Zur Theorie der Strahlung bewegter Körper

Zur Theorie der Strahlung bewegter Körper

von

Dr. Fritz Hasenöhrl.

(Mit 2 Textfiguren.)

(Vorgelegt in der Sitzung am 23. Juni 1904.)

Bewegt sich eine strahlende Fläche mit gleichförmiger Geschwindigkeit in derselben Richtung wie die von ihr ausgesandte Strahlung, so muß zur Überwindung des von letzterer ausgeübten Druckes beständig Arbeit geleistet werden. Diese Arbeit verwandelt sich nun gleichfalls in Strahlungsenergie, so daß also von einer in diesem Sinne bewegten Fläche um diesen Betrag mehr Energie ausgeht als von einer ruhenden. Bewegt sich hingegen die Fläche in der der ausgesandten Strahlung entgegengesetzten Richtung, so leistet letztere stets Arbeit und es geht dann von der bewegten Fläche um diesen Betrag weniger Energie aus als von einer ruhenden.

Bewegt sich andrerseits eine absorbierende Fläche so, daß sie vor der auffallenden Strahlung zurückweicht, so leistet letztere beständig Arbeit; die Fläche kann daher nur um das Äquivalent der letzteren weniger Strahlung absorbieren, d. h. in innern Wärmeinhalt verwandeln. Bewegt sich hingegen die absorbierende Fläche der auffallenden Strahlung entgegen, so muß beständig von außen Arbeit gegen den Druck der Strahlung geleistet werden. Diese Arbeit kann nur als Wärme in der absorbierenden Fläche auftreten. Die Wirkung der Bewegung ist also in diesem Falle die, daß die Fläche um den Betrag der geleisteten Arbeit mehr Wärme absorbiert.

Diese Auffassungsweise ist bereits von verschiedenen Autoren^[1] ausgesprochen worden.

Im folgenden habe ich nun versucht, diese Sätze auf die Strahlung in einem bewegten Hohlraum anzuwenden. Außer der von den Wänden desselben gelieferten Strahlung muß sich in demselben auch Strahlungsenergie befinden, die aus mechanischer Arbeit gewonnen ist und wieder in solche verwandelt wird. Dieselbe ist wesentlich durch die Bewegung des Hohlraumes bedingt; ihr Betrag ist, wie sich zeigen wird, dem Quadrat der Geschwindigkeit des Systems proportional (in erster Annäherung), vermehrt also scheinbar die kinetische Energie des Systems. Es liegen also hier Verhältnisse vor, welche der Bewegung eines Elektrons ganz analog sind. Ebenso wie dort der Begriff »elektromagnetische Masse« eingeführt wird, könnte man auch hier von einer »scheinbaren Masse« sprechen, die durch die Strahlung bedingt ist. Ebenso wie die elektromagnetische Masse der statischen Energie des ruhenden Elektrons proportional ist, ist auch die durch Strahlung bedingte scheinbare Masse dem Energieinhalte des ruhenden Hohlraumes proportional. Und zwar ist der Proportionalitätsfaktor in beiden Fällen von derselben Größenordnung. Da nun der Wärmeinhalt jedes Körpers zum Teil aus Strahlungsenergie besteht, muß auch jeder Körper eine solche scheinbare, von der Temperatur abhängige Masse besitzen, die sich zu der Masse in gewöhnlichem Sinn addiert.

1.

Wir betrachten nun einen zylindrischen Hohlraum $R$, der sich mit konstanter Geschwindigkeit $c$ in der Richtung des Pfeiles bewegt (Fig. 1). Sei ${\mathfrak {B}}$ die Geschwindigkeit des Lichtes und $\sigma ={\frac {c}{\mathfrak {B}}}$. Ferner seien $A$ und $B$ zwei schwarze Flächen. Die Mantelfläche des Hohlraumes sowie die äußere Begrenzung der schwarzen Körper sei durch nach innen vollkommen spiegelnde Flächen gebildet. Der Querschnitt des Raumes $R$ sei gleich 1, seine Höhe gleich $D$. Der Außenraum sei ganz frei von Strahlung, also auf der absoluten Temperatur Null, während den Flächen $A$ und $B$ eine bestimmte Temperatur zukommen soll.

Fig. 1.

Wir haben jetzt zwischen absoluter und relativer Strahlenrichtung zu unterscheiden;^[2] es ist bequemer, unserer Betrachtung die letztere zu Grunde zu legen.

