Seite:Zur Dynamik bewegter Systeme.djvu/15

	Max Planck: Zur Dynamik bewegter Systeme

Ehe wir die Integration vornehmen, leiten wir noch die entsprechenden Gleichungen für die Geschwindigkeitscomponenten ${\dot {y}}$ und ${\dot {z}}$ ab. Dazu müssen wir ausser den Differentialgleichungen (6) in Bezug auf das gestrichene System:

${\frac {d}{dt'}}{\frac {\partial H'}{\partial {\dot {x}}'}}={\mathfrak {F}}'_{x'},\quad {\frac {d}{dt'}}{\frac {\partial H'}{\partial {\dot {y}}'}}={\mathfrak {F}}'_{y'},\quad {\frac {d}{dt'}}{\frac {\partial H'}{\partial {\dot {z}}'}}={\mathfrak {F}}'_{z'}$

(20)

die Beziehungen zwischen den gestrichenen und den ungestrichenen Componenten der bewegenden Kraft ${\mathfrak {F}}$ benutzen. Um diese zu finden, betrachten wir zunächst einen speciellen Fall, nämlich einen unendlich kleinen, mit der Elektricitätsmenge $e$ geladenen, diathermanen festen Körper, der sich in irgend einem evacuirten elektromagnetischen Felde befindet. Dann ist für das ungestrichene System:

${\mathfrak {F}}_{x}=e{\mathfrak {E}}_{x}+{\frac {e}{c}}({\dot {y}}{\mathfrak {H}}_{z}-{\dot {z}}{\mathfrak {H}}_{y})$ ${\mathfrak {F}}_{y}=e{\mathfrak {E}}_{y}+{\frac {e}{c}}({\dot {z}}{\mathfrak {H}}_{x}-{\dot {x}}{\mathfrak {H}}_{z})$ ${\mathfrak {F}}_{z}=e{\mathfrak {E}}_{z}+{\frac {e}{c}}({\dot {x}}{\mathfrak {H}}_{y}-{\dot {y}}{\mathfrak {H}}_{x})$,

wobei ${\mathfrak {E}}$ die elektrische, ${\mathfrak {H}}$ die magnetische Feldintensität bezeichnet. Die nämlichen Gleichungen gelten nach dem Relativitätsprincip, wenn man sämmtliche Grössen, ausser $e$ und $c$, mit Strichen versieht. Daraus ergeben sich mit Rücksicht auf die Relationen (13) sowie auf die Beziehungen^[1]:

${\begin{array}{cc}{\mathfrak {E}}'_{x'}={\mathfrak {E}}_{x}&{\mathfrak {H}}'_{x'}={\mathfrak {H}}_{x}\\{\mathfrak {E}}'_{y'}={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}\left({\mathfrak {E}}_{y}-{\frac {v}{c}}{\mathfrak {H}}_{z}\right)&{\mathfrak {H}}'_{y'}={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}\left({\mathfrak {H}}_{y}+{\frac {v}{c}}{\mathfrak {E}}_{z}\right)\\{\mathfrak {E}}'_{z'}={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}\left({\mathfrak {E}}_{z}+{\frac {v}{c}}{\mathfrak {H}}_{y}\right)&{\mathfrak {H}}'_{z'}={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}\left({\mathfrak {H}}_{z}-{\frac {v}{c}}{\mathfrak {E}}_{y}\right)\end{array}}$

die folgenden Gleichungen zwischen den gestrichenen und den ungestrichenen Kraftcomponenten:

${\mathfrak {F}}'_{x'}={\mathfrak {F}}_{x}-{\frac {v{\dot {y}}}{c^{2}-v{\dot {x}}}}{\mathfrak {F}}_{y}-{\frac {v{\dot {z}}}{c^{2}-v{\dot {x}}}}{\mathfrak {F}}_{z}$,

(21)

${\mathfrak {F}}'_{y'}={\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{c^{2}-v{\dot {x}}}}{\mathfrak {F}}_{y},\qquad {\mathfrak {F}}'_{z'}={\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{c^{2}-v{\dot {x}}}}{\mathfrak {F}}_{z}$.

(22)

Die beiden letzten Beziehungen (22) nehmen wir als allgemein gültig an; sie liefern mit (6) und (20) combinirt:

${\frac {d}{dt'}}{\frac {\partial H'}{\partial {\dot {y}}'}}={\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{c^{2}-v{\dot {x}}}}{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial H}{\partial {\dot {y}}}}$.

---

1. A. Einstein, Ann. d. Phys. (4), 17, S. 909, 1905.

Empfohlene Zitierweise:
Max Planck: Zur Dynamik bewegter Systeme. Verlag der Akademie der Wissenschaften, Berlin 1907, Seite 556. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Zur_Dynamik_bewegter_Systeme.djvu/15&oldid=- (Version vom 27.9.2019)