Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper/Sechstes Buch

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Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper (1879) von Nicolaus Copernicus

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Nicolaus Copernicus’ Kreisbewegungen.

Sechstes Buch.

Welchen Einfluss und Erfolg die angenommene Kreisbewegung der Erde auf die erscheinende Bewegung der Planeten in Hinsicht der Länge hat, und in welche bestimmte und nothwendige Gesetzmässigkeit sie diese Alle zwingt, haben wir, soweit wir es vermochten, nachgewiesen. Es ist nun noch übrig, dass wir uns mit denjenigen Bewegungen dieser Gestirne beschäftigen, durch welche sie ihre Breiten ändern; und dass wir zeigen, wie dieselbe Bewegung der Erde auch hierin die Herrschaft führt und jenen auch in dieser Beziehung Gesetze vorschreibt. Es ist aber auch dieser Theil der Wissenschaft nothwendig, weil die Breitenbewegung der Planeten eine nicht geringe Verschiedenheit in den Erscheinungen des Auf- und Unterganges, des Sichtbarwerdens und Verschwindens und anderer, welche im Allgemeinen schon früher dargethan sind, hervorbringt; und auch weil man nicht sagen kann, dass die wahren Oerter der Planeten erkannt sind, ehe nicht die Länge zugleich mit der Breite in Bezug auf die Ekliptik festgestellt ist. Was nun die alten Mathematiker auch hierbei durch die Unbeweglichkeit der Erde zu beweisen versucht haben, das wollen wir mittelst ihrer Bewegung vielleicht kürzer und bequemer ausführen.

Capitel 1.

Allgemeine Auseinandersetzung über die Bewegung der fünf Planeten in Bezug auf die Breite.

Die Alten haben gefunden, dass bei allen Planeten zwei Ungleichmässigkeiten der Breite stattfinden, entsprechend der zweifachen Ungleichmässigkeit der Länge eines jeden derselben; und dass die eine von der Excentricität der Bahnen, die andere von den Epicykeln herrühre. An Stelle dieser Epicykeln setzen wir die schon oft angewendete eine Erdbahn. Nicht als ob diese Bahn selbst von der Ebene des Thierkreises, welche sie nun einmal für immer einnimmt, da beide dasselbe sind. — irgendwie abwiche; sondern indem die Bahnen der Planeten gegen dieselbe unter einem veränderlichen Winkel geneigt sind. Diese Veränderung richtet sich aber nach den Oertern und den Bewegungen der Erde in ihrer Bahn. Wie nun die drei oberen: Saturn, Jupiter und Mars sich nach etwas anderen Gesetzen in Hinsicht der Länge bewegen, als die übrigen Beiden: so unterscheiden sie sich auch in der Bewegung der Breite nicht wenig. Es ist daher zuerst untersucht worden, wo bei Jenen die äussersten Grenzen der nördlichen Breite liegen, und wieviel die Abweichung beträgt. Ptolemäus fand dieselben^[1] beim Saturn und Jupiter im Anfange der Waage, beim Mars aber im Ende des Krebses, nahezu im Apogeum des excentrischen Kreises. Zu unsern Zeiten haben wir diese nördlichsten Grenzen gefunden beim Saturn in 7° des Skorpion, beim Jupiter in 27° der Waage, beim Mars in 27° des Löwen, und um so viel haben auch bis zu unsrer Zeit die Apogeen sich geändert, denn die Neigungen der Planeten-Bahnen und ihre Hauptpunkte der Breiten folgen derselben Bewegung. Von diesen Grenzen nach mittlerer oder erscheinender Bewegung um Quadranten ihrer Bahnen abstehend, scheinen sie keinerlei Abweichungen in der Breite zu machen, wo auch immer die Erde grade dann stehen möge. In diesen mittleren Abständen erkennt man also, dass sie in den gemeinsamen Schnittpunkten ihrer Bahnen mit der Erdbahn stehen; nicht anders als der Mond in den Schnittpunkten seiner Bahn mit der Ekliptik. Diese Schnittpunkte nennt Ptolemäus^[1] Knoten, und zwar den aufsteigenden den, wo der Planet in die nördliche, den absteigenden den, wo derselbe in die südliche Hälfte übergeht. Nicht als ob die Erdbahn, welche immer in der Ebene der Ekliptik bleibt, für jene irgend eine Breite herbeiführte; sondern jede Breiten-Abweichung rührt von den Planeten selbst her, und dieselbe ändert sich am meisten in denjenigen Punkten, in denen die Planeten, bei ihrer Opposition mit der Sonne oder bei ihrer mitternächtlichen Culmination, für die sich nähernde Erde immer eine grössere Abweichung zeigen, als bei irgend einer andern Stellung der Erde; und zwar im nördlichen Halbkreise nach Norden, und im südlichen Halbkreise nach Süden; und dieser Unterschied ist grösser, als es das Nähern oder Entfernen der Erde erfordert. Aus diesem Umstande erkennt man, dass die Neigungen jener Bahnen keine feststehenden sind, sondern durch schwankende, den Kreisbewegungen in der Erdbahn commensurable Bewegungen sich verändern, wie etwas weiter unten besprochen werden soll. Venus aber und Merkur scheinen in etwas anderer Weise in der Breite abzuweichen, jedoch in einer bestimmten Abhängigkeit von der grössten, der kleinsten und den beiden mittleren Absiden. Denn in den mittleren Entfernungen, wo nämlich die Linie der mittleren Bewegung der Sonne, von der grössten und kleinsten Abside der Planeten um Quadranten absteht, und die Planeten selbst als Morgen- oder Abendsterne von derselben Linie der mittleren Bewegung der Sonne um Quadranten ihrer eigenen Bahnen entfernt sind, fand man an ihnen keine Abweichung von der Ekliptik, woraus man erkannte, dass die Planeten dann in der gemeinsamen Schnittlinie ihrer Bahnen und der Ekliptik standen. Diese Schnittlinie bewegt sich durch die Apogeen und Perigeen, dadurch machen die Planeten, indem sie in Bezug auf die Erde entfernter oder näher zu stehen kommen, merkliche Abweichungen, und zwar die grösste bei ihrer grössten Entfernung von der Erde, d. h. wenn sie anfangen des Abends sichtbar zu werden, oder des Morgens zu verschwinden; wo dann Venus am nördlichsten, Merkur am südlichsten erscheint. Und auf der andern Seite bei ihrer grösseren Erdnähe, wenn sie aufhören Abendsterne zu sein, und wenn sie beginnen, des Morgens sichtbar zu werden; wo dann Venus südlich, Merkur nördlich steht. Umgekehrt, wenn die Erde in dem jenem Orte entgegengesetzten steht, und zwar in der andern mittleren Abside, während nämlich die Anomalie des excentrischen Kreises 270° beträgt: erscheint Venus, in der grössten Entfernung von der Erde, südlich, Merkur nördlich, und in der der Erde näheren Stellung ist Venus nördlich, Merkur südlich. Wenn sich aber die Erde den Apogeen dieser Planeten näherte, fand Ptolemäus die Breite der Venus, wenn sie Morgenstern war, nördlich; wenn sie Abendstern war, südlich; — die Breite des Merkur umgekehrt des Morgens südlich, des Abends nördlich. Dies kehrt sich wieder ebenso in der entgegengesetzten Gegend, nämlich im Perigeum, um, so dass Venus als Morgenstern südlich, als Abendstern nördlich; Merkur als Morgenstern nördlich, als Abendstern südlich erscheint. Und dabei fand man in jeder dieser beiden Stellungen bei der Venus die nördliche Breite grösser als die südliche, beim Merkur die südliche grösser als die nördliche. Aus diesem Umstande schloss man auf eine gedoppelte Breite für diese Gegend, im Ganzen aber auf drei, und nannte die erste, bei den mittleren Entfernungen, Inklination; die zweite, bei der grössten und kleinsten Abside, Obliquation; die dritte, mit dieser verknüpfte, Deviation. Die Letztere ist bei der Venus immer nördlich, beim Merkur immer südlich. Zwischen jenen vier Grenzpunkten vermischen sie sich miteinander, nehmen abwechselnd zu und ab, und verdrängen einander; die Umstände, unter denen dies Alles vor sich geht, werden wir näher angeben.

Capitel 2.

Annahmen von Kreisen, in denen die Planeten in Bezug auf die Breite sich bewegen.

Man hat sich also bei den fünf Planeten vorzustellen, dass ihre Bahnen gegen die Ebene der Ekliptik unter regelmässig veränderlichen Winkeln geneigt sind, und dass ihre gemeinsamen Schnittlinien, Durchmesser der Ekliptik bilden. Beim Saturn, Jupiter und Mars hat der Neigungswinkel um jene Schnittlinie, wie um eine Axe eine gewisse Schwankung, wie wir eine solche bei der Präcession der Nachtgleichen nachgewiesen haben, aber eine einfache und mit der parallactischen Bewegung commensurable, durch welche der Neigungswinkel in bestimmten Zwischenräumen vergrössert und verkleinert wird. So dass, so oft die Erde dem Planeten am nächsten steht,

nämlich bei der mitternächtlichen Culmination, die grösste Inclination der Planetenbahn eintritt; in der entgegengesetzten Stellung, die kleinste; in der mittleren, die mittlere. Wenn nun der Planet im Punkte seiner grössten nördlichen oder südlichen Breite steht, so erscheint diese Breite in der Erdnähe weit grösser, als in der grössten Entfernung von der Erde; und obgleich diese verschiedene Entfernung der Erde schon allein die Ursache dieser Verschiedenheit sein könnte, weil das Nähere grösser erscheint als das Entferntere; so zeigen die Breiten der Planeten doch eine noch grössere Verschiedenheit im Wachsen und Abnehmen, was seinen Grund nur darin haben kann, dass ihre Bahnen selbst in ihren Lagen schwanken. Wie wir aber schon früher gesagt haben, so muss bei solchen Schwankungen ein gewisses Mittel zwischen den äussersten Grenzen angenommen werden.