Sei nun

$2\pi \ i_{0}\ \cos \phi \ \sin \phi \ d\phi$

die Energiemenge, die $A$ in der Zeiteinheit in der relativen Richtung zwischen $\phi$ und $\phi +d\phi$ aussendet, wobei $\phi$ also der Winkel ist, den die relative Strahlenrichtung mit der Normalen (und mit der Richtung der Geschwindigkeit $c$) einschließt. $i_{1}$ muß dann (bezüglich $\phi$) eine Konstante sein, wie ich bereits in einer frühern Arbeit hervorgehoben habe.^[3] Diese Strahlung übt nun auf $A$ einen Druck aus, dessen in die Richtung der Normalen (im Sinne von $-c$) fallende Komponente den Wert

$2\pi \ p_{1}\ \cos \phi \ \sin \phi \ d\phi$

haben möge. Multiplizieren wir diesen Ausdruck mit $c$, so erhalten wir die Arbeit, die in einer Sekunde von außen gegen diesen Druck geleistet wird, welche nun auch in Strahlung verwandelt wird, so daß also die gesamte Strahlung, welche $A$ in der gegebenen Richtung verläßt, den Wert

$2\pi (i_{0}+p_{1}c)\ \cos \phi \ \sin \phi \ d\phi =2\pi \ i\ \cos \phi \ sin\phi \ d\phi$

hat. Dieser Ausdruck gibt uns nun auch den Betrag der in der Zeiteinheit auf $B$ fallenden Strahlung an. Von derselben wird dort ein Teil absorbiert, ein Teil in Arbeit verwandelt. Falls $B$ auf der absoluten Temperatur Null befindlich wäre, so wäre die eben betrachtete Strahlung die einzige in $R$ befindliche. Da in diesem Falle keine Widerstandskraft gegen die Bewegung unseres Systems zu erwarten ist, muß in $A$ und $B$ derselbe Druck nach entgegengesetzten Richtungen wirksam sein, so daß im ganzen keine Arbeit geleistet wird. Es wird also in $B$ die Energiemenge

$2\pi \ i_{0}\ \cos \phi \ \sin \phi \ d\phi$

absorbiert und die Energiemenge

$2\pi \ p_{1}\ \cos \phi \ \sin \phi \ d\phi \cdot c$

in mechanische Arbeit verwandelt.

Denken wir uns nun $B$ auf derselben Temperatur wie $A$ befindlich, so gibt auch $B$ in einer bestimmten Richtung die Energie

$2\pi \ i_{0}\ \cos \phi \ \sin \phi \ d\phi$

ab. Übt diese Strahlung den Druck $2\pi p_{2}\cos \phi \ \sin \phi \ d\phi$ aus, so leistet sie Arbeit, um deren Betrag die von $B$ gelieferte Energie zu vermindern ist, so daß also $B$ von der Strahlungsmenge

$2\pi (i_{0}-p_{2}c)\cos \phi \ \sin \phi \ d\phi =2\pi i'\cos \phi \ \sin \phi \ d\phi$

verlassen wird. Dieselbe Energiemenge fällt in $A$ auf und zwar lehrt eine der frühern ganz analoge Betrachtung, daß dortselbst die Energiemenge

$2\pi i_{0}\cos \phi \ \sin \phi \ d\phi$

absorbiert wird, weil gegen die auffallende Strahlung von außen die Arbeit $2\pi p_{2}\cos \phi \ \sin \phi \ d\phi$ geleistet werden muß, die sich gleichfalls in Wärme verwandelt.

Es wird also von beiden Körpern $A$ und $B$ gleichviel absorbiert, wie emittiert; auf beiden Flächen lastet (in entgegengesetzter Richtung) derselbe Druck

$2\pi (p_{1}+p_{2})\cos \phi \ \sin \phi \ d\phi ,$

so daß in Summe keine Arbeit geleistet wird. Wenn also keine äußern Kräfte wirken, behält das System seine Geschwindigkeit bei.

Falls der eine der Körper $A$ oder $B$ durch einen vollkommenen Spiegel ersetzt wird, muß der Strahlungszustand in $R$ genau derselbe bleiben,^[4] es ist also unter anderm dann auch $2\pi (p_{1}+p_{2})\cos \phi \ \sin \phi \ d\phi$ der Druck auf den Spiegel.

Wir fragen uns nun nach dem Energieinhalte des Raumes $R$. Die von $A$ nach $B$ gehende Strahlung hat die relative Geschwindigkeit:^[5]

${\mathfrak {B}}(-\sigma \cos \phi +{\sqrt {1-\sigma ^{2}\sin ^{2}\phi }}={\mathfrak {B}}_{-}.$

Die von $B$ nach $A$ gelangende Strahlung hat die Geschwindigkeit

${\mathfrak {B}}(+\sigma \cos \phi +{\sqrt {1-\sigma ^{2}\sin ^{2}\phi }}={\mathfrak {B}}_{+},$

beide haben den Weg ${\frac {D}{\cos \phi }}$ zurückzulegen, also ist der gesamte Energieinhalt des Raumes $R$

${\overset {\pi /2}{\int _{0}}}{\frac {D}{\cos \phi }}\left[{\frac {2\pi (i_{0}+p_{1}c)\cos \phi \sin \phi \ d\phi }{{\mathfrak {B}}_{-}}}+{\frac {2\pi (i_{0}-p_{2}c)\cos \phi \sin \phi \ d\phi }{{\mathfrak {B}}_{+}}}\right]$ $=2\pi i_{0}D\int _{0}^{\pi /2}\sin \phi \ d\phi \left({\frac {1}{{\mathfrak {B}}_{-}}}+{\frac {1}{{\mathfrak {B}}_{+}}}\right)+$ $+2\pi cD\int _{0}^{\pi /2}\sin \phi \ d\phi \left({\frac {p_{1}}{{\mathfrak {B}}_{-}}}-{\frac {p_{2}}{{\mathfrak {B}}_{+}}}\right).$

(1)

Der erste der beiden Summanden gibt den Teil der Energie des Raumes $R$ an, der von den schwarzen Körpern geliefert wurde. Mit demselben hat sich meine bereits zitierte Arbeit beschäftigt.

