Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper/Drittes Buch Teil B

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Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper (1879) von Nicolaus Copernicus

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TAFEL DER EINFACHEN GLEICHMÄSSIGEN BEWEGUNG DER SONNE VON JAHR ZU JAHR UND VON SECHZIG JAHREN ZU SECHZIG JAHREN.

Aegyptische Jahre	Bewegung					Ort Christi 272° 31′ Buch III. Cap. 19.	Aegyptische Jahre	Bewegung
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TAFEL DER EINFACHEN GLEICHMÄSSIGEN BEWEGUNG DER SONNE VON TAGE ZU TAGE UND VON SECHZIG TAGEN ZU SECHZIG TAGEN.

Tage	Bewegung					Ort Christi 272° 31′ Buch III. Cap. 19.	Tage	Bewegung
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TAFEL DER ZUSAMMENGESETZTEN GLEICHMÄSSIGEN BEWEGUNG DER SONNE VON JAHR ZU JAHR UND VON SECHZIG JAHREN ZU SECHZIG JAHREN.

Aegyptische Jahre	Bewegung					Ort Christi 272° 31′ Buch III. Cap. 19.	Aegyptische Jahre	Bewegung
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TAFEL DER ZUSAMMENGESETZTEN GLEICHMÄSSIGEN BEWEGUNG DER SONNE VON TAGE ZU TAGE UND VON SECHZIG TAGEN ZU SECHZIG TAGEN.

Tage	Bewegung					Ort Christi 272° 31′ Buch III. Cap. 19.	Tage	Bewegung
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TAFEL DER GLEICHMÄSSIGEN BEWEGUNG DER ANOMALIE DER SONNE VON JAHR ZU JAHR UND VON SECHZIG JAHREN ZU SECHZIG JAHREN.

Aegyptische Jahre	Bewegung					Ort Christi 211° 19′	Aegyptische Jahre	Bewegung
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TAFEL DER GLEICHMÄSSIGEN BEWEGUNG DER ANOMALIE DER SONNE VON TAGE ZU TAGE UND VON SECHZIG TAGEN ZU SECHZIG TAGEN.

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Capitel 15.

Voruntersuchungen zur Entwicklung der Ungleichmässigkeit in der erscheinenden Bewegung der Sonne.

Um in die erscheinende Ungleichmässigkeit der Sonne mehr einzudringen, wollen wir noch deutlicher nachweisen, dass, – während die Erde die in der Mitte der Welt stehende Sonne, wie einen Mittelpunkt umkreist und die Entfernung zwischen Sonne und Erde, wie gesagt, im Vergleich zur Unermesslichkeit der Fixsternsphäre, verschwindend klein ist: – die Sonne in Bezug auf irgend einen Punkt oder auf einen Stern derselben Sphäre in der Ekliptik sich ebenso zu bewegen scheint.

Es sei nämlich $ab$ ein grösster Kreis in der Ebene der Ekliptik, sein Mittelpunkt $c$, und in diesem stehe die Sonne. Mit der Entfernung der Sonne von der Erde $cd$, in Vergleich zu welcher die Ausdehnung der Welt unermesslich ist, werde der Kreis $de$ in derselben Ebene der Ekliptik beschrieben, in welchem die jährliche Bewegung des Mittelpunktes der Erde vor sich gehen soll. Ich behaupte, dass in Bezug auf irgend einen in dem Kreise $ab$ angenommenen Punkt oder auf einen Stern der Ekliptik, die Sonne sich ebenso zu bewegen scheine. Angenommen, die Sonne werde von der Erde, die sich in $d$ befinde, in der Richtung $acd$ in $a$ gesehen. Die Erde bewege sich irgend wie durch den Bogen $de$ und von dem Punkte $e$ werden $ae$ und $be$ gezogen. Die Sonne erscheint nun von $e$ aus gesehen in dem Punkte $b$. Weil aber $ac$ gegen $cd$ unendlich gross ist: so ist, da $ce$ gleich $cd$, $ae$ auch gegen $ce$ unendlich gross. Wir nehmen in $ac$ irgend einen Punkt $f$ an, und ziehen $ef$. Da nun die von den Endpunkten der Basis $ce$ nach dem Punkte $a$ gezogenen beiden graden Linien ausserhalb des Dreiecks $efc$ fallen: so ist nach der Umkehrung des 21sten Satzes des ersten Buches von Euklid’s Elementen, der Winkel $fae$ kleiner als der Winkel $efc$. Deshalb schliessen die in’s Unendliche ausgedehnten Linien endlich einen so spitzen Winkel $cae$ ein, dass er nicht mehr wahrgenommen werden kann; und um diesen Winkel ist der Winkel $bca$ grösser als der Winkel $aec$. Wegen dieses so unbedeutenden Unterschiedes erscheinen diese Winkel als gleich, und die Linie $ac$ und $ae$ als parallel; folglich scheint die Sonne in Beziehung auf einen beliebigen Punkt der Fixsternsphäre sich ebenso zu bewegen, als wenn sie um den Mittelpunkt $c$ kreiste, was zu beweisen war. Ihre Ungleichmässigkeit aber wird daraus nachgewiesen, dass die Bewegung des Mittelpunktes der Erde und sein jährlicher Kreislauf nicht genau um den Mittelpunkt der Sonne vor sich geht. Dies kann sehr wohl auf zwei Weisen vorgestellt werden, entweder durch einen excentrischen Kreis, d. h. dessen Mittelpunkt nicht derjenige der Sonne ist, oder durch einen Epicykel, bei welchem die Sonne im Mittelpunkte des Hauptkreises selber steht. Aus dem excentrischen Kreise erklärt sich dies folgendermassen.

Sei $abcd$ ein excentrischer Kreis in der Ebene der Ekliptik, sein Mittelpunkt $e$ liege um einen nicht sehr kleinen Abstand ausserhalb des Mittelpunkts der Sonne und der Welt, welcher $f$ sei, der Durchmesser durch beide Mittelpunkte sei $aefd$, das Apogeum, welches von den Lateinern summa absis genannt wird, liege in $a$, als in dem vom Mittelpunkte der Welt entferntesten Orte; $d$ dagegen sei das Perigeum, welches infima absis heisst und der dem Mittelpunkte der Welt nächste Ort ist. Wenn sich nun die Erde in ihrer Bahn $abcd$ gleichmässig um den Mittelpunkt $e$ bewegt, so erscheint, wie gesagt, die Bewegung um $f$ ungleichmässig. Macht man die Bogen $ab$ und $cd$ gleich und zieht die graden Linien $be$, $ce$, $bf$, $cf$: so sind die Winkel $aeb$ und $ced$, denen gleiche Bogen um den Mittelpunkt $e$ zugehören, gleich. Der Aussenwinkel $cfd$ ist aber grösser als der innere Winkel $ced$, und also auch grösser als der Winkel $aeb$, der gleich $ced$ ist. Der Aussenwinkel $aeb$ ist aber auch grösser, als der innere Winkel $afb$, um so mehr ist der Winkel $cfd$ grösser als $afb$. Jeder von beiden wird aber in gleichen Zeiten durchlaufen, weil die Bogen $ab$ und $cd$ einander gleich sind. Die gleichmässige Bewegung um $e$ erscheint also ungleichmässig um $f$. Dasselbe lässt sich noch einfacher daraus einsehen, dass der Bogen $ab$ von $f$ entfernter liegt als $cd$. Denn, nach dem 7ten Satze des 3ten Buches von Euklid’s Elementen, sind die Linien $af$ und $bf$ grösser als $cf$ und $df$, und wie in der Optik bewiesen wird, erscheinen gleiche Grössen in der Nähe grösser als in der Ferne. Daher ist nun klar, was über den excentrischen Kreis behauptet ist.

[Der Beweis wäre ganz derselbe, wenn die Erde in $f$ stillstände, und die Sonne in dem Kreise $abc$ sich bewegte, wie beim Ptolemäus und Andern.] Dasselbe lässt sich auch durch den Epicykel erklären, bei welchem die Sonne in dem Mittelpunkt ihres Hauptkreises steht. Es sei nämlich $bcd$ der Hauptkreis, $e$ der Mittelpunkt der Welt, in welchem zugleich die Sonne steht, $a$ den Mittelpunkt des Epicykels $fg$ in derselben Ebene, und durch beide Mittelpunkte die Linie $ceaf$ gezogen. Das Apogeum des Epicykels sei$f$, das Perigeum $i$. So ist offenbar, dass eine Gleichmässigkeit in $a$, eine Ungleichmässigkeit der Erscheinung in dem Epicykel $fg$ hervorbringt. Denn, wenn $a$ sich nach der Seite von $b$, d. h. rechtläufig, der Mittelpunkt der Erde aber vom Apogeum $f$ aus rückläufig sich bewegt, so scheint sich $e$ im Perigeum $i$ mehr zu bewegen, weil beide Bewegungen sowohl von $a$ als auch von $i$ nach derselben Seite hin liegen. Im Apogeum $f$ aber scheint der Punkt $e$ langsamer zu sein, weil er sich nämlich nur mit der Differenz der beiden entgegengesetzten Bewegungen bewegt, und, wenn die Erde in $g$ angenommen wird, der gleichmässigen Bewegung vorauseilt, in $k$ aber hinter ihr zurückbleibt, und zwar in jedem von beiden Fällen um die Bogen $ag$ und $ak$, wodurch also auch die Sonne sich ungleichmässig zu bewegen scheint. Alles, was durch den Epicykel geschieht, kann auf dieselbe Weise durch den excentrischen Kreis bedingt sein, welchen die Bewegung des Gestirns im Epicykel in Bezug auf den eigentlichen Mittelpunkt und in derselben Ebene gleichmässig beschreibt, und dessen excentrischer Mittelpunkt vom eigentlichen Mittelpunkte um die Grösse des Halbmessers des Epicykels absteht, und dies kann in dreierlei Weise geschehen. Wenn nämlich der Epicykel auf dem Hauptkreise, und das Gestirn in dem Epicykel gleiche Umläufe vollenden, aber die Bewegungen einander entgegengesetzt sind: so stellt ein fester excentrischer Kreis, dessen Apogeum und Perigeum unveränderliche Orte einnehmen, die Bewegungen des Gestirnes dar.

Es sei $abc$ ihr der Hauptkreis, der Mittelpunkt der Welt $d$, der Durchmesser $ade$; wir nehmen an, dass, während der Epicykel in $a$ wäre, das Gestirn in dem Apogeum des Epicykels, also in $g$ stände, und der Halbmesser desselben in die grade Linie $dag$ fiele; nehmen vom Mittelpunkte $b$ den Bogen $ab$ des Hauptkreises, und lassen in gleicher Drehung $ag$ in dem Epicykel den Bogen $ef$ beschreiben, legen $de$ und $eb$ in eine grade Linie, nehmen den Bogen $ef$ nach der entgegengesetzten Seite und ähnlich dem Bogen ab. Das Gestirn oder die Erde stehe in $f$, wir verbinden $b$ mit $f$, und nehmen auf der Linie $ad$ den Abschnitt $dk$ gleich $bf$. Weil nun die Winkel $ebf$ und $bda$ gleich: so sind $bf$ und $dk$ parallel und gleich. Wenn aber grade Linien durch gleiche und parallele grade Linien verbunden werden: so sind sie selber parallel und gleich, nach dem 33sten Satze des ersten Buches von Euklid’s Elementen. Und weil $dk$ und $ag$ gleich gemacht sind, so erhält man, wenn man zu beiden $ak$ addirt, $gak$ gleich $akd$, und also auch gleich $kf$. Der um den Mittelpunkt $k$ mit dem Radius $kag$ beschriebene Kreis geht also durch $f$, und diesen Kreis beschreibt der Punkt $f$ durch die aus $ab$ und $ef$ zusammengesetzte Bewegung, als einen excentrischen, dem Hauptkreise gleichen, Kreis, der deshalb auch fest liegt. Denn wenn der Epicykel gleiche Umläufe mit dem Hauptkreise macht: so ist nothwendig, dass die Absiden des so beschriebenen excentrischen Kreises an demselben Orte liegen bleiben. Wenn aber der Mittelpunkt des Epicykels und seine Peripherie ungleiche Umläufe machen, so wird die Bewegung des Gestirns keinen festen excentrischen Kreis mehr beschreiben, sondern einen solchen, dessen Mittelpunkt und Absiden sich rückläufig oder rechtläufig bewegen, je nachdem die Bewegung des Gestirns geschwinder oder langsamer ist, als der Mittelpunkt seines Epicykels.

