da fast jeder wesentliche Gedanke und Begriff aus der Körpertheorie, zum wenigsten in spezieller Fassung, bei dem Beweise der höheren Reziprozitätsgesetze seine Anwendung findet. Ich habe versucht, den großen rechnerischen Apparat von Kummer zu vermeiden, damit auch hier der Grundsatz von Riemann verwirklicht würde, demzufolge man die Beweise nicht durch Rechnung, sondern lediglich durch Gedanken zwingen soll.
Die im dritten, vierten und fünften Teile behandelten Theorien sind sämtlich Theorien besonderer Abelscher oder relativ-Abelscher Körper. Ein weiteres Beispiel für eine solche Theorie ist die komplexe Multiplikation der elliptischen Funktionen, indem wir diese als eine Theorie derjenigen Zahlkörper auffassen, welche in bezug auf einen gegebenen imaginären quadratischen Körper relativ-Abelsche sind. Die Untersuchungen über die komplexe Multiplikation der elliptischen Funktionen mußten jedoch von der Aufnahme in den vorliegenden Bericht ausgeschlossen werden, weil die Tatsachen dieser Theorie noch nicht bis zu dem Grade der Einfachheit und Vollständigkeit ausgearbeitet sind, daß eine befriedigende Darstellung derselben gegenwärtig möglich ist.
Die Theorie der Zahlkörper ist wie ein Bauwerk von Wunderbarer Schönheit und Harmonie; als der am reichsten ausgestattete Teil dieses Bauwerkes erscheint mir die Theorie der Abelschen und relativ-Abelschen Körper, die uns Kummer durch seine Arbeiten über die höheren Reziprozitätsgesetze und Kronecker durch seine Untersuchungen über die komplexe Multiplikation der elliptischen Funktionen erschlossen haben. Die tiefen Einblicke, welche die Arbeiten dieser beiden Mathematiker in die genannte Theorie gewähren, zeigen uns zugleich, daß in diesem Wissensgebiete eine Fülle der kostbarsten Schätze noch verborgen liegt, winkend als reicher Lohn dem Forscher, der den Wert solcher Schätze kennt und die Kunst, sie zu gewinnen, mit Liebe betreibt.
Die erwähnten fünf Teile des Berichtes gliedern sich in Kapitel und Paragraphen, und in diesen schreitet die Entwickelung in der Weise fort, daß allemal die Sätze und Hilfssätze voranstehen und dann ihre Beweise folgen. Ich denke mir den Leser wie einen Reisenden: die Hilfssätze sind Haltestellen, die Sätze sind größere Stationen, im voraus bezeichnet, damit an ihnen das Auffassungsvermögen ausruhen kann. Diejenigen Sätze, die wegen ihrer prinzipiellen Bedeutung an sich Hauptziele sind, oder die als Ausgangspunkte zu weiterem Vordringen in noch unentdecktes Land hervorragend geeignet erscheinen, sind durch kursiven Druck ausgezeichnet; es sind dies die Sätze: 7 (S. 75), 31 (S. 85), 40 (S. 97), 44 (S. 100), 45 (S. 100), 47 (S. 102), 56 (S. 116), 82 (S. 142), 94 (S. 155), 100 (S. 168), 101 (S. 169), 131 (S. 206), 143 (S. 240), 144 (S. 242), 150 (S. 257), 158 (295), 159 (S. 302), 161 (S. 312), 164 (S. 329), 166 (S. 332), 167 (S. 332).
Wegen des genauen Inhaltes und der zur Erhöhung der Übersicht getroffenen Einrichtungen verweise ich auf die Verzeichnisse S. III–S. XII und
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 67. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/84&oldid=- (Version vom 11.7.2022)