Der zweite Summand repräsentiert dagegen Strahlungsenergie, welche aus mechanischer Arbeit gewonnen ist. Da bei gleichförmiger Bewegung, wie wir sahen, keine Arbeit geleistet wird, muß dies eine Arbeit sein, welche bei Beschleunigung unseres Systems geleistet werden muß.

Man kann den Betrag dieser Energiemenge auch leicht auf folgende Weise bestimmen. Denken wir uns unser System in absoluter Ruhe, die beiden schwarzen Flächen $A$ und $B$ irgendwie am Ausstrahlen gehindert; den Raum $R$ also ganz frei von Strahlung. Es soll nun in einem Augenblicke der Strahlung von $A$ und $B$ freie Bahn gelassen werden und gleichzeitig das System in verschwindend kurzer Zeit auf die Geschwindigkeit $c$ gebracht werden. Von diesem Augenblick an muß gegen die von $A$ ausgehende Strahlung die Arbeit $2\pi p_{1}\cos \phi \ \sin \phi \ d\phi \cdot c$ in der Zeiteinheit geleistet werden. Es vergeht nun die Zeit ${\frac {D}{{\mathfrak {B}}_{-}\cos \phi }}$, bis diese Strahlung in $B$ anlangt und dort ihrerseits das gleiche Arbeitsquantum liefert. Während dieser Zeit ist die von außen gelieferte Arbeit also unkompensiert. Ebenso leistet die von $B$ ausgehende Strahlung gleich von Beginn an die Arbeit $2\pi p_{2}\cos \phi \ \sin \phi \ d\phi \cdot c$ und es vergeht jetzt die Zeit ${\frac {D}{{\mathfrak {B}}_{+}\cos \phi }}$, bis diese Strahlung in $A$ anlangt und dort die gleiche Arbeit im entgegengesetzten Sinne von außen her geleistet werden muß. Es wurde also von außen her um

${\frac {D}{\cos \phi \cdot {\mathfrak {B}}_{-}}}2\pi p_{1}\cos \phi \sin \phi \ d\phi \cdot c-{\frac {D}{\cos \phi \cdot {\mathfrak {B}}_{+}}}2\pi p_{2}\cos \phi \sin \phi \ d\phi \cdot c$

mehr Arbeit geleistet, als aus der Strahlung gewonnen. Integrieren wir diesen Betrag über alle Strahlungsrichtungen, so erhalten wir den obigen Ausdruck.

Falls unser System zu Anfang in Ruhe befindlich, die Flächen $A$ und $B$ jedoch nicht gehindert waren, Strahlung zu emittieren, befindet sich auch zu Anfang in $R$ Strahlungsenergie in bestimmtem Betrage. Die obige Überlegung deutet an, daß diese Energie ganz absorbiert und nicht in Arbeit verwandelt wird. Und zwar läßt sich dies auch direkt zeigen, wenn man für $p_{1}$ und $p_{2}$ ihre Werte einführt, die wir im folgenden Abschnitt angeben werden. Um den Gang der Untersuchung nicht zu unterbrechen, verlege ich den Beweis dieses Satzes in den § 4 dieser Abhandlung. Es ist also im Ausdruck (1) der erste Summand die von den strahlenden Körpern gelieferte Energie, der zweite die aus Arbeit entstandene. Wir bezeichnen letztere mit $L$, setzen also

$L=2\pi cD\int _{0}^{\pi /2}\sin \phi \ d\phi \left({\frac {p_{1}}{{\mathfrak {B}}_{-}}}-{\frac {p_{2}}{{\mathfrak {B}}_{+}}}\right).$

(2)

2.

Wir wollen nun für die Größen $p_{1}$ und $p_{2}$, die wir vorläufig unbestimmt ließen, ihren Wert einführen. Derselbe ist allgemein wohl zuerst von M. Abraham in seinen bereits zitierten Abhandlungen angegeben worden. Und zwar sind diese Werte aus der Lorentz’schen Theorie des Elektromagnetismus abgeleitet. Da man auch auf andrem Wege zu denselben Ausdrücken gelangt (siehe § 3 der vorliegenden Arbeit), erscheint ihre Richtigkeit noch wahrscheinlicher. Nach Abraham ist der Strahlungsdruck auf eine Fläche numerisch gleich der auffallenden oder ausgesandten Strahlung dividiert durch die Lichtgeschwindigkeit, und zwar wirkt dieser Druck in der absoluten Richtung der Strahlung. Sei $\varphi$ der Winkel, welchen die absolute Richtung der unter dem relativen Winkel $\phi$ ausgesandten Strahlung mit der Richtung von $c$ einschließt. Dann ist die früher mit $p_{1}$ bezeichnete Größe

