David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 7.29

← 7.28 Die Zerlegung der Zahlen des Kreiskörpers im Kummerschen Körper.

David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie (1932) von David Hilbert 7.29 Die Normenreste und Normennichtreste des Kummerschen Körpers.

7.30 Das Vorhandensein unendlich vieler Primideale mit vorgeschriebenen Potenzcharakteren im Kummersehen Körper. →

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29. Die Normenreste und Normennichtreste des Kummerschen Körpers.

§ 129. Die Definition der Normenreste und Normennichtreste.

Es sei, wie in § 125, $\mu$ eine Zahl des Kreiskörpers $k(\zeta )$‚ für welche ${\mathsf {M}}={\sqrt[{l}]{\mu }}$ nicht in $k(\zeta )$ liegt, und es bedeute $k({\mathsf {M}},\ \zeta )$ den durch ${\mathsf {M}}$ und $\zeta$ bestimmten Kummerschen Körper; für eine Zahl ${\mathsf {A}}$ in $k({\mathsf {M}},\ \zeta )$ werde die Relativnorm in bezug auf $k(\zeta )$ mit $N_{k}({\mathsf {A}})$ bezeichnet. Es sei ${\mathfrak {w}}$ ein beliebiges Primideal des Kreiskörpers $k(\zeta )$ und $\nu$ eine beliebige ganze Zahl in $k(\zeta )$. Wenn dann $\nu$ nach ${\mathfrak {w}}$ der Relativnorm einer ganzen Zahl des Körpers $k({\mathsf {M}},\ \zeta )$ kongruent ist, und wenn außerdem auch für jede höhere Potenz von ${\mathfrak {w}}$ stets eine, solche ganze Zahl ${\mathsf {A}}$ im Körper $k({\mathsf {M}},\ \zeta )$ gefunden werden kann, daß $\nu \equiv N_{k}({\mathsf {A}})$ nach jener Potenz von ${\mathfrak {w}}$ ausfällt, so nenne ich $\nu$ einen Normenrest des Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\ \zeta )$ nach ${\mathfrak {w}}$. In jedem anderen Falle nenne ich $\nu$ einen Normennichtrest des Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\ \zeta )$ nach ${\mathfrak {w}}$.

§ 130. Der Satz von der Anzahl der Normenreste. Die Verzweigungsideale.

Es gilt der folgende wichtige Satz:

Satz 150. Wenn ${\mathfrak {w}}$ ein Primideal des Kreiskörpers $k(\zeta )$ ist, das nicht in der Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\ \zeta )$ aufgeht, so ist jede zu ${\mathfrak {w}}$ prime Zahl $\nu$ in $k(\zeta )$ Normenrest des Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\ \zeta )$ nach ${\mathfrak {w}}$.

Wenn dagegen ${\mathfrak {w}}$ ein Primideal des Kreiskörpers $k(\zeta )$ ist, das in der Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\ \zeta )$ aufgeht, und $e$ im Falle ${\mathfrak {w}}\neq {\mathfrak {l}}$ ein beliebiger positiver Exponent, im Falle ${\mathfrak {w}}={\mathfrak {l}}$ ein beliebiger Erxponent $>l$ ist, so sind von allen vorhandenen, zu ${\mathfrak {w}}$ primen und nach ${\mathfrak {w}}^{e}$ einander inkongruenten Zahlen in $k(\zeta )$ genau der $l$-te Teil Normenreste nach ${\mathfrak {w}}$.

Beweis. Es sei zunächst ${\mathfrak {w}}$ ein in der Relativdiskriminante des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ nicht aufgehendes und von ${\mathfrak {l}}$ verschiedenes Primideal des Kreiskörpers $k(\zeta )$; dann sind zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem ${\mathfrak {w}}$ in $k({\mathsf {M}},\zeta )$ zerlegbar ist oder nicht. Im ersteren Falle sei ${\mathfrak {W}}$ ein in ${\mathfrak {w}}$ aufgehendes Primideal des Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$. Im Hinblick auf den Beweis zu Satz 148 können wir, ohne dadurch eine Beschränkung einzuführen, annehmen; es sei $\mu$ und mithin auch die Relativdiskriminante der Zahl ${\mathsf {M}}={\sqrt[{l}]{\mu }}$ in bezug auf $k(\zeta )$ nicht durch ${\mathfrak {W}}$ teilbar; es gibt dann gewiß im Körper $k({\mathsf {M}},\zeta )$ ein System von $l$ ganzen Zahlen ${\mathsf {A}}_{1}$, …, ${\mathsf {A}}_{l}$, für welche die $l$ Kongruenzen

