren Körpers, dessen Bewegungsgesetze von denen der gewöhnlichen Mechanik total abweichen. Denn während er, äusserlich betrachtet, sich durch Nichts von anderen starren Körpern unterscheidet, auch eine gewisse träge Masse besitzt und dem Gesetz des Beharrungsvermögens gehorcht, ändert sich seine Masse merklich mit der Temperatur, ausserdem hängt sie in bestimmter angebbarer Weise von der Grösse der Geschwindigkeit ab sowie von der Richtung, welche die bewegende Kraft mit der Geschwindigkeit bildet. Dabei haben die Eigenschaften eines solchen Körpers gar nichts Hypothetisches an sich, sondern lassen sich quantitativ in allen Einzelheiten aus bekannten Gesetzen ableiten.

Angesichts der geschilderten Sachlage, durch welche einige der bisher gewöhnlich als festeste Stütze für theoretische Betrachtungen aller Art benutzten Anschauungen und Sätze ihres allgemeinen Charakters entkleidet werden, muss es als eine Aufgabe von besonderer Wichtigkeit erscheinen, unter den Sätzen, welche bisher der allgemeinen Dynamik zu Grunde gelegt wurden, diejenigen herauszugreifen und besonders in den Vordergrund zu stellen, welche sich auch den Ergebnissen der neuesten Forschungen gegenüber als absolut genau bewährt haben; denn sie allein werden fernerhin Anspruch erheben dürfen, als Fundamente der Dynamik Verwendung zu finden. Damit soll natürlich nicht gesagt werden, dass die oben als merklich unexact gekennzeichneten Sätze künftig ausser Gebrauch zu setzen wären: denn die enorme praktische Bedeutung, welche die Zerlegung der Energie in eine innere und eine fortschreitende, oder die Annahme der absoluten Unveränderlichkeit der Masse, oder die Voraussetzung der Identität der trägen und der ponderablen Masse in der ungeheuren Mehrzahl aller Fälle besitzt, wird ja durch die hier angestellten Betrachtungen überhaupt gar nicht berührt, und niemals wird man in die Lage kommen, auf die Benutzung jener so wesentlich vereinfachenden Annahmen Verzicht leisten zu können. Aber vom Standpunkt der allgemeinen Theorie aus wird man unbedingt und principiell unterscheiden müssen zwischen solchen Sätzen, die nur als Annäherungen aufzufassen sind, und solchen, welche genaue Gültigkeit beanspruchen, schon deshalb, weil heute noch gar nicht abzusehen ist, zu welchen Consequenzen die Weiterentwicklung der exacten Theorie einmal führen wird: sind ja doch häufig genug weitreichende Umwälzungen, auch in der Praxis, von der Entdeckung fast unmerklich kleiner Ungenauigkeiten in einer bis dahin allgemein für exact gehaltenen Theorie ausgegangen.

Fragen wir daher nach den wirklich exacten Grundlagen der allgemeinen Dynamik, so bleibt von allen bekannten Sätzen zunächst nur übrig das Princip der kleinsten Wirkung, welches, wie H. von Helmholtz^[1] nachgewiesen hat, die Mechanik, die Elektrodynamik und die beiden Hauptsätze der Thermodynamik in ihrer Anwendung auf reversible Processe umfasst. Dass in dem nämlichen Princip auch die Gesetze einer bewegten Hohlraumstrahlung enthalten sind, habe ich im Folgenden (vergl. unten Gl. [12]) besonders gezeigt. Aber das Princip der kleinsten Wirkung genügt noch nicht zur Fundamentirung einer vollständigen Dynamik ponderabler Körper; denn für sich allein gewährt es keinen Ersatz für die oben als unhaltbar nachgewiesene und daher hier nicht einzuführende Zerlegung der Energie eines Körpers in eine fortschreitende und eine innere Energie. Dagegen steht ein solcher Ersatz in vollem Umfang in Aussicht bei der Einführung eines anderen Theorems: des von H. A. Lorentz^[2] und in allgemeinster Fassung von A. Einstein^[3] ausgesprochenen Princips der Relativität. Wenn auch von directen Bestätigungen der Gültigkeit dieses Princips nur eine einzige, allerdings sehr gewichtige, zu nennen ist: das Ergebniss der Versuche von Michelson und Morley^[4], so ist doch andererseits bis jetzt keine Thatsache bekannt, die es direct hinderte, diesem Princip allgemeine und absolute Genauigkeit zuzuschreiben. Andererseits erweist sich das Princip als so durchgreifend und fruchtbar, dass eine möglichst eingehende Prüfung wünschenswerth erscheint, und diese kann offenbar nur durch Untersuchung der Consequenzen erfolgen, welche es in sich birgt.

Dieser Erwägung folgend hielt ich es für eine lohnende Aufgabe, die Schlüsse zu entwickeln, zu welchen eine Combination des Princips der Relativität mit dem Princip der kleinsten Wirkung für beliebige ponderable Körper führt. Es haben sich dabei gewisse weitere Ausblicke ergeben, sowie auch einige Folgerungen, die vielleicht einer directen experimentellen Prüfung zugänglich sind.

Erster Abschnitt.
Dynamik einer bewegten schwarzen Hohlraumstrahlung.

§ 1.

Die schwarze Hohlraumstrahlung im reinen Vacuum ist unter allen physikalischen Systemen das einzige, dessen thermodynamische, elektrodynamische und mechanische Eigenschaften sich, unabhängig vom Widerstreit specieller Theorien, mit absoluter Genauigkeit angeben lassen. Seine Behandlung ist daher der der übrigen Systeme vorangeschickt. Man denke sich die Strahlung eingeschlossen in ein rings von beweglichen absolut reflectirenden Wänden umgebenes Vacuum, dessen Volumen $V$ so gross gewählt sein möge, dass der Einfluss der Masse der Wände nicht merklich in Betracht kommt. Alle mit dem System vorgenommenen Änderungen denken wir uns reversibel, d. h. so langsam vorgenommen, dass in jedem Augenblick ein stationärer Zustand besteht. Dann ist der Zustand des Systems vollkommen bestimmt durch die Geschwindigkeit $q$, deren Betrag ein beliebig grosser Bruchtheil der Lichtgeschwindigkeit $c$ sein kann, das Volumen $V$ und die Temperatur $T$. Bei einer unendlich kleinen Zustandsänderung ist nach dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik die Änderung der Energie $E$ der Strahlung:

$dE=A+Q$.

wobei $A$ die von aussen auf die Strahlung ausgeübte mechanische Arbeit, $Q$ die von aussen zugeführte Wärme bedeutet: und nach dem zweiten Hauptsatz ist die Änderung der Entropie $S$ der Strahlung:

$dS={\frac {Q}{T}}={\frac {dE-A}{T}}$.

Wir wollen nun mit Hülfe der letzten Gleichung die Eigenschaften der Strahlung in ihrer Abhängigkeit von den unabhängigen Variabeln $q$, $V$ und $T$ berechnen. Die Energie der Strahlung ist:

$E=\varepsilon \cdot V$,

wenn $\varepsilon$ die räumliche Energiedichte bedeutet, welche nur von $q$ und $T$ abhängt. Was ferner die äussere Arbeit $A$ betrifft, so setzt sich dieselbe additiv zusammen aus der Translationsarbeit und der Compressionsarbeit. Erstere ist gleich dem Product der Geschwindigkeit $q$ und dem Zuwachs der Bewegungsgrösse $G$, letztere gleich dem Product des Druckes $p$ und der Abnahme des Volumens $V$, also:

$A=qdG-pdV$.

Nun ist der Druck^[5]:

$p={\frac {c^{2}-q^{2}}{3c^{2}+q^{2}}}\cdot \varepsilon$.

Ferner ist die Bewegungsgrösse^[6]:

$G={\frac {4q\varepsilon V}{3c^{2}+q^{2}}}$.

Substituirt man diese Werthe in den Ausdruck von $A$, hierauf die Werthe von $A$ und $E$ in die Gleichung für $dS$, so lautet die letztere:

$dS={\frac {d(\varepsilon V)-qd\left({\frac {4q\varepsilon V}{3c^{2}+q^{2}}}\right)+{\frac {c^{2}-q^{2}}{3c^{2}+q^{2}}}\varepsilon dV}{T}}$.

Die Bedingung, dass dieser Ausdruck ein vollständiges Differential der drei unabhängigen Variabeln $q$, $V$ und $T$ bildet, wobei zu beachten ist, dass $\varepsilon$ nur von $q$ und $T$, nicht von $V$ abhängt, liefert als nothwendige Folgerung die Beziehungen:

$\varepsilon ={\frac {ac^{4}}{3}}\cdot {\frac {3c^{2}+q^{2}}{(c^{2}-q^{2})^{3}}}T^{4}$

(1)

und

$S={\frac {4ac^{4}}{3}}\cdot {\frac {T^{3}V}{(c^{2}-q^{2})^{2}}}$,

(2)

wobei die Constante $a$ dadurch bestimmt ist, dass $\varepsilon$ für $q=0$ in $aT^{4}$ übergeht, entsprechend dem Stefan-Boltzmann’schen Strahlungsgesetz.

Mit diesen Werthen ergeben sich für die Energie $E$, den Druck $p$ und die Bewegungsgrösse $G$ der bewegten Hohlraumstrahlung als Functionen der unabhängigen Variabeln $q$, $V$ und $T$ folgende Ausdrücke:

$E={\frac {ac^{4}}{3}}\cdot {\frac {3c^{2}+q^{2}}{(c^{2}-q^{2})^{3}}}T^{4}V$

(3)

$p={\frac {ac^{4}}{3}}\cdot {\frac {T^{4}}{(c^{2}-q^{2})^{2}}}$

(4)

$G={\frac {4ac^{4}q}{3}}\cdot {\frac {T^{4}V}{(c^{2}-q^{2})^{3}}}$.