Damit dies deutlicher werde, sei $abcd$ die Erdbahn, welche mit der Ebene der Ekliptik zusammenfällt, $e$ ihr Mittelpunkt; gegen dieselbe sei die Bahn des Planeten $fgkl$ unter einem mittleren, sich gleichbleibenden Winkel geneigt, ihre nördliche Grenze der Breite sei $f$, die südliche $k$, der absteigende Knoten sei $g$, der aufsteigende $l$. Die gemeinsame Schnittlinie sei $bed$, und dieselbe werde gradlinig um die Stücke $gb$ und $dl$ verlängert. Diese vier Grenzpunkte mögen nur nach Maassgabe der Bewegung der Absiden sich ändern. Man sieht aber, dass die Längenbewegung des Planeten nicht in der Ebene des Kreises $fg$ vor sich geht, sondern in derjenigen des andern, $op$, der mit dem schrägen $fg$ denselben Mittelpunkt hat, und diese Beiden schneiden sich einander in derselben graden Linie $gbdl$. Während sich also der Planet in dem Kreise $op$ bewegt, kommt er durch die schwankende Bewegung zuweilen in die Ebene $fk$, überschreitet dieselbe nach der andern Seite, und zeigt so entgegengesetzte Breiten. Nun sei der Planet zuerst bei der grössten nördlichen Breite, im Punkte $o$, der Erde, welche in $a$ stehe, am nächsten; dann wird die Breite des Planeten um den Winkel der grössten Neigung

$ogf$ des Kreises $ogp$ wachsen. Weil aber diese hin und hergehende Bewegung, nach der Voraussetzung mit der parallactischen commensurabel ist, so wird, wenn die Erde grade in $b$ steht, $o$ mit $f$ zusammenfallen, und die Breite des Planeten an dieser Stelle kleiner als vorher erscheinen. Noch viel kleiner erscheint sie aber, wenn die Erde im Punkte $c$ steht; denn dann geht $o$ zu der äussersten entgegengesetzten Grenze seiner Schwankung über, und lässt nur soviel übrig, als von der abzuziehenden Schwankung, die gleich dem Winkel $ogf$ ist, an nördlicher Breite übrig gelassen wird. Von da wächst im Verlaufe des übrigen Halbkreises $cda$ die nördliche Breite des Planeten bis dahin, von wo sie ausgegangen war. Derselbe Hergang und Maassstab wird für die südliche Breite des im Punkte $k$ stehenden Planeten gelten, wenn die Bewegung der Erde von $c$ aus ihren Anfang nimmt. Wenn aber der Planet in einem der beiden Knoten $g$ oder $l$, in Opposition oder Conjunction mit der Sonne stände; so würde, obgleich dann die Kreise $fk$ und $op$ um ihren grössten Neigungswinkel divergirten, keine Breite des Planeten bemerkt, weil er in der gemeinsamen Schnittlinie der Kreise sich befände. Hieraus wird, denke ich, leicht eingesehen, wie von $f$ bis $g$ die nördliche Breite des Planeten abnimmt und von $g$ bis $k$ die südliche wächst, und wie dieselbe bei dem Punkte $l$ ganz verschwindet und in die nördliche übergeht. So verhalten sich die drei oberen Planeten. Von diesen unterscheiden sich Venus und Merkur, wie in der Länge, so auch in der Breite nicht wenig, weil die gemeinsamen Schnittlinien ihrer Bahnen durch die Apogeen und Perigeen gelegen sind und ihre grössten Neigungen in der Gegend der mittleren Absiden wegen der Schwankungen, ebenso veränderlich wie die jener oberen Planeten, variiren; aber die unteren ausserdem noch einer andern, von der früheren verschiedenen Schwankung unterworfen sind. Beide sind jedoch mit der Kreisbewegung der Erde commensurabel, aber nicht in einer und derselben Weise. Denn die erste Schwankung verhält sich so, dass, während die Erde einmal zu den Absiden dieser Planeten zurückkehrt, die Bewegung dieser Schwankung selbst zweimal abläuft, und zwar um eine feste Axe, welche, wie gesagt, die durch die Apogeen und Perigeen liegende Schnittlinie darstellt; so dass, so oft die Linie der mittleren Bewegung der Sonne durch das Perigeum oder Apogeum dieser Planeten geht, der grösste, in den mittleren Entfernungen aber immer der kleinste Neigungswinkel stattfindet. Die zweite, zu dieser noch hinzukommende Schwankung unterscheidet sich aber von dieser dadurch, dass sie um eine bewegliche Axe vor sich geht, so dass, wenn sich die Erde in der mittleren Entfernung befindet, Venus sowohl als auch Merkur, immer in der Axe, d. h. in der gemeinsamen Schnittlinie, dieser Schwankung steht. Dabei ist, wenn das Apogeum oder Perigeum des Planeten der Erde zugekehrt ist, Venus, wie gesagt, immer am meisten nach Norden abgelenkt, Merkur nach Süden; während sie doch, wegen der früheren einfachen Neigung dann gar keine Breite haben müssten. Z. B. Während die mittlere Bewegung der Sonne mit dem Apogeum der Venus zusammenfällt und diese sich grade

in demselben befindet: – wird, gemäss der einfachen Neigung und der ersten Schwankung um die gemeinsame Schnittlinie ihrer Bahn mit der Ebene der Ekliptik, offenbar dann keine Breite stattfinden; aber die zweite Schwankung, welche um einen querliegenden, und die Linie der grössten und kleinsten Abside rechtwinklig schneidenden Durchmesser, als Axe, vor sich geht: führt für dieselbe ihre grösste Ablenkung herbei. Wenn aber die Venus zu derselben Zeit gerade in einem der beiden Quadranten, also in der mittleren Abside ihrer Bahn stände, dann fiele die Axe dieser Schwankung mit der mittleren Bewegung der Sonne zusammen, und Venus fügte zu ihrer nördlichen Ablenkung die grösste Differenz hinzu, oder verkleinerte die südliche um ebenso viel. Und so wird die Schwankung der Ablenkung mit der Bewegung der Erde commensurabel.

Damit dies noch leichter verstanden werde, construiren wir wieder die Erdbahn $abcd$, und die gegen den Kreis $abc$ unter dem mittleren Neigungswinkel geneigte excentrische Bahn $fgkl$ der Venus oder des Merkur. Die gemeinsame Schnittlinie $fg$ derselben gehe durch das Apogeum $f$ und durch das Perigeum $g$ der Bahn. Nehmen wir, der bequemeren Beweisführung wegen, die Neigung des excentrischen Kreises $gkf$ zuerst als einfach und fest, oder, wenn man will, als die mittlere zwischen der kleinsten und grössten an; wobei aber die gemeinsame Schnittlinie $fg$ durch die Bewegung des Perigeums und Apogeums sich ändert. Wenn nun in dieser Schnittlinie, also in $a$ oder $c$, die Erde und zugleich der Planet steht: so ist klar, dass der Planet dann keine Breite zeigt, während jede Breite seitlich in den Halbkreisen $gkf$ und $flg$ liegt; in diesen hat der Planet, wie gesagt, eine nördliche oder südliche Breite, nach Maassgabe der Neigung des Kreises $fkg$ gegen die Ebene der Ekliptik. Diese Abweichung des Planeten nennen Einige Obliquation, Andere Reflexion. Wenn aber die Erde in $b$ oder $d$, d. h. in den mittleren Absiden des Planeten steht: so liegen dieselben Breiten $fkg$ und $glf$ oberhalb oder unterhalb und diese nennt man Declination; sie unterscheiden sich also mehr dem Namen als der Sache nach von den vorigen, mit denen sie in den mittleren Oertern auch die Namen gemein haben. Da aber der Neigungswinkel dieser Kreise bei der

Obliquation grösser gefunden wurde, als bei der Declination: so erkannte man, dass dies durch eine gewisse Schwankung entstehe, welche um die Schnittlinie $fg$, als um ihre Axe, wie weiter oben gesagt ist, vor sich gehe. Wenn uns daher diese Neigungswinkel zu beiden Seiten bekannt sind: so können wir aus ihrer Differenz leicht finden, wie viel jene Schwankung von ihrem kleinsten bis zu ihrem grössten Werthe beträgt. Nun stelle man sich noch einen andern Ablenkungskreis vor, der gegen $gkfl$ geneigt ist und mit demselben bei der Venus den Mittelpunkt gemein hat, beim Merkur zu dessen excentrischen Kreise excentrisch ist, wie hernach gezeigt werden soll. Ihre gemeinsame Schnittlinie sei $rs$, als eine im Umlauf begriffene Axe, dieser Schwankung, so dass, wenn die Erde in $a$ oder $b$ steht, der Planet die äusserste Grenze seiner Ablenkung irgendwo im Punkte $t$ erreicht; und um so viel die Erde von $a$ fortschreitet, der Planet um eben so viel von $t$ sich entfernt, wobei indessen die Neigung des Ablenkungskreises abnimmt; so dass, während die Erde den Quadranten $ab$ durchmessen hat, der Planet zu dem Knoten $r$ seiner Breite gekommen ist. Da aber alsdann die Ebenen in der mittleren Schwankung zusammenfallen, und in die entgegengesetzten Lagen übergehen, so rückt der andere Halbkreis der Ablenkung, welcher bisher südlich lag, nun nach Norden. Indem sich nun die Venus auf diesem Halbkreise fortbewegt, wird sie mit Auslassung des Südens, wieder nördlich, und durch diese Schwankung nie südlich abgelenkt. Ebenso behält Merkur die südliche Ablenkung bei, welche noch darin von jener unterschieden ist, dass dieselbe in einem, mit dem excentrischen Kreise nicht homocentrischen, sondern excentrischen Kreise schwankt. Für diesen Planeten haben wir uns bei der Ableitung seiner Ungleichmässigkeit in der Bewegung der Länge, eines Epicykels bedient. Da aber dort die Länge ohne die Breite, und hier die Breite ohne die Länge betrachtet wird, und doch Beide denselben Umlauf haben, und sich zugleich wiederholen: so leuchtet hinlänglich ein, dass es eine einzige Bewegung und dieselbe Schwankung ist, welche beide Veränderungen hervorbringen kann, indem sie zugleich excentrisch und schräg ist, und dass es keine andere Annahme giebt, als diejenige, von welcher wir eben gesprochen haben, und welche wir unten näher besprechen werden.

Capitel 3.

Wie gross die Neigungswinkel der Bahnen des Saturn, Jupiter und Mars sind.

Nachdem die Grundlagen der Abweichungen der fünf Planeten dargelegt sind, gehen wir nun auf die Thatsachen selber ein, und untersuchen das Einzelne; und zwar zuerst, wie gross die Neigungen der einzelnen Kreise sind, und diese messen wir an demjenigen grössten Kreise, welcher durch die Pole des geneigten Kreises, und rechtwinklig gegen die Ekliptik

gelegt ist, und an welchem die Durchgänge der Breite nach beobachtet werden. Wenn dies nämlich festgestellt ist: so ist der Weg zur Kenntniss jeder einzelnen Breite eröffnet. Fangen wir wieder mit den drei oberen Planeten an, so ergeben sich, nach den Tafeln des Ptolemäus^[2] für die äussersten Grenzen der südlichen Breite in der Opposition; bei Saturn 3° 5′, bei Jupiter 2° 7′, bei Mars 7° 0′; in der Conjunction mit der Sonne; so weit dies aus den Breiten, welche er in der Nähe ihres Verschwindens und Wiedererscheinens beobachtete, erschlossen werden konnte; bei Saturn 2° 2′, bei Jupiter 1° 5′, bei Mars nur 0° 5′; so dass Letzterer fast mit der Ekliptik zusammenfällt.