${\begin{aligned}\left.{\begin{alignedat}{2}{\mathsf {A}}_{1}&+{\mathsf {A}}_{2}{\mathsf {M}}&+\ldots +&{\mathsf {A}}_{l}{\mathsf {M}}^{l-1}&\equiv v,\\{\mathsf {A}}_{1}&+{\mathsf {A}}_{2}\zeta {\mathsf {M}}&+\ldots +&{\mathsf {A}}_{l}(\zeta {\mathsf {M}})^{l-1}&\equiv 1,\\{\mathsf {A}}_{1}&+{\mathsf {A}}_{2}\zeta ^{2}{\mathsf {M}}&+\ldots +&{\mathsf {A}}_{l}(\zeta ^{2}{\mathsf {M}})^{l-1}&\equiv 1,\\&\;\vdots &\ddots \quad &\qquad \vdots &\;\vdots \\{\mathsf {A}}_{1}&+{\mathsf {A}}_{2}\zeta ^{l-1}{\mathsf {M}}&+\ldots +&{\mathsf {A}}_{l}(\zeta ^{l-1}{\mathsf {M}})^{l-1}&\equiv 1,\\\end{alignedat}}\right\}({\mathfrak {W}})\end{aligned}}$

erfüllt sind. Nun ist offenbar jede ganze Zahl des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ nach ${\mathfrak {W}}$ einer ganzen Zahl in $k(\zeta )$ kongruent; setzen wir

${\mathsf {A}}_{1}\equiv \alpha _{1}$, ${\mathsf {A}}_{2}\equiv \alpha _{2}$, …, ${\mathsf {A}}_{l}\equiv \alpha _{l},$, $({\mathfrak {W}})$,

so daß $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, …, $\alpha _{l}$ ganze Zahlen in $k(\zeta )$ sind, und

${\mathsf {A}}=\alpha _{1}+\alpha _{2}{\mathsf {M}}+\cdots +\alpha _{l}{\mathsf {M}}^{l-1}$,

so ergibt sich daher

$v\equiv {\mathsf {A}}$, $1\equiv S{\mathsf {A}},\ldots ,1\equiv S^{l-1}{\mathsf {A}}$, $({\mathfrak {W}})$,

und durch Multiplikation folgt $v\equiv N_{k}({\mathsf {A}})$ nach ${\mathfrak {W}}$ und daher auch nach ${\mathfrak {w}}$. Damit ist unter der gegenwärtigen Annahme über das Primideal ${\mathfrak {w}}$ der erste Teil des Satzes für den Fall $e=1$ bewiesen. Um zu den Fällen $e>1$ überzugehen, nehmen wir an, es sei $v\not \equiv N_{k}({\mathsf {A}})$ nach ${\mathfrak {w}}^{2}$, und setzen dann

${\frac {v}{N_{k}({\mathsf {A}})}}\equiv 1+\omega$, $({\mathfrak {w}}^{2})$,

so daß dabei $\omega$ eine ganze, durch ${\mathfrak {w}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {w}}^{2}$ teilbare Zahl in $k(\zeta )$ bedeutet. Die ganze Zahl ${\mathsf {B}}={\mathsf {A}}(1+l^{*}\omega )$, wobei $l^{*}$ eine ganze rationale, der Kongruenz $ll^{*}\equiv 1$ nach ${\mathfrak {w}}$ genügende Zahl sein soll, erfüllt dann die Bedingung $v=N_{k}({\mathsf {B}})$ nach ${\mathfrak {w}}^{2}$. Durch die gehörige Fortsetzung des hier eingeschlagenen Verfahrens gelangen wir schließlich zu einer ganzen Zahl in $k({\mathsf {M}},\zeta )$, deren Relativnorm in bezug auf $k(\zeta )$ der Zahl $v$ nach einer beliebig hohen Potenz ${\mathfrak {w}}^{e}$ kongruent ist.

Es sei andererseits ${\mathfrak {w}}$ im Körper $k({\mathsf {M}},\zeta )$ nicht weiter zerlegbar; wir können es wiederum einrichten, daß $\mu$ nicht durch ${\mathfrak {w}}$ teilbar sei, und es ist dann nach Satz 149 $\mu$ jedenfalls kein $l$-ter Potenzrest nach ${\mathfrak {w}}$. Nach den Folgerungen aus Satz 139 gibt es in $k(\zeta )$ genau $r={\frac {n({\mathfrak {w}})-1}{l}}$ zu ${\mathfrak {w}}$ prime $l$-te Potenzreste nach ${\mathfrak {w}}$; sind diese nach ${\mathfrak {w}}$ durch $\varrho _{1}$, …, $\varrho _{r}$ vertreten, so fallen die $n({\mathfrak {w}})-1$ Zahlen