Es sei $ebf$ grösser als der Winkel $bda$, aber gleich $bdm$: so wird ebenso bewiesen, dass wenn auf der Linie $dm$, $dl$ gleich $bf$ abgetragen wird, der um den Mittelpunkt $l$ mit dem Radius $lmn$ gleich $ad$ beschriebene Kreis durch das Gestirn $f$ geht, wodurch ersichtlich wird, dass durch die zusammengesetzte Bewegung des Gestirns der Bogen $nf$ eines excentrischen Kreises beschrieben wird, dessen Apogeum unterdessen vom Punkte $g$ rückläufig den Bogen $gn$ durchlaufen hat. Umgekehrt hätte sich, wenn die Bewegung des Gestirns auf dem Epicykel langsamer gewesen wäre, der Mittelpunkt des excentrischen Kreises rechtläufig bewegt und zwar um so viel, als sich der Mittelpunkt des Epicykels geschwinder bewegt hätte, wie z. B. wenn der Winkel $ebf$ kleiner wäre als $bda$ aber gleich $bdm$, offenbar das eintreten würde, was ich behauptet habe.

Aus allem Diesen geht hervor, dass immer dieselbe Ungleichmässigkeit der Erscheinung hervorgebracht wird, sei es durch den Epicykel auf dem Hauptkreise, sei es durch einen dem Hauptkreise gleichen excentrischen Kreis, und dass sich beide nicht von einander unterscheiden, wenn nur die Entfernung der Mittelpunkte gleich dem Radius des Epicykels ist. Welches von Beiden am Himmel vorgehe, ist daher nicht leicht zu ermitteln. Ptolemäus war der Meinung, dass da, wo eine einfache Ungleichmässigkeit und fest unveränderliche Orte der Absiden (wie er sie bei der Sonne vermuthet) wahrgenommen werden, die Begründung durch die Excentricität ausreiche; dem Monde aber und den übrigen fünf Planeten, welche mit doppelten oder mehrfachen Ungleichheiten sich bewegen, schrieb er excentrische Epicykeln zu. Nach der Methode des excentrischen Kreises lässt sich ferner auch leicht zeigen, dass der grösste Unterschied zwischen der gleichmässigen Bewegung und der erscheinenden dann eintritt, wenn das Gestirn in dem mittleren Orte zwischen dem Apogeum und dem Perigeum erscheint; nach der Methode des Epicykels ist dies der Fall, wenn das Gestirn den Hauptkreis schneidet, wie beim Ptolemäus bewiesen ist. Durch den excentrischen Kreis wird dies folgendermassen bewiesen: Es sei $abcd$ ein Kreis um den Mittelpunkt $e$, sein Durchmesser $aec$ gehe durch die Sonne in $f$ ausserhalb des Mittelpunkts. Die Linie $bfd$ werde rechtwinklig durch $f$, und noch $be$ und $ed$ gezogen.

Das Apogeum sei $a$, das Perigeum $c$, — $b$ und $d$ mögen die mittleren erscheinenden Orte sein. Es ist offenbar, dass der Aussenwinkel $aeb$ die gleichmässige, der innere Winkel $efb$ die erscheinende Bewegung bezeichnet, und der Unterschied beider der Winkel $ebf$ ist. Ich behaupte, dass kein grösserer Peripheriewinkel als die beiden bei $b$ und $d$, über der Linie $ef$ construirt werden kann. Man nehme vor und hinter $b$ die Punkte $g$ und $h$ an, ziehe $gd$, $ge$, $gf$ und $he$, $hf$, $hd$. Da nun $fg$ dem Mittelpunkte näher und also grösser ist als $df$, so ist Winkel $gdf$ grösser als $dgf$. Gleich sind aber die Winkel $edg$ und $egd$, weil $eg$ und $ed$ gleiche Schenkel sind. Deshalb ist auch der Winkel $edb$, welcher gleich $ebf$ ist, grösser als der Winkel $egf$. Ebenso ist auch $df$ grösser als $fh$. Der Winkel $fhd$ ist grösser als $fdh$, der ganze $ehd$ ist aber gleich dem ganzen $edh$, weil $eh$ und $ed$ gleich sind, der Rest also $cdf$, welcher gleich $ebf$, muss also auch grösser sein, als $ehf$. Es kann daher nirgend über der Linie $ef$ ein grösserer Winkel als in den Punkten $b$ und $d$ construirt werden. Folglich findet die grösste Differenz der gleichmässigen und erscheinenden Bewegung in dem mittleren Orte zwischen dem Apogeum und Perigeum statt.

Capitel 16.

Ueber die erscheinende Ungleichmässigkeit der Sonne.

Dies ist allgemein bewiesen, und es kann nicht nur den Erscheinungen der Sonne, sondern auch den Ungleichmässigkeiten anderer Gestirne angepasst werden. Jetzt wollen wir das behandeln, was der Sonne und der Erde eigenthümlich ist; und zwar zuerst das, was wir von Ptolemäus und anderen Früheren überliefert erhalten haben, darauf das, was uns die neuere Zeit und die Erfahrung gelehrt hat. Ptolemäus^[1] fand, dass zwischen der Frühlingsnachtgleiche und der Sonnenwende 94½, zwischen der Sonnenwende und der Herbstnachtgleiche 92½ Tage lagen. Es war also nach Verhältniss der Zeit in dem ersten Zeiträume die mittlere gleichmässige Bewegung 93° 9′, im zweiten 91° 10′^[2].

Der auf diese Weise eingetheilte Jahreskreis sei $abcd$, dessen Mittelpunkt $e$. Für den ersten Zeitraum werde $ab$ gleich 93° 9′, für den zweiten $bc$ gleich 91° 10′ genommen. Von $a$ aus erscheint die Sonne im Frühlingsnachtgleichenpunkte, von $b$ aus in der Sommersonnenwende, von $c$ aus im Herbstnachtgleichenpunkte, und endlich von $d$ aus in der Wintersonnenwende. Man ziehe $ac$ und $bd$, diese mögen sich gegenseitig rechtwinklig in $f$ schneiden, wohin wir die Sonne versetzen. Weil nun der Bogen $abc$ grösser ist

als der Halbkreis, und $ab$ grösser als $bc$: so erkannte Ptolemäus hieraus, dass der Mittelpunkt $e$ des Kreises, zwischen den Linien $bf$ und $fa$, und das Apogeum zwischen der Frühlingsnachtgleiche und der Sommersonnenwende liege. Man ziehe nun durch den Mittelpunkt $e$ parallel mit $afc$ die grade Linie $ieg$, welche $bfd$ in $l$ schneidet; und parallel mit $bfd$ die grade Linie $hek$, welche $af$ in $m$ schneidet. Auf diese Weise entsteht das rechtwinklige Parallelogramm $lemf$, dessen Diagonale $fe$ in ihrer Verlängerung $fen$ die grösste Entfernung der Erde von der Sonne, und den Punkt $n$ als Ort des Apogeums bezeichnet. Da nun der Bogen $abc$ 184° 19′ beträgt, so enthält $ah$ 92° 9½′, wenn dies von $agb$ abgezogen wird, so bleibt der Rest $hb$ zu 59′. Zieht man wieder von $ah$ den Quadranten $hg$ ab: so bleibt $ag$ gleich 2° 10′. Die halbe Sehne des doppelten Bogens $ag$ hat 377 solcher Theile, von denen 10000 auf den Halbmesser gehen und ist gleich $lf$. Die halbe Sehne des doppelten Bogens $bh$, nämlich $el$, enthält 172 solcher Theile. Aus den beiden gegebenen Seiten des Dreiecks $elf$ ergiebt sich die Hypothenuse $ef$ zu 414, ungefähr den 24sten Theil von dem Radius $ne$. Wie sich aber $ef$ zu $el$ verhält, so verhält sich auch der Radius $ne$ zu der halben Sehne des doppelten Bogens $nh$. Folglich ergiebt sich der Bogen $hn$ zu 24½°, und so viel beträgt auch der Winkel $neh$, dem wieder der erscheinende Winkel $lfc$ gleich ist. Um diesen Abstand war also vor Ptolemäus das Apogeum der Sommersonnenwende voraus. Da aber $ik$ ein Kreisquadrant ist, so bleibt, wenn man davon $ic$ und $dk$, welche gleich $ag$ und $hb$ sind, abzieht, $cd$ gleich 86° 51′; und der Rest von $cda$, nämlich $da$ gleich 88° 49′. Aber den 86° 51′ entsprechen 88⅛ Tage, und den 88° 49′ entsprechen 90⅛ Tage, oder 3 Stunden, in welchen Zeiten die Sonne bei gleichmässiger Bewegung der Erde von der Herbstnachtgleiche zu der Wintersonnenwende, und von der Wintersonnenwende zur Frühlingsnachtgleiche überzugehen schien. Ptolemäus bezeugt, dass er dies nicht anders gefunden habe, als es vor ihm von Hipparch überliefert sei. Deshalb schloss er, dass auch für alle nachfolgende Zeit ewig das Apogeum 24½° vor der Sommersonnenwende vorausbleiben, und die Excentricität den 24sten Theil des Radius, wie angegeben, betragen werde. Beides zeigt sich aber jetzt um eine beträchtliche Differenz geändert. Albategnius giebt von der Frühlingsnachtgleiche bis zur Sommersonnenwende 93 Tage 35^I und bis zur Herbstnachtgleiche 186 Tage 37^I an ^[3], woraus er nach des Ptolemäus’ Vorschrift die Excentricität zu nicht mehr als zu 347 solcher Theile, von denen 10000 auf den Halbmesser gehen, ermittelt. Mit ihm stimmt in Bezug auf die Excentricität der Spanier Arzachel überein, doch giebt Letzterer das Apogeum zu 12° 10′ vor der Sonnenwende an, während Albategnius dasselbe 7° 43′ ^[4] vor der Sonnenwende fand. Hieraus ist wohl abzunehmen, dass es noch eine andere Ungleichheit in der Bewegung des Mittelpunktes der Erde giebt, was auch durch die Beobachtungen unserer Zeit bestätigt wird. Denn seit mehr als 10 Jahren, in denen wir uns auf die Untersuchung dieser Dinge gelegt haben, und namentlich im Jahre Christi 1515 haben wir gefunden, dass von

der Frühlings- bis zur Herbstnachtgleiche 186 Tage 5½^I verstreichen, und damit wir in der Beobachtung der Sonnenwenden uns nicht täuschen möchten, was Manche in Bezug auf die Früheren vermuthen, haben wir zu diesem Zwecke gewisse andere Sonnenörter gewählt, welche auch ausserhalb der Nachtgleichen liegen und keineswegs schwierig zu beobachten sind, wie z. B. die Mitten des Sternzeichens des Stieres, des Löwen, des Scorpions und des Wassermanns. Nun haben wir von der Herbstnachtgleiche bis zur Mitte des Scorpions 45 16^I und bis zur Frühlingsnachtgleiche 178 53½^I Tage gefunden. Die gleichmässige Bewegung in dem ersten Zeitraume beträgt 44° 37′, im zweiten 176° 19′.