$p_{1}={\frac {1}{\mathfrak {B}}}i\ \cos \varphi ,$

da wir ja unter $p_{1}$ die – allein wirksame – normale Druckkomponente verstanden. Eine Beziehung zwischen $\varphi$ und $\phi$ erhält man leicht aus nachstehender Figur 2, welche mit Fig. 1 meiner zitierten Abhandlung im wesentlichen identisch ist und welche wohl keiner weitem Erklärung bedarf.

Es ist:

${\mathfrak {B}}_{-}={\sqrt {{\mathfrak {B}}^{2}+c^{2}-2{\mathfrak {B}}c\ \cos \ \varphi }}={\mathfrak {B}}{\sqrt {1+\sigma ^{2}-2\sigma \ \cos \ \varphi }}=$ $={\mathfrak {B}}\left(-\sigma \ \cos \phi +{\sqrt {1-\sigma ^{2}\sin ^{2}\ \phi }}\right),$

woraus sich die Beziehungen:

$\cos \phi ={\frac {1-\sigma \ \cos \varphi }{\sqrt {1+\sigma ^{2}-2\sigma \ \cos \ \varphi }}}$

und

$\cos \ \varphi =\sigma \sin ^{2}\phi +\cos \phi {\sqrt {1-\sigma ^{2}\sin ^{2}\ \phi }}$

(3)

ergeben.

Fig. 2.

Es ist also:

$p_{1}={\frac {i}{\mathfrak {B}}}\left(\sigma \sin ^{2}\phi +\cos \phi {\sqrt {1-\sigma ^{2}\sin ^{2}\phi }}\right);$

(4)

setzen wir dies in die Gleichung $i=i_{0}+p_{1}c$ ein, so folgt

$i=i_{0}{\frac {\mathfrak {B}}{{\mathfrak {B}}_{-}{\sqrt {1-\sigma ^{2}\sin ^{2}\phi }}}}$

(5)

und

$p_{1}=i_{0}{\frac {\sigma \sin ^{2}\phi +\cos \phi {\sqrt {1-\sigma ^{2}\sin ^{2}\phi }}}{{\mathfrak {B}}_{-}{\sqrt {1-\sigma ^{2}\sin ^{2}\phi }}}}=$ $=i_{0}{\frac {\cos \phi +\sigma {\sqrt {1-\sigma ^{2}\sin ^{2}\phi }}}{{\mathfrak {B}}(1-\sigma ^{2}){\sqrt {1-\sigma ^{2}\sin ^{2}\phi }}}}.$

(6)

Ganz analog ergibt sich:

$i'=i_{0}{\frac {\mathfrak {B}}{{\mathfrak {B}}_{+}{\sqrt {1-\sigma ^{2}\sin ^{2}\phi }}}}$

(7)

und

$p_{2}={\frac {i'}{B}}\left(-\sigma \sin ^{2}\phi +\cos \phi {\sqrt {1-\sigma ^{2}\sin ^{2}\phi }}\right)$

(8)

oder

$p_{2}=i_{0}{\frac {-\sigma \sin ^{2}\phi +\cos \phi {\sqrt {1-\sigma ^{2}\sin ^{2}\phi }}}{{\mathfrak {B}}_{+}{\sqrt {1-\sigma ^{2}\sin ^{2}\phi }}}}=$ $=i_{0}{\frac {\cos \phi -\sigma {\sqrt {1-\sigma ^{2}\sin ^{2}\phi }}}{{\mathfrak {B}}(1-\sigma ^{2}){\sqrt {1-\sigma ^{2}\sin ^{2}\phi }}}}.$

(9)

Setzen wir dies in (2) ein, so wird:

$L=2\pi cDi_{0}\cdot \int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin \phi \ d\phi }{{\mathfrak {B}}(1-\sigma ^{2}){\sqrt {1-\sigma ^{2}\sin ^{2}\phi }}}}$ $\left[\cos \ \phi \left({\frac {1}{{\mathfrak {B}}_{-}}}-{\frac {1}{{\mathfrak {B}}_{+}}}\right)+\sigma {\sqrt {1-\sigma ^{2}\sin ^{2}\phi }}\left({\frac {1}{{\mathfrak {B}}_{-}}}+{\frac {1}{{\mathfrak {B}}_{+}}}\right)\right]=$ $={\frac {4\pi cDi_{0}\sigma }{{\mathfrak {B}}^{2}(1-\sigma ^{2})^{2}}}\int _{0}^{\pi /2}\sin \phi \ d\phi {\frac {1+\cos ^{2}\phi -\sigma ^{2}\sin ^{2}\phi }{\sqrt {1-\sigma ^{2}\sin ^{2}\phi }}}.$