(5)

Ertheilt man also z. B. der Hohlraumstrahlung eine Beschleunigung, während ihr Volumen $V$ constant gehalten und keine Wärme von aussen zugeführt wird, so dass auch die Entropie $S$ constant bleibt, so erniedrigt sich nach (2) die Temperatur $T$ der Strahlung im Verhältniss $\left(1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}\right)^{\frac {2}{3}}:1$. Dieses Resultat sowie verschiedene andere damit verwandte Sätze stehen im Einklang mit den Schlüssen, zu welchen die Untersuchung von K. von Mosengeil^[7] geführt hat. Weiter unten (im § 15) wird sich eine noch einfachere und directere Ableitung für sie ergeben.

Zweiter Abschnitt.
Princip der kleinsten Wirkung und Princip der Relativität.

§ 2.

Wir betrachten im Folgenden einen beliebigen, aus einer gegebenen Anzahl^[8] gleichartiger oder verschiedenartiger Moleküle bestehenden Körper in einem stationären Zustand, der bestimmt ist durch die unabhängigen Variabeln^[9] $V$, $T$ und die Geschwindigkeitscomponenten ${\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}}$ des Körpers längs den drei Axen $x,y,z$ eines ruhenden geradlinigen orthogonalen Bezugsystems. Die Grösse $q$ der Geschwindigkeit ist dann gegeben durch:

$q^{2}={\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}$.

Ändert man den Zustand des Körpers auf reversible Weise, so gelten nach H. von Helmholtz^[10] die aus dem Princip der kleinsten Wirkung fliessenden Differentialgleichungen:

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial H}{\partial {\dot {x}}}}={\mathfrak {F}}_{x},\quad {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial H}{\partial {\dot {y}}}}={\mathfrak {F}}_{y},\quad {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial H}{\partial {\dot {z}}}}={\mathfrak {F}}_{z}$

(6)

und

${\frac {\partial H}{\partial V}}=p,\quad {\frac {\partial H}{\partial T}}=S$.

(7)

Hier bedeutet $H$ das kinetische Potential des Körpers, als Function der oben genannten fünf unabhängigen Variabeln, wobei jedoch die Geschwindigkeitscomponenten ${\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}}$ nur in der Verbindung $q$ vorkommen, und ${\mathfrak {F}}$ bedeutet die von aussen auf den Körper wirkende bewegende Kraft.

Man kann diese fünf Differentialgleichungen auch zur Definition des kinetischen Potentials benutzen; doch ist durch sie, wie man sieht, die Function $H$ noch nicht vollständig definirt, sondern es bleibt in dem Ausdruck von $H$, bei bestimmtem ${\mathfrak {F}}$, $p$ und $S$, eine additive Constante, welche keinerlei physikalische Bedeutung besitzt, willkürlich bestimmbar. Eine zweckmässige Verfügung über diese Constante werden wir weiter unten (im § 9) treffen und damit die zur Vervollständigung der Definition von $H$ nothwendige Ergänzung vornehmen.

Die Bewegungsgrösse des Körpers ist dann gegeben durch die Componenten:

${\mathfrak {G}}_{x}={\frac {\partial H}{\partial {\dot {x}}}},\quad {\mathfrak {G}}_{y}={\frac {\partial H}{\partial {\dot {y}}}},\quad {\mathfrak {G}}_{z}={\frac {\partial H}{\partial {\dot {z}}}}$

(8)

bez. durch die resultirende Bewegungsgrösse:

$G={\frac {\partial H}{\partial q}}$

(9)

und die gesammte Energie des Körpers durch:

$E=q{\frac {\partial H}{\partial q}}+T{\frac {\partial H}{\partial T}}-H={\dot {x}}{\mathfrak {G}}_{x}+{\dot {y}}{\mathfrak {G}}_{y}+{\dot {z}}{\mathfrak {G}}_{z}+TS-H$,

(10)

woraus sich für das Energieprincip die Gleichung ergiebt:

$dE={\mathfrak {F}}_{x}dx+{\mathfrak {F}}_{y}dy+{\mathfrak {F}}_{z}dz-pdV+TdS$,

(11)

welche auf ihrer rechten Seite die Translationsarbeit, die Compressionsarbeit und die von aussen zugeführte Wärme enthält.

Alle diese Beziehungen besitzen natürlich auch Gültigkeit für den im vorigen Abschnitt behandelten speciellen Fall der reinen Hohlraumstrahlung, wie man sich leicht überzeugen kann, wenn man für das kinetische Potential den Werth:

$H={\frac {ac^{4}T^{4}V}{3(c^{2}-q^{2})^{2}}}$

(12)

in die obigen Gleichungen einsetzt.

In der Anwendung auf ponderable Körper wurde nun bisher, auch bei H. von Helmholtz, stets so verfahren, dass man das kinetische Potential $H$ in zwei Theile zerlegte:

$H={\frac {1}{2}}Mq^{2}-F$,

und $M$, die Masse des Körpers, constant, dagegen $F$, die freie Energie des Körpers, unabhängig von $q$ annahm. Dann gehen die Gleichungen (6) in die Gleichungen der gewöhnlichen Mechanik über, und die Gleichungen (7) in die der gewöhnlichen Thermodynamik.

Wie aber das Beispiel der Hohlraumstrahlung zeigt, und wie oben in der Einleitung näher ausgeführt wurde, ist eine derartige Zerlegung, genau genommen, in keinem einzigen Falle zulässig: denn ein jeder ponderable Körper enthält in seinem Innern strahlende Energie in angebbarem Betrage. Wir wollen daher hier jene Zerlegung nicht vornehmen, sondern wollen uns statt dessen auf das Princip der Relativität stützen und dessen Consequenzen für den betrachteten Fall entwickeln.

§ 3.

Das Princip der Relativität besagt, dass man statt des bisher benutzten Bezugsystems $(x,y,z,t)$ mit genau dem nämlichen Recht auch das folgende Bezugsystem:

$x'={\frac {c(x-vt)}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}},\qquad y'=y,\qquad z'=z,\qquad t'={\frac {c^{2}t-vx}{c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}}$

für die Grundgleichungen der Mechanik, Elektrodynamik und Thermodynamik benutzen und daher als „ruhend“ bezeichnen kann. Wir wollen im Folgenden alle in dem neuen Bezugsystem gemessenen Grössen durch einen hinzugefügten Strich charakterisiren und dementsprechend auch die beiden Bezugsysteme als das „gestrichene“ und das „ungestrichene“ bezeichnen. Dann lässt sich der Inhalt des Relativitätsprincips auch so aussprechen: Alle Gleichungen zwischen gestrichenen, ungestrichenen oder auch beiderlei Grössen bleiben richtig, wenn man in ihnen die gestrichenen Grössen durch die gleichnamigen ungestrichenen und zugleich die ungestrichenen Grössen durch die gleichnamigen gestrichenen ersetzt. Dabei ist $c'=c$, und $v'=-v$ zu setzen.

Dieser allgemeine Satz, der natürlich auch für die obigen Definitionsgleichungen der gestrichenen Coordinaten gilt, liefert für jede gefundene Beziehung eine reciproke Beziehung, welche oft zur Verification nützlich ist.

§ 4.

Unsere nächste Aufgabe soll es nun sein, die Beziehung zwischen einer jeden der bisher benutzten Grössen und der gleichnamigen gestrichenen Grösse aufzustellen. Dies kann, wie sich zeigen wird, in vollkommen eindeutiger Weise geschehen, so dass wir schliesslich z. B. aus der Energie eines für ein Bezugsystem ruhenden Körpers die Energie desselben Körpers in dem anderen Bezugsystem, für welches er eine gewisse endliche Geschwindigkeit besitzt, berechnen können.

Zunächst ergiebt sich für die gestrichenen Geschwindigkeitscomponenten (${\dot {x}}'={\frac {dx'}{dt'}}$ u. s. w.) auf rein mathematischem Wege:

${\dot {x}}'={\frac {c^{2}({\dot {x}}-v)}{c^{2}-v{\dot {x}}}},\quad {\dot {y}}'={\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}{\dot {y}}}{c^{2}-v{\dot {x}}}},\quad {\dot {z}}'={\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}{\dot {z}}}{c^{2}-v{\dot {x}}}}$.

(13)

Ferner:^[11]

${\sqrt {\frac {c^{2}-q'^{2}}{c^{2}-q^{2}}}}={\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{c^{2}-v{\dot {x}}}}={\frac {c^{2}+v{\dot {x}}'}{c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}}={\frac {V'}{V}}={\frac {dt}{dt'}}$.

(14)

Wir wollen jetzt nachweisen, dass die Entropie des von uns betrachteten Körpers in Bezug auf das gestrichene System den nämlichen Werth besitzt wie in Bezug auf das ungestrichene System. Man könnte diesen Beweis ganz allgemein auf den engen Zusammenhang der Entropie mit der Wahrscheinlichkeit gründen, deren Grösse unmöglich von der Wahl des Bezugsystems abhängen kann; indessen ziehen wir hier einen directeren, von der Einführung des Wahrscheinlichkeitsbegriffes ganz unabhängigen Weg vor.

Wir denken uns den Körper aus einem Zustand, in welchem er für das ungestrichene Bezugsystem ruht, durch irgend einen reversibeln adiabatischen Process in einen zweiten Zustand gebracht, in welchem er für das gestrichene Bezugsystem ruht. Bezeichnet man die Entropie des Körpers für das ungestrichene System im Anfangszustand mit $S_{1}$, im Endzustand mit $S_{2}$, so ist wegen der Reversibilität und Adiabasie $S_{1}=S_{2}$. Aber auch für das gestrichene Bezugsystem ist der Vorgang reversibel und adiabatisch, also haben wir ebenso: $S'_{1}=S'_{2}$.