Nach diesen vorläufigen Angaben nehmen wir den Kreis $abcd$. Es sei $a$ der Punkt, von wo die Sonne im Frühlings-, und $b$ von wo sie im Herbst-Nachtgleichenpunkte gesehen wird, $c$ sei die Mitte des Scorpions. Wir ziehen $ab$ und $cd$, welche sich im Mittelpunkte der Sonne $f$ schneiden, und noch $ac$. Nun ist der Bogen $cb$ gleich 44° 37′, und ebenso gross ist der Winkel $bac$, wenn man 360° gleich zweien Rechten nimmt. Weiter ist der Winkel $bfc$, als der Winkel der erscheinenden Bewegung, gleich 45°, wenn 360° gleich vier Rechten; wenn aber 360° gleich zweien Rechten, so ist $bfc$ gleich 90°. Die Differenz Beider, $acd$, welche dem Bogen $ad$ entspricht, beträgt 45° 23′. Der ganze Abschnitt $acb$ umfasst 176° 19′, zieht man $bc$ ab: so bleibt $ac$ gleich 131° 42′, addirt man dazu $ad$: so erhält man den Bogen $cad$ gleich 177° 5′. Da also jeder von den beiden Abschnitten $acb$ und $cad$ kleiner als der Halbkreis ist, so ist klar, dass in dem Reste $bd$ der Mittelpunkt des Kreises enthalten ist. Dieser sei $e$, es werde durch $f$ der Durchmesser $lefg$ gezogen, $l$ sei das Apogeum, $g$ das Perigeum, es stehe $ek$ senkrecht auf $cfd$. Die Sehnen der gegebenen Bogen sind nach dem Verzeichnisse auch gegeben, nämlich $ac$ gleich 182494, $cfd$ gleich 199934, wenn der Durchmesser gleich 200000 ist. Da in dem Dreiecke $acf$ die Winkel gegeben sind: so ergiebt, sich das Verhältniss der Seiten nach dem ersten Satze über ebene Dreiecke, nämlich $cf$ gleich 97967, während $ac$ gleich 182494, und wegen des halben Ueberschusses von $fd$ ist auch $fk$ gleich 2000 solcher Theile. Dem Abschnitte $cad$ fehlen 2° 55′ am Halbkreise, davon ist die halbe Sehne $ek$ gleich 2534. Da in dem Dreiecke $efk$ die beiden den rechten Winkel einschliessenden Seiten $fk$ und $ke$ gegeben sind: so enthält $ef$ ungefähr 323 solcher Theile, von denen auf $cl$ 10000 kommen; der Winkel $efk$ ist aber 51⅔°, wenn 360° 4 Rechte betragen, also ist der ganze Winkel $afl$ gleich 96⅔°, und der Rest $bfl$ gleich 83⅓°. Wenn aber $el$ in 60 Theile getheilt wird: so enthält $ef$ ungefähr 1 56^I solcher Theile. Dies war der Abstand der Sonne von dem Mittelpunkte des Kreises, der nun fast 1/31, geworden ist, während er dem Ptolemäus gleich 1/24 zu sein schien. Und das Apogeum, welches damals um 24½° der Sommersonnenwende voraus war, ist jetzt hinter derselben um 6⅔° zurück.

Capitel 17.

Darstellung der ersten, jährlichen Ungleichmässigkeit der Sonne nebst ihren besonderen Unterschieden.

Da also mehrere verschiedene Ungleichmässigkeiten der Sonne gefunden werden: so glauben wir, diejenige zuerst ableiten zu müssen, welche einen jährlichen Verlauf hat und bekannter als die übrigen ist.

Zu diesem Zwecke nehmen wir wieder den Kreis $abc$ um den Mittelpunkt $e$, mit dem Durchmesser $aec$; das Apogeum sei $a$, das Perigeum $c$, und die Sonne in $d$. Nun ist bewiesen, dass der Unterschied zwischen der gleichmässigen und der erscheinenden Bewegung in dem scheinbaren mittleren Orte zwischen beiden Absiden am grössten ist. Errichten wir in $d$ gegen $aec$ die Senkrechte $bd$, welche die Peripherie im Punkte $b$ schneidet, und ziehen $be$. Da nun in dem rechtwinkligen Dreieck $bde$, zwei Seiten gegeben sind, nämlich $be$ als Radius des Kreises, und $de$ als Abstand der Sonne vom Mittelpunkte: so ist auch der Winkel $dbe$ gegeben, um welchen der Winkel der Gleichmässigkeit $bea$ von dem erscheinenden rechten Winkel $edb$ sich unterscheidet. Insofern aber $de$ grösser oder kleiner wird, insofern ändert sich auch die ganze Form des Dreiecks. So war vor Ptolemäus der Winkel $b$ gleich 2° 23′, zur Zeit des Albategnius und Arzachel’s 1° 59′, jetzt dagegen 1° 51′; und Ptolemäus erhielt den Bogen $ab$, welchen der Winkel $aeb$ einschliesst zu 92° 23′ und $bc$ gleich 87° 37′. Albategnius $ab$ zu 91° 59′, $bc$ gleich 88° 1′, jetzt ist $ab$ gleich 91° 51′ und $bc$ gleich 88° 9′. Hieraus ergeben sich auch die übrigen Verschiedenheiten.

Nimmt man nämlich irgendwie einen andern Bogen $ab$, wie in der zweiten Figur und ist der Winkel $aeb$, also auch der innere Winkel $bed$, und die beiden Seiten $be$ und $ed$ gegeben: so ergiebt sich, nach der Lehre von den ebenen Dreiecken, der Winkel $ebd$ als Prosthaphärese oder als Unterschied zwischen der gleichmässigen und der erscheinenden Bewegung; und diese Unterschiede müssen sich, wie schon bemerkt, ändern, wenn die Seite $ed$ sich ändert.

Capitel 18.

Prüfung der gleichmässigen Bewegung an der Länge der Zeit.

Dies ist nun über die jährliche Ungleichmässigkeit der Sonne dargethan; aber dieselbe besteht nicht in einer einfachen Ungleichheit, wie es den Anschein hat, sondern in einer zusammengesetzten, wie dies eine längere

Zeitdauer erweist. Diese Ungleichheiten wollen wir demnächst von einander unterscheiden. Vorher aber mag die mittlere gleichmässige Bewegung des Erdmittelpunktes, durch um so genauere Zahlen festgestellt werden, je mehr dieselbe von der Verschiedenheit der Ungleichmässigkeit getrennt wird, und sich über einen je grösseren Zeitraum erstreckt. Dies wird aber auf folgende Weise erreicht werden. Es ist uns jene Herbstnachtgleiche überliefert, welche von Hipparch zu Alexandrien, im 32sten Jahre der dritten Callippi’schen Periode, welches, wie oben^[5] angegeben, das 177ste Jahr nach dem Tode Alexanders ist, nach dem dritten von den fünf Schalttagen um Mitternacht, auf welche der vierte Schalttag folgte, beobachtet worden ist. Danach aber, dass Alexandrien ungefähr eine Stunde^[6] östlicher als Krakau liegt, fand dieselbe ungefähr eine Stunde vor Mitternacht^[7] statt. Folglich war nach den oben^[8] mitgetheilten Berechnungen der Ort der Herbstnachtgleiche an der Fixsternsphäre vom Kopfe des Widders 176° 10′^[9] entfernt; und dies war der erscheinende Ort der Sonne, derselbe stand aber von dem Apogeum um 114½°^[10] ab.

Für diesen Fall werde der Kreis $abc$, welchen der Erdmittelpunkt beschreibt, um den Mittelpunkt $d$ construirt, dessen Durchmesser sei $adc$, und innerhalb desselben stehe die Sonne in $e$, das Apogeum sei in $a$, das Perigeum in $c$, $b$ sei der Punkt, in welchem die herbstliche Sonne in der Nachtgleiche erscheint. Man ziehe die graden Linien $bd$ und $be$. Da nun der Winkel $deb$, um welchen die Sonne vom Apogeum abzustehen scheint, 114½° beträgt, und damals $de$ 414 solcher Theile betrug, von denen $bd$ 10000 enthält: so sind die Winkel des Dreiecks $bde$ nach dem fünften Satze der ebenen Dreiecke gegeben und der Winkel $dbe$ wird 2° 10′, um welchen Winkel der Winkel $bed$ von $bda$ unterschieden ist. Der Winkel $bed$ beträgt aber 114° 30′, folglich ist $bda$ gleich 116° 40′, und aus demselben Grunde weicht der mittlere oder gleichmässige Ort der Sonne vom Kopfe des Widders an der Fixsternsphäre um 178° 20′ ab.

Hiermit haben wir die von uns zu Frauenburg, unter demselben Meridian wie Krakau^[11] im Jahre Christi 1515 am 14. September, im 1840sten ägyptischen Jahre nach Alexanders Tode am 6ten Phaophi, des zweiten Monats der Aegypter, eine halbe Stunde nach Sonnenaufgang^[12] beobachtete Herbstnachtgleiche verglichen. Um diese Zeit war der Ort der Herbstnachtgleiche an der Fixsternsphäre nach der Rechnung^[13] und nach den Beobachtungen 152° 45′, sein Abstand vom Apogeum nach der früheren^[14] Ableitung 83° 20′. Der Winkel $bea$ werde gleich 83° 20′, von denen 180° zwei Rechte betragen, gemacht; die Dreiecksseite $bd$ ist als 10000 und $de$ als 323 gegeben. Nach dem vierten Satze

über ebene Dreiecke, wird der Winkel $dbe$ zu ungefähr 1° 50′ gefunden. Wenn nämlich ein Kreis das Dreieck $edb$ umschriebe, so würde der Peripheriewinkel $bed$ gleich 166° 40′, wo 360° zwei Rechte betragen, und die Sehne $bd$ würde 19864, wenn der Durchmesser 20000 beträgt; und nach dem gegebenen Verhältnisse von $bd$ zu $de$ erhielte man $dc$ in eben solchen Längeneinheiten gleich 642. Dies ist aber die Sehne des Winkels $dbe$, der als Peripheriewinkel 3° 40′, als Centriwinkel aber 1° 50′ beträgt. Und dies war die Prosthaphärese oder der Unterschied zwischen der gleichmässigen und erscheinenden Bewegung; und wenn diese zu dem Winkel $bed$, welcher 83° 20′ betrug, hinzuaddirt wird: so erhalten wir den Winkel $bda$, und den Bogen $ab$ gleich 85° 10′, als gleichmässigen Abstand vom Apogeum, und so den mittleren Ort der Sonne an der Fixsternsphäre gleich 154° 35′^[15]. Zwischen beiden Beobachtungen liegen nun 1662 ägyptische Jahre 37^d 18^I 45^II[16] und die mittlere gleichmässige Bewegung beträgt ausser den ganzen Umläufen, deren 1660 sind, 336° und ungefähr 15′^[17], übereinstimmend mit der Zahl, welche wir in den Tafeln der gleichmässigen Bewegungen dargestellt haben.^[18]

Capitel 19.

Ueber die Oerter oder Ausgangspunkte, welche der gleichmässigen Bewegung der Sonne zum Grunde zu legen sind.

Der Zeitraum von Alexander’s des Grossen Tode bis zur Beobachtung des Hipparch beträgt 176^a 362^d 27½^I[19], in welcher Zeit die mittlere Bewegung nach der Berechnung^[20] 312° 43′ beträgt. Wenn man diese von den 178° 20′ der Hipparchischen Beobachtung^[21], nachdem man dieselbe um 360° des ganzen Kreises vermehrt hat, abzieht: so bleibt für den Anfang der Jahre nach Alexander’s des Grossen Tode, am Mittage des ersten Tages des Monats Thoth der Aegypter, als Ort 225° 37′^[22]. Und dies gilt auch für den Meridian von Krakau und Frauenburg, also für unsern Beobachtungspunkt. Von hier bis zum Anfange der römischen Jahre des Julius Cäsar, also in 278^a 117½^d[23] beträgt die mittlere Bewegung ausser den ganzen Umläufen 46° 28′.^[24]. Addirt man dies zu der Zahlenangabe des Ortes Alexanders: so erhält man den Ort Cäsar’s um Mitternacht des ersten Januar, von wo die Römer ihre Jahre und Tage zu zählen anfangen, 272° 4′. Von hier in 45^a 12^d[25], oder von Alexander dem Grossen in 323^a 130½^d, ergiebt sich der Ort Christi zu 272° 30′^[26]. Und da Christus im 3ten Jahre der 194sten Olympiade geboren ist, und diese Zeit vom Anfange der Olympiaden bis Mitternacht am ersten Januar 775° 12½^d[27] beträgt: so erhält man ebenso den Ort der ersten Olympiade am Mittage des ersten Hekatombäon, welcher Tag jetzt nach den römischen Jahren am 1sten Juli jährlich wiederkehrt, zu 96° 16′^[28]. Auf diese Weise sind die Ausgangspunkte der einfachen Bewegung der Sonne in Bezug auf die Fixsternsphäre aufgestellt. Die zusammengesetzten Oerter entstehen aus jenen durch Hinzufügen der Präcessionen der Nachtgleichen; nämlich der Ort der Olympiaden 90° 59′, Alexanders 226° 38′, Cäsars 276° 59′, Christi 278° 2′^[29]. Alles dies, wie gesagt, auf den Meridian von Krakau bezogen.

Capitel 20.

Ueber die zweite und doppelte Ungleichheit der Sonne, welche wegen der Veränderung der Absiden eintritt.