Setzen wir noch den Energieinhalt des ruhenden Hohlraumes $R$

${\frac {4\pi i_{0}D}{\mathfrak {B}}}=E_{0},$

so wird nach Durchführung der Integration

$L=E_{0}{\frac {c^{2}}{{\mathfrak {B}}^{2}}}{\frac {1}{(1-\sigma ^{2})^{2}}}\left[{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}-{\frac {(1-\sigma ^{2})^{2}}{4\sigma ^{3}}}\log {\frac {1+\sigma }{1-\sigma }}\right].$

Vernachlässigen wir hierin Größen von der Ordnung $\sigma ^{3}$, so wird

$L=E_{0}{\frac {c^{2}}{B^{2}}}\cdot {\frac {4}{3}}.$

Dieser Ausdruck hat nun die Form und die Dimension einer kinetischen Energie. Man kann also sagen, daß die kinetische Energie unseres Systems scheinbar um $L$ vergrößert wurde oder auch, daß zur mechanischen Masse unseres Systems noch eine scheinbare Masse

$\mu ={\frac {8}{3}}{\frac {E_{0}}{{\mathfrak {B}}^{2}}}$

hinzugekommen ist. Und zwar ist die Einführung dieser Masse ganz analog der der elektromagnetischen Masse. Bezeichnen wir für den Augenblick die Energie eines ruhenden Elektrons mit $\epsilon _{0}$, so ist die elektromagnetische Masse desselben gleich ${\frac {4}{3}}{\frac {\epsilon _{0}}{{\mathfrak {B}}^{2}}}$ oder ${\frac {8}{5}}{\frac {\epsilon _{0}}{{\mathfrak {B}}^{2}}}$,^[6] je nachdem man es mit Flächen- oder Volumenladung zu tun hat. Der Größenordnung nach ist also das Verhältnis dasselbe. Auch die exakten Ausdrücke haben eine gewisse Ähnlichkeit, da in beiden die Größe $\log {\frac {1+\sigma }{1-\sigma }}$ eine Rolle spielt.

3.

In diesem Abschnitte möchte ich noch einige Bemerkungen über den Wert des Strahlungsdruckes machen.

Der gesamte Druck, der auf einer der Flächen $A$ oder $B$ lastet, gleichgültig, ob dieselbe schwarz oder spiegelnd gedacht ist, hat den Wert

${\begin{array}{ll}P&=2\pi (p_{1}+p_{2})\cos \phi \ \sin \phi \ d\phi \\\\&=4\pi i_{0}{\frac {\cos ^{2}\phi \ \sin \phi \ d\phi }{{\mathfrak {B}}(1-\sigma ^{2}){\sqrt {1-\sigma ^{2}\sin ^{2}\phi }}}}.\end{array}}$

Wir wollen nun hierin die Dichte der Strahlung $\rho$ einführen, welche etwa auf $B$ fällt. Es ist

$\rho ={\frac {2\pi i\ \sin \phi \ d\phi }{{\mathfrak {B}}_{-}}}={\frac {2\pi i_{0}\ \sin \phi \ d\phi \cdot {\mathfrak {B}}}{{\mathfrak {B}}_{-}^{2}{\sqrt {1-\sigma ^{2}\sin ^{2}\phi }}}}$

(es ergibt sich dies aus (5)).

Es ist also

$P=2\rho {\frac {{\mathfrak {B}}_{-}^{2}\cos ^{2}\phi }{{\mathfrak {B}}^{2}(1-\sigma ^{2})}}.$

Wollen wir nun hierin wieder die absolute Strahlenrichtung einführen, so benützen wir die sich aus Fig. 2 sofort ergebende Relation

${\mathfrak {B}}_{-}cos\phi ={\mathfrak {B}}\ cos\varphi -c={\mathfrak {B}}(\cos \ \varphi -\sigma ).$

Und es wird

$P=2\rho {\frac {(\cos \ \varphi -\sigma )^{2}}{1-\sigma ^{2}}},$

ein Ausdruck, der ebenfalls schon von Abraham^[7] angegeben wurde.

Es läßt sich nun durch Verallgemeinerung eines Gedankens, den zuerst Larmor^[8] ausgesprochen hat, dasselbe Resultat vom Standpunkt der elastischen Lichttheorie ableiten, was ich in Kürze hier zeigen möchte.

Wir betrachten eine Lichtwelle, welche sich unter dem (absoluten) Winkel $i$ gegen die $X$-Achse bewegt. Dieselbe ist gegeben durch

$\zeta =A\cos \ m(x\ \cos \ i+y\ \sin \ i+{\mathfrak {B}}t).$

Fällt diese Welle auf einen Spiegel, der senkrecht zur $X$-Achse liegt, so bildet sich eine reflektierte Welle, die durch

$\zeta '=A'\cos \ m'(x\ \cos \ r-y\ \sin \ r-{\mathfrak {B}}t)$

gegeben ist. Hierin ist $r$ der Reflexionswinkel.