Wäre nun $S'_{1}$ nicht gleich $S_{1}$, sondern etwa $S'_{1}>S_{1}$, so würde das heissen: Die Entropie des Körpers ist für dasjenige Bezugsystem, für welches er in Bewegung begriffen ist, grösser als für dasjenige Bezugsystem, für welches er sich in Ruhe befindet. Dann müsste nach diesem Satze auch $S_{2}>S'_{2}$ sein; denn im zweiten Zustand ruht der Körper für das gestrichene Bezugsystem, während er für das ungestrichene Bezugsystem in Bewegung begriffen ist. Diese beiden Ungleichungen widersprechen aber den oben aufgestellten beiden Gleichungen. Ebenso wenig kann $S'_{1}<S_{1}$ sein; folglich ist $S'_{1}=S_{1}$, und allgemein:

$S'=S$,

(15)

d. h. die Entropie des Körpers hängt nicht von der Wahl des Bezugsystems ab.

§ 5.

Hieraus ergiebt sich die wichtige Folgerung: Wenn ein Körper, der im Anfangszustand für das ungestrichene System ruht, auf irgend eine Weise reversibel und adiabatisch auf die Geschwindigkeit ${\dot {x}}=v$, ${\dot {y}}=0$, ${\dot {z}}=0$ gebracht wird, und zwar so, dass das Endvolumen $V_{2}$ mit dem Anfangsvolumen $V_{1}$ in der Beziehung steht:

$V_{2}=V_{1}\cdot {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$,

(16)

so ist der Endzustand 2 für das gestrichene System in allen Stücken identisch mit dem Anfangszustand 1 für das ungestrichene System.

Die Richtigkeit dieses Satzes ergiebt sich aus der Überlegung, dass der Zustand des Körpers durch 5 unabhängige Variabeln bestimmt ist, als welche wir ausser den 3 Geschwindigkeitscomponenten das Volumen und die Entropie wählen können. Nun sind nach den Voraussetzungen im Endzustand für das gestrichene System die 3 Geschwindigkeitscomponenten des Körpers ${\dot {x}}'_{2}$, ${\dot {y}}'_{2}$ und ${\dot {z}}'_{2}=0$, ferner nach (15) die Entropie $S'_{2}=S_{2}=S_{1}$, endlich das Volumen nach (14):

$V'_{2}=V_{2}{\frac {c^{2}+v{\dot {x}}'_{2}}{c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}}=V_{2}{\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}=V_{1}$,

also besitzen alle 5 Zustandsvariabeln im Endzustand 2 für das gestrichene System die nämlichen Werthe wie im Anfangszustand 1 für das ungestrichene System, wodurch der obige Satz bewiesen ist.

§ 6.

Nun denken wir uns eine beliebige Anzahl verschiedenartiger von einander getrennter Körper, die anfänglich für das ungestrichene System ruhen und alle eine gleiche Temperatur $T_{1}$ besitzen und einem gleichen Druck $p_{1}$ unterworfen sind. Jeder dieser Körper für sich werde irgendwie reversibel und adiabatisch auf die Geschwindigkeit $v$ gebracht und sein Endvolumen nach der Beziehung (16) regulirt. Dann besitzen schliesslich alle Körper wiederum eine gemeinsame Temperatur $T_{2}$ und einen gemeinsamen Druck $p_{2}$. Denn für das gestrichene System befindet sich jeder Körper schliesslich in dem nämlichen Zustand wie anfänglich für das ungestrichene System, also sind für das gestrichene System die Endtemperaturen und die Enddrucke alle einander gleich. Dasselbe gilt aber auch für das ungestrichene System; denn zwei Körper, welche für ein Bezugsystem die nämliche Temperatur und den nämlichen Druck aufweisen, d. h. sich mit einander im thermischen und mechanischen Gleichgewicht befinden, besitzen dieselbe Eigenschaft auch für jedes andere Bezugsystem.

Wir können also folgenden Satz aussprechen: Verschiedenartige Körper von gemeinsamer Temperatur und gemeinsamem Druck, welche einzeln für sich reversibel und adiabatisch auf irgend einem Wege von der Geschwindigkeit 0 auf die Geschwindigkeit $v$ gebracht werden, so dass für jeden Körper das Volumen sich im Verhältniss ${\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}:1$ verkleinert, nehmen wiederum gemeinsame Temperatur und gemeinsamen Druck an. Kennt man daher für einen einzigen Körper die durch einen solchen Process hervorgebrachte Änderung der Temperatur und des Druckes, so kennt man die Änderung für jeden beliebigen Körper in der Natur.

Nun ist speciell für eine schwarze Hohlraumstrahlung nach (2) für $q_{1}=0,\ q_{2}=v$

$S_{1}={\frac {4aT_{1}^{3}V_{1}}{3}},\quad S_{2}={\frac {4ac^{4}T_{2}^{3}V_{2}}{3(c^{2}-v^{2})^{2}}}$,

folglich, da nach der Voraussetzung $S_{1}=S_{2}$ und $V_{2}=V_{1}\cdot {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$,

$T_{2}=T_{1}\cdot {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$

und nach (4):

$p_{1}=p_{2}$,

d. h. der gemeinsame Enddruck ist gleich dem gemeinsamen Anfangsdruck. Die beiden letzten Beziehungen gelten also allgemein für jeden beliebigen Körper, der dem genannten Process unterworfen wird.

Daraus folgt auch, dass man die Volumenbedingung (16) des § 5 ersetzen kann durch die einfachere Bedingung, dass der Enddruck $p_{2}$ gleich ist dem Anfangsdruck $p_{1}$. Dann kann man sagen: Bei einer reversibeln adiabatischen isobaren (d. h. $p=\mathrm {const.}$) Beschleunigung eines beliebigen Körpers von der Geschwindigkeit 0 auf beliebigem Wege bis zur Geschwindigkeit $v$ verkleinert sich sowohl das Volumen als auch die Temperatur des Körpers im Verhältniss ${\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}:1$. In diesem Satze ist natürlich die Richtung der Geschwindigkeit $v$ unwesentlich. Daher gilt derselbe Satz auch, wenn man statt der in der $x$-Axe gerichteten Geschwindigkeit $v$ die beliebig gerichtete Geschwindigkeit $q$ einsetzt.

§ 7.

Der letzte Satz ermöglicht es nun, die Beziehung zwischen den Werthen, welche die Temperatur und der Druck eines beliebig bewegten Körpers für die beiden von uns benutzten Bezugsysteme besitzt, ganz allgemein anzugeben. Wir denken uns einen mit einer beliebig gerichteten Geschwindigkeit bewegten Körper gegeben. Die Grösse der Geschwindigkeit betrage für das ungestrichene System $q$, für das gestrichene System $q'$. Wenn der Körper für das ungestrichene Bezugsystem aus dem gegebenen Zustand reversibel, adiabatisch und isobar zur Ruhe gebracht wird, so ist sein Volumen von $V$ auf ${\frac {V}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}}$, seine Temperatur von $T$ auf ${\frac {T}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}}$ gewachsen. Wenn der Körper aber für das gestrichene Bezugsystem aus dem gegebenen Zustand reversibel, adiabatisch und isobar zur Ruhe gebracht wird, so ist sein Volumen von $V'$ auf ${\frac {V'}{\sqrt {1-{\frac {q'^{2}}{c^{2}}}}}}$, seine Temperatur von $T'$ auf ${\frac {T'}{\sqrt {1-{\frac {q'^{2}}{c^{2}}}}}}$ gewachsen. Nun ist aber der so erhaltene Ruhezustand des Körpers im ungestrichenen System in allen Stücken identisch mit dem vorhin erhaltenen Ruhezustand im gestrichenen System. Denn die Bedingungen, unter denen der Satz des § 5 gilt, sind hier alle erfüllt, wenn man sich den Körper aus dem Ruhezustand für das ungestrichene System reversibel, adiabatisch und isobar durch den ursprünglich gegebenen Zustand hindurch in den Ruhezustand für das gestrichene System gebracht denkt. Folglich ist:

$p=p',\ {\frac {V}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {V'}{\sqrt {1-{\frac {q'^{2}}{c^{2}}}}}}$ und ${\frac {T}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {T'}{\sqrt {1-{\frac {q'^{2}}{c^{2}}}}}}$, oder:

${\frac {V'}{V}}={\frac {T'}{T}}={\sqrt {\frac {c^{2}-q'^{2}}{c^{2}-q^{2}}}},\ p'=p,\ S'=S$

(17)

als allgemein gültige Beziehung zwischen den gestrichenen und den ungestrichenen Variabeln.

§ 8.

Jetzt handelt es sich vor Allem um den Vergleich der Werthe des kinetischen Potentials in den beiden Bezugsystemen. Zu diesem Zwecke schreiben wir zunächst die Differentialgleichungen (7) nach dem Relativitätsprincip für das gestrichene System:

${\frac {\partial H'}{\partial V'}}=p',\quad {\frac {\partial H'}{\partial T'}}=S'$.

(18)

Diese beiden Gleichungen liefern mit Rücksicht auf die Gleichungen (7) und die Beziehungen (17):

${\frac {\partial }{\partial V}}\left(H'{\sqrt {\frac {c^{2}-q^{2}}{c^{2}-q'^{2}}}}\right)={\frac {\partial H}{\partial V}},\qquad {\frac {\partial }{\partial T}}\left(H'{\sqrt {\frac {c^{2}-q^{2}}{c^{2}-q'^{2}}}}\right)={\frac {\partial H}{\partial T}}$.

