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	Max Planck: Zur Dynamik bewegter Systeme

Dabei ist nach (26), (14) und (13):

${\frac {\partial H'}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {\partial }{\partial {\dot {x}}}}\left(H{\sqrt {\frac {c^{2}-q'^{2}}{c^{2}-q^{2}}}}\right)={\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{c^{2}-v{\dot {x}}}}{\frac {\partial H}{\partial {\dot {x}}}}+{\frac {vc{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{(c^{2}-v{\dot {x}})^{2}}}H$ ${\frac {\partial H'}{\partial {\dot {y}}}}={\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{c^{2}-v{\dot {x}}}}{\frac {\partial H}{\partial {\dot {y}}}},\qquad {\frac {\partial H'}{\partial {\dot {z}}}}={\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{c^{2}-v{\dot {x}}}}{\frac {\partial H}{\partial {\dot {z}}}}$ ${\frac {\partial H'}{\partial V}}={\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{c^{2}-v{\dot {x}}}}{\frac {\partial H}{\partial V}},\qquad {\frac {\partial H'}{\partial T}}={\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{c^{2}-v{\dot {x}}}}{\frac {\partial H}{\partial T}}$ ${\frac {\partial {\dot {x}}}{\partial {\dot {x}}'}}={\frac {(c^{2}-v{\dot {x}})^{2}}{c^{2}(c^{2}-v^{2})}},\qquad {\frac {\partial {\dot {y}}}{\partial {\dot {x}}'}}=-{\frac {v{\dot {y}}(c^{2}-v{\dot {x}})}{c^{2}(c^{2}-v^{2})}},\qquad {\frac {\partial {\dot {z}}}{\partial {\dot {x}}'}}=-{\frac {v{\dot {z}}(c^{2}-v{\dot {x}})}{c^{2}(c^{2}-v^{2})}}$ ${\frac {\partial V}{\partial {\dot {x}}'}}=-{\frac {v(c^{2}-v{\dot {x}})}{c^{2}(c^{2}-v^{2})}}V,\qquad {\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}'}}=-{\frac {v(c^{2}-v{\dot {x}})}{c^{2}(c^{2}-v^{2})}}T$.

Dies ergiebt durch Substitution mit Rücksicht auf (8) und (7):

${\mathfrak {G}}'_{x'}={\frac {1}{c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}}\{(c^{2}-v{\dot {x}}){\mathfrak {G}}_{x}+vH-v{\dot {y}}{\mathfrak {G}}_{y}-v{\dot {z}}{\mathfrak {G}}_{z}-vpV-vTS\}$

oder mit Einführung der Energie $E$ aus (10):

${\mathfrak {G}}'_{x'}={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}\left({\mathfrak {G}}_{x}-{\frac {v(E+pV)}{c^{2}}}\right)$.

(29)

Wenn man statt der Energie $E$ die Gibbs’sche „Wärmefunction bei constantem Druck“ $R$ einführt:

$R=E+pV$,

(30)

deren Änderung bei isobaren Processen die zugeführte Wärme angiebt, so lautet die letzte Beziehung einfacher:

${\mathfrak {G}}'_{x'}={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}\left({\mathfrak {G}}_{x}-{\frac {v}{c^{2}}}R\right)$.

(31)

§ 11.

Differenziirt man die Gleichung (29) nach der Zeit $t$:

${\frac {d{\mathfrak {G}}'_{x'}}{dt}}={\frac {d{\mathfrak {G}}'_{x'}}{dt'}}\cdot {\frac {dt'}{dt}}={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}\left\{{\frac {d{\mathfrak {G}}_{x}}{dt}}-{\frac {v}{c^{2}}}\left({\frac {dE}{dt}}+p{\frac {dV}{dt}}+V{\frac {dp}{dt}}\right)\right\}$,

so folgt daraus mit Berücksichtigung von (27), (20), (14) und (11) die Beziehung zwischen den $x$-Componenten der Kraft ${\mathfrak {F}}$, nämlich:

${\mathfrak {F}}'_{x'}={\mathfrak {F}}_{x}-{\frac {v}{c^{2}-v{\dot {x}}}}({\mathfrak {F}}_{y}{\dot {y}}+{\mathfrak {F}}_{z}{\dot {z}}+V{\dot {p}}+T{\dot {S}})$.

(32)

Vergleicht man diese Beziehung mit der oben gefundenen (21), so ergiebt sich, dass jene keine allgemeine Bedeutung besitzt, sondern nur dann immer gilt, wenn ${\dot {p}}=0$ und ${\dot {S}}=0$, d. h. wenn der Process isobar und adiabatisch verläuft. In der That ist diese Eigenschaft

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Max Planck: Zur Dynamik bewegter Systeme. Verlag der Akademie der Wissenschaften, Berlin 1907, Seite 559. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Zur_Dynamik_bewegter_Systeme.djvu/18&oldid=- (Version vom 27.9.2019)