Eine grössere Schwierigkeit liegt in der Unbeständigkeit der Absiden der Sonne. Ptolemäus sah dieselben für feststehend an; Andere glaubten, dass ihre Veränderung aus der Bewegung der Fixsternsphäre folge, weshalb sie denn annahmen, dass auch die Fixsterne sich bewegten. Arzachel war der Meinung, dass auch diese Bewegung ungleichmässig sei, so dass sie auch rückläufig werden könne; indem er dies daraus schloss, dass Albategnius wie gesagt^[30], das Apogeum um 7° 43′ der Sonnenwende vorausgehend gefunden hatte, dasselbe also vor ihm von Ptolemäus an, in 740 Jahren ungefähr 17°^[31] vorgerückt war; nach Jenem im Verlaufe von 200 weniger 7 Jahren ungefähr 4½° zurückgegangen zu sein schien. Und deshalb meinte er, es gäbe noch eine andere, in einem kleinen Kreise verlaufende Bewegung des Mittelpunkts der Jahresbahn, wodurch das Apogeum vor- und zurückrücke, und zugleich die Abstände des Mittelpunktes jener Bahn vom Weltmittelpunkte sich veränderten. In der That schön erfunden, aber deswegen nicht annehmbar, weil es im Vergleich zum Ganzen mit dem Uebrigen nicht in Zusammenhang gebracht werden kann. Wenn nämlich der Verlauf dieser Bewegung der Reihe nach betrachtet wird, dass sie eine Zeit lang vor Ptolemäus still gestanden hat, dann in 740 Jahren ungefähr 17° vorgerückt und darauf in 200 Jahren 4 oder 5° zurückgegangen, in der übrigen Zeit bis auf uns aber vorgerückt ist, während in der ganzen Zeit kein Zurückrücken weiter, noch weitere Stillstände bemerkt sind, welche letzteren doch nothwendig bei entgegengesetzten Bewegungen vorkommen müssen: — so kann dies auf keine Weise aus einer regelmässigen und kreisförmigen Bewegung abgeleitet werden. Deshalb wird von Vielen vermuthet, dass bei jenen Beobachtungen der Absiden irgend ein Irrthum stattgefunden habe. Beide Mathematiker sind an Eifer und Sorgfalt gleich, so dass es zweifelhaft ist, wem wir lieber folgen sollen. Ich bekenne, dass nirgend eine grössere Schwierigkeit liegt, als beim Beobachten des Apogeums der Sonne, bei welchem aus den kleinsten und kaum wahrnehmbaren Grössen, grosse Grössen berechnet werden müssen. Da in der Gegend des Perigeums und des Apogeums ein ganzer Grad in der Prosthaphärese nur eine Aenderung von 2 Minuten hervorbringt; in der Gegend der mittleren Entfernungen aber auf eine Minute, 5 bis 6 Grade kommen: so kann sich ein kleiner Fehler in’s Ungeheure steigern. Deshalb haben wir, als wir das Apogeum zu 6⅔° des

Kreises bestimmten, uns nur dann damit begnügt, uns auf das Horoscop zu verlassen, wenn auch noch die Sonnen- und Mondfinsternisse uns eine Bestätigung gewährten. Weil, wenn in jenem ein Fehler versteckt lag, diese denselben ohne Zweifel offenbaren mussten. Aus dem Zusammenfassen der Bewegung im Ganzen, können wir als das Wahrscheinlichste nur erkennen, dass sie rechtläufig sei, und zwar ungleichmässig. Mit Ausnahme des Fehlers, welcher, wie man annehmen muss, zwischen Albategnius und Arzachel stattgefunden hat, ist, da alles Uebrige damit in Uebereinstimmung ist, nach jenem Stillstande von Hipparch bis Ptolemäus, das Apogeum bis heute im ununterbrochenen, regelmässigen und beschleunigten Vorschreiten begriffen gewesen. Da nämlich auch die Prosthaphärese der Sonne ebenfalls noch nicht aufgehört hat, abzunehmen, so scheint es, dass beide Ungleichmässigkeiten jener ersten einfachen Anomalie der Schiefe der Ekliptik wenigstens ähnlich seien.

Damit dies klarer werde, sei $ab$ ein Kreis in der Ebene der Ekliptik, um den Mittelpunkt $c$, der Durchmesser sei $acb$, in demselben stehe die Sonnenkugel in $d$, als im Mittelpunkte der Welt, und um den Mittelpunkt $c$ werde ein anderer ganz kleiner Kreis $ef$ beschrieben, der die Sonne nicht einschliesst; in diesem kleinen Kreise möge der Mittelpunkt des jährlichen Umlaufs des Mittelpunkts der Erde, als im langsamen Fortschreiten begriffen, gedacht werden. Wenn sich nun der kleine Kreis $ef$ zugleich mit der Linie $ad$ rechtläufig, der Mittelpunkt des jährlichen Umlaufs aber, in der Peripherie des kleinen Kreises $ef$ rückläufig: und zwar beide sehr langsam bewegen: so befindet sich irgend einmal der Mittelpunkt der Jahresbahn in der grössten Entfernung $de$, einmal in der kleinsten $df$, und zwar dort in der langsameren, hier in der geschwinderen Bewegung; und in den dazwischen liegenden Bogen des kleinen Kreises bewirkt das Wachsen und Abnehmen, dass jene Entfernung der Mittelpunkte mit der Zeit abwechselnd bald der grössten Abside vorausgeht, bald ihr folgt, oder das Apogeum, welches in der Linie $acd$, ungefähr in der Mitte liegt, erreicht. Wie z. B. wenn man, den Bogen $eg$ annehmend, $g$ zum Mittelpunkte macht, und um denselben einen, dem Kreise $ab$ gleichen Kreis beschreibt: sich die grösste Abside alsdann in der Linie $dgk$ findet, und der Abstand $dg$ kleiner ist, als $de$, nach dem 8ten Satze des 3ten Buches Euklid’s. So nämlich wird dies durch den excentrischen Kreis eines excentrischen Kreises erklärt, durch den Epicykel eines Epicykels aber folgendermaassen, $ab$ sei ein Kreis um den Mittelpunkt $c$ der Welt und der Sonne, $acb$ sein Durchmesser, in welchem die grösste Abside liegt. Man beschreibe um den Mittelpunkt $a$ den Epicykel $de$ und wieder um den Mittelpunkt $d$ den Epicykel $fg$; in diesem soll sich die Erde bewegen, und alle Kreise sollen in der Ebene der Ekliptik liegen. Die Bewegung des ersten Epicykels sei rechtläufig und ungefähr von Jahresdauer,

die des zweiten oder von $d$ sei ebenso eine jährliche, aber rückläufig, die Umläufe beider sollen auf der Linie $ac$ zusammenfallen. Die Bewegung des Mittelpunkts der Erde, von $f$ aus rückläufig, vermehre auf einige Zeit diejenige von $d$. Hieraus ist nun offenbar, dass die Erde, wenn sie in $f$ ist, das grösste Apogeum der Sonne hervorbringt, in $g$ das kleinste; in den dazwischen liegenden Bogen des Epicykels bewirkt sie, dass das Apogeum mehr oder weniger beschleunigt oder verzögert vorschreitet oder nachfolgt, und dass die ungleichmässige Bewegung so zur Erscheinung kommt, wie früher über den Epicykel und den excentrischen Kreis nachgewiesen ist. Man nehme den Bogen $ai$, construire um $i$, als Mittelpunkt, einen Epicykel und verlängere die Verbindungslinie $ci$ gradlinig $cik$: so ist Winkel $kid$ gleich dem Winkel $aci$, wegen des gleichen Umlaufs. Wie wir früher nachgewiesen haben, beschreibt nun der Punkt $d$ einen dem Hauptkreise $ab$ gleichen excentrischen Kreis um den Mittelpunkt $l$, wobei der Abstand $cl$ gleich $di$ ist; und $f$ ebenfalls seinen excentrischen Kreis, mit dem Abstande $clm$ gleich $idf$, und $g$ in ähnlicher Weise mit dem Abstande $ig$ gleich $cn$. Wenn inzwischen der Mittelpunkt der Erde schon irgendwie einen Bogen $fo$ des zweiten also seines eigenen Epicykels zurückgelegt hätte: so würde $o$ nicht mehr den excentrischen Kreis beschreiben, dessen Mittelpunkt in der Linie $ac$, sondern einen solchen, dessen Mittelpunkt in der mit $do$ parallelen Linie $lp$ liegt, weil, wenn $oi$ und $cp$ gezogen werden, diese einander gleich aber kleiner sind, als $if$ und $cm$, und der Winkel $dio$ gleich dem Winkel $lcp$ ist, nach dem 8ten Satze des ersten Buches Euklid’s; und um so viel scheint das Apogeum der Sonne in der Linie $cp$ dem in $a$ vorauszugehen. Hieraus ergiebt sich, dass dasselbe auch aus einem excentrischen Epicykel sich ableiten lässt. Es bewege sich nämlich der Mittelpunkt der Erde nur in dem vorhin angenommenen excentrischen Kreise, welchen der Epicykel $d$ um den Mittelpunkt $l$ beschreibt, und zwar unter der vorhin gemachten Voraussetzung um den Bogen $fo$, d. h.

etwas schneller als der jährliche Umlauf. Man construire einen andern excentrischen Kreis um den Mittelpunkt $p$ und es wird sofort dasselbe eintreten. Da nun so viele Wege zu demselben Resultate führen: so ist nicht leicht zu entscheiden, welcher wirklich stattfindet, ausser wenn eine fortwährende Uebereinstimmung der Resultate mit den Erscheinungen zwingt, einen davon anzunehmen.

Capitel 21.

Wie gross die zweite Ungleichheit der Ungleichmässigkeit der Sonne sei.

Da, wie schon bemerkt worden ist, diese zweite Ungleichmässigkeit sich nach jener ersten und einfachen Anomalie der Schiefe der Ekliptik richtet, oder ihr ähnlich ist: so werden wir ihre einzelnen Ungleichheiten berechnen können, so weit kein Fehler der früheren Beobachtungen hinderlich ist. Wir erhalten nämlich die einfache Anomalie im Jahre Christi 1515 nach der Berechnung ungefähr zu 165° 39′^[32] und ihren Anfang durch Zurückrechnen ungefähr 64 Jahre vor Christi Geburt^[33], von welcher Zeit bis auf uns 1580 Jahre sich ergeben. Für jenen Anfang haben wir die grösste Excentricität zu 414^[34] gefunden, wenn der Halbmesser 10000 ist; unsere Excentricität ist, wie gezeigt ^[34], 323.

Es sei $ab$ eine grade Linie, in welcher $b$ die Sonne und den Mittelpunkt der Welt bedeutet. Die grösste Excentricität sei $ab$, die kleinste $bd$. Auf dem kleinen Kreise, dessen Durchmesser $ad$ sei, werde der Bogen $ac$ entsprechend der ersten einfachen Anomalie, welche 165° 39′ war, abgetragen. Da nun $ab$ gleich 414 gegeben ist, welche sich für den Anfang der einfachen Anomalie, d. h. für $a$, ergeben hat, jetzt aber $bc$ gleich 323 ist: so haben wir ein Dreieck $abc$, dessen Seiten $ab$ und $bc$, und dessen Winkel $cad$, durch den Bogen $cd$, der als Rest vom Halbkreise gleich 14° 21′ ist, gegeben sind. Daraus ergiebt sich also nach den Sätzen über die ebenen Dreiecke die Seite $ac$ und der Winkel $abc$, als die Differenz zwischen der mittleren und der ungleichmässigen Bewegung des Apogeums. Durch $ac$, die Sehne eines gegebenen Bogens, ist auch der Durchmesser $ad$ des Kreises $acd$ gegeben. Aus dem Winkel $cad$, gleich 24° 21′, erhalten wir $cb$ gleich 2496, wenn der Halbmesser des das Dreieck umschreibenden Kreises 100000 ist; und nach dem Verhältnisse von $bc$ zu $ab$ ergiebt sich $ab$ selbst als 3225, und der zu dieser Sehne zugehörige Winkel $acb$ gleich 341° 26′, und daraus auch der Rest, wenn 360° zwei Rechte sind, $cbd$ zu 4° 13′^[35], und die dazu gehörige Sehne $ac$

gleich 735. Da nun $ab$ gleich 414 gefunden ist, so ist $ac$ ungefähr 95, und diese verhält sich dem gemäss, dass sie eine Sehne zu einem gegebenen Bogen ist, zu $ad$, wie zum Durchmesser. Es ergiebt sich also $ad$ gleich 96, wenn $adb$ 414 ist, und der Rest $db$ ist 318 als die kleinste Excentricität. Der Winkel $cbd$ ist aber gleich 4° 13′ ^[35] als Peripheriewinkel gefunden, als Centriwinkel ist er aber 2° 6½′, und dies ist die von der gleichmässigen Bewegung der Linie $ab$ um den Mittelpunkt $b$ abzuziehende Prosthaphärese. Es werde nun die den Kreis im Punkte $e$ berührende grade Linie $be$ gezogen, und $e$ mit dem Mittelpunkte $f$ verbunden. Da nun in dem rechtwinkligen Dreiecke $bef$ die Seite $ef$ gleich 48 und $bdf$ gleich 366^[36] gegeben ist: so ist, wenn $fdb$ als Radius gleich 10000 genommen wird, $ef$ gleich 1300, und da dies die Hälfte der Sehne des doppelten Winkels $ebf$ ist, so enthält derselbe 7° 28′, wenn 360° vier Rechte ausmachen, und dieser Winkel ist die grösste Prosthaphärese zwischen der gleichmässigen Bewegung $f$ und der erscheinenden $e$. Hiernach kann man auch die übrigen, einzelnen Ungleichheiten berechnen. So, wenn wir den Winkel $afe$ zu 6° nehmen: haben wir ein Dreieck mit den gegebenen Seiten $ef$ und $fb$ und dem Winkel $efb$, woraus sich die Prosthaphärese $ebf$ zu 41′ ergiebt. Wenn dagegen der Winkel $afe$ 12° wäre, so hätten wir die Prosthaphärese gleich 1° 23′, wenn 18° so 2° 4′ ^[37] und so weiter in derselben Weise, wie das früher von den jährlichen Prosthaphäresen gesagt ist.