(19)

Ehe wir die Integration vornehmen, leiten wir noch die entsprechenden Gleichungen für die Geschwindigkeitscomponenten ${\dot {y}}$ und ${\dot {z}}$ ab. Dazu müssen wir ausser den Differentialgleichungen (6) in Bezug auf das gestrichene System:

${\frac {d}{dt'}}{\frac {\partial H'}{\partial {\dot {x}}'}}={\mathfrak {F}}'_{x'},\quad {\frac {d}{dt'}}{\frac {\partial H'}{\partial {\dot {y}}'}}={\mathfrak {F}}'_{y'},\quad {\frac {d}{dt'}}{\frac {\partial H'}{\partial {\dot {z}}'}}={\mathfrak {F}}'_{z'}$

(20)

die Beziehungen zwischen den gestrichenen und den ungestrichenen Componenten der bewegenden Kraft ${\mathfrak {F}}$ benutzen. Um diese zu finden, betrachten wir zunächst einen speciellen Fall, nämlich einen unendlich kleinen, mit der Elektricitätsmenge $e$ geladenen, diathermanen festen Körper, der sich in irgend einem evacuirten elektromagnetischen Felde befindet. Dann ist für das ungestrichene System:

${\mathfrak {F}}_{x}=e{\mathfrak {E}}_{x}+{\frac {e}{c}}({\dot {y}}{\mathfrak {H}}_{z}-{\dot {z}}{\mathfrak {H}}_{y})$ ${\mathfrak {F}}_{y}=e{\mathfrak {E}}_{y}+{\frac {e}{c}}({\dot {z}}{\mathfrak {H}}_{x}-{\dot {x}}{\mathfrak {H}}_{z})$ ${\mathfrak {F}}_{z}=e{\mathfrak {E}}_{z}+{\frac {e}{c}}({\dot {x}}{\mathfrak {H}}_{y}-{\dot {y}}{\mathfrak {H}}_{x})$,

wobei ${\mathfrak {E}}$ die elektrische, ${\mathfrak {H}}$ die magnetische Feldintensität bezeichnet. Die nämlichen Gleichungen gelten nach dem Relativitätsprincip, wenn man sämmtliche Grössen, ausser $e$ und $c$, mit Strichen versieht. Daraus ergeben sich mit Rücksicht auf die Relationen (13) sowie auf die Beziehungen^[12]:

${\begin{array}{cc}{\mathfrak {E}}'_{x'}={\mathfrak {E}}_{x}&{\mathfrak {H}}'_{x'}={\mathfrak {H}}_{x}\\{\mathfrak {E}}'_{y'}={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}\left({\mathfrak {E}}_{y}-{\frac {v}{c}}{\mathfrak {H}}_{z}\right)&{\mathfrak {H}}'_{y'}={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}\left({\mathfrak {H}}_{y}+{\frac {v}{c}}{\mathfrak {E}}_{z}\right)\\{\mathfrak {E}}'_{z'}={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}\left({\mathfrak {E}}_{z}+{\frac {v}{c}}{\mathfrak {H}}_{y}\right)&{\mathfrak {H}}'_{z'}={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}\left({\mathfrak {H}}_{z}-{\frac {v}{c}}{\mathfrak {E}}_{y}\right)\end{array}}$

die folgenden Gleichungen zwischen den gestrichenen und den ungestrichenen Kraftcomponenten:

${\mathfrak {F}}'_{x'}={\mathfrak {F}}_{x}-{\frac {v{\dot {y}}}{c^{2}-v{\dot {x}}}}{\mathfrak {F}}_{y}-{\frac {v{\dot {z}}}{c^{2}-v{\dot {x}}}}{\mathfrak {F}}_{z}$,

(21)

${\mathfrak {F}}'_{y'}={\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{c^{2}-v{\dot {x}}}}{\mathfrak {F}}_{y},\qquad {\mathfrak {F}}'_{z'}={\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{c^{2}-v{\dot {x}}}}{\mathfrak {F}}_{z}$.

(22)

Die beiden letzten Beziehungen (22) nehmen wir als allgemein gültig an; sie liefern mit (6) und (20) combinirt:

${\frac {d}{dt'}}{\frac {\partial H'}{\partial {\dot {y}}'}}={\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{c^{2}-v{\dot {x}}}}{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial H}{\partial {\dot {y}}}}$.

Nun ist nach (13) und (14):

${\frac {\partial H'}{\partial {\dot {y}}'}}={\frac {\partial H'}{\partial {\dot {y}}}}{\frac {\partial {\dot {y}}}{\partial {\dot {y}}'}}={\frac {\partial H'}{\partial {\dot {y}}}}{\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{c^{2}+v{\dot {x}}'}}={\frac {\partial }{\partial {\dot {y}}}}\left(H'{\sqrt {\frac {c^{2}-q^{2}}{c^{2}-q'^{2}}}}\right)$

(23)

und:

${\frac {dt'}{dt}}={\frac {c^{2}-v{\dot {x}}}{c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}}$.

Daraus folgt:

$d{\frac {\partial }{\partial {\dot {y}}}}\left(H'{\sqrt {\frac {c^{2}-q^{2}}{c^{2}-q'^{2}}}}\right)=d{\frac {\partial H}{\partial {\dot {y}}}}$

und integrirt:

${\frac {\partial }{\partial {\dot {y}}}}\left(H'{\sqrt {\frac {c^{2}-q^{2}}{c^{2}-q'^{2}}}}\right)={\frac {\partial H}{\partial {\dot {y}}}}$, ebenso: ${\frac {\partial }{\partial {\dot {z}}}}\left(H'{\sqrt {\frac {c^{2}-q^{2}}{c^{2}-q'^{2}}}}\right)={\frac {\partial H}{\partial {\dot {z}}}}$.

(24)

Die Integrationsconstante, eine absolute Constante, verschwindet, weil nur $q'=q$ $H'$ in $H$ übergeht.

§ 9.

Nun liefern die vier Gleichungen (19) und (24) integrirt:

$H'{\sqrt {\frac {c^{2}-q^{2}}{c^{2}-q'^{2}}}}=H+\mathrm {const.}$

Die Constante hängt nicht ab von $V,T,{\dot {y}},{\dot {z}}$; wohl aber kann sie noch von ${\dot {x}}$ oder, nach (14), von ${\frac {c^{2}-q^{2}}{c^{2}-q'^{2}}}$ abhängen. Wir schreiben daher:

$H'{\sqrt {\frac {c^{2}-q^{2}}{c^{2}-q'^{2}}}}=H+f\left({\frac {c^{2}-q^{2}}{c^{2}-q'^{2}}}\right)$

und bestimmen den allgemeinsten Ausdruck der Function $f$.

Zunächst haben wir:

${\frac {H'}{\sqrt {c^{2}-q'^{2}}}}-{\frac {H}{\sqrt {c^{2}-q^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {c^{2}-q^{2}}}}\cdot f\left({\frac {c^{2}-q^{2}}{c^{2}-q'^{2}}}\right)$.

(25)

Da die Function $H$ nur von $q$, $V$ und $T$ abhängt, und da $V'$ und $T'$ mit $V$ und $T$ nur durch die Beziehungen (17) verbunden sind, so ist die rechte Gleichungsseite, ebenso wie die linke, von der Form^[13]:

${\frac {1}{\sqrt {c^{2}-q^{2}}}}\cdot f\left({\frac {c^{2}-q^{2}}{c^{2}-q'^{2}}}\right)=Q'-Q$,

wobei $Q$ allein von $q$ abhängt. Daraus folgt nothwendig:

${\frac {1}{\sqrt {c^{2}-q^{2}}}}\cdot f\left({\frac {c^{2}-q^{2}}{c^{2}-q'^{2}}}\right)={\frac {C}{\sqrt {c^{2}-q'^{2}}}}-{\frac {C}{\sqrt {c^{2}-q^{2}}}}$,

wenn $C$ eine absolute Constante bedeutet.

Dies in (25) substituirt ergiebt als gesuchte Beziehung zwischen $H'$ und $H$:

${\frac {H'-C}{\sqrt {c^{2}-q'^{2}}}}={\frac {H-C}{\sqrt {c^{2}-q^{2}}}}$.

Da nun die Function $H-C$ genau den nämlichen Differentialgleichungen (6) und (7) genügt wie die Function $H$, so können wir uns ohne Weiteres in alle vorhergehenden Gleichungen statt $H$ die Function $H-C$ gesetzt denken, und wollen fortan den letzteren Ausdruck einfach mit $H$ bezeichnen. Dann ergiebt sich:

${\frac {H'}{\sqrt {c^{2}-q'^{2}}}}={\frac {H}{\sqrt {c^{2}-q^{2}}}}$.

(26)

Mit anderen Worten: Wenn die Constante $C=0$ gesetzt wird, so bedeutet das keinerlei physikalische Einschränkung, sondern nur eine zweckmässige Ergänzung der Definition des kinetischen Potentials, welche durch die Differentialgleichungen (6) und (7), wie schon dort hervorgehoben wurde, noch nicht vollkommen eindeutig festgelegt wird.

§ 10.

Nachdem nun die allgemeine Beziehung zwischen $H'$ und $H$ gefunden ist, ergiebt sich direct aus den Differentialgleichungen des Princips der kleinsten Wirkung der Zusammenhang der Werthe, welche irgend eine physikalische Grösse für die beiden von uns benutzten Bezugsysteme besitzt. Betrachten wir zunächst die Bewegungsgrösse, deren Componenten im gestrichenen System sind:

${\mathfrak {G}}'_{x'}={\frac {\partial H'}{\partial {\dot {x}}'}},\qquad {\mathfrak {G}}'_{y'}={\frac {\partial H'}{\partial {\dot {y}}'}},\qquad {\mathfrak {G}}'_{z'}={\frac {\partial H'}{\partial {\dot {z}}'}}$.

(27)

Während sich der Zusammenhang der $y$- und $z$-Componenten der Bewegungsgrösse direct aus der Vergleichung mit (8) und (13) als

${\mathfrak {G}}'_{y'}={\mathfrak {G}}_{y},\qquad {\mathfrak {G}}'_{z'}={\mathfrak {G}}_{z}$

(28)

ergiebt, ist der zwischen den $x$-Componenten ${\mathfrak {G}}'_{x'}$ und ${\mathfrak {G}}_{x}$ wesentlich verwickelterer Natur.