An der Oberfläche des Spiegels muß $\zeta +\zeta '=0$ sein. Bewegt sich derselbe mit der Geschwindigkeit $c$ in der Richtung seiner Normalen, also in der Richtung der positiven $X$-Achse, so muß also für

$x=ct,\ \zeta +\zeta '=0$

sein.

Dies liefert

$A\ cos\ m[t({\mathfrak {B}}+c\ \cos \ i)+y\ \sin \ i]+$ $+A'\cos \ m'[t(c\ \cos \ r-{\mathfrak {B}})-y\ \sin \ r]=0.$

Diese Gleichung kann nur dann für alle Werte von $y$ und $t$ erfüllt sein, wenn

${\begin{array}{rl}A=&-A',\\m({\mathfrak {B}}+c\ \cos \ i)=&m'({\mathfrak {B}}-c\ \cos \ r),\\m\ \sin i=&m'\ \sin r.\end{array}}$

Diese Gleichungen liefern uns das Reflexionsgesetz

${\frac {\sin \ i}{1+\sigma \ \cos \ i}}={\frac {\sin \ r}{1-\sigma \ \cos \ r}}$

(10)

und den Dopplereffekt

${\frac {m'}{m}}={\frac {1+\sigma \ \cos \ i}{1-\sigma \ \cos \ r}}$

in voller Übereinstimmung mit Abraham. Gleichung (10) ergibt sich übrigens auch leicht aus Gleichung (12) meiner frühern Abhandlung.^[9]

Um nun daraus den Wert des Druckes abzuleiten, müssen wir annehmen, daß die Energiedichte einer Lichtwelle bei gleicher Amplitude der –2. Potenz der Wellenlänge, also der Größe $m^{2}$ proportional ist. Wenn wir also mit $\rho$ die Dichte der einfallenden Welle, mit $\rho '$ die der reflektierten bezeichnen, so ist

${\frac {\rho '}{\rho }}=\left({\frac {m'}{m}}\right)^{2}=\left({\frac {1+\sigma \ \cos \ i}{1-\sigma \ \cos \ r}}\right)^{2}.$

Nun ist die Energie, welche in der Zeiteinheit auf den Spiegel auffällt, im Raume ${\mathfrak {B}}\ cos\ i+c$ enthalten; die reflektierte Energie im Raume ${\mathfrak {B}}\ cos\ r-c$. Es ist also der Betrag der in einer Sekunde einfallenden Energie

$\rho ({\mathfrak {B}}\ \cos \ i+c)=\rho {\mathfrak {B}}(\cos \ i+\sigma )$

und der Betrag der in der gleichen Zeit reflektierten Energie

$\rho '({\mathfrak {B}}\ \cos \ r-c)=\rho '{\mathfrak {B}}(\cos \ r-\sigma ).$

Die Differenz dieser beiden Ausdrücke muß der Arbeit des Strahlungsdruckes pro Zeiteinheit gleich sein. Es muß also

$Pc=\rho '{\mathfrak {B}}(\cos \ r-\sigma )-\rho {\mathfrak {B}}(\cos \ i+\sigma )$

sein. Oder

$cP={\mathfrak {B}}\rho (\cos \ i+\sigma )\left[\left({\frac {1+\sigma \cos \ i}{1-\sigma \cos \ r}}\right)^{2}{\frac {\cos \ r-\sigma }{\cos \ i+\sigma }}-1\right].$

Mit Hilfe der leicht ableitbaren, bereits von Abraham gegebenen Beziehung:^[10]

${\frac {1+\sigma \cos \ i}{1-\sigma \cos \ r}}={\frac {\sigma +\cos \ i}{\sigma -\cos \ r}}={\frac {\sin \ i}{\sin \ r}}$

und der Gleichung:^[11]

$\sin \ r={\frac {\sin \ i(1-\sigma ^{2})}{1+\sigma ^{2}+2\sigma \ \cos \ i}}$

wird

$cP={\mathfrak {B}}\rho (\cos \ i+\sigma )\left[{\frac {1+\sigma ^{2}+2\sigma \ \cos \ i}{1-\sigma ^{2}}}-1\right]$

und

$P=2\rho {\frac {(\cos \ i+\sigma )^{2}}{1-\sigma ^{2}}}.$

Die Übereinstimmung mit dem von Abraham gegebenen Wert ist also eine vollständige ($\sigma$ hat hier das entgegengesetzte Vorzeichen wie früher).

Natürlich kann man auf dieser Grundlage auch die einzelnen Werte $p_{1}$ und $p_{2}$ berechnen, wenn man annimmt, daß ein bewegter Körper Wellen aussendet, deren Amplitude dieselbe ist, wie im ruhenden Zustande, während die Dichte der Strahlungsenergie dem Quadrate der Wellenlänge umgekehrt proportional ist.

Die Werte von $p_{1}$ und $p_{2}$ sind übrigens auch von Poynting^[12] durch eine eigentümliche Betrachtung gewonnen worden. Allerdings beschränkt sich Poynting auf den Fall senkrechter Emission. Setzt man dementsprechend in die hier angegebenen Ausdrücke $\cos \varphi =\cos \phi =1$, so wird die Übereinstimmung vollständig.