Dies vorausgeschickt, sei in einer Ebene, welche senkrecht gegen die Ekliptik steht, $ab$ deren gemeinsame Schnittlinie durch den Mittelpunkt der Erdbahn, $cd$ diejenige des excentrischen Kreises irgend eines der drei oberen Planeten, durch die äusserste nördliche und südliche Grenze. Der Mittelpunkt der Erdbahn sei $e$ und ihr Durchmesser $feg$. Es sei ferner $d$ die südliche, $c$ die nördliche Breite, und man ziehe $cf$, $cg$, $df$ und $dg$. Nun sind schon oben die Verhältnisse des Radius $eg$ der Erdbahn, zu dem Radius $cd$ des excentrischen Kreises des Planeten, für jeden beliebigen Ort desselben, im Einzelnen dargelegt. Die Oerter der grössten Breiten sind aber aus den Beobachtungen gegeben. Da also $bgd$, als Winkel der grössten südlichen Breite, und also auch sein Nebenwinkel: $egd$, gegeben ist: so ergiebt sich auch, nach den Sätzen über die ebenen Dreiecke, der innere gegenüberliegende $ged$, als Winkel der grössten südlichen Neigung des excentrischen Kreises gegen die Ebene der Ekliptik. Ebenso lässt sich aus der kleinsten südlichen Breite, die kleinste Neigung herleiten, nämlich aus dem Winkel $efd$. Da in dem Dreiecke $efd$ das Verhältniss der Seiten $ef$ zu $ed$ nebst dem Winkel $efd$ gegeben ist: so erhalten wir auch den Aussenwinkel $ged$ als Winkel der kleinsten südlichen Neigung; und durch die Differenz beider Neigungen die ganze Schwankung des excentrischen Kreises gegen die Ekliptik. Aus diesen Neigungswinkeln berechnen wir die entgegengesetzten nördlichen Breiten, nämlich

die Winkel $afc$ und $egc$, und wenn diese mit den Beobachtungen übereinstimmen, so liefern sie uns den Beweis, dass wir keinen Fehler gemacht haben. Nehmen wir als Beispiel den Mars, weil derselbe in Hinsicht der Breite alle Uebrigen übertrifft. Seine grösste südliche Breite, und zwar in seinem Perigeum, hat Ptolemäus zu etwa 7°^[3]; seine grösste nördliche Breite, und zwar in seinem Apogeum, zu 4° 20′^[4] verzeichnet. Als wir aber den Winkel $bgd$ maassen, fanden wir denselben gleich 6° 50′, und den ihm entsprechenden Winkel $afc$ fast gleich 4° 30′. Da nun das Verhältniss von $eg$ zu $ed$ gleich 1 zu 1, 22^I 26^II gegeben ist: so erhalten wir daraus, und aus dem Winkel $bgd$, den Winkel $deg$ zu etwa 1° 51′, als den Winkel der grössten südlichen Neigung. Und da sich $ef$ zu $ec$ verhält, wie 1 zu 1. 39^I 57^II, und der Winkel $cef$ gleich dem Winkel $deg$ gleich 1° 51′ ist: so ergiebt sich der von uns besprochene äussere Winkel $cfa$ gleich 4° 30′ für die Opposition des Planeten. Nehmen wir ebenso für die entgegengesetzte Stellung, wenn der Planet mit der Sonne in Conjunction ist, den Winkel $dfe$ gleich 0° 5′^[3]: so erhalten wir, aus dem gegebenen Verhältnisse der Seiten $de$ und $ef$ und dem Winkel $efd$, den Winkel $edf$ gleich 0° 4′ und dessen Aussenwinkel $deg$ nahe gleich 0° 9′, als Winkel der kleinsten Neigung; und aus diesem ergiebt sich der Winkel $cge$, als der Winkel der nördlichen Breite, nahe gleich 0° 6′. Ziehen wir nun die kleinste Neigung von der grössten ab, d. h. 0° 9′ von 1° 51′: so bleibt 1° 42′ und so viel beträgt die Schwankung dieser Neigung, ihre Hälfte ist ungefähr gleich 0° 50′ 30″. In ähnlicher Weise ergeben sich für die beiden andern Planeten, Jupiter und Saturn, die Neigungswinkel nebst den Breiten. Jupiters grösste Neigung beträgt nämlich 1° 42′, die kleinste 1° 18′; und seine ganze Schwankung umfasst nicht mehr als 0° 24′. Saturns grösste Neigung beträgt 2° 44′, die kleinste 2° 16′, und die Schwankung zwischen Beiden 0° 18′. Aus den kleinsten Neigungswinkeln, welche in der entgegengesetzten Stellung, wenn die Planeten hinter der Sonne verborgen sind, stattfinden, ergeben sich die Abweichungen von der Ekliptik in der Breite, beim Saturn gleich 2° 3′, beim Jupiter 1° 6′, was wir zu zeigen hatten, und uns für die unten aufzustellenden Tafeln notiren.

Capitel 4.

Ueber einiges Andere in Bezug auf die Berechnung der Breiten dieser drei Planeten im Allgemeinen.

Aus dieser Darstellung ergeben sich nun im Allgemeinen und Einzelnen die Breiten dieser drei Planeten. Die gemeinsame Schnittlinie $ab$ der Ekliptik und der auf derselben senkrechten Ebene, gehe, wie früher, durch die äussersten Grenzen der Abweichungen; in $a$ liege die nördliche Grenze, die grade Linie $cd$ sei die gemeinschaftliche Schnittlinie der Planetenbahn, und schneide $ab$ im Punkte $d$; um diesen Punkt beschreiben wir den Kreis

der Erdbahn $ef$, und von dem Oppositionspunkte $e$ aus nehmen wir irgend einen bekannten Bogen $ef$, fällen von $f$ und von dem Orte $c$ des Planeten Lothe auf $ab$, nämlich $ca$ und $fg$, und ziehen noch $fa$ und $fc$.

Zuerst fragen wir, wie gross der Neigungswinkel $adc$ des excentrischen Kreises für diesen Fall sei? Nun ist gezeigt, dass dieser Winkel dann am grössten ist, wenn die Erde in $e$ steht; auch ist klar, dass die ganze Schwankung desselben mit der Bewegung der Erde in dem Kreise $ef$, dessen Durchmesser $be$, commensurabel ist, wie es die Natur der Schwankung erfordert. Weil nun der Bogen $ef$ gegeben ist, so ist auch das Verhältniss von $ed$ zu $eg$ bekannt, und dies ist das Verhältniss der ganzen Schwankung zu demjenigen, um was der Winkel $adc$ abgenommen hat. Daraus ist für diesen Zeitpunkt der Winkel $adc$ bekannt, und daher das Dreieck $adc$ mit allen Winkeln und Seiten gegeben. Da aber das Verhältniss von $cd$ zu $ed$ aus dem Vorhergehenden bekannt ist, so ergiebt sich auch dasjenige zu dem Reste $dg$; folglich das Verhältniss von $cd$ und $ad$ zu demselben $gd$, und daraus der Rest $ag$; auch $fg$ ist dadurch bekannt als die Hälfte der Sehne des doppelten $ef$. Da nun in dem rechtwinkligen Dreiecke $agf$ die beiden Katheten bekannt sind, so ergiebt sich die Hypotenuse $af$ und das Verhältniss von $af$ zu $ac$; und endlich aus den beiden gegebenen Seiten des rechtwinkligen Dreiecks $acf$, der Winkel $afc$: und dies ist der Winkel der erscheinenden Breite, welcher gesucht wurde. — Nehmen wir als Beispiel hierfür wieder den Mars, dessen äusserste Grenze der südlichen Breite in $a$ ungefähr mit seiner kleinsten Abside zusammentrifft. Wenn aber der Ort des Planeten in $c$ ist, und die Erde während dessen im Punkte $e$ steht, so ist erwiesen, dass $adc$, der Winkel der grössten Neigung, gleich 1° 50′ ist. Setzen wir nun die Erde in den Punkt $f$, und die parallactische Bewegung längs dem Bogen $ef$ gleich 45°^[5], so ist die Grade $fg$ gleich 7071, wenn $ed$ gleich 10000, und $eg$, als Rest vom Radius, gleich 2929. Es ist aber gezeigt, dass die Hälfte des Winkels $adc$ der Schwankung 0° 50′ 30″ ist, und da das Verhältniss des Wachsthums oder der Abnahme für diesen Ort wie $de$ zu $ge$ ist, so erhalten wir 0° 50′ 30″ zu 0° 15′. Ziehen wir dies Letztere von 1° 50′ ab, so bleibt 1° 35′ als Winkel $adc$ der Neigung für diesen Zeitpunkt. Daher sind in dem Dreiecke $adc$ die Winkel und Seiten gegeben. Und da früher bewiesen ist, dass $cd$ gleich 9040, während $ed$ gleich 6580: so ist $fg$ gleich 4653, $ad$ gleich 9036, der Rest $aeg$ gleich 4383 und $ac$ gleich 249½. Folglich ist in dem rechtwinkligen Dreiecke $afg$ das Loth $ag$ gleich 4383 und die Basis $fg$ gleich

4653, daraus folgt die Hypotenuse $af$ gleich 6392. So ergiebt sich endlich in dem Dreiecke $acf$, dessen Winkel $caf$ ein Rechter und dessen Seiten $ac$ und $af$ gegeben sind, der Winkel $afc$^[6] zu 2° 15′, als Winkel der erscheinenden Breite für die in $f$ stehende Erde. In derselben Weise werden wir auch für die beiden anderen Planeten, Saturn und Jupiter, die Rechnung durchführen.

Capitel 5.

Ueber die Breiten der Venus und des Merkur.

Es sind noch Venus und Merkur übrig, deren Breiten-Bewegungen, wie gesagt, durch drei zusammenwirkende Ablenkungen abgeleitet werden. Damit dieselben aber einzeln von einander unterschieden werden können, so fangen wir mit derjenigen an, welche man die Declination nennt, und am einfachsten abgehandelt werden kann. Bei ihr ist es nämlich allein^[7] möglich, sie zuweilen von den übrigen zu trennen, und zwar in der Gegend der mittleren Entfernungen, also der Knoten, wenn die Erde nach den ermittelten Längen-Bewegungen um 90° vom Apogeum und Perigeum des Planeten absteht, bei welcher Stellung man in der Erdnähe die südliche und nördliche Breite für Venus gleich 6° 22′, für Merkur gleich 4° 5′, und in der Erdferne für Venus gleich 1° 2′, für Merkur gleich 1° 45′^[8] gefunden hat. Hieraus werden mit Hülfe der, über die Ausgleichungen aufgestellten Tafeln^[9] die Neigungswinkel für die Lage berechnet, denen die Oerter der Venus in der Erdferne gleich 1° 2′,^[10] in der Erdnähe gleich 6° 22′ zu beiden Seiten der Bahn einem Bogen von nahe 2° 30′ entsprechen; beim Merkur aber ist der obere Ort gleich 1° 45′, der untere 4° 5′, und dies verlangt einen Bogen seiner Bahn von 6° 15′.

So dass der Neigungswinkel der Bahnen, für Venus 2° 30′, für Merkur 6° 15′ beträgt, wenn 360° vier Rechte betragen. Hiernach kann für diese Lage jede besondere Breite, soweit dieselbe von der Declination abhängt, so abgeleitet werden, wie wir es sogleich zeigen wollen,^[11] und zwar zuerst für die Venus. Es sei in der zu Grunde gelegten Ebene der Ekliptik und zwar durch den Mittelpunkt derselben, $abc$ die gemeinschaftliche Schnittlinie der rechtwinkligen Ebene, $dbe$ aber die gemeinschaftliche Schnittlinie der Ebene der Venusbahn; $a$ sei der Mittelpunkt der Erde, $b$ derjenige der Planetenbahn, und $abe$ der Neigungswinkel der Planetenbahn gegen die Ekliptik. Um $b$ werde die Planetenbahn $dfeg$ beschrieben, und der Durchmesser $fbg$ senkrecht gegen den