Zunächst erhalten wir hierfür nach (27) in leicht verständlicher Bezeichnung:

${\mathfrak {G}}'_{x'}={\frac {\partial H'}{\partial {\dot {x}}}}{\frac {\partial {\dot {x}}}{\partial {\dot {x}}'}}+{\frac {\partial H'}{\partial {\dot {y}}}}{\frac {\partial {\dot {y}}}{\partial {\dot {x}}'}}+{\frac {\partial H'}{\partial {\dot {z}}}}{\frac {\partial {\dot {z}}}{\partial {\dot {x}}'}}+{\frac {\partial H'}{\partial V}}{\frac {\partial V}{\partial {\dot {x}}'}}+{\frac {\partial H'}{\partial T}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}'}}$,

Dabei ist nach (26), (14) und (13):

${\frac {\partial H'}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {\partial }{\partial {\dot {x}}}}\left(H{\sqrt {\frac {c^{2}-q'^{2}}{c^{2}-q^{2}}}}\right)={\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{c^{2}-v{\dot {x}}}}{\frac {\partial H}{\partial {\dot {x}}}}+{\frac {vc{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{(c^{2}-v{\dot {x}})^{2}}}H$ ${\frac {\partial H'}{\partial {\dot {y}}}}={\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{c^{2}-v{\dot {x}}}}{\frac {\partial H}{\partial {\dot {y}}}},\qquad {\frac {\partial H'}{\partial {\dot {z}}}}={\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{c^{2}-v{\dot {x}}}}{\frac {\partial H}{\partial {\dot {z}}}}$ ${\frac {\partial H'}{\partial V}}={\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{c^{2}-v{\dot {x}}}}{\frac {\partial H}{\partial V}},\qquad {\frac {\partial H'}{\partial T}}={\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{c^{2}-v{\dot {x}}}}{\frac {\partial H}{\partial T}}$ ${\frac {\partial {\dot {x}}}{\partial {\dot {x}}'}}={\frac {(c^{2}-v{\dot {x}})^{2}}{c^{2}(c^{2}-v^{2})}},\qquad {\frac {\partial {\dot {y}}}{\partial {\dot {x}}'}}=-{\frac {v{\dot {y}}(c^{2}-v{\dot {x}})}{c^{2}(c^{2}-v^{2})}},\qquad {\frac {\partial {\dot {z}}}{\partial {\dot {x}}'}}=-{\frac {v{\dot {z}}(c^{2}-v{\dot {x}})}{c^{2}(c^{2}-v^{2})}}$ ${\frac {\partial V}{\partial {\dot {x}}'}}=-{\frac {v(c^{2}-v{\dot {x}})}{c^{2}(c^{2}-v^{2})}}V,\qquad {\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}'}}=-{\frac {v(c^{2}-v{\dot {x}})}{c^{2}(c^{2}-v^{2})}}T$.

Dies ergiebt durch Substitution mit Rücksicht auf (8) und (7):

${\mathfrak {G}}'_{x'}={\frac {1}{c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}}\{(c^{2}-v{\dot {x}}){\mathfrak {G}}_{x}+vH-v{\dot {y}}{\mathfrak {G}}_{y}-v{\dot {z}}{\mathfrak {G}}_{z}-vpV-vTS\}$

oder mit Einführung der Energie $E$ aus (10):

${\mathfrak {G}}'_{x'}={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}\left({\mathfrak {G}}_{x}-{\frac {v(E+pV)}{c^{2}}}\right)$.

(29)

Wenn man statt der Energie $E$ die Gibbs’sche „Wärmefunction bei constantem Druck“ $R$ einführt:

$R=E+pV$,

(30)

deren Änderung bei isobaren Processen die zugeführte Wärme angiebt, so lautet die letzte Beziehung einfacher:

${\mathfrak {G}}'_{x'}={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}\left({\mathfrak {G}}_{x}-{\frac {v}{c^{2}}}R\right)$.

(31)

§ 11.

Differenziirt man die Gleichung (29) nach der Zeit $t$:

${\frac {d{\mathfrak {G}}'_{x'}}{dt}}={\frac {d{\mathfrak {G}}'_{x'}}{dt'}}\cdot {\frac {dt'}{dt}}={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}\left\{{\frac {d{\mathfrak {G}}_{x}}{dt}}-{\frac {v}{c^{2}}}\left({\frac {dE}{dt}}+p{\frac {dV}{dt}}+V{\frac {dp}{dt}}\right)\right\}$,

so folgt daraus mit Berücksichtigung von (27), (20), (14) und (11) die Beziehung zwischen den $x$-Componenten der Kraft ${\mathfrak {F}}$, nämlich:

${\mathfrak {F}}'_{x'}={\mathfrak {F}}_{x}-{\frac {v}{c^{2}-v{\dot {x}}}}({\mathfrak {F}}_{y}{\dot {y}}+{\mathfrak {F}}_{z}{\dot {z}}+V{\dot {p}}+T{\dot {S}})$.

(32)

Vergleicht man diese Beziehung mit der oben gefundenen (21), so ergiebt sich, dass jene keine allgemeine Bedeutung besitzt, sondern nur dann immer gilt, wenn ${\dot {p}}=0$ und ${\dot {S}}=0$, d. h. wenn der Process isobar und adiabatisch verläuft. In der That ist diese Eigenschaft charakteristisch für den damals betrachteten Vorgang: der Bewegung eines elektrisch geladenen, diathermanen festen Körpers in einem evacuirten elektromagnetischen Felde.

Endlich mögen hier noch Platz finden die allgemeinen Beziehungen zwischen den Werthen, welche die Energie des Körpers sowie die geleistete äussere Arbeit und die zugeführte Wärme für beide Bezugsysteme besitzt.

Für die Energie $E'$ haben wir nach (10):

$E'={\dot {x}}'{\mathfrak {G}}'_{x'}+{\dot {y}}'{\mathfrak {G}}'_{y'}+{\dot {z}}'{\mathfrak {G}}'_{z'}+T'S'-H'$,

folglich durch Substitution der bereits abgeleiteten Beziehungen:

$E'={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}\left\{E-v{\mathfrak {G}}_{x}-{\frac {v({\dot {x}}-v)}{c^{2}-v{\dot {x}}}}pV\right\}$.

(33)

Für die in (30) definirte Wärmefunction $R$ gilt im gestrichenen Bezugsystem die einfache Beziehung:

$R'={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}(R-v{\mathfrak {G}}_{x})$.

(34)

Die bei einer unendlich kleinen reversibeln Zustandsänderung des Körpers von aussen geleistete Translationsarbeit ist für das gestrichene Bezugsystem:

${\begin{aligned}&{\mathfrak {F}}'_{x'}dx'+{\mathfrak {F}}'_{y'}dy'+{\mathfrak {F}}'_{z'}dz'\\&={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}\left\{{\mathfrak {F}}_{x}dx+{\mathfrak {F}}_{y}dy+{\mathfrak {F}}_{z}dz-vdt\left({\mathfrak {F}}_{x}+{\frac {{\dot {x}}-v}{c^{2}-v{\dot {x}}}}(V{\dot {p}}+T{\dot {S}})\right)\right\}\end{aligned}}$.

(35)

Ferner die Compressionsarbeit:

$-p'dV'=-{\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{c^{2}-v{\dot {x}}}}pdV-{\frac {vc{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{(c^{2}-v{\dot {x}})^{2}}}pVd{\dot {x}}$,

(36)

endlich die zugeführte Wärme:

$T'dS'={\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{c^{2}-v{\dot {x}}}}TdS$.

(37)

§ 12.

Die im Vorigen abgeleiteten Beziehungen zwischen den gestrichenen und den ungestrichenen Grössen lassen sich zum Theil einfacher darstellen, wenn man diejenigen Ausdrücke aufsucht, welche für die Transformation von einem Bezugsystem auf das andere invariant sind. Solche Invarianten sind $y$, $z$, $p$, $S$, ${\mathfrak {G}}_{y}$, ${\mathfrak {G}}_{z}$, ${\frac {H}{\sqrt {c^{2}-q^{2}}}}$, $G{\frac {\sqrt {c^{2}-q^{2}}}{q}}$, ferner die Differentialausdrücke ${\sqrt {c^{2}-q^{2}}}dt$, $Hdt$, $Vdt$, $Tdt$, ${\mathfrak {F}}_{y}dt$, ${\mathfrak {F}}_{z}dt$, $Edt-{\mathfrak {G}}_{x}dx$, $Rdt-{\mathfrak {G}}_{x}dx$, u. s. w. Alle diese Grössen ändern ihren Werth nicht, wenn man sie durch die entsprechenden gestrichenen Grössen ersetzt.

Daraus folgt auch, dass das für das Princip der kleinsten Wirkung charakteristische, von einem bestimmten Anfangszustand 1 bis zu einem bestimmten Endzustand 2 genommene Zeitintegral:

$W=\int _{1}^{2}Hdt$,

welches man als die dem betreffenden Vorgang entsprechende „Wirkungsgrösse“ bezeichnen kann, für das gestrichene Bezugsystem den nämlichen Werth besitzt wie für das ungestrichene. Nimmt man hinzu den Satz, dass für die Wirkungsgrösse ein ganz bestimmtes Elementarquantum^[14] existirt: $h=6{,}55\cdot 10^{-27}\mathrm {erg.sec.}$, so kann man auch sagen: Einer jeden Veränderung in der Natur entspricht eine bestimmte, von der Wahl des Bezugsystems unabhängige Anzahl von Wirkungselementen. Es versteht sich, dass durch diesen Satz die Bedeutung des Princips der kleinsten Wirkung nach einer neuen Seite hin erweitert wird. Doch soll an dieser Stelle auf diese und verwandte Fragen nicht näher eingegangen werden.

Dritter Abschnitt.
Anwendungen.

§ 13.

Die wichtigste Folgerung aus den allgemeinen, im vorigen Abschnitt aufgestellten Beziehungen betrifft die Abhängigkeit des physikalischen Zustandes eines Körpers von seiner Geschwindigkeit. Es lässt sich nämlich ganz allgemein zeigen, dass das kinetische Potential $H$ und somit auch alle Zustandsgrössen sich unmittelbar als Functionen der Geschwindigkeit, des Volumens und der Temperatur angeben lassen, sobald sie für die Geschwindigkeit Null als Functionen des Volumens und der Temperatur bekannt sind.