4.

Wir haben nun noch den Beweis der in § 1 gemachten Behauptung nachzutragen.

Unser durch Fig. 1 gegebenes System soll zu Beginn in Ruhe sein. Dann befindet sich im Raume $R$ die Energiemenge

$E_{0}={\frac {4\pi i_{0}}{\mathfrak {B}}}\cdot D.$

Es fragt sich nun, was mit dieser Energie geschieht, wenn das System plötzlich auf die Geschwindigkeit $c$ gebracht wird. Von vornherein könnte man annehmen, daß nur ein Teil von ihr absorbiert wird, ein andrer Teil dagegen in mechanische Arbeit verwandelt wird.

Wir haben nun vor allem zu beachten, daß diese Energie nach den absoluten Richtungen gleichmäßig verteilt ist. Wenn wir also unsere frühere Bezeichnungsweise beibehalten, so ist die Dichte der Energie, deren absolute Fortpflanzungsrichtung mit der Normalen einen Winkel zwischen $\phi$ und $\phi +d\phi$ einschließt,

${\frac {2\pi i_{0}}{\mathfrak {B}}}\sin \varphi \ d\varphi .$

Sobald das System in Bewegung ist, kommt es auf die Verteilung bezüglich der relativen Fortpflanzungsrichtung an. Dann ist offenbar die Dichte der Energie, deren relative Fortpflanzungsrichtung mit der Normalen einen Winkel zwischen $\phi$ und $\phi +d\phi$ einschließt:

${\frac {2\pi i_{0}}{\mathfrak {B}}}\sin \varphi \ {\frac {d\varphi }{d\phi }}d\phi =-{\frac {2\pi i_{0}}{\mathfrak {B}}}\ {\frac {d\ \cos \varphi }{d\phi }}d\phi .$

Dies wird durch Differentiation von Gleichung (3):

$={\frac {2\pi i_{0}}{\mathfrak {B}}}\sin \phi \ d\phi {\frac {\left({\sqrt {1-\sigma ^{2}\sin ^{2}\phi }}-\sigma \ \cos \phi \right)^{2}}{\sqrt {1-\sigma ^{2}\sin ^{2}\phi }}}=$ $={\frac {2\pi i_{0}}{\mathfrak {B}}}{\frac {{\mathfrak {B}}_{-}^{2}}{{\mathfrak {B}}^{2}{\sqrt {1-\sigma ^{2}\sin ^{2}\phi }}}}\sin \phi \ d\phi .$

Da diese Energie in einem Zylinder von der Höhe $D$ befindlich ist, ist die in dieser Richtung auf $B$ fallende Energiemenge gleich:

${\frac {2\pi i_{0}D}{{\mathfrak {B}}^{3}}}\cdot {\frac {{\mathfrak {B}}_{-}^{2}}{\sqrt {1-\sigma ^{2}\sin ^{2}\phi }}}\sin \phi \ d\phi .$

Wir sahen nun früher (§ 1), daß von der auffallenden Strahlung $2\pi \ i\ cos\phi \ sin\phi \ d\phi$ der Teil $2\pi \ i_{0}\ \cos \phi \sin \phi \ d\phi$ absorbiert wird, während der Teil $2\pi \ p_{1}\ \cos \phi \sin \phi d\phi$ in Arbeit verwandelt wird. Es wird also von der Einheit der auffallenden Energiemenge der Bruch ${\frac {i_{0}}{i}}$ absorbiert und der Bruchteil ${\frac {p_{1}c}{i}}$ in Arbeit verwandelt.

Also wird von der jetzt auffallenden Energiemenge der Teil

${\frac {2\pi i_{0}D}{{\mathfrak {B}}^{3}}}\cdot {\frac {{\mathfrak {B}}_{-}^{2}}{\sqrt {1-\sigma ^{2}\sin ^{2}\phi }}}\sin \phi \ d\phi \cdot {\frac {i_{0}}{i}}$

absorbiert; der Teil

${\frac {2\pi i_{0}D}{{\mathfrak {B}}^{3}}}\cdot {\frac {{\mathfrak {B}}_{-}^{2}}{\sqrt {1-\sigma ^{2}\sin ^{2}\phi }}}\sin \phi \ d\phi \cdot {\frac {p_{1}c}{i}}$

in Arbeit verwandelt.

Auf analoge Weise erkennt man, daß auf $A$ die Energiemenge

${\frac {2\pi i_{0}D}{{\mathfrak {B}}^{3}}}\cdot {\frac {{\mathfrak {B}}_{+}^{2}}{\sqrt {1-\sigma ^{2}\sin ^{2}\phi }}}\sin \phi \ d\phi$

auffällt und daß wir diese Energiemenge mit ${\frac {i_{0}}{i'}}$, respektive mit $-{\frac {p_{2}c}{i'}}$ zu multiplizieren haben, um die Teile derselben zu erhalten, die absorbiert, respektive in Arbeit verwandelt werden.