Durchmesser $de$ gezogen. Man stelle sich vor, dass die Ebene der Planetenbahn zu der angenommenen rechtwinkligen Ebene so stehe, dass die in derselben, gegen $de$ rechtwinklig gezogenen Linien unter sich und mit der Ebene der Ekliptik parallel sind, dass aber in der Ekliptik selbst nur^[12] die eine Linie $fbg$ liegt. Es ist die Aufgabe, aus den gegebenen graden Linien $ab$ und $bc$ und dem gegebenen Neigungswinkel $abe$, die Breite des Planeten zu finden; wenn der Planet z. B. von dem, der Erde nächsten Punkte $e$ um 45° absteht, welches Beispiel wir, dem Ptolemäus^[13] folgend, darum gewählt haben, damit eine durch die Neigung der Bahn für Venus oder Merkur etwa herbeigeführte Längendifferenz sich erkennen lasse. Solche Differenzen müssen sich nämlich in den Oertern am meisten bemerkbar machen, welche zwischen den Punkten $d$, $f$, $e$ und $g$ liegen; und zwar deswegen, weil der Planet, wenn er in diesen vier Punkten steht, selbstverständlich dieselbe Länge zeigt, welche er auch ohne Declination hätte. Wir nehmen also, wie gesagt, den Bogen $eh$ gleich 45°, fällen auf $be$ das Loth $hk$, und auf die zu Grunde gelegte Ebene der Ekliptik die Lothe $kl$ und $hm$, und ziehen $hb$, $lm$, $am$ und $ah$. Dadurch entsteht das Parallelogramm $lkhm$, welches deshalb rechtwinklig ist, weil $hk$ mit der Ekliptik parallel läuft; der Winkel $lam$ stellt die Prosthaphärese der Länge selbst dar, und der Winkel $ham$ misst die Breite, da $hm$ auch auf der Ekliptik senkrecht steht. Da nun der Winkel $hbe$ gleich 45° gegeben ist, so wird $hk$, als Hälfte der Sehne des doppelten Bogens $he$, gleich 7071, wenn $eb$ gleich 10000. Ebenso ist im Dreiecke $bkl$, der Winkel $kbl$^[14] gleich 2° 30′, der Winkel $blk$ als Rechter und die Hypotenuse $bk$ gleich 7071, wenn $eb$ gleich 10000, gegeben; daraus ergeben sich die beiden übrigen Seiten $kl$ gleich 308 und $bl$ gleich 7064. Da sich aber, wie früher gezeigt ist, $ab$ zu $be$ nahe so verhält, wie 10000 zu 7193, so werden in denselben Einheiten $hk$ gleich 5086, $hm$ gleich $kl$ gleich 221 und $bl$ gleich 5081, also der Rest $la$ gleich 4919. Nun sind auch in dem Dreiecke $alm$ die Seiten $al$ und $lm$ (gleich $hk$) nebst dem Winkel $alm$ gegeben, und wir erhalten die Hypotenuse am gleich 7075, und den Winkel $mal$ gleich 45° 58′^[15], dies ist die Prosthaphärese oder die berechnete grosse Parallaxe der Venus. Ebenso ergiebt sich aus dem Dreiecke $ahm$, dessen Seiten $am$ gleich 7075 und $mh$ gleich $kl$ gegeben sind, der Winkel $mah$ gleich 1° 47′ als Breite der Declination. Wenn man die Untersuchung nicht scheut, was diese Neigung der Venus für eine Differenz in der Länge herbeiführt: so hat man das Dreieck $alh$ zu nehmen, indem man sich $lh$, als Diagonale des Parallelogramms $lkhm$ gezogen denkt. Dieselbe ist gleich 5091, während $al$ gleich 4919, und der Winkel $alh$ ein Rechter ist; daraus ergiebt sich die Hypotenuse $ah$ gleich 7079; und aus dem gegebenen Verhältnisse der Seiten, der Winkel $hal$ gleich 45° 59′^[16]. Nun ist aber gezeigt, dass Winkel $mal$^[17] gleich 45° 57′^[18], also erwächst ein Ueberschuss von nur 2′^[19], was nachgewiesen werden sollte. Beim Merkur werden wir wieder in ähnlicher Weise die Breiten der Declination an einer, der vorhergehenden ähnlichen Figur nachweisen, in welcher der Bogen $eh$ gleich 45° genommen wird, so dass die Graden $hk$ und $kb$ gleich 7071, wenn die Hypotenuse $hb$ gleich 10000 ist. Ferner kann, aus dem früher erwiesenen Unterschiede der Grössen, der Radius $bh$ gleich 3953 und $ab$ gleich 9964 hier aufgenommen werden. In diesen Einheiten betragen dann $bk$ und $kh$ 2795, und da der Neigungswinkel $abe$ gleich 6° 15′ nachgewiesen ist, wenn 360° vier Reste ausmachen: so ergiebt sich in dem rechtwinkligen Dreiecke $bkl$, dessen Winkel gegeben sind, die Basis $kl$ in denselben Einheiten gleich 304, und die andere Kathete $bl$ gleich 2778, also der Rest $al$ gleich 7186. Aber $lm$ ist auch gleich $hk$ gleich 2795; da also in dem Dreiecke $alm$ der rechte Winkel $l$ und die beiden Seiten $al$ und $lm$ gegeben sind: so erhalten wir die Hypotenuse $am$ gleich 7710, und den Winkel $lam$ gleich 21° 16′, und dies ist die berechnete Prosthaphärese. Ebenso schliessen in dem Dreiecke $amh$ die beiden gegebenen Seiten $am$ und $mh$ (gleich $kl$) einen rechten Winkel $m$ ein, und es ergiebt sich der Winkel der gesuchten Breite $mah$ gleich 2° 16′. Wollen wir finden, wie viel die Prosthaphärese der wahren, erscheinenden Länge beträgt: so nehmen wir die Diagonale des Parallelogramms $lh$^[20], welche sich uns aus den Seiten zu 2811 ergiebt, und $al$ gleich 7186; diese ergeben den Winkel $lah$ gleich 21° 23′ als die Prosthaphärese der erscheinenden Länge, welche die früher berechnete um etwa 7′ übertrifft, und dies sollte nachgewiesen werden.

Capitel 6.

Ueber die zweite Breiten-Abweichung der Venus und des Merkur, gemäss der Schiefe ihrer Bahnen im Apogeum und Perigeum.

Das Bisherige bezog sich auf die Breiten-Abweichungen beider Planeten, welche bei den mittleren Entfernungen ihrer Bahnen eintreten, und welche, wie gesagt, Declinationen genannt werden. Jetzt ist von denjenigen zu handeln, welche am Perigeum und Apogeum eintreten, wo abweichend von den drei oberen Planeten jene dritte Abweichung, die Deviation, hinzukommt, und zwar damit dies leichter verstanden und unterschieden werden könne, wie folgt. Ptolemäus beobachtete nämlich, dass jene Breiten dann am grössten erscheinen, wenn die Planeten in den, von dem Mittelpunkte der Erde an ihre Bahnen gezogenen Tangenten stehen, was, wie gesagt, bei ihren grössten westlichen und östlichen Abständen von der Sonne eintritt, und er fand die nördlichen Breiten der Venus um 20′ grösser als die südlichen, beim Merkur aber die südlichen um fast 1° 30′ grösser, als die nördlichen^[21]. Indem er aber die Schwierigkeit und Arbeit der Rechnung vermeiden wollte, nahm er, — zumal er den daraus entstehenden Fehler als unmerklich schätzte, wie wir auch bald zeigen wollen, — nach einem gewissen mittleren Verhältnisse für die beiden Seiten der Breite 2° 30′ an. Soviel sollen die Breiten an dem Kreise betragen, der um die Erde rechtwinklig gegen die Ekliptik gelegt worden ist, und auf welchem die Breiten

gemessen werden. Wenn wir nun 2° 30′ als die gleiche Abweichung zu beiden Seiten der Ekliptik annehmen, und vorläufig, bis wir die Breiten der Inflexionen bestimmt haben werden, die Deviation ausschliessen, so werden unsere Ableitungen einfacher und leichter. Es ist also zuerst zu zeigen, dass die Abweichung dieser Breite in der Gegend der Tangente des excentrischen Kreises am grössten wird, und hier werden auch die Prosthaphäresen der Länge am grössten.

Es gehe die gemeinsame Schnittlinie $cbga$ der Ebenen der Ekliptik und des excentrischen Kreises, der Venus oder des Merkur, durch das Apogeum und Perigeum, und in derselben sei $a$ der Ort der Erde, und $b$ der Mittelpunkt des, gegen die Ekliptik schiefen excentrischen Kreises $cdefg$, so dass beliebige grade Linien, welche rechtwinklig gegen $cg$ gezogen sind, Winkel bilden, welche der Schiefe gleich sind. Nun werde die Tangente $ae$, eine beliebige Secante $ad$ gezogen, und von den Punkten $d$, $e$ und $f$ gegen $cg$ die Lothe $dh$, $ek$ und $fl$ und auf die zu Grunde liegende Ebene der Ekliptik, die Lothe $dm$, $cn$ und $fo$, gefällt, und die Verbindungslinien $mh$, $nk$ und $ol$, ausserdem noch $an$, $ao$ und $am$ gezogen, wobei $aom$ eine grade Linie bildet, weil diese drei Punkte zweien Ebenen, nämlich der Ekliptik und der auf derselben senkrechten Ebene $adm$, angehören. Die Winkel $ham$ und $kan$ stellen für die angenommene Obliquation die Prosthaphäresen der Längen dieser Planeten, die Winkel $dam$, und $ean$ aber die Abweichungen der Breite dar. Ich behaupte nun zuerst, dass der Breitenwinkel $ean$, der für die Tangente, bei welcher auch die grösste Prosthaphärese der Länge eintritt, gilt, der grösste von allen ist. Da der Winkel $eak$ der grösste von allen ist, so hat $ke$ zu $ea$ ein grösseres Verhältniss, als $hd$ zu $da$ und $lf$ zu $fa$. Wie sich aber $ek$ zu $en$ verhält, so verhält sich auch $hd$ zu $dm$ und $lf$ zu $fa$, denn die Winkel, welche den zweiten Gliedern dieser Verhältnisse gegenüber liegen, sind, wie gesagt, gleich. Die Winkel bei $m$, $n$ und $o$ sind aber Rechte. Also hat auch $ne$ zu $ea$ ein grösseres Verhältniss, als $md$ zu $da$ und $of$ zu $fa$. Nun sind aber wieder die Winkel $dma$, $ena$ und $foa$ Rechte; folglich ist der Winkel $ean$ grösser als $dam$, und als alle diejenigen, welche in dieser Weise construirt werden können. Hiernach ist klar, dass auch unter den Differenzen, welche aus dieser Obliquation zwischen den Prosthaphäresen der Länge entstehen, diejenige die grösste ist, welche bei der grössten Abweichung im Punkte $e$ gemessen wird. Denn wegen der Gleichheit der

Winkel, denen die Linien $hd$, $ke$ und $lf$ gegenüber liegen, sind dieselben den Linien $hm$, $kn$ und $lo$ proportional, und da sie in demselben Verhältnisse zu ihren Abständen stehen, so müssen die Abstände $ek$ und $kn$ ein grösseres Verhältniss zu $ae$ haben, als die übrigen zu $af$ und $ad$. Hieraus geht auch hervor, dass dasselbe Verhältniss, welches die grösste Längen-Prosthaphärese zu der grössten Abweichung der Breite hat, auch die Längen-Prosthaphäresen der Abschnitte des excentrischen Kreises zu den Abweichungen der Breite haben, denn wie $ke$ zu $en$ sich verhält, so verhält sich auch $lf$ zu $fo$ und $hd$ zu $dm$, was bewiesen werden sollte.

Capitel 7.

Wie gross die Winkel der Obliquationen der beiden Planeten, Venus und Merkur, sind.

Nach diesen Vorbemerkungen wollen wir nun sehen, ein wie grosser Winkel der Bahn-Ebenen der beiden Planeten, unter dem Einflusse der Inflexion gebildet wird. Wir erinnern uns dabei des oben^[22] Gesagten, dass nämlich bei jedem der beiden Planeten der Winkel zwischen dem grössten und kleinsten Abstande zu beiden Seiten der Erdbahn 5° beträgt, und davon meistentheils mehr auf die nördliche oder südliche Hälfte fällt. Der Durchgang der Venus durch das Apogeum und Perigeum ihres excentrischen Kreises, oder ihre erscheinende Differenz, ergiebt eine wenig grössere oder kleinere Abweichung als 5°; der Durchgang des Merkur aber eine solche, die um einen halben Grad grösser oder kleiner ist.