$\varrho _{i}\mu ^{g}$ $\left({\begin{aligned}i&=1,\,2,\,\ldots ,\,r,\\g&=0,\,1,\,2,\,\ldots ,\,l-1\end{aligned}}\right)$

sämtlich nach ${\mathfrak {w}}$ untereinander inkongruent aus, da $\mu$ nicht $l$-ter Potenzrest nach ${\mathfrak {w}}$ ist, und es ist also jede zu ${\mathfrak {w}}$ prime Zahl in $k(\zeta )$ einer dieser Zahlen nach ${\mathfrak {w}}$ kongruent. Setzen wir $\varrho _{1}\equiv \alpha _{1}^{l}$, …, $\varrho _{r}\equiv \alpha _{r}^{l}$ nach ${\mathfrak {w}}$, so daß $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{r}$ ebenfalls Zahlen in $k(\zeta )$ sind, so folgt

$\varrho _{i}\mu ^{g}\equiv N_{k}(\alpha _{i}{\mathsf {M}}^{g})$, $({\mathfrak {w}})$,

und es ist also jede zu ${\mathfrak {w}}$ prime Zahl in $k(\zeta )$ der Norm einer geeigneten Zahl in $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ nach ${\mathfrak {w}}$ kongruent; hieraus schließt man weiter, ähnlich wie im vorigen Falle, daß zu jeder zu ${\mathfrak {w}}$ primen ganzen Zahl $\nu$ in $k(\zeta )$ auch in bezug auf eine beliebig hohe Potenz ${\mathfrak {w}}^{e}$ von ${\mathfrak {w}}$ stets eine ganze Zahl des Körpers $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ gefunden werden kann, deren Relativnorm nach ${\mathfrak {w}}^{e}$ der Zahl $\nu$ kongruent ist.

Wir wollen nun den ersten Teil des Satzes 150 auch für den Fall ${\mathfrak {w}}={\mathfrak {l}}$ beweisen, dabei können wir $\mu$ zu ${\mathfrak {l}}$ prim annehmen; wir bezeichnen mit $\lambda ^{m}$ die höchste in $\mu ^{l-1}-1$ enthaltene Potenz von $\lambda$, wobei jedenfalls $m\geqq 1$ sein wird, und setzen

$\mu ^{l-1}\equiv 1+a\lambda ^{m}$, $({\mathfrak {l}}^{m+1})$,

wo $a$ eine ganze rationale, zu $l$ prime Zahl bedeuten soll. Ist dann $a^{*}$ eine ganze rationale Zahl mit der Kongruenzeigenschaft $aa^{*}\equiv -1$ nach $l$, und setzen wir $\mu ^{*}=\mu ^{a^{*}(l-1)}$, so wird

$\mu ^{*}\equiv 1-\lambda ^{m}$, $({\mathfrak {l}}^{m+1})$.

(72)

Andererseits gelten die Kongruenzen

$\left\{{\begin{aligned}(1-\lambda ^{g+1})^{l}&\equiv 1+\lambda ^{l+g}\\(1-\lambda ^{g+1})^{hl}&\equiv 1+h\lambda ^{l+g}\end{aligned}}\right\}$, $({\mathfrak {l}}^{l+g+1})$,

(73)

wo $g$ eine jede positive ganze rationale Zahl und $h$ eine jede positive ganze rationale zu $l$ prime Zahl sein kann. Da die Relativdiskriminante des Körpers $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ in bezug auf $k(\zeta )$ im gegenwärtig zu untersuchenden Falle den Faktor ${\mathfrak {l}}$ nicht enthalten soll, so ist nach Satz 148 notwendig $m\geqq l$.

Es sei zunächst $m=l$. Man entnimmt dann leicht aus den Kongruenzen (72) und (73), daß zu jeder beliebigen positiven ganzen rationalen Zahl $g$ stets eine ganze Zahl $\alpha _{g}$ in $k(\zeta )$ gefunden werden kann derart, daß die Kongruenz

$\mu ^{*}\alpha _{g}^{l}\equiv 1-\lambda ^{l}+\lambda ^{l+g}$, $({\mathfrak {l}}^{l+g+1})$

erfüllt wird. Setzen wir nun ${\mathsf {M}}^{*}={\sqrt[{l}]{\mu ^{*}}}$ und ferner allgemein für jeden Wert von $g$:

$\Omega _{g}={\frac {1-\alpha _{g}{\mathsf {M}}^{*}}{\lambda }}$,

so wird jedesmal $\Omega _{g}$ eine ganze Zahl in $k({\mathsf {M}},\zeta )$ und

$N_{k}(\Omega _{g})\equiv 1-\lambda ^{g}$, $({\mathfrak {l}}^{g+1})$.