Capitel 22.

Wie die gleichmässige Bewegung des Sonnen-Apogeums zugleich mit der ungleichmässigen gefunden wird.

Da nun die Zeit, in welcher die grösste Excentricität stattfand, mit dem Anfange der ersten und einfachen Anomalie zusammenfiel, nämlich im 3ten Jahre der 178sten Olympiade^[38] im 259sten ägyptischen Jahre nach Alexanders des Grossen Tode^[39]; und weil der wahre und zugleich der mittlere Ort des Apogeums in 5½ der Zwillinge lag, d. h. 65½° vom Frühlingsnachtgleichenpunkte entfernt war^[40]; da ferner die wahre Präcession dieser Nachtgleiche damals ebenfalls mit der mittleren übereinstimmte und also 4° 38½′^[41] betrug: so erhält man, wenn man diese von jenen 65½° abzieht, für den Ort des Apogeums vom Kopfe des Widders an der Fixsternsphäre 60° 52′^[42]. Ferner ist im 2ten Jahre der 573sten Olympiade^[43], oder im Jahre Christi 1515 der Ort des Apogeums zu 6⅔° des Krebses gefunden^[44]. Da aber die Präcession der Frühlingsnachtgleiche nach der Berechnung^[45] 27¼° war: so bleiben, wenn man dies von 96⅔°^[46] abzieht, 69° 25′. Es ist aber gezeigt^[47], dass bei der damals stattfindenden Anomalie von 165° 39′ die Prosthaphärese, um welche der wahre Ort vor dem mittleren voraus war 2° 7′ betrug. Also ergiebt sich der mittlere Ort des Sonnen-Apogeums zu 71° 32′. Es betrug also in 1580 mittleren ägyptischen Jahren, die mittlere gleichmässige Bewegung des Apogeums 10° 41′^[48]. Wenn wir dies mit der Anzahl der Jahre dividiren: so erhalten wir den jährlichen Antheil zu 24″ 20‴ 14⁗^[49].

Capitel 23.

Von der Verbesserung der Anomalie der Sonne und von ihren Oertern.

Wenn man dies von der einfachen jährlichen Bewegung abzieht, welche 359° 44′ 49″ 7‴ 4⁗^[50] betrug: so bleibt die jährliche Anomalie gleich 359° 44′ 24″ 46‴ 50⁗. Dies wieder durch 365 dividirt giebt den täglichen Antheil zu 59′ 8″ 7‴ 22⁗. Uebereinstimmend mit dem, was in den Tafeln ^[50] früher entwickelt ist. Hieraus erhalten wir auch die Oerter der festgesetzten Anfangspunkte; indem wir von der ersten Olympiade anfangen. Es ist gezeigt^[51], dass am 14. September des zweiten Jahres der 573sten Olympiade^[52], eine halbe Stunde nach dem Aufgange der Sonne, das mittlere Apogeum der Sonne 71° 32′ war, woraus sich der mittlere Abstand der Sonne zu 83° 3′^[53] ergiebt. Es sind aber vom Anfange der Olympiaden 2290 ägyptische Jahre 281 Tage 46^I[54], und in dieser Zeit beträgt die Bewegung der Anomalie mit Hinweglassung der ganzen Kreise, 42° 49′. Zieht man diese von den 83° 3′ ab: so bleiben 40° 14′ als Ort der Anomalie für den Anfang der Olympiaden^[55], und in derselben Weise wie oben, als Ort der Jahre Alexanders 166° 38′^[56], Cäsar’s 211° 11′ und Christi 211° 18′.

Capitel 24.

Tafel der Unterschiede zwischen der gleichmässigen und der erscheinenden Bewegung.

Damit aber dasjenige, was über die Unterschiede der gleichmässigen und der erscheinenden Bewegung der Sonne abgeleitet ist, für die Anwendung bequemer werde, wollen wir auch für diese eine Tafel von 60 Zeilen und 6 Rubriken aufstellen. Die beiden ersten Rubriken enthalten die Zahlen beider Halbkreise, nämlich aufsteigend und absteigend, von drei zu drei Graden, neben einander geschrieben, wie wir das früher bei der Bewegung der Nachtgleichen gethan haben. In der dritten Rubrik sind die Grade und Minuten der Unterschiede der Bewegung des Sonnen-Apogeums oder der Anomalie verzeichnet, wie sie jeden drei Graden entsprechen, und diese Unterschiede steigen bis zur Höhe von 7½°. Die vierte Rubrik ist den Proportionalminuten zugetheilt, welche bis sechzig steigen, und nach dem Ueberschusse der grösseren Prosthaphäresen der jährlichen Anomalie abgeschätzt werden. Da nämlich der grösste Ueberschuss derselben 32′ beträgt, so giebt der 60ste Theil 32″. Nach der Grösse dieses Ueberschusses (welchen wir nach der früher mitgetheilten Methode aus der Excentricität berechnet haben) setzen wir die Anzahl der Sechzigstel neben die einzelnen Zahlen der je 3 Grade. In der fünften Rubrik stehen die einzelnen jährlichen Prosthaphäresen oder ersten Differenzen, nach dem kleinsten Abstande der Sonne vom Mittelpunkte. In der sechsten und letzten Rubrik finden sich die Ueberschüsse derselben, welche bei der grössten Excentricität entstehen. Hier folgt die Tafel:

TAFEL DER PROSTHAPHÄRESEN DER SONNE.
Gemeinschaftliche Zahlen		Prosthaphärese des Mittelpunktes		Proportional-Minuten	Prosthaphärese der Bahn		Ueberschuss	Gemeinschaftliche Zahlen		Prosthaphärese des Mittelpunktes		Proportional-Minuten	Prosthaphärese der Bahn		Ueberschuss
Grad	Grad	Grad	Min.		Grad	Min.	Min.	Grad	Grad	Grad	Min.		Grad	Min.	Min.
003	357	0	21	60	0	06	01	093	267	7	24	30	1	50	32
006	354	0	41	60	0	11	03	096	264	7	24	29	1	50	33
009	351	1	02	60	0	17	04	099	261	7	24	27	1	50	32
0
012	348	1	23	60	0	22	06	102	258	7	23	26	1	49	32
015	345	1	44	60	0	27	07	105	255	7	21	24	1	48	31
018	342	2	03	59	0	33	09	108	252	7	18	23	1	47	31
0
021	339	2	24	59	0	38	11	111	249	7	13	21	1	45	31
024	336	2	44	59	0	43	13	114	246	7	06	20	1	43	30
027	333	3	04	58	0	48	14	117	243	6	58	18	1	40	30
0
030	330	3	23	57	0	53	16	120	240	6	49	16	1	38	29
033	327	3	41	57	0	58	17	123	237	6	37	15	1	35	28
036	324	4	00	56	1	03	18	126	234	6	25	14	1	32	27
0
039	321	4	18	55	1	07	20	129	231	6	14	12	1	29	25
042	318	4	35	54	1	12	21	132	228	6	50	11	1	25	24
045	315	4	51	53	1	16	22	135	225	5	44	10	1	21	23
0
048	312	5	06	51	1	20	23	138	222	5	28	09	1	17	22
051	309	5	20	50	1	24	24	141	219	5	19	07	1	12	21
054	306	5	34	49	1	28	25	144	216	4	51	06	1	07	20
0
057	303	5	47	47	1	31	27	147	213	4	30	05	1	03	18
060	300	6	03	46	1	34	28	150	210	4	09	04	0	58	17
063	297	6	12	44	1	37	29	153	207	3	46	03	0	53	14
0
066	294	6	27	42	1	39	29	156	204	3	23	03	0	47	13
069	19	6	33	41	1	42	30	159	201	3	01	02	0	42	12
072	288	6	42	40	1	44	30	162	198	2	37	01	0	36	10
0
075	285	6	51	39	1	46	30	165	195	2	12	01	0	30	09
078	282	6	58	38	1	48	31	168	192	1	47	01	0	24	07
081	279	7	05	36	1	49	31	171	189	1	21	00	0	18	05
0
084	276	7	11	35	1	49	31	174	186	0	54	00	0	12	04
087	273	7	16	33	1	50	31	177	183	0	27	00	0	06	02
090	270	7	21	32	1	51	32	180	180	0	00	00	0	00	00

Capitel 25.

Ueber die Berechnung der erscheinenden Bewegung der Sonne.

Hieraus, glaube ich, ist es nun hinreichend deutlich, auf welche Weise der erscheinende Ort der Sonne für jede beliebige gegebene Zeit berechnet wird. Man muss nämlich für diese Zeit den wahren Ort der Frühlingsnachtgleiche, oder dessen Vorrücken nebst seiner ersten einfachen Anomalie suchen, wie wir das früher^[57] auseinandergesetzt haben; demnächst die einfache mittlere Bewegung des Mittelpunkts der Erde, welche man, wenn man will, auch die Bewegung der Sonne nennen kann; und die jährliche Anomalie aus den Tafeln der gleichmässigen Bewegungen, welche dann zu ihren festgestellten Anfangspunkten addirt werden. Mit der ersten einfachen Anomalie, nachdem man ihre Zahl, oder deren nächstliegende in der ersten oder zweiten Rubrik der vorstehenden Tafel aufgesucht hat, findet man die ihr entsprechende Prosthaphärese der jährlichen Anomalie in der dritten Rubrik, und notirt sich die folgenden Proportional-Minuten. Diese Prosthaphärese wird, wenn die erste Anomalie kleiner als der Halbkreis ist, oder ihre Zahl sich in der ersten Rubrik findet, zur jährlichen Anomalie addirt, sonst von derselben abgezogen. Diese Summe oder Differenz ist die ausgeglichene Anomalie der Sonne, durch welche man wiederum die Prosthaphärese der Jahresbahn in der fünften Rubrik, nebst dem folgenden Ueberschusse findet. Wenn dieser Ueberschuss durch die vorhin notirten Proportional-Minuten dividirt, einen merklichen Quotienten giebt: so wird dieser Quotient zur letzten Prosthaphärese addirt; hierdurch wird diese Prosthaphärese corrigirt, und diese wird dann vom mittleren Orte der Sonne abgezogen, wenn die Zahl der jährlichen Anomalie in der ersten Rubrik sich findet, oder kleiner als der Halbkreis ist; dagegen zu demselben addirt, wenn Letztere grösser ist oder in der zweiten Rubrik steht. Die auf diese Weise erhaltene Differenz oder Summe, bestimmt den wahren Ort der Sonne vom ersten Stern des Widders gerechnet. Wenn endlich zu diesem die wahre Präcession der Frühlingsnachtgleiche hinzugefügt wird: so erhält man sofort den Ort von diesem Nachtgleichenpunkte in einem der zwölf Zeichen und in Graden der Zeichen des Kreises. Will man anders verfahren: so nimmt man anstatt der einfachen Bewegung die gleichmässige zusammengesetzte, und macht das Uebrige wie angegeben ist, ausser dass man anstatt der Präcession der Nachtgleichen, nur ihre Prosthaphärese addirt oder subtrahirt, je nachdem es die Umstände erfordern. So stellt sich die Berechnung des erscheinenden Orts der Sonne aus der Bewegung der Erde, übereinstimmend mit den alten und neueren Beobachtungen; um so mehr ist anzunehmen, dass man denselben dadurch für die Zukunft vorausberechnen kann. Aber auch das wollen wir nicht unerwähnt lassen, dass wenn Jemand meinen sollte, der Mittelpunkt des jährlichen Umlaufs stehe als Mittelpunkt der Welt fest, die Sonne aber sei beweglich und zwar folge sie zweien Bewegungen, welche ähnlich und gleich wären denen, welche wir von dem Mittelpunkte des excentrischen Kreises nachgewiesen haben, — dass dann allerdings Alles, dieselben Zahlen und dieselbe Rechnung, wie vorher sich ergeben würde, während nichts weiter darin verändert würde, als die Stellung selbst; nämlich in Bezug auf die Sonne. Die Bewegung des Mittelpunkts der Erde fände dann abgetrennt für sich, und einfach um den Mittelpunkt der Weit statt, während die übrigen beiden Bewegungen auf die Sonne übertragen wären. Es bleibt deshalb noch ein Zweifel über den Mittelpunkt der Welt, weswegen wir uns darüber von Anfang an schwankend ausgedrückt haben, ob er nämlich in oder ausserhalb der Sonne liege. Ueber diese Frage werden wir bei der Entwickelung über die fünf Planeten, welche wir nach unsern Kräften ebenfalls durchführen wollen, noch mehr sagen, während wir es für genügend erachten, sichere und untrügliche Zahlen über den erscheinenden Ort der Sonne erlangt zu haben^[58].