Es sei also, wie früher, $abc$ die gemeinsame Schnittlinie der Ekliptik und des excentrischen Kreises, und nachdem um den Mittelpunkt $b$ der, in der angegebenen Weise gegen die Ebene der Ekliptik geneigte Bahnkreis des Planeten beschrieben ist, werde vom Mittelpunkte der Erde eine, die Bahn im Punkte $d$ berührende grade Linie $ad$ gezogen. Von $d$ aus werden die Lothe und zwar $df$ auf $cbe$, $dg$ auf die zu Grunde liegende Ebene der Ekliptik gefällt, und noch $bd$, $fg$ und $ag$ gezogen. Der Winkel $dag$ werde halb so gross angenommen, als die angegebene Breiten-Differenz jedes der beiden Planeten, also gleich 2° 30′, wobei 360° vier Rechte betragen. Es ist die Aufgabe, zu finden, wie gross der Neigungswinkel jeder der beiden Ebenen, d. h. der Winkel $dfg$ ist. Da nun gezeigt worden ist, dass bei dem Planeten Venus, wenn der Radius

ihrer Bahn 7193 beträgt, die grösste Entfernung, also im Apogeum, 10208; die kleinste, also im Perigeum, 9792; und die mittlere 10000 ist, — wie Ptolemäus ^[23] bei dieser Ableitung annahm, indem er die Schwierigkeit vermeiden wollte, und so viel als möglich, die Kürze anstrebte ^[24] (wo nämlich die äussersten Grenzen keinen merklichen Unterschied hervorbrachten, war es sicherer, den mittleren Werth zu nehmen) —: so verhält sich $ab$ zu $bd$, wie 10000 zu 7193, und der Winkel $adb$ ist ein Rechter, wir erhalten daher die Seite $ad$ gleich 6947. Da sich nun $ba$ zu $ad$ verhält, wie $bd$ zu $df$: so erhalten wir $df$ gleich 4997. Da ferner der Winkel $dag$ gleich 2° 30′ angenommen und $agd$ ein Rechter ist, so wird in dem Dreiecke, dessen Winkel gegeben sind, die Seite $dg$ gleich 303, während $ad$ gleich 6947. Da also die Seiten $df$ und $dg$ gegeben und der Winkel $dfg$ ein Rechter ist, so ist der Neigungswinkel, oder der Winkel der Obliquation $dfg$ gleich 3° 29′^[25]. Weil aber der Unterschied der Winkel $daf$ und $fag$ die Differenz der parallactischen Länge darstellt, so kann aus den berechneten Grössen jener auch diese gefunden werden. Nachdem nämlich gezeigt ist, dass $dg$ gleich 303, die Hypotenuse $ad$ gleich 6947 und $df$ gleich 4997 sind, und da, wenn man das Quadrat der Seite $dg$ von denjenigen der Seiten $ad$ und $fd$ abzieht, die Quadrate der Seiten $ag$ und $gf$ übrig bleiben, so ergeben sich ihre Längen, nämlich: $ag$ zu 6940 und $fg$ zu 4988. Wenn aber $ag$ gleich 10000 ist, so ist $fg$ gleich 7187 und der Winkel $fag$ gleich 45° 57′; und wenn $ad$ gleich 10000 ist, so ist $df$ gleich 7193, und der Winkel $daf$ gleich 46°. Bei der grössten Obliquation wird also die Prosthaphärese der Parallaxe um etwa 3′ kleiner. Es ist aber gestattet, anzunehmen, dass bei der mittleren Abside der Neigungswinkel der Bahnen 2° 30′ beträgt, hier aber kommt fast ein ganzer Grad hinzu, und um diese Grösse hat jene erste Bewegung der Libration, von der wir gesprochen haben, den Neigungswinkel vergrössert. — Beim Merkur gestaltet sich die Ableitung in derselben Weise. Ist nämlich der Radius der Bahn gleich 3573, so ist die grösste Entfernung der Bahn von der Erde gleich 10948, und die kleinste 9052, die mittlere 10000. Es verhält sich also $ab$ zu $bd$ wie 10000 zu 3573, folglich erhalten wir die dritte Seite $ad$ gleich 9340; und weil sich $ab$ zu $ad$ verhält, wie $bd$ zu $bf$, so ist $df$ gleich 3337. Da aber der Winkel der Breite $dag$ zu 2° 30′ angenommen ist, so ist $dg$ gleich 407, wenn $df$ gleich 3337. So ist auch in dem Dreiecke $dfg$ das Verhältniss dieser beiden Seiten, und der rechte Winkel bei $g$ gegeben, daraus erhalten wir den Winkel $dfg$ gleich 7°^[26], und dies ist der Winkel der Neigung oder der Schiefe der Merkursbahn gegen die Ebene der Ekliptik. Für die mittleren Entfernungen in den Quadranten ist der Winkel der Neigung als 6° 15′ nachgewiesen, also kommen zu der Bewegung der ersten Libration hier 45′ hinzu. Ebenso ist zur Bestimmung der Winkel der Prosthaphäresen und ihrer Unterschiede zu bemerken, dass, nachdem $dg$ gleich 407, $ad$ gleich 9340 und $df$ gleich 3337 nachgewiesen ist, wenn wir das Quadrat der Seite $dg$ von den Quadraten der Seiten $ad$ und $df$ abziehen, die Quadrate von $ag$ und $fg$ übrig bleiben; daraus sich die Graden $ag$ gleich 9331, und $fg$ gleich 3314 ergeben; hieraus berechnet sich der Winkel der Prosthaphärese $gaf$ zu 20° 48′, der Winkel $daf$ ist aber 20° 56′, er wird also durch die Obliquation um ungefähr 8′ verkleinert. Noch bleibt zu untersuchen übrig, ob diese Winkel der Obliquationen und die Breite bei der grössten und kleinsten Entfernung der Bahn, mit den durch die Beobachtungen erhaltenen übereinstimmen. Zu dem Ende werde wieder in derselben Figur, für die grösste Entfernung der Venusbahn das Verhältniss von $ab$ zu $bd$ gleich 10208 zu 7193^[27] angenommen, und da der Winkel $adb$^[28] ein Rechter ist, so wird $ad$ gleich 7238, und da sich $ab$ zu $ad$ verhält, wie $bd$ zu $df$: so wird $df$ gleich 5102. Der Winkel der Schiefe $dfg$ ist aber zu 3° 29′^[25] gefunden, es wird also $dg$ gleich 309, wenn $ad$ gleich 7238. Wenn aber $ad$ gleich 10000, so wird $dg$ gleich 427, woraus sich ergiebt, dass der Winkel $dag$ gleich 2° 27′ in der grössten Entfernung von der Erde wird. Für die kleinste Entfernung ist aber der Radius $bd$ gleich 7193, wenn $ab$ gleich 9792, es wird also die andere Kathete $ad$ gleich 6644; und da $ab$ zu $ad$ wie $bd$ zu $df$ sich verhält, so wird $df$ gleich 4883. Der Winkel $dfg$ ist aber zu 3° 29′^[25] bestimmt, also wird $dg$ gleich 297, wenn $ad$ gleich 6644, und aus diesen gegebenen Dreiecksseiten ergiebt sich der Winkel $dag$ gleich 2° 34′. Es sind aber wieder 3 noch 4 Minuten so gross, dass sie an dem Astrolabium bemerkt werden könnten, die grösste Ablenkung der Breite ist also bei dem Planeten Venus richtig so, wie vermuthet wurde. Ebenso werde für die grösste Entfernung des Merkur das Verhältniss von $ab$ zu $bd$ wie 10948 zu 3573 genommen, und wir erhalten durch den früheren ähnliche Ableitungen: $ad$ gleich 9452, $df$ aber gleich 3085. Nun haben wir aber den Winkel der Obliquation $dfg$ gleich 7°^[26] gefunden, folglich wird $dg$ gleich 376, wenn $df$ gleich 3085 oder $da$ gleich 9452. Also sind in dem rechtwinkligen Dreiecke $dag$ die Seiten gegeben, und wir erhalten den Winkel $dag$ gleich 2° 17′, als Winkel der grössten Abweichung in der Breite. Bei der kleinsten Entfernung ist aber das Verhältniss von $ab$ zu $bd$ wie 9052 zu 3573, daher wird $ad$ gleich 8317, $df$ aber gleich 3283. Da aber wegen derselben Obliquation $df$ zu $dg$ wie 3283 zu 400 sich verhält, während $ad$ gleich 8317 ist; so wird der Winkel $dag$ gleich 2° 45′. Es unterscheidet sich also der Winkel der Breiten-Abweichung, welcher für die mittlere Entfernung gleich 2° 30′ angenommen ist, von demjenigen kleinsten, welcher beim Apogeum sich ergiebt, um 13′; und von demjenigen grössten, welcher beim Perigeum stattfindet, um 15′, wofür wir von nun an in der Berechnung durchschnittlich 15′ gebrauchen wollen, was bei der Beobachtung für das Auge sich nicht unterscheiden lässt. Nachdem dies so abgeleitet ist, und da die grössten Prosthaphäresen der Längen zu den grössten Abweichungen der Breite dasselbe Verhältniss haben; so stehen uns nun auch für die übrigen Punkte der Bahn, und für die einzelnen Abweichungen der Breite, alle Prosthaphäresen und Breiten, welche sich aus der Schiefe der Venus- und Merkurs-Bahnen ergeben, zu Gebote; jene insofern sie nach einem zwischen dem Apogeum und Perigeum liegenden mittleren Werthe, der für die grösste Breite zu 2° 30′ angenommen ist, wie angegeben, berechnet werden; die grösste Prosthaphärese ist aber für Venus 46°, für Merkur ungefähr 22°. Die Prosthaphäresen haben wir in den Tafeln der ungleichmässigen Bewegungen schon den einzelnen Punkten der Bahnen beigefügt. Wir werden bei beiden Planeten den Antheil, welcher dem entspricht, um wie viel jede Prosthaphärese kleiner ist, als die grösste, nach jenen 2° 30′ berechnen, und diese Antheile in der unten aufgestellten Tafel neben ihre Zahlen setzen; auf diese Weise erhalten wir alle besonderen Breiten der Obliquationen, welche für die grösste und kleinste Entfernung von der Erde gelten, wie wir auch die Breiten der Declinationen für die mittleren Quadranten und die mittleren Entfernungen eingetragen haben. Was aber zwischen diesen vier Grenzpunkten liegt, kann mit mathematischer Schärfe aus der angenommenen Theorie der Kreise entwickelt werden, freilich nicht ohne Mühe. Ptolemäus^[29] aber, der überall, so viel als möglich, die Einfachheit erstrebt, bemerkte, dass beide Arten der Breiten, sowohl im Ganzen, als auch in allen ihren einzelnen Theilen, der Mondbreite proportional wachsen und abnehmen, und indem er daher jede derselben mit 12 multiplicirte, weil seine grösste Breite 5° beträgt, welche Zahl der zwölfte Theil von 60 ist, stellte er aus denselben die Proportionaltheile her, welche er nicht blos für diese beiden Planeten, sondern auch für die drei oberen als anwendbar erachtete, wie weiter unten gesehen werden wird.

Capitel 8.

Ueber die dritte Art der Breite bei Venus und Merkur, welche man Deviation nennt.