Hieraus folgt unmittelbar, daß jede ganze Zahl $\nu$ in $k(\zeta )$, die der Kongruenz $\nu \equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$ genügt, Normenrest des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}$ ist. Die Beschränkung, die hier in der Annahme $\nu \equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$ liegt, wird leicht aufgehoben. Ist nämlich $\nu$ eine beliebige zu ${\mathfrak {l}}$ prime Zahl, und wird sie nach ${\mathfrak {l}}$ der ganzen rationalen Zahl $a$ kongruent, so setzen wir $\nu ^{*}=a^{*l}\nu$, wo $a^{*}$ eine ganze rationale Zahl mit der Kongruenzeigenschaft $aa^{*}\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$ bedeute; dann wird offenbar $\nu ^{*}\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$, und andererseits werden $\nu$ und $\nu ^{*}$ gleichzeitig Normenrest oder Normennichtrest des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}$ sein.

Es sei zweitens in Formel (72) $m>l$ und mithin $\left\{{\frac {\mu ^{*}}{\mathfrak {l}}}\right\}=1$; dann können wir, wenn $g$ eine beliebige positive ganze rationale Zahl ist, stets zwei ganze Zahlen $\alpha _{g}$ und $\alpha _{g+1}$ in $k(\zeta )$ konstruieren derart, daß

$\left.{\begin{alignedat}{1}&\mu ^{*}\alpha _{g}^{l}&&\equiv 1+\lambda ^{l+1}+\lambda ^{l+g+1},\qquad &({\mathfrak {l}}^{l+g+2}),\\&\mu ^{*}\alpha _{g+1}^{l}&&\equiv 1+\lambda ^{l+1}+\lambda ^{l+g+2},&({\mathfrak {l}}^{l+g+3})\end{alignedat}}\right\}$

(74)

wird. Wir setzen gemäß dem Satze 149 ${\mathfrak {l}}={\mathfrak {LL'}}\ldots {\mathfrak {L}}^{l-1}$, wo ${\mathfrak {L}}$, ${\mathfrak {L}}^{'}$, …, ${\mathfrak {L}}^{(l-1)}$ voneinander verschiedene Primideale des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ bedeuten. Die beiden Zahlen

${\mathsf {A}}_{g}={\frac {1-\alpha _{g}{\mathsf {M}}^{*}}{\lambda }},$ ${\mathsf {A}}_{g+1}={\frac {1-\alpha _{g+1}{\mathsf {M}}^{*}}{\lambda }},$

${\mathsf {M}}^{*}={\sqrt[{l}]{\mu ^{*}}}$ gesetzt, sind ganze Zahlen, und da $N_{k}({\mathsf {A}}_{g})\equiv -\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ wird, so enthält ${\mathsf {A}}_{g}$ eines der in ${\mathfrak {l}}$ aufgehenden Primideale, es sei dies etwa das Primideal ${\mathfrak {L}}$, zur ersten Potenz und die anderen in ${\mathfrak {l}}$ aufgehenden Primideale gar nicht. Aus den Formeln (74) folgt

$\alpha _{g}^{l}\equiv \alpha _{g+1}^{l}$, $({\mathfrak {l}}^{l+2})$,

und wir können nun voraussetzen, daß $\alpha _{g+1}$ in der Reihe der Zahlen $\alpha _{g+1}$, $\zeta \alpha _{g+1}$, …, $\zeta ^{l-1}\alpha _{g+1}$ in solcher Weise gewählt sei, daß $\alpha _{g}\equiv \alpha _{g+1}$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ und also ${\mathsf {A}}_{g}={\mathsf {A}}_{g+1}$ nach ${\mathfrak {l}}$ ausfällt. Wegen der letzteren Kongruenz ist auch die Zahl ${\mathsf {A}}_{g+1}$ durch ${\mathfrak {L}}$, aber durch keines der Primideale ${\mathfrak {L}}'$, …, ${\mathfrak {L}}^{(l-1)}$ teilbar und da auch $N_{k}({\mathsf {A}}_{g+1})\equiv -\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ ist, so ist ${\mathsf {A}}_{g+1}$ ebenfalls nur durch die erste Potenz von ${\mathfrak {L}}$ teilbar. Wir können mit Rücksicht auf das eben Bewiesene die gebrochene Zahl ${\frac {{\mathsf {A}}_{g}}{{\mathsf {A}}_{g+1}}}$ in der Form eines Bruches schreiben, dessen Zähler und Nenner zu ${\mathfrak {l}}$ prim sind. Setzen wir ${\frac {{\mathsf {A}}_{g}}{{\mathsf {A}}_{g+1}}}\equiv \Omega _{g}$ nach ${\mathfrak {l}}^{g+1}$ in solcher Weise, daß $\Omega _{g}$ eine ganze Zahl in $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ ist, so wird

$N_{k}(\Omega _{g})\equiv {\frac {N_{k}({\mathsf {A}}_{g})}{N_{k}({\mathsf {A}}_{g+1})}}\equiv 1+\lambda ^{g}$, $({\mathfrak {l}}^{g+1})$.