Es wird also in Summe von den beiden Körpern die Energiemenge

$\int _{0}^{\pi /2}{\frac {2\pi i_{0}D}{{\mathfrak {B}}^{3}}}{\frac {\sin \phi \ d\phi }{\sqrt {1-\sigma ^{2}\sin ^{2}\phi }}}\left({\mathfrak {B}}_{-}^{2}{\frac {i_{0}}{i}}+{\mathfrak {B}}_{+}^{2}{\frac {i_{0}}{i'}}\right)=M$

absorbiert, während die Energiemenge

$\int _{0}^{\pi /2}{\frac {2\pi i_{0}D}{{\mathfrak {B}}^{3}}}{\frac {\sin \phi \ d\phi }{\sqrt {1-\sigma ^{2}\sin ^{2}\phi }}}\left({\mathfrak {B}}_{-}^{2}{\frac {p_{1}c}{i}}-{\mathfrak {B}}_{+}^{2}{\frac {p_{2}c}{i'}}\right)=N$

in Arbeit verwandelt wird. Und zwar kann man sich auch überzeugen, daß genau dieselben Ausdrücke gültig sind, wenn z. B. die schwarze Fläche $B$ durch einen Spiegel ersetzt wird. Es wird nämlich dann die von $A$ nach $B$ gelangende Strahlung in $B$ nicht absorbiert, sondern zum Teil reflektiert und zwar wird von der Einheit der in $B$ auffallenden Energie dann der Bruchteil ${\frac {i'}{i}}$ reflektiert; derselbe gelangt nach $A$ zurück und dort wird der Bruchteil ${\frac {i_{0}}{i'}}$ davon absorbiert, so daß endlich wieder der Bruchteil ${\frac {i'}{i}}\cdot {\frac {i_{0}}{i'}}={\frac {i_{0}}{i}}$ der sich anfangs in der Richtung von $A$ nach $B$ fortpflanzenden Strahlung absorbiert wird. Es bleibt also $M$ und daher auch $N$ ungeändert.

Benützt man nun die Gleichungen (4), (5), (7) und (8), so wird

$M={\frac {2\pi i_{0}D}{{\mathfrak {B}}^{4}}}\int _{0}^{\pi /2}\sin \phi \ d\phi ({\mathfrak {B}}_{-}^{3}+{\mathfrak {B}}_{+}^{3})$

und

$N={\frac {2\pi i_{0}D}{{\mathfrak {B}}^{3}}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin \phi \ d\phi }{\sqrt {1-\sigma ^{2}\sin ^{2}\phi }}}$ $\cdot \left[\sigma ^{2}\sin ^{2}\phi ({\mathfrak {B}}_{-}^{2}+{\mathfrak {B}}_{+}^{2})+\sigma \cos \phi {\sqrt {1-\sigma ^{2}\sin ^{2}\phi }}({\mathfrak {B}}_{-}^{2}-{\mathfrak {B}}_{+}^{2})\right].$

Durch Ausführung dieser Integrationen überzeugt man sich nun, daß ganz exakt

$M={\frac {4\pi i_{0}D}{\mathfrak {B}}}=E_{0};\ N=0$

ist.

Es wurde also die gesamte, ursprünglich in $R$ vorhandene Energie absorbiert. Es werden also die frühern Behauptungen über die zur Beschleunigung notwendige Arbeit bestätigt. Andrerseits sehen wir auch ein, daß vom Energieinhalt eines bewegten Hohlraumes, also im Ausdruck (1) nur der erste Bestandteil vom Wärmeinhalt der strahlenden Körper geliefert wird. Es ist dies eine Annahme, von der ich in meiner zitierten Abhandlung über die Dimensionsveränderungen der Materie infolge ihrer Bewegung durch den Äther^[13] ausgegangen bin und welche dort vielleicht nicht genügend begründet war.

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1. Siehe J. H. Poynting, Phil. Trans. 202, p. 525, 1904; Vl. v. Türin, Ann. d. Naturphil., III, p. 270, 1904; M. Abraham, Boltzmann-Festschrift, p. 84, und Drude, Ann. XIV, p. 236, 1904.
2. Siehe darüber F. Hasenöhrl, diese Sitzungsber., CXIII., p. 469; – M. Abraham, l. c.
3. L. c. p. 474.
4. Vergl. J. Larmor, Boltzmann-Festschrift, p. 595, 1904.
5. Vergl. F. Hasenöhrl, l. c.
6. Siehe M. Abraham, Drude’s Ann., X, p. 151, 1903.
7. Boltzmann-Festschrift, p. 91, Gl. 9.
8. Larmor, Report of British Association, 1900.
9. Diese Sitzungsber., CXIII, p. 489.
10. L. c. Gl. 7c.
11. Siehe F. Hasenöhrl, l. c. p. 489, Gl. 12.
12. L. c. p. 551.
13. L. c. p. 474, Fußnote.