Nach diesen Entwickelungen bleibt nur noch Einiges über die dritte Bewegung der Breite, die Deviation, zu sagen übrig. Die Früheren, welche die Erde als in der Mitte der Welt feststehend ansehen, meinen, dass dieselbe durch eine Neigung des excentrischen Kreises, in Verbindung mit einer solchen des Epicykels, um den Mittelpunkt der Erde, entstehe; namentlich wenn der Epicykel im Apogeum oder Perigeum sich befinde, bei der Venus um ein Sechstel Grad immer nach Norden, bei Merkur um drei Viertel Grad immer nach Süden, wie wir früher schon angegeben haben. Es erhellt jedoch nicht hinreichend, ob sie sich diese Neigung als immer gleich und dieselbe dachten, darauf deuten nämlich ihre Zahlenbestimmungen, indem sie festsetzten, dass für die Deviation der Venus immer 10′, beim Merkur immer 45′ genommen werden müssten, was nur erlaubt wäre, wenn der Neigungswinkel immer so viel Minuten gross bliebe, als sie zu Grunde legen. Und doch ist nicht recht zu begreifen, wie diese Breiten-Bewegung jener Planeten, während der Neigungswinkel immer derselbe bliebe, von den gemeinsamen

Schnittpunkten aus, plötzlich wieder nach derselben Seite hin, welche sie eben verlassen hatte, abwiche, wenn man nicht etwa behaupten wollte, dass dies durch eine Art von Refraction des Lichts, wie bei optischen Täuschungen, verursacht würde. Es handelt sich hier aber um eine Bewegung, welche nicht stossweise, sondern ihrer Natur nach gleichmässig ist. Man muss also zugestehen, dass bei derselben eine Schwankung stattfinde, welche bewirkt, dass die Theile des Kreises nach entgegengesetzten Seiten hin bewegt werden, wie wir das auseinandergesetzt haben; und woraus folgen muss, dass die Zahlenangaben beim Merkur um ein Fünftel Grad verschieden werden. Es darf daher um so weniger auffallen, wenn diese Breitenbewegung nach unserer Annahme auch veränderlich ist, und eben nicht so einfach zu sein scheint, und dennoch keinen merklichen Fehler bewirkt, so dass sie in allen ihren Unterschieden wohl zu erkennen ist.

In einer zu Grunde gelegten, auf der Ekliptik senkrechten Ebene liege die gemeinschaftliche Schnittlinie $cbea$, in derselben sei $a$ der Mittelpunkt der Erde, $b$ der Mittelpunkt eines Kreises $cdf$, der durch die Pole des geneigten Bahnkreises selbst, und durch die Punkte der grössten und kleinsten Entfernung von der Erde geht. Während nun der Mittelpunkt $b$ des Kreises in Beziehung auf $a$ im Apogeum oder im Perigeum steht, besitzt der Planet, in welchem Punkte des mit der Bahn parallelen Kreises er sich auch befindet, die grösste Deviation. Nun sei $df$ der Durchmesser dieses mit dem Durchmesser $cbe$ parallelen Kreises, und diese beiden graden Linien sind die gemeinschaftlichen Schnittlinien dieser auf der Ebene $cdf$ senkrechten Ebenen. Es werde $df$ in $g$ halbirt, also ist $g$ selbst der Mittelpunkt des Parallel-Kreises; ferner werden die Linien $bg$, $ag$, $ad$ und $af$ gezogen, und der Winkel $bag$ so angenommen, dass er ein Sechstel Grad beträgt, wie bei der grössten Deviation der Venus. In dem bei $b$ rechtwinkligen Dreiecke $abg$ haben wir also das Verhältniss der Seiten $ab$ zu $bg$ wie 10000 zu 29, die ganze Linie $abc$ ist aber in denselben Einheiten 17193 und der Rest $ae$ gleich 2807. Die Hälfte der Sehne des doppelten Bogens $cd$ und $ef$ ist gleich $bg$, also sind die Winkel $cad$ gleich 6′ und $eaf$ 15′, jener um 4′ dieser um 5′ verschieden von dem Winkel $bag$, welche Differenzen wegen ihrer Kleinheit meistens vernachlässigt werden. Es wird also die erscheinende Deviation der Venus, wenn die Erde in deren Apogeum oder Perigeum steht, in welchem Punkte seiner Bahn der Planet sich auch befinde, wenig grösser oder kleiner sein als 10′. Da aber beim Merkur der Winkel $bag$ drei Viertel Grad beträgt, so verhält sich $ab$ zu $bg$ wie 10000 zu 131, und $abc$ ist gleich 13573, der Rest $ae$ aber gleich 6827. Folglich ist der Winkel $cad$ gleich 33′, $eaf$ aber gleich 70′; jener ist also um 12′ kleiner, dieser um 25′ grösser. Diese Differenzen werden von den Strahlen der Sonne fast verdeckt, ehe Merkur unsern Augen wieder sichtbar wird, weshalb die Alten nur die erscheinende Deviation, als eine sich gleich bleibende aufgefasst haben. Wenn man nichtsdestoweniger, die Arbeit nicht scheuend, in Bezug auf den durch die Sonne verborgenen Gang, die Rechnung streng durchführen will, so mag hier das Verfahren angegeben werden, wie dies auszuführen ist; und zwar an dem Beispiele des Merkur, weil derselbe eine bedeutendere Deviation zeigt, als Venus.

Es liege also die grade Linie $ab$ in dem gemeinschaftlichen Schnitte der Planetenbahn und der Ekliptik, während die Erde, welche in $a$ stehe, sich in dem Apogeum oder Perigeum der Planetenbahn befinde. Die Länge der Linie $ab$ nehmen wir aber, ohne Unterschied, als die zwischen der grössten und kleinsten liegende mittlere Entfernung gleich 10000 an, wie wir das auch bei der Obliquation gethan haben. Es werde nun der Kreis $def$ um den Mittelpunkt $c$ beschrieben. Dieser Kreis soll dem excentrischen Kreise in der Entfernung $cb$ parallel sein, und in diesem Parallel-Kreise möge der Planet grade seine grösste Deviation machen. Der Durchmesser des Kreises sei $dcf$, der also ebenfalls parallel mit $ab$ sein muss, und beide Linien liegen in derselben Ebene, welche auf der Bahnebene des Planeten senkrecht steht. Nun werde der Bogen $ef$ z. B. gleich 45° angenommen, wofür wir die Deviation des Planeten berechnen wollen. Wir fällen $eg$ senkrecht auf $cf$ und $ek$ und $gh$^[30] senkrecht auf die zum Grunde liegende Ebene, vollenden das rechtwinklige Parallelogramm, indem wir $h$ mit $k$ verbinden, und ziehen noch $ae$, $ak$ und $ec$. Da nun beim Merkur, bei seiner grössten Deviation, $bc$ gleich 131 ist, wenn $ab$ gleich 10000, und $ce$ gleich 3573: so sind die Seiten des rechtwinkligen Dreiecks gegeben, und es wird die Seite $eg$ oder $kh$ gleich 2526. Zieht man aber $bh$ gleich $eg$ gleich $cg$ von $ab$ ab, so bleibt $ah$ gleich 7474. In dem Dreiecke $ahk$, dessen rechter Winkel bei $h$ von gegebenen Seiten eingeschlossen ist, wird die Hypotenuse $ak$ gleich 7889; aber $ek$^[31] ist gleich $cb$ gleich $gh$ also gleich 131; also wird in dem Dreiecke $ake$ der rechte Winkel bei $k$ von den gegebenen Seiten $ak$ und $ke$ eingeschlossen, daraus ergiebt sich für den Bogen $ef$ der, der Deviation entsprechende Winkel $kae$^[32], welchen wir suchten, und welcher ebenfalls wenig von den Beobachtungen verschieden ist. Bei der Venus werden wir im Uebrigen ähnlich verfahren und die Resultate in die nachfolgende Tafel eintragen. Nachdem dieselben so aufgestellt worden sind, richten wir für diejenigen Oerter, welche zwischen jenen Grenzen liegen, sowohl für Venus als auch für Merkur, die Sechzigstel oder die Proportional-Minuten ein.

Es sei nämlich $abc$ der excentrische Kreis der Venus oder des Merkur, $a$ und $c$ seien die Knoten dieser Breitenbewegung, $b$ die Grenze^[33] der grössten Deviation. Um diesen Punkt herum beschreiben wir den kleinen Kreis $dfg$, in dessen gegen die Zeichenfläche senkrechtem Durchmesser $dbf$ die schwankende Bewegung der Deviation vor sich geht. Da nun feststeht, dass, wenn die Erde im Apogeum oder Perigeum des excentrischen Kreises des Planeten sich befindet, der Planet selbst seine grösste Deviation macht, nämlich im Punkte $f$ steht: so trifft auch der, den Planeten leitende Kreis dann jenen kleinen Kreis in $f$. Nun sei die Erde irgendwie vom Apogeum oder Perigeum des excentrischen Kreises des Planeten entfernt; dieser Bewegung entsprechend werde der Bogen $fg$ auf dem kleinen Kreise genommen, und der Kreis $agc$ beschrieben, welcher den Planeten leitet, den kleinen Kreis in $g$ und dessen Durchmesser $df$ in $e$ schneidet; in diesem Kreise befinde sich der Planet im Punkte $k$, während der Bogen $ek$, nach der Annahme, dem von $gf$ entspricht; und es werde $lk$ senkrecht gegen den Kreis $abc$ gezogen; so entsteht die Aufgabe, aus $fg$, $ek$ und $be$, die Grösse von $kl$, d. h. den Abstand des Planeten von dem Kreise $abc$ zu finden. Durch den Bogen $fg$ wird $eg$, als eine von der gebogenen nicht verschiedene grade Linie, bekannt, ebenso $ef$ und der Rest $be$ in Theilen von $bf$; (es verhält sich aber $bf$ zu $be$, wie die Sehne des doppelten Quadranten $ce$ zu der Sehne des doppelten Bogens $ck$, und wie $be$ zu $kl$); wenn man also sowohl $bf$, als auch den Radius von $ce$ unter derselben Zahl 60 ansetzt, so erhält man daraus die Grössenangaben für $be$; und wenn man das Produkt aus diesen beiden Werthen von $be$ mit 60 dividirt, so erhält man den verlangten Abstand $lk$ in Proportional-Minuten des Bogens $ek$ und diese haben wir in der fünften und letzten Spalte der nachfolgenden Tafel ^[34] verzeichnet.