Da eine solche Formel für jeden positiven Exponenten $g$ möglich ist, so zeigt sich wie vorhin, daß jede zu ${\mathfrak {l}}$ prime Zahl Normenrest des Körpers $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ ist.

Wir gehen jetzt zum Beweise der zweiten Hälfte von Satz 150 über. Es sei zunächst ${\mathfrak {w}}$ ein von $l$ verschiedenes, in der Relativdiskriminante des Körpers $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ in bezug auf $k(\zeta )$ aufgehendes Primideal des Körpers $k(\zeta )$; wir haben dann nach Satz 149 ${\mathfrak {w}}={\mathfrak {W}}^{l}$, wo ${\mathfrak {W}}$ ein Primideal in $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ ist. Jede ganze Zahl des Körpers $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ muß dann, wie schon mehrfach erwähnt wurde, einer ganzen Zahl in $k(\zeta )$ nach ${\mathfrak {W}}$ kongruent sein. Soll nun eine gegebene, zu ${\mathfrak {w}}$ prime ganze Zahl $\nu$ in $k(\zeta )$ nach ${\mathfrak {w}}$ kongruent der Relativnorm $N_{k}({\mathsf {A}})$ einer ganzen Zahl ${\mathsf {A}}$ in $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ sein, und setzen wir ${\mathsf {A}}\equiv \alpha$ nach ${\mathfrak {W}}$, so folgt notwendig $\nu \equiv \alpha ^{l}$ nach ${\mathfrak {W}}$, und daher auch nach ${\mathfrak {w}}$, d. h. $\nu$ ist $l$-ter Potenzrest nach ${\mathfrak {w}}$. Umgekehrt, wenn eine Zahl $\nu$ in $k(\zeta )$ ein $l$-ter Potenzrest nach ${\mathfrak {w}}$ ist, so ist $\nu$ offenbar auch kongruent einer Relativnorm $N_{k}({\mathsf {A}})$ nach ${\mathfrak {w}}$. Wir entnehmen hieraus, daß die $l$-ten Potenzreste nach ${\mathfrak {w}}$ auch zugleich die sämtlichen Normenreste des Körpers $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ nach ${\mathfrak {w}}$ liefern.

Es bleibt endlich die Behandlung des Falles übrig, daß ${\mathfrak {w}}={\mathfrak {l}}$ ist und ${\mathfrak {l}}$ in der Relativdiskriminante des Körpers $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ aufgeht. Wir haben in diesem Falle ${\mathfrak {l}}={\mathfrak {L}}^{l}$, wo ${\mathfrak {L}}$ ein Primideal in $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ ist, und können es im Hinblick auf Satz 148 stets einrichten, daß die Zahl $\mu$ entweder der Kongruenz

$\mu \equiv \lambda$, $({\mathfrak {l}}^{2})$

oder einer der folgenden Kongruenzen genügt:

$\mu \equiv 1+\lambda ^{m}$, $({\mathfrak {l}}^{m+1})$,

wo $m$ einen der Werte $1,2$, …, $l-1$ bedeutet. Wir wollen alsdann untersuchen, welche Zahlen in $k(\zeta )$ es in diesen zwei Fällen gibt, die kongruent der Relativnorm einer Zahl in $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}^{l+1}$ bez. ${\mathfrak {l}}^{l}$ sind, und entnehmen hieraus leicht die Anzahl der nach jeder höheren Potenz von ${\mathfrak {l}}$ einander inkongruenten Normenreste.

Im Falle $\mu \equiv \lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ ist ${\mathsf {M}}$ durch ${\mathfrak {L}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {L}}^{2}$ teilbar, und es gelten die Kongruenzen

$\left.{\begin{aligned}\mathrm {d.\,i.} \qquad {\begin{aligned}N_{k}(1+{\mathsf {M}})^{\color {white}l-2\color {black}}\\N_{k}(1+{\mathsf {M}})^{\color {white}l-2\color {black}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}&\equiv 1+\lambda ,\\&\equiv 1+\lambda +\lambda ^{2}\varrho _{1},\end{aligned}}\\\mathrm {d.\,i.} \qquad {\begin{aligned}N_{k}(1+{\mathsf {M}}^{2})^{\color {white}l-\color {black}}\\N_{k}(1+{\mathsf {M}}^{2})^{\color {white}l-\color {black}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}&\equiv 1+\lambda ^{2},\\&\equiv 1+\lambda ^{2}+\lambda ^{3}\varrho _{2},\end{aligned}}\\&\;\,\vdots \\\mathrm {d.\,i.} \qquad {\begin{aligned}N_{k}(1+{\mathsf {M}}^{l-1})\\N_{k}(1+{\mathsf {M}}^{l-1})\end{aligned}}&{\begin{aligned}&\equiv 1+\lambda ^{l-1},\\&\equiv 1+\lambda ^{l-1}+\lambda ^{l}\varrho _{l-2},\end{aligned}}\end{aligned}}\quad {\begin{aligned}({\mathfrak {l}}^{2}),\\({\mathfrak {l}}^{l+1}),\\({\mathfrak {l}}^{3}),\\({\mathfrak {l}}^{l+1}),\\\,\\({\mathfrak {l}}^{l-1}),\\({\mathfrak {l}}^{l+1}),\end{aligned}}\right\}$

