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	Max Planck: Zur Dynamik bewegter Systeme

Nun ist nach (13) und (14):

${\frac {\partial H'}{\partial {\dot {y}}'}}={\frac {\partial H'}{\partial {\dot {y}}}}{\frac {\partial {\dot {y}}}{\partial {\dot {y}}'}}={\frac {\partial H'}{\partial {\dot {y}}}}{\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{c^{2}+v{\dot {x}}'}}={\frac {\partial }{\partial {\dot {y}}}}\left(H'{\sqrt {\frac {c^{2}-q^{2}}{c^{2}-q'^{2}}}}\right)$

(23)

und:

${\frac {dt'}{dt}}={\frac {c^{2}-v{\dot {x}}}{c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}}$.

Daraus folgt:

$d{\frac {\partial }{\partial {\dot {y}}}}\left(H'{\sqrt {\frac {c^{2}-q^{2}}{c^{2}-q'^{2}}}}\right)=d{\frac {\partial H}{\partial {\dot {y}}}}$

und integrirt:

${\frac {\partial }{\partial {\dot {y}}}}\left(H'{\sqrt {\frac {c^{2}-q^{2}}{c^{2}-q'^{2}}}}\right)={\frac {\partial H}{\partial {\dot {y}}}}$, ebenso: ${\frac {\partial }{\partial {\dot {z}}}}\left(H'{\sqrt {\frac {c^{2}-q^{2}}{c^{2}-q'^{2}}}}\right)={\frac {\partial H}{\partial {\dot {z}}}}$.

(24)

Die Integrationsconstante, eine absolute Constante, verschwindet, weil nur $q'=q$ $H'$ in $H$ übergeht.

§ 9.

Nun liefern die vier Gleichungen (19) und (24) integrirt:

$H'{\sqrt {\frac {c^{2}-q^{2}}{c^{2}-q'^{2}}}}=H+\mathrm {const.}$

Die Constante hängt nicht ab von $V,T,{\dot {y}},{\dot {z}}$; wohl aber kann sie noch von ${\dot {x}}$ oder, nach (14), von ${\frac {c^{2}-q^{2}}{c^{2}-q'^{2}}}$ abhängen. Wir schreiben daher:

$H'{\sqrt {\frac {c^{2}-q^{2}}{c^{2}-q'^{2}}}}=H+f\left({\frac {c^{2}-q^{2}}{c^{2}-q'^{2}}}\right)$

und bestimmen den allgemeinsten Ausdruck der Function $f$.

Zunächst haben wir:

${\frac {H'}{\sqrt {c^{2}-q'^{2}}}}-{\frac {H}{\sqrt {c^{2}-q^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {c^{2}-q^{2}}}}\cdot f\left({\frac {c^{2}-q^{2}}{c^{2}-q'^{2}}}\right)$.

(25)

Da die Function $H$ nur von $q$, $V$ und $T$ abhängt, und da $V'$ und $T'$ mit $V$ und $T$ nur durch die Beziehungen (17) verbunden sind, so ist die rechte Gleichungsseite, ebenso wie die linke, von der Form^[1]:

${\frac {1}{\sqrt {c^{2}-q^{2}}}}\cdot f\left({\frac {c^{2}-q^{2}}{c^{2}-q'^{2}}}\right)=Q'-Q$,

---

1. Man sieht dies am leichtesten ein, wenn man einen beliebigen Werth $q''$ nimmt und die drei Ausdrücke ${\frac {H'}{\sqrt {c^{2}-q'^{2}}}}-{\frac {H}{\sqrt {c^{2}-q^{2}}}},{\frac {H''}{\sqrt {c^{2}-q''^{2}}}}-{\frac {H'}{\sqrt {c^{2}-q'^{2}}}}$ und ${\frac {H}{\sqrt {c^{2}-q^{2}}}}-{\frac {H''}{\sqrt {c^{2}-q''^{2}}}}$ addirt.

Empfohlene Zitierweise:
Max Planck: Zur Dynamik bewegter Systeme. Verlag der Akademie der Wissenschaften, Berlin 1907, Seite 557. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Zur_Dynamik_bewegter_Systeme.djvu/16&oldid=- (Version vom 27.9.2019)