TAFEL DER BREITEN DES SATURN, JUPITER UND MARS.
Gemeinschaftliche Zahlen		Breite des Saturn				Breite des Jupiter				Breite des Mars				Proportional-Minuten
		nördlich		südlich		nördlich		südlich		nördlich		südlich
Grad	Grad	Grad	Min.	Grad	Min.	Grad	Min.	Grad	Min.	Grad	Min.	Grad	Min.	Grad	Min.
003	357	2	03	2	02	1	06	1	05	0	06	0	05	59	48
006	354	2	04	2	02	1	07	1	05	0	07	0	05	59	36
009	351	2	04	2	03	1	07	1	05	0	09	0	06	59	06
0
012	348	2	05	2	03	1	08	1	06	0	09	0	06	58	36
015	345	2	05	2	03	1	08	1	06	0	10	0	08	57	48
018	342	2	06	2	03	1	08	1	06	0	11	0	08	57	00
0
021	339	2	06	2	04	1	09	1	07	0	12	0	09	55	48
024	336	2	07	2	04	1	09	1	07	0	13	0	09	54	36
027	333	2	08	2	05	1	10	1	08	0	14	0	10	53	18
0
030	330	2	08	2	05	1	10	1	08	0	14	0	11	52	00
033	327	2	09	2	06	1	11	1	09	0	15	0	11	50	12
036	324	2	10	2	07	1	11	1	09	0	16	0	12	48	24
0
039	321	2	10	2	07	1	12	1	10	0	17	0	12	46	24
042	318	2	11	2	08	1	12	1	10	0	18	0	13	44	24
045	315	2	11	2	09	1	13	1	11	0	19	0	15	42	12
0
048	312	2	12	2	10	1	13	1	11	0	20	0	16	40	00
051	309	2	13	2	11	1	14	1	12	0	22	0	18	37	36
054	306	2	14	2	12	1	14	1	13	0	23	0	20	35	12
0
057	303	2	15	2	13	1	15	1	14	0	25	0	22	32	36
060	300	2	16	2	15	1	16	1	16	0	27	0	24	30	00
063	297	2	17	2	16	1	17	1	17	0	29	0	25	27	12
0
066	294	2	18	2	18	1	18	1	18	0	31	0	26	24	24
069	291	2	20	2	19	1	19	1	19	0	33	0	29	21	24
072	288	2	21	2	21	1	21	1	21	0	35	0	31	18	18
0
075	285	2	22	2	22	1	22	1	22	0	37	0	34	15	15
078	282	2	24	2	24	1	24	1	24	0	40	0	37	12	12
081	279	2	25	2	26	1	25	1	25	0	42	0	39	09	09
0
084	276	2	27	2	27	1	27	1	27	0	45	0	41	06	24
087	273	2	28	2	28	1	28	1	28	0	48	0	45	03	12
090	270	2	30	2	30	1	30	1	30	0	51	0	49	00	00

TAFEL DER BREITEN DES SATURN, JUPITER UND MARS.
Gemeinschaftliche Zahlen		Breite des Saturn				Breite des Jupiter				Breite des Mars				Proportional-Minuten
		nördlich		südlich		nördlich		südlich		nördlich		südlich
Grad	Grad[WS 1]	Grad	Min.	Grad	Min.	Grad	Min.	Grad	Min.	Grad	Min.	Grad	Min.	Grad	Min.
093	267	2	31	2	31	1	31	1	31	0	55	0	52	03	12
096	264	2	33	2	33	1	33	1	33	0	59	0	56	06	24
099	261	2	34	2	34	1	34	1	34	1	02	1	00	09	09
0
102	258	2	36	2	36	1	36	1	36	1	06	1	04	12	24
105	255	2	37	2	37	1	37	1	37	1	11	1	08	15	24
108	252	2	39	2	39	1	39	1	39	1	15	1	12	18	24
0
111	249	2	40	2	40	1	40	1	40	1	19	1	17	21	24
114	246	2	42	2	42	1	42	1	42	1	25	1	22	24	24
117	243	2	43	2	43	1	43	1	43	1	31	1	28	27	12
0
120	240	2	45	2	45	1	45	1	44	1	36	1	34	30	00
123	237	2	46	2	46	1	46	1	46	1	41	1	40	32	36
126	234	2	47	2	48	1	47	1	47	1	47	1	47	35	12
0
129	231	2	49	2	49	1	49	1	49	1	54	1	55	37	36
132	228	2	50	2	51	1	50	1	51	2	02	2	05	40	06
135	225	2	52	2	53	1	51	1	53	2	10	2	15	42	12
0
138	222	2	53	2	54	1	52	1	54	2	19	2	26	44	24
141	219	2	54	2	55	1	53	1	55	2	29	2	38	47	24
144	216	2	55	2	56	1	55	1	57	2	37	2	48	48	24
0
147	213	2	56	2	57	1	56	1	58	2	47	2	04	50	12
150	210	2	57	2	58	1	58	1	59	2	51	2	20	52	00
153	207	2	58	2	59	1	59	2	01	3	12	3	32	53	18
0
156	204	2	59	3	00	2	00	2	02	3	23	3	52	54	36
159	201	2	59	3	01	2	01	2	03	3	34	4	13	55	48
162	198	3	00	3	02	2	02	2	04	3	46	4	36	57	00
0
165	195	3	00	3	02	2	02	2	05	3	57	5	00	57	48
168	192	3	01	3	03	2	03	2	05	4	09	5	23	58	36
171	189	3	01	3	03	2	03	2	06	4	17	5	48	59	06
0
174	186	3	02	3	04	2	04	2	06	4	23	6	15	59	36
177	183	3	02	3	04	2	04	2	07	4	27	6	35	59	48
180	180	3	02	3	05	2	04	2	07	4	30	6	50	60	00

TAFEL DER BREITEN DER VENUS UND DES MERKUR.
Gemeinschaftliche Zahlen		Venus						Merkur						Proportional-Minuten der Deviation
		Declination		Obliquation		Deviation		Declination		Obliquation		Deviation
Grad	Grad	Grad	Min.	Grad	Min.	Grad	Min.	Grad	Min.	Grad	Min.	Grad	Min.	Min.	Sec.
003	357	1	02	0	04	0	07	1	45	0	05	0	33	59	36
006	354	1	02	0	08	0	07	1	45	0	11	0	33	59	12
009	351	1	01	0	12	0	07	1	45	0	16	0	33	58	25
0
012	348	1	01	0	16	0	07	1	44	0	22	0	33	57	14
015	345	1	00	0	21	0	07	1	44	0	27	0	33	55	41
018	342	1	00	0	25	0	07	1	43	0	33	0	33	54	09
0
021	339	0	59	0	29	0	07	1	42	0	38	0	33	52	12
024	336	0	59	0	33	0	07	1	40	0	44	0	34	49	43
027	333	0	58	0	37	0	07	1	38	0	49	0	34	47	21
0
030	330	0	57	0	41	0	08	1	36	0	55	0	34	45	04
033	327	0	56	0	45	0	08	1	34	1	00	0	34	42	00
036	324	0	55	0	49	0	08	1	30	1	06	0	34	39	15
0
039	321	0	53	0	53	0	08	1	27	1	11	0	35	35	53
042	318	0	51	0	57	0	08	1	23	1	16	0	35	32	51
045	315	0	49	1	01	0	08	1	19	1	21	0	35	29	41
0
048	312	0	46	1	05	0	08	1	15	1	26	0	36	26	40
051	309	0	44	1	09	0	08	0	11	1	31	0	36	23	34
054	306	0	41	1	13	0	08	0	08	1	35	0	36	20	39
0
057	303	0	38	1	17	0	08	0	04	1	40	0	37	17	40
060	300	0	35	1	20	0	08	0	59	1	44	0	38	15	00
063	297	0	32	1	24	0	08	0	54	1	48	0	38	12	20
0
066	294	0	29	1	28	0	09	0	49	1	52	0	39	09	55
069	291	0	26	1	32	0	09	0	44	1	56	0	39	07	38
072	288	0	23	1	35	0	09	0	38	2	00	0	40	05	39
0
075	285	0	20	1	38	0	09	0	32	2	03	0	41	03	57
078	282	0	16	1	42	0	09	0	26	2	07	0	42	02	34
081	279	0	12	1	46	0	09	0	21	2	10	0	42	01	28
0
084	276	0	08	1	50	0	10	0	16	2	14	0	43	00	40
087	273	0	04	1	54	0	10	0	08	2	17	0	44	00	10
090	270	0	00	1	57	0	10	0	00	2	20	0	45	00	00

TAFEL DER BREITEN DER VENUS UND DES MERKUR.
Gemeinschaftliche Zahlen		Venus						Merkur						Proportional-Minuten der Deviation
		Declination		Obliquation		Deviation		Declination		Obliquation		Deviation
Grad	Grad	Grad	Min.	Grad	Min.	Grad	Min.	Grad	Min.	Grad	Min.	Grad	Min.	Min.	Sec.
093	267	0	05	2	00	0	10	0	08	2	23	0	45	00	10
096	264	0	10	2	03	0	10	0	15	2	25	0	46	00	40
099	261	0	15	2	06	0	10	0	23	2	27	0	47	01	28
0
102	258	0	20	2	09	0	11	0	31	2	28	0	48	02	34
105	200	0	26	2	12	0	11	0	40	2	29	0	48	03	57
108	252	0	32	2	15	0	11	0	48	2	29	0	49	05	39
0
111	249	0	38	2	17	0	11	0	57	2	30	0	50	07	38
114	246	0	44	2	20	0	11	1	06	2	30	0	51	09	55
117	243	0	50	2	22	0	11	1	16	2	30	0	52	12	20
0
120	240	0	59	2	24	0	12	1	25	2	29	0	52	15	00
123	237	1	08	2	26	0	12	1	35	2	28	0	53	17	40
126	234	1	18	2	27	0	12	1	45	2	26	0	54	20	39
0
129	231	1	28	2	29	0	12	1	55	2	23	0	55	23	34
132	228	1	38	2	30	0	12	2	06	2	20	0	56	26	40
135	225	1	48	2	30	0	13	2	16	2	16	0	57	29	41
0
138	222	1	59	2	30	0	13	2	27	2	11	0	57	32	51
141	219	2	11	2	29	0	13	2	37	2	06	0	58	35	53
144	216	2	25	2	28	0	13	2	47	2	00	0	59	39	15
0
147	213	2	43	2	26	0	13	2	57	1	53	1	00	42	00
150	210	3	03	2	22	0	13	3	07	1	46	1	01	45	04
153	207	3	23	2	18	0	13	3	17	1	38	1	02	47	21
0
156	204	3	44	2	12	0	14	3	26	1	29	1	03	49	43
159	201	4	05	2	04	0	14	3	34	1	20	1	04	52	12
162	198	4	26	1	55	0	14	3	42	1	10	1	05	54	09
0
165	195	4	49	1	42	0	14	3	48	0	59	1	06	55	41
168	192	5	13	1	27	0	14	3	54	0	48	1	07	57	14
171	189	5	36	1	09	0	14	3	58	0	36	1	07	58	25
0
174	186	5	52	0	48	0	14	4	02	0	24	1	08	59	12
177	183	6	07	0	25	0	14	4	04	0	12	1	09	59	36
180	180	6	22	0	00	0	14	4	05	0	00	1	10	60	00

Capitel 9.

Ueber die Berechnung der Breiten der fünf Planeten.