(75)

wo $\varrho _{1}$, $\varrho _{2}$, …, $\varrho _{l-1}$ gewisse ganze Zahlen in $k(\zeta )$ bedeuten. Endlich ist

$N_{k}(1+\lambda ^{t}{\mathsf {M}}^{g})\equiv 1$, $({\mathfrak {l}}^{l+1})$

(76)

für $t=1$, $2$, $3$, …; $g=0$, $1$, $2$, …, $l-1$. Nun genügt offenbar jede zu ${\mathfrak {L}}$ prime ganze Zahl ${\mathsf {A}}$ des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ einer Kongruenz von der Gestalt

${\begin{alignedat}{3}{\mathsf {A}}\equiv a&(1+{\mathsf {M}})^{a_{1}}&&(1+{\mathsf {M}}^{2})^{a_{2}}&\ldots &(1+{\mathsf {M}}^{l-1})^{a_{l-1}}\\&(1+\lambda {\mathsf {M}})^{{a'}_{1}}&&(1+\lambda {\mathsf {M}}^{2})^{{a'}_{2}}&\ldots &(1+\lambda {\mathsf {M}}^{l-1})^{{a'}_{l-1}}\\&&&\vdots &\ddots &\qquad \vdots \\&(1+\lambda ^{l}{\mathsf {M}})^{a_{1}^{(l)}}&&(1+\lambda ^{l}{\mathsf {M}}^{2})^{a_{2}^{(l)}}&\ldots &(1+\lambda ^{l}{\mathsf {M}}^{l-1})^{a_{l-1}^{(l)}},\qquad ({\mathfrak {l}}^{l+1}),\end{alignedat}}$

wo $a$ eine bestimmte der Zahlen $1$, $2$, …, $l-l$ und die $(l+1)(l-1)$ Exponenten $a_{1}$, $a_{2}$, …, $a_{l-1}^{(l)}$ bestimmte ganze rationale Zahlen aus der Reihe $0$, $1$, $2$, …, $l-1$ sind. Wegen der Kongruenzen (75) und (76) folgt daher: $N_{k}({\mathsf {A}})\equiv a^{l}(1+\lambda +\lambda ^{2}\varrho _{1})^{a_{1}}(1+\lambda ^{2}+\lambda ^{3}\varrho _{2})^{a_{2}}\ldots (1+\lambda ^{l-1}+\lambda ^{l}\varrho _{l-1})^{a_{l-1}},\quad ({\mathfrak {l}}^{l+1})$. Der Ausdruck rechter Hand stellt, wenn $a$ die Werte $1$, $2$, …, $l-1$ und die Exponenten $a_{1}$, $a_{2}$, …, $a_{l-1}$ unabhängig voneinander je die Werte $0$, $1$, $2$, …, $l-1$ durchlaufen, genau $(l-1)l^{l-1}$ Zahlen dar, und diese sind, wie leicht ersichtlich, alle einander inkongruent nach ${\mathfrak {l}}^{l+1}$. Nun ist jede zu ${\mathfrak {l}}$ prime Zahl in $k(\zeta )$, welche der Relativnorm $N_{k}({\mathsf {A}})$ einer Zahl ${\mathsf {A}}$ in $k({\mathsf {M}},\zeta )$ kongruent nach ${\mathfrak {l}}^{l+1}$ ist, notwendig einem Ausdruck dieser Gestalt nach ${\mathfrak {l}}^{l+1}$ kongruent, und umgekehrt ist auch jeder Ausdruck von dieser Gestalt, wie man aus (75) entnimmt, der Relativnorm einer Zahl in $k({\mathsf {M}},\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}^{l+1}$ kongruent. Mit Hilfe der Kongruenzen (73) erkennt man, daß zwei nach ${\mathfrak {l}}^{l+1}$ kongruente, zu ${\mathfrak {l}}$ prime Zahlen in $k(\zeta )$ stets gleichzeitig Normenrest oder Normennichtrest nach ${\mathfrak {l}}$ sind. Die Anzahl der Normenreste nach ${\mathfrak {l}}$, welche zu ${\mathfrak {l}}$ prim und untereinander inkongruent nach ${\mathfrak {l}}^{l+1}$ sind, ist also genau gleich $(l-1)l^{l-1}$, d. i. gleich dem $l$-ten Teil der nach ${\mathfrak {l}}^{l+1}$ möglichen inkongruenten, zu ${\mathfrak {l}}$ primen Zahlen in $k(\zeta )$, und dieses Resultat kann sofort auf die Potenzen ${\mathfrak {l}}^{e}$ mit Exponenten $e>l+1$ ausgedehnt werden.