Wir wollen zu diesem Zwecke mit $H_{0},p_{0},S_{0},E_{0}\dotsm$, diejenigen Functionen der beiden Variabeln $V$ und $T$ bezeichnen, in welche die Functionen $H,p,S,E\dotsm$ der drei Variabeln $q,V,T$ übergehen, wenn man in ihnen $q=0$ setzt. Ferner wollen wir mit $H'_{0},p'_{0},S'_{0},E'_{0}\dotsm$ diejenigen Functionen der drei Variabeln $q,V,T$ bezeichnen, in welche die Functionen $H_{0},p_{0},S_{0},E_{0}\dotsm$ der beiden Variabeln $V$ und $T$ übergehen, wenn man in ihnen statt $V$ $V'={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-q^{2}}}}V$ und statt $T$ $T'={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-q^{2}}}}T$ einsetzt.

Nun gehen wir von der Beziehung (26) aus und setzen darin $q'=0$. Dann folgt mit Rücksicht auf (17) in der soeben eingeführten Bezeichnung:

$H={\frac {\sqrt {c^{2}-q^{2}}}{c}}H'_{0}$,

(38)

und hierdurch ist $H$ als Function der drei Variabeln $q$, $V$ und $T$ dargestellt, falls $H_{0}$ als Function der beiden Variabeln $V$ und $T$ bekannt ist. Durch $H$ sind dann nach (6) und (7) alle anderen physikalischen Zustandsgrössen bestimmt. So erhält man zunächst für den Druck:

$p=p'_{0}$.

(39)

Ist also der Druck des ruhenden Körpers durch die gewöhnliche Zustandsgleichung als Function von Volumen und Temperatur bekannt, so folgt daraus unmittelbar die Zustandsgleichung des bewegten Körpers. Ebenso ist die Entropie:

$S=S'_{0}$.

(40)

Ferner sind die Componenten der Bewegungsgrösse:

${\mathfrak {G}}_{x}=G{\frac {\dot {x}}{q}},\quad {\mathfrak {G}}_{y}=G{\frac {\dot {y}}{q}},\quad {\mathfrak {G}}_{z}=G{\frac {\dot {z}}{q}}$,

wobei $G$, die resultirende Bewegungsgrösse, nach (38):

$G={\frac {\partial H}{\partial q}}=-{\frac {q}{c{\sqrt {c^{2}-q^{2}}}}}H'_{0}+{\frac {\sqrt {c^{2}-q^{2}}}{c}}\left\{\left({\frac {\partial H}{\partial V}}\right)_{0}^{'}{\frac {cqV}{(c^{2}-q^{2})^{\frac {3}{2}}}}+\left({\frac {\partial H}{\partial T}}\right)_{0}^{'}{\frac {cqT}{(c^{2}-q^{2})^{\frac {3}{2}}}}\right\}$

$G={\frac {q}{c^{2}-q^{2}}}Vp'_{0}+{\frac {q}{c^{2}-q^{2}}}TS'_{0}-{\frac {q}{c{\sqrt {c^{2}-q^{2}}}}}H'_{0}$.

(41)

Ferner ist die Energie nach (10):

$E={\frac {q^{2}}{c^{2}-q^{2}}}Vp'_{0}+{\frac {c^{2}}{c^{2}-q^{2}}}TS'_{0}-{\frac {c}{\sqrt {c^{2}-q^{2}}}}H'_{0}$.

(42)

Bedenkt man, dass $E_{0}=TS_{0}-H_{0}$ und

$E'_{0}={\frac {cT}{\sqrt {c^{2}-q^{2}}}}S'_{0}-H'_{0}$,

so kann man auch schreiben:

$E={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-q^{2}}}}E'_{0}+{\frac {q^{2}}{c^{2}-q^{2}}}Vp'_{0}$.

(43)

Endlich ist die Wärmefunction $R$ nach (30):

$R={\frac {c^{2}}{c^{2}-q^{2}}}Vp'_{0}+{\frac {c^{2}}{c^{2}-q^{2}}}TS'_{0}-{\frac {c}{\sqrt {c^{2}-q^{2}}}}H'_{0}$

(44)

oder, da:

$R'_{0}={\frac {cV}{\sqrt {c^{2}-q^{2}}}}p'_{0}+{\frac {cT}{\sqrt {c^{2}-q^{2}}}}S'_{0}-H'_{0}$

$R={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-q^{2}}}}R'_{0}$.

(45)

Mit Einführung der Wärmefunction $R$ schreibt sich die Bewegungsgrösse $G$ nach (41) einfacher:

$G={\frac {q}{c^{2}}}R={\frac {q}{c{\sqrt {c^{2}-q^{2}}}}}R'_{0}$.

(46)

§ 14.

Die besonderen Beziehungen, welche in den vorstehenden Gleichungen enthalten sind, lassen sich alle zusammenfassen in eine einzige Differentialgleichung, welche für die Function $H$ der 3 Variabeln $q$, $V$, $T$ ganz allgemein gilt. Setzt man nämlich in die Gleichung (46) für $G$ den Ausdruck ${\frac {\partial H}{\partial q}}$, und für $R$ den Werth $E+pV$, so ergiebt sich mit Rücksicht auf (10) die Gleichung:

$T{\frac {\partial H}{\partial T}}+V{\frac {\partial H}{\partial V}}-{\frac {c^{2}-q^{2}}{q}}{\frac {\partial H}{\partial q}}-H=0$.

(47)

Diese Differentialgleichung stellt den allgemeinen Ausdruck für die Anwendung des Relativitätsprincips auf das kinetische Potential dar. Ihr allgemeines Integral ist durch (38) ausgedrückt, wovon man sich auch leicht direct überzeugen kann. Danach ist das kinetische Potential $H$ eine homogene Function ersten Grades der drei Variabeln $T$, $V$ und ${\sqrt {c^{2}-q^{2}}}$.

§ 15.

Machen wir nun zunächst eine specielle Anwendung auf die schwarze Hohlraumstrahlung. Alle Bewegungsgesetze einer Hohlraumstrahlung ergeben sich hiernach direct aus den bekannten einfachen thermodynamischen Formeln für eine ruhende Hohlraumstrahlung. Für eine solche ist nämlich nach dem Stefan-Boltzmann’schen Gesetz:

$E_{0}=aT^{4}V$.

Ferner ist der Maxwell’sche Strahlungsdruck:

$p_{0}={\frac {1}{3}}aT^{4}$,

und die Entropie ruhender Strahlung:

$S_{0}=\int {\frac {dE_{0}+p_{0}dV}{T}}={\frac {4}{3}}aT^{3}V$.

Aus diesen für $q=0$ gültigen Werthen folgen definitionsgemäss (§ 13) die Ausdrücke:

$E'_{0}={\frac {ac^{5}T^{4}V}{(c^{2}-q^{2})^{\frac {5}{2}}}},\qquad p'_{0}={\frac {ac^{4}T^{4}}{3(c^{2}-q^{2})^{2}}},\qquad S'_{0}={\frac {4ac^{4}T^{3}V}{3(c^{2}-q^{2})^{2}}}$,

und mit deren Hülfe nach (39), (40), (43) und (46) die für eine beliebige Geschwindigkeit $q$ gültigen Werthe:

${\begin{aligned}p&={\frac {ac^{4}T^{4}}{3(c^{2}-q^{2})^{2}}},&\quad &S={\frac {4ac^{4}T^{3}V}{3(c^{2}-q^{2})^{2}}},\\E&={\frac {ac^{4}(3c^{2}+q^{2})}{3(c^{2}-q^{2})^{3}}}T^{4}V,&&G={\frac {q}{c^{2}}}(E+pV)={\frac {4ac^{4}q}{3(c^{2}-q^{2})^{3}}}T^{4}V\end{aligned}}$

in Übereinstimmung mit den Gleichungen des § 1.

§ 16.

Durch die Bewegungsgrösse $G$ eines Körpers ist auch dessen träge Masse bestimmt. Diese Grösse, welche in der reinen Mechanik eine so fundamentale Rolle spielt, sinkt in der allgemeinen Dynamik zu einem secundären Begriff herab. Denn sobald die Bewegungsgrösse nicht mehr proportional der Geschwindigkeit ist, ist die Masse eines Körpers nicht mehr constant; ausserdem gelangt man zu einer ganz verschiedenen Abhängigkeit der Masse von der Geschwindigkeit, je nachdem man die Bewegungsgrösse $G$ durch die Geschwindigkeit $q$ dividirt oder nach der Geschwindigkeit $q$ differenzirt, wobei dann noch besonders anzugeben ist, in welcher Weise die Differenziation erfolgt: ob isotherm, ob adiabatisch u. s. w. Wiederum ein anderer Werth für die Masse ergiebt sich im Allgemeinen, wenn man von der Energie $E$ ausgeht und diese nach ${\frac {q^{2}}{2}}$ differenzirt. Wie man diese verschiedenen Ausdrücke benennt, ist natürlich Definitionssache.

Wir wollen hier unter „Masse“ $M$ eines Körpers diejenige von der Geschwindigkeit des Körpers unabhängige Grösse verstehen, welche man erhält, wenn man die Bewegungsgrösse $G$ durch die Geschwindigkeit $q$ dividirt und in diesem Quotienten $q=0$ setzt, also in unserer Bezeichnungsweise nach (46):

$M=\left({\frac {G}{q}}\right)_{0}={\frac {R_{0}}{c^{2}}}={\frac {E_{0}+pV_{0}}{c^{2}}}$.

(48)

Diese Grösse hängt im Allgemeinen noch von der Temperatur $T$ und dem Volumen $V$ des Körpers ab.

Setzt man in dem Ausdruck ${\frac {G}{q}}$ die Geschwindigkeit $q$ nicht gleich Null, so nennen wir den Quotienten, wie üblich^[15], die „transversale“ Masse des Körpers, während dagegen der Differentialquotient ${\frac {dG}{dq}}$ die „longitudinale“ Masse vorstellt. Bei der longitudinalen Masse hat man jedoch die „isotherm-isochore“ Masse zu unterscheiden von der „adiabatisch-isobaren“ Masse u. s. w.: denn der Differentialquotient hat nur dann einen bestimmten Werth, wenn der Weg der Differenziation angegeben wird. Für die specielle Geschwindigkeit $q=0$ gehen transversale und longitudinale Masse aller Arten in einander, d. h. in (48) über.