Das Verfahren, die Breiten der fünf Planeten aus diesen Tafeln zu berechnen, ist folgendes: zuerst richten wir beim Saturn, Jupiter und Mars die einzelne ausgeglichene Anomalie des excentrischen Kreises auf die gemeinsamen Zahlen ein, indem wir dieselbe beim Mars unverändert lassen, beim Jupiter um 20° verkleinern, beim Saturn aber um 50° vergrössern; nun notiren wir uns die Sechzigstel oder die Proportional-Minuten, welche in der letzten Spalte stehen. Ebenso nehmen wir durch die einzelne parallactische Anomalie, für jeden besonders, die nebenstehende Breite, und zwar die erste oder nördliche, wenn die Proportional-Minuten auf der ersten Seite stehen, was der Fall ist, wenn die Anomalie des excentrischen Kreises kleiner als 90° und grösser als 270° ist; die südliche aber oder die zweite, wenn die Proportional-Minuten auf der zweiten Seite stehen, was stattfindet, wenn die Anomalie des excentrischen Kreises grösser als 90° oder kleiner als 270° ist. Wenn man nun die eine oder die andere dieser Breiten mit ihren Proportional-Minuten multiplicirt, so erhält man den nördlichen oder südlichen Abstand von der Ekliptik, je nach der Benennung der angewendeten Bogen. Bei Venus und Merkur hat man zuerst durch die einzelne parallactische Anomalie die nebenstehenden drei Breiten der Declination, Obliquation und Deviation zu nehmen, und dieselben besonders zu notiren; nur muss man beim Merkur die Obliquation um den zehnten Theil verkleinern, wenn die Zahl der Anomalie des excentrischen Kreises auf der ersten Seite der Tafel steht; dagegen um ebensoviel vergrössern, wenn die Zahl auf der zweiten Seite sich findet; und jenen Rest oder diese Summe anwenden. Ihre Benennungen aber, ob sie nördlich oder südlich sind, entscheiden sich so: liegt die einzelne parallactische Anomalie in dem apogeischen Halbkreise, d. h. ist sie kleiner als 90° und grösser als 270°, und ist zugleich die Anomalie des excentrischen Kreises kleiner als der Halbkreis; oder auch liegt die parallactische Anomalie in dem perigeischen Halbkreise, d. h. ist sie grösser als 90° und kleiner als 270°, und ist zugleich die Anomalie des excentrischen Kreises grösser als der Halbkreis: so ist die Declination der Venus nördlich, die des Merkur südlich. Liegt dagegen die parallactische Anomalie im perigeischen Halbkreise, und ist zugleich die Anomalie des excentrischen Kreises kleiner als der Halbkreis; oder liegt die parallactische Anomalie im apogeischen Halbkreise, und ist zugleich die Anomalie des excentrischen Kreises grösser als der Halbkreis: so ist umgekehrt die Deklination der Venus südlich, die des Merkur nördlich. Bei der Obliquation ist es dagegen so: ist die parallactische Anomalie kleiner als der Halbkreis, und zugleich die Anomalie des excentrischen Kreises apogeisch; oder ist die parallactische Anomalie grösser als der Halbkreis und zugleich die Anomalie des excentrischen Kreises perigeisch; so wird die Obliquation der Venus nördlich, die des Merkur südlich. Hiervon gilt die Converse ebenfalls. Die Deviationen aber bleiben immer bei Venus nördlich, bei Merkur südlich. Ferner nimmt man mit der einzelnen Anomalie des excentrischen Kreises die Proportional-Minuten, welche allen fünf Planeten gemeinsam, aber nur bei den oberen Planeten beigesetzt sind, und fügt sie der Obliquation und der Deviation hinzu. Hierauf addirt man zu der excentrischen Anomalie 90°, und sucht mit dieser Summe wieder die gemeinsamen Proportional-Minuten; diese addirt man zu der Breite der Declination. Nachdem dies Alles in Ordnung gebracht ist, werden die einzelnen berechneten drei Breiten, jede mit ihren Proportional-Minuten multiplicirt und diese Producte geben nun alle drei corrigirte Breiten für den Ort und die Zeit. Sind endlich alle drei gleichnamig, so addirt man sie, um die schliessliche Breite dieser beiden Planeten zu erhalten; wo nicht, so sind wenigstens zwei gleichnamig, und diese addirt man, diese Summe kann kleiner oder grösser sein, als die dritte ungleichnamige; von beiden bildet man die Differenz, und diese ist die gesuchte Breite.

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Anmerkungen [des Übersetzers]

1. ⁴⁶⁸) Almagest XIII. 1.
2. ⁴⁶⁹) Almagest XIII. 5, wo folgende Grenzen gegeben sind:

   Saturn	3° 5′
   	2° 2′
   Jupiter	2° 8′ dafür steht in allen Ausgaben 2° 7′
   	1° 5′
   Mars	7° 7′ dafür steht in allen Ausgaben 7° 0′
   	0° 4′ dafür steht in allen Ausgaben 0° 5′

3. ⁴⁶⁹) Almagest XIII. 5, wo folgende Grenzen gegeben sind:

   Saturn	3° 5′
   	2° 2′
   Jupiter	2° 8′ dafür steht in allen Ausgaben 2° 7′
   	1° 5′
   Mars	7° 7′ dafür steht in allen Ausgaben 7° 0′
   	0° 4′ dafür steht in allen Ausgaben 0° 5′

4. ⁴⁷⁰) Almagest XIII. 5, wo 4° 21′ steht, wofür in allen Ausg., wie hier, 4° 20′ gelesen wird.
5. ⁴⁷¹) Die Baseler Ausgabe liest hier fälschlich 25°.
6. ⁴⁷²) Die Säc. Ausg. liest hier, abweichend von den alten Ausgaben, $acf$; ein Blick aber auf die Figur überzeugt, dass der Winkel $afc$ gemeint ist. Gegen das Ende des allgemeinen Theiles dieses Capitels, ehe zu dem Beispiele des Mars übergegangen wird, ist der gesuchte Winkel auch in der Säc. Ausg. richtig mit $afc$ bezeichnet.
7. ⁴⁷³) Die Säcular Ausgabe liest hier richtig soli, während die alten Ausgaben fälschlich Soli haben, vergl. Anm. ⁴⁷⁸).
8. ⁴⁷⁴) Almagest XIII. 5.
9. ⁴⁷⁵) Buch VI. Capitel 8. die dritten Columnen.
10. ⁴⁷⁶) Die Säc. Ausg. liest hier nach dem Orig. Mscpt. 8° 2′ statt, wie die alten Ausgaben, 1° 2′. Aus den Tafeln, Säc. Ausg. pag. 440 Zeile 5 geht aber hervor, dass die letztere Angabe die richtige ist; denn in der Nähe von 0° oder 360° der „gemeinschaftlichen Zahlen“, d. h. vom Apogeum, ist die Differenz der Declinationen = 0, und für 3° oder 357° ist dort die Declination zu 1° 2′ angesetzt, wie für 180° oder für das Perigeum a. a. O. pag. 441 Zeile 35 die Declination 6° 22′ ist. Diese letztere Angabe hat die Säc. Ausg. auch richtig hier aufgenommen.
11. ⁴⁷⁷) Die Nürnberger Ausg. hat hier, mit der Säc. Ausg. übereinstimmend, richtig demonstrabimus, während die Baseler Ausg. fälschlich demonstravimus liest.
12. ⁴⁷⁸) Die Nürnberger Ausgabe hat hier „in ipso Sola $fbg$“, die Baseler Ausgabe sogar „in ipso Sole $fbg$“ es muss aber, wie auch die Säc. Ausg. richtig liest, heissen „in ipso sola $fbg$“. Dies geht theils aus dem Sinne der Stelle, theils aus einer Vergleichung mit Almagest XIII. 4. hervor, wo dieselbe Auseinandersetzung so lautet: „Supponatur autem etiam epicycli superficies recta ad subjectam superficiem, ut lineae, quae ductae in ipsa, rectos angulos ad lineam DE faciant, omnes quidem ceterae aequidistantes sint ad superficiem per medium. Linea vero FBI sola in ipsa sit.“
13. ⁴⁷⁹) Almagest XIII, 4. gleich nach den in Anm. ⁴⁷⁸) angeführten Worten.
14. ⁴⁸⁰) Die Säc. Ausg. pag. 425 lin. 27 liest zwar hier trianguli $kbl$ angulus $bkl$ datus est, es muss aber wie in den alten Ausgaben, trianguli $bkl$ angulus $kbl$ datus est heissen. Ist nämlich $kbl$ = 2° 30′ $blk$ = 90° und $bk$ = $hk$ = 7071, so erhält man:

    $\log \sin$ 2° 30′	= 8 . 63968 — 10
    $\log$ 7071	= 3 . 84948
    $\log kl$	= 2 . 48916,	woraus $kl$ = 308, wie im Texte.

15. ⁴⁸¹)

    $\log ml$	= $\log$ 5086	= 3 . 70638
    $\log am$	= $\log$ 7075	= 3 . 84973
    $\log {\frac {ml}{am}}$	= $\log \sin mal$	= 9 . 85665 — 10
    	$mal$	= 45° 57′ 40″,	wofür in allen Ausgaben 45° 58′.

16. ⁴⁸²)

    $\log hl$	= $\log$ 5091	= 3 . 70680
    $\log ah$	= $\log$ 7079	= 3 . 84997
    $\log {\frac {hl}{ah}}$	= $\log \sin hal$	= 9 . 85683 — 10
    	$hal$	= 45° 59′ 10″.	die alten Ausgaben haben 58′, die Säcular Ausgabe richtig 59′.

17. ⁴⁸³) So liest richtig die Säc. Ausg., während alle alten Ausgaben fälschlich $alm$ haben.
18. ⁴⁸⁵) Hier wird derselbe Winkel $mal$, welcher kurz vorher bei Anm. ⁴⁸¹) in allen Ausgaben zu 45° 58′ angegeben war, gleich 45° 57′ gesetzt.
19. ⁴⁸⁴) Die Differenz der in den Anm. ⁴⁸¹) und ⁴⁸²) gefundenen Werthe beträgt 1′ 30″, wofür im Text nach allen Ausgaben: 2′ aufgenommen ist.
20. ⁴⁸⁶) Die Nürnberger- und Baseler-Ausgabe haben hier beide $lk$, die Säcular Ausgabe liest richtig $lh$.
21. ⁴⁸⁷) Almagest XIII. 3, wo genau die Hälften dieser Zahlenangaben zu finden sind.
22. ⁴⁸⁸) Im Capitel 6 dieses Buches.
23. ⁴⁸⁹) Almagest XIII. 4.
24. ⁴⁹⁰) Die Nürnberger Ausgabe hat hier übereinstimmend mit der Säcular Ausgabe richtig sectanti, während die Baseler sextanti liest.
25. ⁴⁹¹)

    $\log gd$	= $\log$ 0303	= 2 . 48144
    $\log df$	= $\log$ 4997	= 3 . 69871
    $\log {\frac {gd}{df}}$	= $\log \sin dfg$	= 8 . 78273 — 10
    folglich $dfg$		= 3° 28′ 35″,	wofür im Texte 3° 29′ steht.

26. ⁴⁹²)

    $\log gd$	= $\log$ 0407	= 2 . 60959
    $\log df$	= $\log$ 3337	= 3 . 52336
    $\log {\frac {gd}{df}}$	= $\log \sin dfg$	= 9 . 08623 — 10
    folglich $dfg$		= 7° 0′ 19″.8.

    In den alten Ausgaben steht hierfür fälschlich 6°, die Säc. Ausg, hat richtig 7°, vergl. das Druckfehlerverzeichniss der Säc. Ausg.

27. ⁴⁹³) In den Säc. Ausg. steht hier durch einen Druckfehler 71932 statt 7193; ein Vergleich mit pag. 430 lin. 23 und pag. 431 lin. 30 ist ausreichend, um dies zu constatiren. Die alten Ausgaben haben richtig 7193.
28. ⁴⁹⁴) In den alten Ausgaben steht hier fälschlich $adf$, die Säc. Ausg. hat richtig $adb$.
29. ⁴⁹⁵) Almagest XIII. 4. am Ende.
30. ⁴⁹⁶) Die Säc. Ausg. hat hier $eh$, $gh$, die alten Ausgaben haben dagegen $ek$, $gk$, es muss aber heissen $ek$, $gh$.
31. ⁴⁹⁷) $ek$ fehlt in allen Ausgaben, müsste aber dem Sinne nach hier stehen.
32. ⁴⁹⁸) Die Grösse dieses Winkels fehlt in allen Ausgaben, hier ist ihre Berechnung

    $\log ek$	= $\log$ 0131	= 2 . 11727
    $\log ak$	= $\log$ 7889	= 3 . 89702
    $\log {\frac {ek}{ak}}$	= $\operatorname {tang} kae$	= 8 . 22025 — 10
    $kae$		= 0° 57′ 4″.84.

33. ⁴⁹⁹) Die alten Ausgaben lesen hier lineae statt limes, welche Letztere Lesart in der Säc. Ausg. sich richtig findet.
34. ⁵⁰⁰) Diese Tafeln haben in den alten Ausgaben unrichtige Ueberschriften. die Säc. Ausg. enthält die berichtigte Form, welche sich auch durch eine Vergleichung mit den Tafeln im Almagest XIII. 5. bestätigt.

Anmerkungen (Wikisource)

1. Vorlage: Min.

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