Capitel 26.

Ueber das Nychthemeron, d. h. über die Ungleichmässigkeit des natürlichen Tages.

Es bleibt in Bezug auf die Sonne noch übrig, Einiges über die Ungleichmässigkeit des natürlichen Tages zu sagen, unter welcher Zeit man die Dauer von 24 gleichen Stunden versteht, und die wir bisher als das gemeinsame und zuverlässige Maass der Himmelsbewegungen angewendet haben. Einen solchen Tag bestimmen Einige als die Zeit, welche zwischen zweien Aufgängen der Sonne liegt, wie die Chaldäer und das jüdische Alterthum, Andere als die Zeit zwischen zweien Untergängen, wie die Athenienser, Andere als die Zeit von Mitternacht zu Mitternacht, wie die Römer, Andere als die Zeit von Mittag zu Mittag, wie die Aegypter. Es ist aber klar, dass in dieser Zeit die eigentliche Umdrehung der Erdkugel vollendet wird, einschliesslich dessen, was inzwischen durch die jährliche Bewegung in Bezug auf die scheinbare Bewegung der Sonne hinzukommt. Dass aber dieser Zuwachs ungleichmässig ist, beweist hauptsächlich der ungleichmässige scheinbare Lauf der Sonne, und ausserdem der Umstand, dass jener natürliche Tag von der Umdrehung um die Pole des Aequators abhängt, die jährliche Bewegung aber in der Ekliptik vor sich geht. Deshalb kann diese erscheinende Zeit kein gemeinsames und zuverlässiges Maass der Bewegung sein da weder die Tage, noch ihre Theile unverändert sich gleich bleiben; und darum war es zweckmässig einen mittleren gleichmässigen Tag aus jenem abzuleiten, durch welchen ohne Zweifel die Gleichmässigkeit der Bewegung gemessen werden kann. Da nun in dem Laufe eines ganzen Jahres 365 Umwälzungen um die Pole der Erde stattfinden, und zu diesen durch den täglichen Zuwachs wegen des scheinbaren Fortrückens der Sonne, fast eine ganze überzählige Umwälzung hinzukommt: so folgt, dass der 365ste Theil derselben Dasjenige sei, was den natürlichen Tag ausmacht. Deshalb haben wir den gleichmässigen Tag von dem ungleichmässigen erscheinenden zu trennen und zu unterscheiden. Wir nennen also denjenigen Tag den gleichmässigen, welcher eine ganze Umdrehung des Aequators enthält, und ausserdem noch so viel, als die Sonne während derselben Zeit in gleichmässiger Bewegung zu durchlaufen scheint. Den ungleichmässigen aber und den erscheinenden Tag nennen wir denjenigen, welcher eine ganze Umdrehung von 360 Zeitgraden des Aequators umfasst, und ausserdem dasjenige, was durch das scheinbare Fortschreiten der Sonne im Horizonte oder Meridiane noch hinzukommt. Der Unterschied dieser Tage, obgleich gering, wird zwar nicht sofort bemerkt, wächst aber durch seine Vermehrung während einiger Tage zur Merklichkeit. Es giebt zwei Ursachen dieses Unterschiedes: theils die Ungleichmässigkeit der scheinbaren Bewegung der Sonne, theils auch die ungleiche Aufsteigung der Schiefe der Ekliptik. Ueber die Erste, welche wegen der ungleichmässigen scheinbaren Bewegung der Sonne stattfindet, hat sich schon ergeben, dass in dem einen Halbkreise, in welchem die grösste Abside liegt, an den Graden der Ekliptik nach Ptolemäus 4¾° fehlten, und im andern Halbkreise, in welchem die kleinste Abside liegt, ebenso viel zu viel war.^[59] Deshalb betrug der ganze Ueberschuss des einen Halbkreises über den andern 9½°. Bei der andern Ursache aber, welche von dem Auf- und Untergange abhängt, tritt der grösste Unterschied zwischen den Halbkreisen der beiden Sonnenwenden ein, und dieser Unterschied herrscht auch zwischen dem kürzesten und längsten Tage, ist sehr verschieden, und jeder einzelnen Gegend eigenthümlich. Der Unterschied aber, welcher vom Mittage oder von der Mitternacht abhängt, wird immer durch vier Grenzen bestimmt. Nämlich zwischen dem 16ten Grade des Stiers und dem 14ten Grade des Löwen liegen 88° und diese gehen durch den Meridian, während ungefähr 93° des Aequators passiren; und zwischen dem 14ten Grade des Löwen und dem 16ten Grade des Skorpions liegen 92°, und diese gehen durch den Meridian, während 87° des Aequators^[60] passiren, so dass hier 5° des Aequators fehlen, dort ebensoviel zu viel sind. Die im ersten Abschnitte enthaltenen Tage übertreffen diejenigen des zweiten Abschnittes um 10° des Aequators, das macht ⅔ Stunden. Und das trifft in dem andern Halbkreise in den Gegenden zwischen den jenen diametral entgegengesetzten Grenzen ebenso zu. Es hat aber den Mathematikern gefallen, den Anfang des natürlichen Tages nicht vom Auf- oder Untergang, sondern vom Mittag oder der Mitternacht zu nehmen, weil der vom Horizonte herrührende Unterschied grösser ist, sogar einige Stunden beträgt und ausserdem nicht überall derselbe ist, sondern nach der Schiefe des Horizontes vielfältig sich ändert. Der sich auf den Meridian beziehende Unterschied ist aber überall derselbe, und einfacher. Der ganze Unterschied, welcher aus beiden schon angegebenen Ursachen, sowohl von dem ungleichmässigen scheinbaren Fortschreiten der Sonne, als auch von dem ungleichen Durchgange durch den Meridian, herrührt, betrug vor Ptolemäus^[61], wo er von der Mitte des Wassermannes anfing abzunehmen, und vom Anfange des Skorpions wuchs, 8⅓ Zeitgrade des Aequators. Und dieser Unterschied hat sich jetzt durch das Abnehmen von dem 20sten Grade des Wassermannes bis zum 10ten Grade des Skorpions, und durch das Wachsen vom 10ten Grade des Skorpions bis zum 20sten Grade des Wassermannes auf 7° 48′ Aequator-Theile verringert. Es verändert sich nämlich selbst dieser Unterschied mit der Zeit, wegen der Unbeständigkeit des Perigeums und der Excentricität. Wenn man endlich hiermit auch noch den grössten Unterschied in dem Vorrücken der Nachtgleichen vereinigt, so kann in einer gewissen Anzahl von Jahren der ganze Unterschied der natürlichen Tage über 10 Zeitgrade betragen. Und hierin lag bis jetzt die dritte Ursache der Ungleichheit der Tage verborgen, weil die Umwälzung des Aequators in Bezug auf die mittlere gleichmässige Nachtgleiche als gleichmässig befunden wird, nicht aber in Bezug auf die erscheinenden Nachtgleichen, welche, wie hinreichend klar geworden ist, ganz und gar nicht gleichmässig sind. Zehn Zeitgrade verdoppelt geben 1⅓ Stunden, und um diese können einstmals die längsten Tage die kürzesten übertreffen. Dies hätte gegen das jährliche Fortrücken der Sonne und gegen die langsamere Bewegung der übrigen Planeten ohne merklichen Fehler vielleicht vernachlässigt werden können: aber wegen der Geschwindigkeit des Mondes, wegen deren ein Fehler von fünf sechstel Graden begangen werden könnte, ist es durchaus nicht zu vernachlässigen. Die Methode, die gleichmässige Zeit aus der ungleichmässigen erscheinenden abzuleiten, so dass alle Ungleichheiten berücksichtigt werden, ist folgende. Wenn irgend eine Zeit gegeben ist, so muss für jeden der beiden Grenzpunkte dieser Zeit, nämlich für den Anfang und das Ende, der mittlere Ort der Sonne von der Frühlingsnachtgleiche aus ihrer mittleren gleichmässigen Bewegung, welche wir die zusammengesetzte genannt haben, gesucht werden; und auch der wahre erscheinende Ort von der wahren Nachtgleiche; ferner muss beachtet werden, wie viel Zeitgrade wegen der graden Aufsteigung um Mittag oder Mitternacht passirt sind, und wie viel zwischen dem ersten und zweiten wahren Orte liegen. Wenn nämlich gleich viel Grade zwischen den beiden mittleren Oertern liegen, so ist die gegebene scheinbare Zeit gleich der mittleren. Wenn aber die Anzahl der Zeitgrade grösser ist, so addirt man den Ueberschuss zu der gegebenen Zeit; ist sie kleiner, so zieht man die Differenz von der scheinbaren Zeit ab. Wenn wir dies thun, so erhalten wir in der Summe oder Differenz die in gleichmässige verwandelte Zeit, wobei wir für jeden Zeitgrad 4/60 einer Stunde oder 10/60 eines sechzigstel Tages nehmen. Wenn aber eine mittlere Zeit gegeben wäre, und man wissen wollte, wie viel scheinbare Zeit derselben entspräche: so müsste man umgekehrt verfahren. Wir haben aber als mittleren Ort der Sonne vom mittleren Frühlingsnachtgleichenpunkte für die erste Olympiade um Mittag des ersten Tages des ersten atheniensischen Monats Hekatombäon 90° 59′ erhalten, und vom scheinbaren Nachtgleichenpunkte 0° 36′ des Krebses. Für die Jahre Christi aber ist die mittlere Bewegung der Sonne 8° 2′ des Steinbocks, die wahre Bewegung 8° 48′ des Steinbocks. Es passiren aber an der graden Kugel von 0° 36′ des Krebses bis 8° 48′ des Steinbocks 188° 54′ des Aequators. Diese übertreffen die Differenz der mittleren Oerter um 1° 53′ des Aequators. Dies beträgt 7½^m[62]. Und so weiter, wodurch der Lauf des Mondes auf das Genaueste untersucht werden kann; hiervon soll in dem folgenden Buche gehandelt werden.