Von den übrigen möglichen Annahmen über $\mu$ werde hier der Kürze wegen nur die einfachste behandelt; es werde nämlich $\mu \equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ zugrunde gelegt. Setzen wir dann $\Omega ={\mathsf {M}}-1$, so ist $\Omega$ eine durch ${\mathfrak {L}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {L}}^{2}$ teilbare ganze Zahl in $k({\mathsf {M}},\zeta )$, und wenn wir berücksichtigen, daß $N_{k}(\Omega )\equiv \lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ wird, so erkennen wir durch eine leichte Rechnung die Richtigkeit der Kongruenzen

$\left.{\begin{aligned}\mathrm {d.\,i.} \qquad {\begin{aligned}N_{k}(1+\Omega )^{\color {white}l-2\color {black}}\\N_{k}(1+\Omega )^{\color {white}l-2\color {black}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}&\equiv 1+\lambda ,\\&\equiv 1+\lambda +\lambda ^{2}\varrho _{1},\end{aligned}}\\\mathrm {d.\,i.} \qquad {\begin{aligned}N_{k}(1+\Omega ^{2})^{\color {white}l-\color {black}}\\N_{k}(1+\Omega ^{2})^{\color {white}l-\color {black}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}&\equiv 1+\lambda ^{2},\\&\equiv 1+\lambda ^{2}+\lambda ^{3}\varrho _{2},\end{aligned}}\\&\;\,\vdots \\\mathrm {d.\,i.} \qquad {\begin{aligned}N_{k}(1+\Omega ^{l-2})\\N_{k}(1+\Omega ^{l-2})\end{aligned}}&{\begin{aligned}&\equiv 1+\lambda ^{l-2},\\&\equiv 1+\lambda ^{l-2}+\lambda ^{l-1}\varrho _{l-2},\end{aligned}}\end{aligned}}\quad {\begin{aligned}({\mathfrak {l}}^{2}),\\({\mathfrak {l}}^{l}),\\({\mathfrak {l}}^{3}),\\({\mathfrak {l}}^{l}),\\\,\\({\mathfrak {l}}^{l-1}),\\({\mathfrak {l}}^{l}),\end{aligned}}\right\}$

(77)

wo $\varrho _{1}$, $\varrho _{2}$, …, $\varrho _{l-2}$ gewisse ganze Zahlen in $k(\zeta )$ bedeuten. Wir haben ferner

$N_{k}(1+\Omega ^{l-1})=1+\Sigma _{1}+\Sigma _{2}+\Sigma _{3}+\cdots +\Sigma _{l-1}+N_{k}(\Omega ^{l-1})$,

wo zur Abkürzung

${\begin{aligned}\Sigma _{1}&=\Omega ^{l-1}+(S\Omega )^{l-1}+\cdots +(S^{l-1}\Omega )^{l-1},\\\Sigma _{2}&=\Omega ^{l-1}(S\Omega )^{l-1}+\Omega ^{l-1}(S^{2}\Omega )^{l-1}+\cdots +(S^{l-2}\Omega )^{l-1}(S^{l-1}\Omega )^{l-1},\\\Sigma _{3}&=\Omega ^{l-1}(S\Omega )^{l-1}(S^{2}\Omega )^{l-1}+\cdots +(S^{l-3}\Omega )^{l-1}(S^{l-2}\Omega )^{l-1}(S^{l-1}\Omega )^{l-1},\\&\;\vdots \end{aligned}}$

gesetzt ist. Nun ergibt sich sofort $\textstyle \Sigma _{1}=l$. Die einzelnen Summanden in den Ausdrücken für $\Sigma _{2}$, $\Sigma _{3}$, …, $\Sigma _{l-1}$ sind sämtlich jedenfalls durch ${\mathfrak {L}}^{l}$ teilbar, sie lassen sich ferner in Aggregate von je $l$ Summanden zusammenfassen, die aus einem beliebigen unter ihnen durch die Substitutionen $1$, $S$, $S^{2}$, …, $S^{l-1}$ hervorgehen; setzen wir nun ein beliebiges Glied in der Gestalt $\lambda \Phi$ an, so bedeutet $\Phi$ eine ganze Zahl in $k({\mathsf {M}},\zeta )$ und kann daher, wie aus dem Beweise des Hilfssatzes 23 bervorgebt, als ganze rationale Funktion von $\Omega$ und mithin auch von ${\mathsf {M}}$ dargestellt werden, deren Koeffizienten ganze oder gebrochene Zahlen in $k(\zeta )$ mit lauter zu ${\mathfrak {l}}$ primen Nennern sind. Setzen wir dementsprechend $\Phi =F({\mathsf {M}})$, so läßt sich das betreffende Aggregat von $l$ Summanden in die Form.

