Seite:Zur Dynamik bewegter Systeme.djvu/17

	Max Planck: Zur Dynamik bewegter Systeme

wobei $Q$ allein von $q$ abhängt. Daraus folgt nothwendig:

${\frac {1}{\sqrt {c^{2}-q^{2}}}}\cdot f\left({\frac {c^{2}-q^{2}}{c^{2}-q'^{2}}}\right)={\frac {C}{\sqrt {c^{2}-q'^{2}}}}-{\frac {C}{\sqrt {c^{2}-q^{2}}}}$,

wenn $C$ eine absolute Constante bedeutet.

Dies in (25) substituirt ergiebt als gesuchte Beziehung zwischen $H'$ und $H$:

${\frac {H'-C}{\sqrt {c^{2}-q'^{2}}}}={\frac {H-C}{\sqrt {c^{2}-q^{2}}}}$.

Da nun die Function $H-C$ genau den nämlichen Differentialgleichungen (6) und (7) genügt wie die Function $H$, so können wir uns ohne Weiteres in alle vorhergehenden Gleichungen statt $H$ die Function $H-C$ gesetzt denken, und wollen fortan den letzteren Ausdruck einfach mit $H$ bezeichnen. Dann ergiebt sich:

${\frac {H'}{\sqrt {c^{2}-q'^{2}}}}={\frac {H}{\sqrt {c^{2}-q^{2}}}}$.

(26)

Mit anderen Worten: Wenn die Constante $C=0$ gesetzt wird, so bedeutet das keinerlei physikalische Einschränkung, sondern nur eine zweckmässige Ergänzung der Definition des kinetischen Potentials, welche durch die Differentialgleichungen (6) und (7), wie schon dort hervorgehoben wurde, noch nicht vollkommen eindeutig festgelegt wird.

§ 10.

Nachdem nun die allgemeine Beziehung zwischen $H'$ und $H$ gefunden ist, ergiebt sich direct aus den Differentialgleichungen des Princips der kleinsten Wirkung der Zusammenhang der Werthe, welche irgend eine physikalische Grösse für die beiden von uns benutzten Bezugsysteme besitzt. Betrachten wir zunächst die Bewegungsgrösse, deren Componenten im gestrichenen System sind:

${\mathfrak {G}}'_{x'}={\frac {\partial H'}{\partial {\dot {x}}'}},\qquad {\mathfrak {G}}'_{y'}={\frac {\partial H'}{\partial {\dot {y}}'}},\qquad {\mathfrak {G}}'_{z'}={\frac {\partial H'}{\partial {\dot {z}}'}}$.

(27)

Während sich der Zusammenhang der $y$- und $z$-Componenten der Bewegungsgrösse direct aus der Vergleichung mit (8) und (13) als

${\mathfrak {G}}'_{y'}={\mathfrak {G}}_{y},\qquad {\mathfrak {G}}'_{z'}={\mathfrak {G}}_{z}$

(28)

ergiebt, ist der zwischen den $x$-Componenten ${\mathfrak {G}}'_{x'}$ und ${\mathfrak {G}}_{x}$ wesentlich verwickelterer Natur.

Zunächst erhalten wir hierfür nach (27) in leicht verständlicher Bezeichnung:

${\mathfrak {G}}'_{x'}={\frac {\partial H'}{\partial {\dot {x}}}}{\frac {\partial {\dot {x}}}{\partial {\dot {x}}'}}+{\frac {\partial H'}{\partial {\dot {y}}}}{\frac {\partial {\dot {y}}}{\partial {\dot {x}}'}}+{\frac {\partial H'}{\partial {\dot {z}}}}{\frac {\partial {\dot {z}}}{\partial {\dot {x}}'}}+{\frac {\partial H'}{\partial V}}{\frac {\partial V}{\partial {\dot {x}}'}}+{\frac {\partial H'}{\partial T}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}'}}$,

Empfohlene Zitierweise:
Max Planck: Zur Dynamik bewegter Systeme. Verlag der Akademie der Wissenschaften, Berlin 1907, Seite 558. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Zur_Dynamik_bewegter_Systeme.djvu/17&oldid=- (Version vom 27.9.2019)