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Anmerkungen [des Übersetzers]

1. ¹⁷⁷) Alm. III. 4.
2. ¹⁷⁸) So liest die Säc.-Ausg. richtiger als die alten Drucke, welche 90° 11′ haben.
3. ¹⁷⁹) Albategnius, de motu stellarum, Norimb. 1537. Cap. XXVII. fol. 27 & 28. Dort finden sich die Zahlen, wie sie im Texte, aus der Säc.-Ausgabe entnommen, stehen, während die alten Ausgaben statt der letzteren Angabe 182 32^I Tage haben. Die Excentricität giebt Albategnius ebenda zu 2 4^I 45^II solcher Theile an, von denen der Halbmesser 60 enthält; dies ergiebt aber 346,53, wenn der Halbmesser 10000 beträgt. Deshalb dürfte die Lesart 347 der alten Drucke, derjenigen der Säc.-Ausg., nämlich 346 vorzuziehen sein.
4. ¹⁸⁰) A. a. O. fol. 29.
5. ¹⁵⁷) In der Ausgabe, welche Schreckenfuchs vom Almagest besorgt hat, stellt Buch III. Cap. 2. fol. 59: 178 statt 177, was aber ein Druckfehler ist.
6. ¹⁸¹)

   Alexandria	liegt	29° 53′ 27″	östl.	v.	Gr.
   Krakau	„	19° 57′ 46″,5	„	„	„	(Nautical Almanac)
   Differenz		09° 55′ 40″,5

   oder 0^h 39^m 42^s,7 Sternzeit, oder 0^h 38^m 36^s,2 mittl. Zeit, wofür im Text 1^h. Vergl. auch Anm. ¹⁶⁹).

7. ¹⁸²) Genauer 23^h 21^m 23^s,8 mittlere Krakauer Zeit.
8. ¹⁸³) Buch III. Cap. 12.
9. ¹⁸⁴) Nach Anm. ¹⁵⁸) zu Buch III. Cap. 13. waren seit Alexanders Tode verstrichen

   	176 ägypt. Jahre 362d	12h mittl. Zeit von Alexandrien, davon gehen wegen
   der Länge von Krakau ab		00h 38m 36s,2
   bleiben	176 ägypt. Jahre 362d	11h 21m 23s,8.	Nach Buch III. Cap. 6 beträgt

   die gleichmässige Bewegung						0	die einfache Anomalie
   für 2 $\times$ 60a	1°	40′	24″				012°	34′	48″
   56a	0	46	51	16‴			005	52	14	32‴
   6 $\times$ 60d	0	00	49				000	06	12
   2d	0	00	00	16			000	00	02	04
   11h 21m 23s,8	0	00	00	03	47		000	00	00	29	20
   Wurzel Buch III. Cap. 11.	1°	02					332	51	03	42
   Summe	3°	30′	04″	35‴	47⁗		351°	15′	20″	47‴	20⁗
   doppelte Anomalie							342°	30′	41″	34‴	40⁗

   Nach Buch III. Cap. 8 ist die Prosthaphärese für diese doppelte Anomalie

   	000° 20′ 29″ 18‴ 25⁗	dies nach Buch III. Cap. 12 zu der gleichmässigen Bewegung
   addirt	003° 50′ 33″ 54‴ 12⁗,	um so viel stand also der erste Stern des Widders von der Frühlingsnachtgleiche ab;
   zieht man dies von 180° ab, so erhält man
   	176° 09′ 26″ 05‴ 48⁗	als Abstand der Herbstnachtgleiche vom ersten Sterne des Widders, wofür im Text 176° 10′ steht.

10. ¹⁸⁵)

    Nach Buch III. Cap. 16 erste Figur betrug zu Hipparchs Zeit der Winkel	$lfe$	= 024° 30′
    	$cfl$	= 060°
    folglich	$cfn$	= 114° 30′,

    wo $n$ das Apogeum und $c$ der Herbstnachtgleichenpunkt war.

11. ¹⁸⁶)

    Krakau liegt	19° 57′ 46″,5	östl.	v.	Gr.
    Frauenburg	19° 40′ 07″,5	„	„	„
    Differenz	00° 17′ 39″,

    welche Copernicus nicht gekannt zu haben scheint. Die Meridianübereinstimmung zwischen Frauenburg und Krakau, welche er annahm, veranlasste ihn an verschiedenen Stellen andere Orte auf Krakau zu beziehen. Er meinte eigentlich seinen eigenen Beobachtungsort Frauenburg und ersetzte diesen nur durch das allgemeiner bekannte Krakau. Eine nationale Vorliebe für Krakau ist keineswegs darin zu finden, wie man wohl gefabelt hat.

12. ¹⁸⁷) Buch III. Cap. 13. Anm. ¹⁶⁶).
13. ¹⁸⁸) Diese Berechnung ist für den Zeitraum von 1839^a 34^d 18^h 30^m ebenso durchzuführen, wie es in Anm. ¹⁸⁴) geschehen ist, und man erhält 027° 21′ 26″ 32‴ 28⁗ als den Abstand des ersten Sterns des Widders von der Frühlingsnachtgleiche, zieht man dies von 180° ab, so erhält man: 152° 38′ 33″ 27‴ 32⁗ als Abstand der Herbstnachtgleiche vom ersten Sterne des Widders, wofür im Text 152° 45′ gesetzt ist.
14. ¹⁸⁹) Buch III. Cap. 16 gegen Ende.
15. ¹⁹⁰) Abstand der Herbstnachtgleiche vom ersten Sterne des Widders ist nach Anm. ¹⁸⁸)

    gleich	152° 45′,	dazu die im Text eben gefundene Prosthaphärese
    	001° 50′
    giebt	154° 35′	wie im Text.

16. ¹⁹¹)

    	1839a 034d 18h 30m	davon ab
    	0176a 362d 11h 21m
    giebt	1662a 037d 07h 09m =	1662a 37d 17I 51II, wofür im Text
    		1662a 37d 18I 45II gesetzt ist.

17. ¹⁹²) Dividirt man mit 365^d 15^I 24^II 10^III, wie Buch III. Cap. 14 angegeben ist, in 1662^a 37^d 18^I 45^II des Textes, so erhält man 1660 Umläufe 336° 5′ 32″,1.
18. ¹⁹³) Nach der Tafel der einfachen gleichmässigen Bewegung der Sonne Buch III. Cap. 14, kommen auf

    27 $\times$	60a	5 $\times$ 60 $\times$ 60	$+$	53 $\times$ 60	$+$	010° 06′ 10″
    	42a	5 $\times$ 60	$+$			049° 22′ 22″ 56‴
    	37d					036° 28′ 03″ 00‴
    	3/10d					000° 17′ 44″ 27‴
    	1/80d					000° 00′ 44″ 41‴
    Zusammen		21576° oder 59 $\times$ 360 $+$				336° 15′ 05″ 04‴

    welche aus den Tafeln geschöpfte Zahl allerdings mit der durch jene Division aus Anm. ¹⁹²) erhaltenen, sehr gut übereinstimmt.

19. ¹⁹⁴) 11^h 21^m 23^s,8 sind 28^I,391 Tage, wofür im Texte 271/2^I steht. Vergl. Anm. ¹⁸⁴).
20. ¹⁹⁵) Durch dieselbe Division, wie in Anm. ¹⁹²) erhält man für diese Zeit 176 Umläufe 312° 42′ 38″ 22‴, wofür im Text 312° 43′ gesetzt ist.
21. ¹⁹⁶) Buch III. Cap. 18 in der Mitte.
22. ¹⁹⁷)

    360° $+$ 178° 20′ =	538° 20′
    davon ab	312° 43′
    bleiben	225° 37′	wie im Text.

23. ¹⁹⁸) Buch III. Cap. 11. in der Mitte, und Anm. ¹⁴⁴). Es sind dies ebenfalls ägyptische Jahre.
24. ¹⁹⁹) Durch die Division der Anm. ¹⁷²) und ¹⁹⁵) erhält man für diese Zeit 278 Umläufe 46° 27′ 19″, wofür im Texte 46° 28′ gesetzt ist. In den alten Ausgaben steht 27′. Die Baseler Ausgabe hat allein LXVI statt XLVI Grad, was offenbar ein Druckfehler ist.
25. ²⁰⁰) Nach den Berechnungen der Anm. ¹³⁸) und der Uebersicht in der Anm. ¹⁴⁴) muss es hier 45^a 16^d und gleich darauf 323^a 135^d,5 heissen.
26. ²⁰¹) Von Alexander dem Grossen bis Christus beträgt die gleichmässige Bewegung nach den Tafeln

    323 Umläufe	046° 53′	dazu der Ort Alexanders
    	225° 37′
    giebt	272° 30′	wie im Text.

27. ²⁰²) Die Uebersicht der Anm. ¹⁴⁴) ergiebt 776^a 12^d,5.
28. ²⁰³) Legt man die Angabe des Textes zu Grunde, so geben 775^a 12^d,5

    774 Umläufe	176° 13′ 51″
    zieht man, mit Weglassung der Umläufe, dies von dem Orte Christi	272° 30′ 48″
    ab, so erhält man als Ort des Anfangs der Olympiaden	096° 16′ 57″,
    wofür im Texte 96° 16′ gesetzt ist.

29. ²⁰⁴) Um diese Zahlen zu erhalten, hat man nur die Wurzeln für die gleichmässigen Bewegungen der Präcession der Nachtgleichen, Buch III. Cap. 11. in der Weise mit den einfachen Oertern, wie sie hier gefunden sind, zu verbinden, dass man die Wurzel von dem einfachen Orte abzieht, wenn die Wurzel angiebt, um wie viel der Frühlingsnachtgleichenpunkt dem ersten Sterne des Widders nachfolgt: dagegen die Wurzel zu dem einfachen Orte addirt, wenn die Wurzel angiebt, um wie viel der Frühlingsnachtgleichenpunkt dem ersten Sterne des Widders voraus geht. Beim Anfange der Olympiaden folgte der Frühlingsnachtgleichenpunkt dem ersten Sterne des Widders, bei den anderen Terminen war er demselben voraus. Dadurch gestalten sich die Berechnungen so:

    Einfacher Ort	der	Olympiaden	096° 16′
    Wurzel	„	„	005° 16
    Zusammengesetzter Ort	„	„	091° 00′,	wofür im Text 90° 59′
    Einfacher Ort	Alexanders		225° 37′
    Wurzel	„		001° 01′ 54″
    Zusammengesetzter Ort	„		226° 38′ 54″,	wofür im Text 226° 38′
    Einfacher Ort	Cäsars		272° 04′
    Wurzel	„		004° 54′ 47″
    Zusammengesetzter Ort	„		276° 58′ 47″,	wofür im Text 276° 59′
    Einfacher Ort	Christi		272° 30′
    Wurzel	„		005° 32′ 28″
    Zusammengesetzter Ort	„		278° 02′ 28″,	wofür im Text 278° 2′

30. ²⁰⁵) Buch III. Cap. 16.
31. ²⁰⁶)

    Vor Ptolemäus	war	das	Apogeum	dem	Solstitium	voraus	24° 30′	Buch III. Cap. 16.
    zur Zeit des Albategnius	„	„	„	„	„	„	07° 43′	ebenda
    	also war das Apogeum zurückgeblieben						16° 47′,	wofür im Texte prope 17° steht.

32. ²⁰⁷) Die 1514 Jahre sind römische, also kommen hinzu $\textstyle {\frac {1514}{4}}=378$ Tage, es sind also 1515^a 13^d oder 25 $\times$ 60 + 15 ägyptische Jahre und 13 Tage. Hierfür findet man in den Tafeln Buch III. Cap. 6.

    die einfache Anomalie für 25 $\times$ 60 =	157° 15′ 03″
    15 =	001° 34′ 21″ 02‴
    13 =	000° 00′ 13″ 26
    Ort Christi aus Buch III. Cap. 11 =	006° 45
    zusammen =	165° 34′ 37″ 28‴

    wofür im Text 165° 39′ fere steht, welche Differenz voraussetzen würde, dass Copernicus seine Bestimmung auf den 12. September des Jahres 1515 n. Chr. bezieht, was mit seiner eigenen Angabe vom 14. September sehr nahe übereinstimmt.

33. ²⁰⁸)

    Der Ort Christi für die Anomalie ist		6° 45′
    hiervon ab die Anomalie für 60 Jahre		6° 17′ 24″ 09‴
    	bleiben	0° 27′ 35″ 51
    hiervon ab die Anomalie für 4 Jahre		0° 25′ 09″ 36
    	bleiben	0° 02′ 26″ 15
    hiervon ab die Anomalie für 2 $\times$ Tage		0° 02′ 04
    	bleiben	0° 00′ 22″ 15
    hiervon ab die Anomalie für 21 Tage		0° 00′ 21″ 42
    	bleiben	0° 00′ 00″ 33‴.

    welche zu vernachlässigen sind; also beträgt die Zeit vom Anfange der Anomalie 64 Jahre 141 Tage, wofür im Text 64 Jahre fere gesetzt ist.