Die Masse einer ruhenden Hohlraumstrahlung ist daher nach (5):

${\frac {4aT^{4}V}{3c^{2}}}$,

die transversale Masse einer bewegten Hohlraumstrahlung:

${\frac {G}{q}}={\frac {4ac^{4}T^{4}V}{3(c^{2}-q^{2})^{3}}}$,

die longitudinale isotherm-isochore Masse derselben^[16]:

${\frac {\partial G}{\partial q}}={\frac {4ac^{4}(c^{2}+5q^{2})}{3(c^{2}-q^{2})^{4}}}T^{4}V$,

die longitudinale adiabatisch-isochore Masse^[16]:

$\left({\frac {\partial G}{\partial q}}\right)_{S,V}={\frac {4ac^{4}(3c^{2}-q^{2})}{9(c^{2}-q^{2})^{4}}}T^{4}V$,

die longitudinale adiabatisch-isobare Masse dagegen:

$\left({\frac {\partial G}{\partial q}}\right)_{S,p}={\frac {4ac^{6}T^{4}V}{3(c^{2}-q^{2})^{4}}}$.

§ 17.

Auffallend ist an der Beziehung (48) vor Allem der enge Zusammenhang der Masse eines Körpers mit der Wärmefunction $R_{0}$. Da die Masse $M$ leicht in Gramm zu messen ist, so lässt sich danach die Grösse von $R_{0}$ unmittelbar im absoluten CGS-System angeben. Doch kann dieser Werth nicht direct auf thermodynamischem Wege geprüft werden; denn die reine Thermodynamik lässt in dem Ausdruck der Warmefunction, wie auch in dem der Energie, eine additive Constante unbestimmt. In dieser Hinsicht kommt also die Beziehung (48) im Wesentlichen auf eine Ergänzung der thermodynamischen Definition der Energie hinaus.

Dagegen eröffnet sich eine Aussicht zur experimentellen Prüfung der Theorie durch die Berücksichtigung der Veränderlichkeit der Wärmefunction $R_{0}$ mit der Temperatur und dem Volumen sowie der chemischen Beschaffenheit. Denn nach der Gleichung (48) wird durch jede Wärmeaufnahme bez. -abgabe die träge Masse eines Körpers verändert, und zwar ist die Zunahme der Masse immer gleich der Wärmemenge, welche bei einer isobaren Veränderung des Körpers von außen aufgenommen wird, dividirt durch das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit im Vacuum^[17]. Dabei ist besonders bemerkenswerth, dass dieser Satz nicht nur für reversible Processe, sondern ganz allgemein auch für jede irreversible Zustandsänderung gilt; denn die Beziehung zwischen der Wärmefunction $R$ und der von außen zugeleiteten Wärme gründet sich direct auf den ersten Hauptsatz der Wärmetheorie. In Folge der Grössenordnung von $c^{2}$ ist freilich die durch einfache Erwärmung oder Abkühlung eines Körpers bedingte Massenänderung desselben so minimal, dass sie sich der directen Messung wohl für immer entziehen wird. Ein stärkerer Einfluss wäre schon von der Heranziehung chemischer Wärmetönungen zu erwarten, obwohl auch hier der Effect kaum messbar sein dürfte.

Berechnen wir z. B. die Abnahme der Masse von 1½ Mol Knallgas $(\mathrm {H_{2}+{\tfrac {1}{2}}O_{2}=18\,gr)}$, welches bei Atmosphärendruck und Zimmertemperatur zu 1 Mol flüssigem Wasser condensirt wird. Hierfür ist die Wärmeentwicklung im CGS-Maasssystem:

$r=68400\cdot 419\cdot 10^{5}=2{,}87\cdot 10^{12}$

folglich die Abnahme der Masse: ${\frac {r}{c^{2}}}\,\mathrm {gr} =3{,}2\cdot 10^{-6}\,\mathrm {mgr}$, eine immer noch verschwindend kleine Grösse.

§ 18.

Nach der hier entwickelten Theorie hat man sich also im Innern eines jeden Körpers einen Energievorrath vorzustellen, dessen Betrag so kolossal ist, dass die von uns für gewöhnlich beobachteten Erwärmungs- und Abkühlungsvorgänge, ja sogar ziemlich tief eingreifende, mit beträchtlichen Wärmetönungen verbundene chemische Umwandlungen, ihn nur um einen unmerklichen Bruchtheil verändern. Das gilt bis herab zu den tiefsten erreichbaren Temperaturen; denn sowohl die specifische Wärme eines Körpers wie auch die Reactionswärmen chemischer Processe behalten bis dicht an den absoluten Nullpunkt heran ihre Grössenordnung bei. Lässt man also die Temperatur eines ruhenden Körpers (bei constantem äusseren Druck) unbegrenzt abnehmen, so convergirt seine innere Energie nicht etwa gegen Null, was übrigens auch schon deshalb ausgeschlossen ist, weil die Reactionswärme zweier chemisch auf einander wirkender Körper auch bei den tiefsten Temperaturen endlich bleibt, sondern sie behält im Gegentheil bis auf verhältnissmassig ganz unwesentliche Glieder den nämlichen Werth wie für beliebige endliche Temperaturen. Diesen Energievorrath, der dem Körper bei Null Grad absolut verbleibt, und dem gegenüber alle in den gewöhnlichen physikalischen und chemischen Processen vorkommenden Wärmetönungen minimal sind, wollen wir hier als die „latente Energie“ des Körpers bezeichnen. Die latente Energie ist von der Temperatur und von den Bewegungen der chemischen Atome ganz unabhängig^[18], ihr Sitz ist also innerhalb der chemischen Atome zu suchen; ihrer Art nach könnte sie potentieller, aber ebensowohl auch kinetischer Natur sein. Denn es hindert nichts, anzunehmen, und wäre sogar, namentlich vom elektrodynamischen Standpunkt aus betrachtet, sehr wohl verständlich, dass innerhalb der chemischen Atome gewisse stationäre Bewegungsvorgänge von der Art stehender Schwingungen stattfinden, die mit keiner oder nur mit unmerklicher Ausstrahlung verbunden sind. Die Energie dieser Schwingungen, welche sehr bedeutend sein kann, würde sich dann, solange die Atome unverändert bleiben, auf keine andere Weise verrathen als durch die Trägheit, welche sie einer translatorischen Beschleunigung des schwingenden Systems entgegensetzt, und durch die offenbar damit in engem Zusammenhang stehende Gravitationswirkung. Zur weiteren Ausbildung dieser Vorstellungen reichen freilich die aus der kinetischen Gastheorie hergebrachten Anschauungen, welche die träge Masse als etwas primär Gegebenes und die chemischen Atome als starre Körper oder als einfache materielle Punkte voraussetzen, nicht mehr aus; namentlich müsste auch das Boltzmann’sche Gesetz der gleichmässigen Energievertheilung im statistischen Gleichgewicht hier seine Bedeutung verlieren. Aber dass auf dem Gebiet der intraatomistischen Vorgänge die einfachen Hypothesen der kinetischen Gastheorie tiefgreifender Ergänzungen bedürfen, wird ja schon durch den Anblick des Quecksilberspectrums nahegelegt und ist wohl allseitig anerkannt.

Wenn nach dem Gesagten die Existenz und die Grösse der latenten Energie in der Regel nur indirect aus theoretischen Überlegungen erschlossen werden kann, so giebt es doch eine bestimmte Bedingung, unter der sie direct thermodynamisch in Wirksamkeit tritt: das ist der Eintritt einer Veränderung oder Zertrümmerung der chemischen Atome; denn in diesem Falle muss nach dem Energieprincip latente Energie frei werden. So gering die Aussicht auf die Realisirung eines derartigen radicalen Vorgangs noch vor einem Decennium erscheinen mochte, so ist sie doch jetzt durch die Entdeckung der radioactiven Elemente und deren Umwandlungen in unmittelbare Nähe gerückt, und in der That liefert die Beobachtung der starken fortdauernden Wärmeentwicklung radioactiver Stoffe geradezu eine directe Stütze für die Annahme, dass die Quelle jener Wärmeentwicklung eben nichts Anderes ist als die latente Energie der Atome. Mit einer grossen latenten Energie ist nach der Beziehung (48) auch eine grosse Masse verbunden. Damit steht gut in Übereinstimmung der Umstand, dass die radioactiven Elemente ein besonders hohes Atomgewicht besitzen und auch, dass ihre Verbindungen zu den specifisch schwersten gehören.

Nach J. Precht^[19] entwickelt 1 gr Atom Radium, wenn es von einer hinreichend dicken Bleischicht umgeben ist, pro Stunde $134{,}4\cdot 225=30240\,\mathrm {gr\,cal}$. Dies ergiebt nach (48) für die Stunde eine Verminderung der Masse um

${\frac {30240\cdot 419\cdot 10^{5}}{9\cdot 10^{20}}}\mathrm {gr} =1{,}41\cdot 10^{-6}\,\mathrm {mgr}$

oder in einem Jahre eine Verminderung der Masse um 0,012 mgr. Dieser Betrag ist allerdings, besonders mit Rücksicht auf das hohe Atomgewicht des Radiums, immer noch so winzig, dass er wohl zunächst ausser dem Bereich der möglichen Erfahrung liegt.

Übrigens könnte es von vorn herein zweifelhaft erscheinen, ob für eine solche Messung die Waage das richtige Instrument ist. Denn die Beziehung (48) gilt nicht für die ponderable, sondern für die träge Masse, und es ist schon in der Einleitung hervorgehoben worden, dass diese beiden Grössen keineswegs identisch sind, wenigstens dann nicht, wenn man einer Hohlraumstrahlung im Vacuum, welche doch sicher Trägheit besitzt, keine Gravitationswirkung zuschreibt. Indessen sind nach allen unseren Erfahrungen Trägheit und Gravitation in jeder Beziehung, für die verschiedenartigsten Stoffe, von den leichtesten bis zu den schwersten, so eng mit einander verbunden, dass man wohl ohne Bedenken den Ursprung dieser beiden Wirkungen an der nämlichen Stelle suchen darf, nämlich in der latenten Energie der chemischen Atome. Nimmt man die Gravitation als direct proportional der latenten Energie an, so wäre die von der Temperatur abhängige träge Masse ein wenig, aber nur äusserst wenig grösser als die von der Temperatur ganz unabhängige ponderable Masse. In jedem Falle aber müsste sich eine merkliche Verminderung der latenten Energie auch in einer merklichen Verminderung der ponderablen Masse äussern. Ob nun ein solcher Einfluss jemals direct nachweisbar sein wird, muss ja die Zukunft lehren. Hier handelte es sich nur darum, die Consequenzen zu entwickeln, welche sich aus der Combination des Relativitätsprincips mit dem Princip der kleinsten Wirkung für die Auffassung der Trägheit ergeben.

Vierter Abschnitt.
Einführung neuer unabhängiger Variabeln.

§ 19.

Der im vorigen Abschnitt für das kinetische Potential $H$ gefundene Ausdruck (38) besitzt die nämliche Form wie der von mir in einer früheren Untersuchung^[20] für das kinetische Potential eines einzelnen bewegten materiellen Punktes mit der constanten Masse $M$ aufgestellte Ausdruck:

$-Mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}+\mathrm {const.}$

(49)

Indessen ist die Übereinstimmung keine vollständige; denn dazu wäre erforderlich, dass $M=-{\frac {H'_{0}}{c^{2}}}$, was nach der Gleichung (48) keineswegs zutrifft. Der Grund dieses scheinbaren Widerspruchs liegt darin, dass die als kinetisches Potential bezeichnete Grösse $H$ hier etwas Anderes bedeutet als dort, wie man am einfachsten aus der Betrachtung der Bewegungsgleichungen (6) erkennt. Diese Gleichungen finden sich in meiner früheren Abhandlung genau in der nämlichen Form wie hier, aber die Differenzialquotienten ${\frac {\partial H}{\partial {\dot {x}}}},\ {\frac {\partial H}{\partial {\dot {y}}}},\ {\frac {\partial H}{\partial {\dot {z}}}}$ besitzen dort eine andere Bedeutung, weil die Differenziation dort nicht isotherm-isochor, sondern adiabatisch-isobar zu erfolgen hat. Denn der materielle Punkt bewegt sich ohne Zuführung äusserer Wärme unter dem constanten äusseren Druck Null, also nach § 6 mit veränderlichem Volumen und veränderlicher Temperatur. Um den genannten Unterschied deutlich zu machen, will ich hier die frühere Grösse $H$ mit $K$ bezeichnen, so dass die Gleichungen entstehen:

$\left({\frac {\partial K}{\partial {\dot {x}}}}\right)_{p,S}=\left({\frac {\partial H}{\partial {\dot {x}}}}\right)_{V,T}$, u. s. w.

(50)

wobei nach (49):

$K=-Mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}+\mathrm {const.}$

(51)

Die vollständige Übereinstimmung dieser Beziehungen mit den Formeln des vorigen Abschnitts zeigt sich am deutlichsten, wenn wir in den Gleichungen (6) und (7) des Princips der kleinsten Wirkung ganz allgemein die unabhängigen Variabeln $V$ und $T$ durch $p$ und $S$ ersetzen. Dieselben lauten dann:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial K}{\partial {\dot {x}}}}\right)_{p,S}={\mathfrak {F}}_{x}$, u. s. w.

(52)

$\left({\frac {\partial K}{\partial p}}\right)_{S}=-V,\qquad \left({\frac {\partial K}{\partial S}}\right)_{p}=-T$,

(53)

wobei

$K=H-pV-TS$.

(54)

Dass diese Beziehungen in der That mit (6) und (7) ganz gleichbedeutend sind, erkennt man am einfachsten direct, indem man den Werth (54) von $K$ in die Gleichungen (52) und (53) substituirt und die Differenziation von $H$ bei den unabhängigen Variabeln $p$ und $S$ ersetzt durch die bei den unabhängigen Variabeln $V$ und $T$.

Bedenkt man nun, dass nach (10) und (30):

$K=q{\frac {\partial H}{\partial q}}-pV-E=qG-R$,

so folgt durch Substitution in (46):

$K=-{\frac {\sqrt {c^{2}-q^{2}}}{c}}R'_{0}$.

Um diese Beziehung mit der früher von mir gewonnenen (51) vergleichen zu können, müssen wir uns auf adiabatisch-isobare Vorgänge beschränken; denn nur für solche ist (51) abgeleitet worden. Für einen adiabatisch-isobaren Vorgang ist aber nach § 6 $V'={\frac {V}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}}$ constant, und ebenso $T'={\frac {T}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}}$ constant; also ist dann $R'_{0}$ unabhängig von $q$. Wir schreiben daher $R_{0}$ statt $R'_{0}$, und erhalten dann nach (48):

$K=-{\frac {\sqrt {c^{2}-q^{2}}}{c}}R_{0}=-Mc{\sqrt {c^{2}-q^{2}}}$

in voller Übereinstimmung mit (51).

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1. H. von Helmholtz, Wissenschaftl. Abhandl. III, S. 203, 1895.
2. H. A. Lorentz, Versl. Kon. Akad. v. Wet., Amsterdam S. 809, 1904.
3. A. Einstein, Ann. d. Phys. (4) 17, S. 891, 1905.
4. A. A. Michelson und E. W. Morley, Amer. Journ. of Science (3) 34, S. 333, 1887.
5. Kurd von Mosengeil, Ann. d. Phys. (4) 22, S. 867, 1907, giebt auf Grund einer von M. Abraham (Elektromagnetische Theorie der Strahlung. Leipzig, B. G. Teubner 1905, S. 351) für den Druck eines einzelnen Strahlenbündels auf einen bewegten Spiegel abgeleiteten Formel als Gleichung (42):

   $p={\frac {4\pi }{3c}}K(0)\left(1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}\right)^{\frac {2}{3}}$

   und als Gleichung (44):

   $\varepsilon ={\frac {4\pi }{c}}K(0){\frac {1+{\frac {q^{2}}{3c^{2}}}}{\left(1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}}}$.

   Beide Gleichungen combinirt liefern die obige Beziehung, welche übrigens allgemein gilt, nicht etwa nur für adiabatische Vorgänge.

6. Nach K. von Mosengeil, a. a. O. Gleichung (24*) ist nämlich:

   $G={\frac {16\pi q}{3c^{3}}}{\frac {K\left({\frac {\pi }{2}},q\right)}{\left(1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}\right)^{3}}}\cdot V$.

   wobei nach Gleichung (25*):

   $\varepsilon ={\frac {4\pi }{c}}K\left({\frac {\pi }{2}},q\right){\frac {1+{\frac {1}{3}}{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}{\left(1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}\right)^{3}}}$.

7. K. von Mosengeil, a. a. O. Gleichung (47) u. s. w.
8. Diese Anzahl kann auch gleich Null sein. Dann reducirt sich der Körper auf eine Hohlraumstrahlung, wie sie im vorigen Abschnitt behandelt wurde.
9. Über die Existenz einer Zustandsgleichung vergl. A. Byk, Ann. d. Phys. (4) 19, S. 441, 1906.
10. H. von Helmholtz, Ges. Abh. (Leipzig, J. A. Barth) III, S. 225, 1895. Dort ist das kinetische Potential mit dem entgegengesetzten Vorzeichen definirt.
11. Alle diese Relationen gelten übrigens auch für ein ungleichförmig bewegtes Medium, in welchem die Geschwindigkeit nach Grösse und Richtung stetig von Punkt zu Punkt variirt. In diesem Falle ist unter $V$ irgend ein unendlich kleines Volumenelement zu verstehen.
12. A. Einstein, Ann. d. Phys. (4), 17, S. 909, 1905.
13. Man sieht dies am leichtesten ein, wenn man einen beliebigen Werth $q''$ nimmt und die drei Ausdrücke ${\frac {H'}{\sqrt {c^{2}-q'^{2}}}}-{\frac {H}{\sqrt {c^{2}-q^{2}}}},{\frac {H''}{\sqrt {c^{2}-q''^{2}}}}-{\frac {H'}{\sqrt {c^{2}-q'^{2}}}}$ und ${\frac {H}{\sqrt {c^{2}-q^{2}}}}-{\frac {H''}{\sqrt {c^{2}-q''^{2}}}}$ addirt.
14. M. Planck, Vorlesungen über Wärmestrahlung (Leipzig, J. A. Barth), S. 162, 1906.
15. M. Abraham, Theorie der Elektricität, II, S. 186.
16. Vgl. K. von Mosengeil, a. a. O. § 9. Dort ist die Masse nicht, wie hier, durch die Bewegungsgrösse, sondern durch die Energie definirt.
17. Wesentlich dieselbe Folgerung hat schon A. Einstein (Ann. d. Phys. 18, S. 639, 1905) aus der Anwendung des Relativitätsprincips auf einen speciellen Strahlungsvorgang gezogen, allerdings unter der nur in erster Annäherung zulässigen Voraussetzung, dass die gesammte Energie eines bewegten Körpers sich additiv zusammensetzt aus seiner kinetischen Energie und aus seiner Energie für ein in ihm ruhendes Bezugsystem. Dort findet sich auch ein Hinweis auf eine mögliche Prüfung der Theorie durch Beobachtungen an Radiumsalzen.
18. Vergl. hierzu z. B. die Betrachtungen von E. Bose, Physikalische Zeitschrift 5, S. 356, S. 731, 1904.
19. J. Precht, Ann. d. Phys. 21, S. 599, 1906.
20. Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 8, S. 140, 1906.