34. ²⁰⁹) Buch III. Cap. 16 u. 18.
35. ²¹⁰) Die Säc.-Ausg. hat hier, und nachher wiederholt, 4° 23′ statt der 4° 13′ der alten Drucke, es lässt sich aber leicht erkennen, dass die alte Lesart die richtige ist; denn, wenn wir 360° = 2$R$ setzen, so war gefunden:

    Winkel $acb$ =	341° 26′
    $cab$ =	014° 21
    zusammen	355° 47′
    dies von	360°	ab
    ergiebt $cbd$ =	004° 13′.

    Sind aber 360° = 4$R$, so werden alle Winkel halb so gross, also $cbd$ = 2° 61/2′, was die Säc.-Ausg. pag. 220 lin. 28 auch richtig hat, und nur mit 4° 13′ übereinstimmt. Nach einer Mittheilung des Herrn M. Curtze steht auch im Orig. Mscrpt. an zweiter Stelle wirklich XIII.

36. ²¹¹) Die Säc.-Ausg. liest 366, während die alten Drucke 369 haben. Diese Verschiedenheit erklärt sich so:

    die Säc.-Ausg. hat	$bd$ = 318,	die alte Ausg.	$bd$ = 321,	hierzu kommt
    1/2$ad$ =	$df$ = 048,		$df$ = 048,
    dies giebt	$bf$ = 366,		$bf$ = 369,

    Nach einer Notitz des Herrn M. Curtze steht im Orig. Mnscrpt. $df$ = 47 und $bf$ = 368, woraus zu schliessen sein würde, dass das Orig. Mnscrpt. auch $bd$ = 321 haben müsste.

37. ²¹²) Die alten Drucke lesen hier 2° 4′ statt 2° 3′ der Säc.-Ausg. und in der Tafel der Prosthaphäresen der Sonne, vergl. Seite 187 der Uebersetzung, sogar 2° 5′ statt 2° 3′.
38. ²¹³) Christi Geburt fiel in das 3te Jahr der 194sten Olympiade; nach Buch III. Cap. 21. fand die grösste Excentricität 64 Jahre oder 16 Olympiaden früher statt, dies abgezogen ergiebt das 3te Jahr der 178sten Olympiade.
39. ²¹⁴)

    Das 3te Jahr der 178ten Olympiade fällt	711	Jahre	nach Anfang der Olympiaden,
    der Tod Alexanders fällt	451	„	247 Tage	nach Anfang der Olympiaden,
    also fällt das 3te Jahr der 178ten Olympiade	259	Jahre[WS 1]	118 Tage nach Alexanders Tode.

40. ²¹⁵) Nach Buch III. Cap. 16 hat von Hipparch 125 v. Chr. bis Ptolemäus 139 n. Chr. das Apogeum um 24½° von der Sommersonnenwende, also um 65½° vom Frühlingsnachtgleichenpunkte abgestanden, nun betragen

    ♈︎	=	30°
    ♉︎	=	30°
    ♊︎	=	05½°
    zusammen		65½°

41. ²¹⁶) 259 sind 4 $\times$ 60 + 19 Jahre, also hat man nach den Tafeln Buch III. Cap. 6

    für 4 $\times$ 60		3° 20′ 48″
    19		0° 15′ 53″ 49
    und nach Buch III. Cap. 11 ist der Ort Alexanders		1° 02′
    zusammen		4° 38′ 41″ 49‴,

    wofür im Text 4° 38½′ steht.

42. ²¹⁷)

    Von	65° 30′
    ab	04° 38′ 30″
    giebt	60° 51′ 30″,	wofür im Text 60° 52′ steht.

43. ²¹⁸) Nach Buch III. Cap. 11 Anm. ¹⁴⁴) sind es vom Anfange der Olympiaden bis Christus 776^a 12^d,5 ägyptisch;

    der 14. September 1515 n. Chr. liefert	1514a	256d	römisch
    dazu die Schalttage	0001	013,5
    giebt	1515a	269d,5	ägyptisch
    dazu	0776	012,5
    zusammen	2291a	272d	ägyptisch

    dies giebt das 3te Jahr der 573ten Olympiade.

44. ²¹⁹) Buch III. Cap. 16 zu Ende.
45. ²²⁰)

    Gleichmässige Bewegung für 25 $\times$ 60	Jahre	20° 55′ 02″		einfache Anom. Anm. 207)
    16		00° 13′ 23″ 13		165° 34′ 37″ 28‴
    13	Tage	00° 00′ 01″ 47		doppelte Anomalie
    Ort Christi		05° 32′		331° 09′ 14″ 56‴
    Prosthaphärese		00° 35′ 56
    wahre Präcession der Nachtgleichen		27° 16′ 23″,		wofür im Text 27¼°.

46. ²²¹)

    	♈︎	30°
    	♉︎	30°
    	♊︎	30°
    	♋︎	06° 40′
    zusammen		96° 40′
    davon ab		27° 15′
    bleiben		69° 25′
    dazu		02° 07′	als die zu addirende Prostaphärese
    giebt		71° 32′	als den mittleren Ort des Apogeums der Sonne.

47. ²²²) Im vorigen Capitel.
48. ²²³)

    Aus Anm. 217) hat man	60° 51′ 30″	als Ort des Apogeums für den Anfang der Anomalie,
    hier ist erhalten	71° 32′	als Ort des Apogeums für 1515 n. Chr.,
    also hat sich um	10° 40′ 30″	der Ort des Apogeums in 1580 ägyptischen Jahren geändert, wofür im Text 10° 41′.

49. ²²⁴) Nach den Grössen der Anm. ²²³) ergiebt sich statt dessen 24″ 19‴ 22⁗.
50. ²²⁵) Buch III. Cap. 14.
51. ²²⁶) Buch III. Cap. 22. Anm. ²¹⁸) und ²²¹).
52. ²²⁷) Buch III. Cap. 13. Anm. ¹⁶⁶).
53. ²²⁸)

    Mittlerer Ort der Sonne an	der	Fixsternsphäre	154° 35′	vergl.	Buch	III.	Cap.	18. Anm. 190)
    mittlerer Ort des[WS 2] Apogeums	„	„	071° 32′	„	„	„	„	22. Anm. 221)
    mittlerer Abstand der Sonne vom Apogeum			083° 03′

54. ²²⁹)

    Vom Anfange der Olympiaden bis Nabonassar	0027a 247d	ägyptisch	Buch III. Cap. 11.
    von Nabonassar bis Alexanders Tod	0424a	„
    von da bis zum 14ten September 1515 nach Chr.	1839a 035d	„	Buch III. Cap. 13.
    zusammen	2290a 282d	„

    Da aber der 14te September astronomisch erst um Mittag anfängt, so war es der 13te September 18^h 30^m = 46/60^d, also ist die verlaufene Zeit 2290^m 281^d 46^I ägyptisch.

55. ²³⁰) Die in Rede stehende Zeit beträgt offenbar 38 $\times$ 60 + 10^a, 4 $\times$ 60 + 41^d, 46^I. Nach der Tafel Buch III. Cap. 14 erhält man die Anomalie der Sonne, wie folgt:

    für 38 $\times$	60a	21007° 41′ 39″
    	10a	00357° 24′ 07″ 48
    4 $\times$	60d	00236° 31′ 29″
    	41d	00040° 24′ 33″ 02
    	46I	00000° 45′ 20″ 13
    zusammen		21642° 47′ 09″	oder
    	60c	00042° 47′ 09″	dies ab von
    		00083° 03
    giebt		00040° 15′ 51″	wofür im Text 40° 14′.

56. ²³¹) Im Text sind die Zahlenangaben aus der Säc.-Ausgabe aufgenommen, in den alten Drucken lauten die letzten drei Angaben der Reihe nach 166° 31′, 211° 4′ und 211° 14′.
57. ²³²) Buch III. Cap. 12.
58. ²³³) Diese Berechnung verläuft nach der Vorschrift dieses Capitels folgendermassen:

    Bezeichnung der Bestimmung.	Für den Anfang der Olympiaden	Für den Anfang der Jahre Christi	Stellen.
    Mittlerer Ort der Frühlingsnachtgleichen	354° 44′	005° 32′	Buch III. Cap. 11.
    Ort der einfachen Anomalie	285° 30′	006° 45′	ebenda
    Doppelte Anomalie	211° 00′	013° 30′
    Erste Prosthaphärese	$+$000° 36′	$-$000° 16′	Buch III. Cap. 8 Tafel
    Diese Letztere zu dem mittleren Ort der Frühlingsnachtgleiche je nach dem Vorzeichen hinzugefügt, giebt den mittleren Ort der ☉ vom mittleren ♈︎	355° 20′	005° 16′	Buch III. Cap. 12.
    Prostaphärese des Mittelpunkts, durch die einfache Anomalie	$-$006° 53′ 30″	$+$000° 46′	Buch III. Cap. 24 Tafel
    Die dazu gehörenden Proportional-Minuten	000° 39′	000° 60′	ebenda
    Ort der jährlichen Anomalie	040° 14′	211° 14′	Buch III. Cap. 23.
    Diese Letztere mit der Prosthaphärese des Mittelpunkts je nach dem Vorzeichen verbunden, giebt: die ausgeglichene jährliche Anomalie	033° 20′ 30″	212° 00′	Buch III. Cap. 25.
    Diese Letztere liefert die Prosthaphärese der Bahn	000° 58′ 34″	001° 01′	Buch III. Cap. 24 Tafel
    Der dazu gehörende Ueberschuss	000° 17′	000° 17′	ebenda
    Letzterer durch die Proportional-Minuten dividirt	000° 00′ 26″	000° 00′ 17″	ebenda
    Dieser Quotient zu der Prosthaphärese der Bahn addirt, giebt[WS 3] die corrigirte Prosthaphärese	$-$000° 59′	$+$001° 01′ 17″	ebenda

    Bezeichnung der Bestimmung.	Für den Anfang der Olympiaden	Für den Anfang der Jahre Christi	Stellen.
    Diese corrigirte Prosthaphärese mit demoben schon gefundenen mittleren Orte der Sonne vom mittleren Frühlingsnachtgleichenpunkte, je nach dem Vorzeichen verbunden, giebt den wahren Ort der Sonne vom ersten Stern des Widders	090°	279° 03′ 17″	ebenda
    Hiermit die erste Prosthaphärese je nach dem Vorzeichen verbunden, giebt den wahren Ort der Sonne vom wahren Frühlingsnachtgleichenpunkte	090° 36′	278° 47′ 17″	ebenda
    Oder	♋︎000° 36′	♑︎008° 48′
    Diesem entspricht vom Aequator	090° 39′	279° 35′	Buch II. Cap. 10. Tafel

    Die Differenz dieser letzten Aequatorealgrade beträgt	188°	56′
    Die Differenz zwischen dem mittleren Orte der Sonne und dem mittleren ♈︎	187	03
    Ueberschuss der Aequatorealgrade	001°	53′
    das ist in Zeit	007m	32s,

    vergl, das Ende des folgenden Cap. 26.
59. ²³⁴)

    Vergl. Buch III. Cap. 17. erste Figur, wo Bogen $ab$ =	92° 23′
    $bc$ =	87° 37′
    Differenz =	04° 46′,	wofür im Text 4° 45′ steht.

60. ²³⁵)

    Vergl. Buch II. Cap.[WS 4] 10. die Tafel:	♉︎ 16°	entspricht	043° 31′	des	Aequators
    	♌︎ 14°	„	136° 30′	„	„
    Differenz =	88°	„	092° 59′	wofür im Text 93°
    	♌︎ 14°	„	136° 30′	des	Aequators
    	♏︎ 16°	„	223° 31′	„	„
    Differenz =	92°	„	087° 01′	wofür im Text 87°

61. ²³⁶) Almagest III. 10.
62. ²³⁷) Diese Berechnung ist bereits in Anm. ²³³) durchgeführt, und aus deren Ergebniss geht zugleich hervor, dass die letzten in den Text nach den alten Ausgaben aufgenommenen Zahlenangaben, nämlich 1° 53′ und 7½^m richtiger sind, als die, welche sich in der Säc.-Ausg. finden, nämlich 1° 51′ und 7^m.

Anmerkungen (Wikisource)

1. Vorlage: Jahr
2. Vorlage: der
3. Vorlage: gieht
4. Vorlage: ,

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