$\lambda \left\{F({\mathsf {M}})+F(\zeta {\mathsf {M}})+F(\zeta ^{2}{\mathsf {M}})+\cdots +F(\zeta ^{l-1}{\mathsf {M}})\right\}$

bringen; die hier in der Klammer stehende Summe fällt, wie leicht ersichtlich, stets kongruent $0$ nach $l$ aus; danach müssen nun die Zahlen $\Sigma _{2}$, $\Sigma _{3}$, …, $\Sigma _{l-1}$ sämtlich kongruent $0$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ sein, also wird

$N_{k}(1+\Omega ^{l-1})\equiv 1+l+\lambda ^{l-1}\equiv 1$, $({\mathfrak {l}}^{l})$.

(78)

Endlich ergeben sich leicht die Kongruenzen

$N_{k}(1+\lambda ^{t}\Omega ^{g})\equiv 1$, $({\mathfrak {l}}^{l})$

(79)

für $t=1,2,3,\ldots$, $g=1,2,3,\ldots ,l-1$.

Nun genügt offenbar jede zu ${\mathfrak {L}}$ prime ganze Zahl in $k({\mathsf {M}},\zeta )$ einer Kongruenz von der Gestalt

${\begin{alignedat}{3}{\mathsf {A}}\equiv a&(1+\Omega )^{a_{1}}&&(1+\Omega ^{2})^{a_{2}}&&\cdots (1+\Omega ^{l-1})^{a_{l-1}}\cdot \\&(1+\lambda \Omega )^{a'_{1}}&&(1+\lambda \Omega ^{2})^{a'_{2}}&&\cdots (1+\lambda \Omega ^{l-1})^{a'_{l-1}}\cdot \\&&\vdots &&&\ddots \qquad \vdots \\&(1+\lambda ^{l-1}\Omega )^{a_{1}^{(l-1)}}&&(1+\lambda ^{l-1}\Omega ^{2})^{a_{2}^{(l-1)}}&&\cdots (1+\lambda ^{l-1}\Omega ^{l-1})^{a_{l-1}^{(l-1)}},\qquad ({\mathfrak {l}}^{l}),\end{alignedat}}$

wo $a$ eine der Zahlen $1$, $2$, …, $l-1$, und wo die $l(l-1)$ Exponenten $a_{1}$, $a_{2}$, …, $a_{l-1}^{(l-1)}$ bestimmte Zahlen aus der Reihe $0$, $1$, $2$, …, $l-1$ sind. Wegen der vorhin aufgestellten Kongruenzen (77), (78), (79) folgt hieraus:

$N_{k}({\mathsf {A}})\equiv a^{l}(1+\lambda +\lambda ^{2}\varrho _{1})^{a_{1}}(1+\lambda ^{2}+\lambda ^{3}\varrho _{2})^{a_{2}}\cdots (1+\lambda ^{l-2}+\lambda ^{l-1}\varrho _{l-2})^{a_{l-2}}$, $({\mathfrak {l}}^{l})$.

Der hier rechts stehende Ausdruck stellt nun, wenn $a$ die Werte $1$, $2$, …, $l-1$, und wenn die Exponenten $a_{1}$, $a_{2}$, …, $a_{l-2}$ unabhängig voneinander die Werte $0$, $1$, $2$, …, $l-1$ durchlaufen, $(l-1)l^{l-2}$ Zahlen dar, und diese sind sämtlich zu ${\mathfrak {l}}$ prim und einander inkongruent nach ${\mathfrak {l}}^{l}$. Mit Benutzung der Kongruenz $N_{k}(1+\lambda {\mathsf {M}})\equiv 1+\lambda ^{l}$ nach ${\mathfrak {l}}^{l+1}$ und weiter der Kongruenzen (73) schließen wir hieraus, daß genau der $l$-te Teil aller zu ${\mathfrak {l}}$ primen und nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ einander inkongruenten Zahlen Normenreste des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}$ liefert, und übertragen dann dieses Resultat sogleich auf den Fall der Potenzen ${\mathfrak {l}}^{e}$ mit Exponenten $e=l+1$ bez. $e>l+1$.

Das nämliche Resultat ergibt sich durch entsprechende Rechnungen auch dann, wenn $\mu \equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ genommen wird, und damit ist der Satz 150 in allen Teilen bewiesen. Es sei jedoch bemerkt, daß wir es in unseren späteren Entwickelungen so einrichten können, daß der Satz 150 lediglich für den oben ausführlich bewiesenen Fall $\mu \equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ zur Verwendung gelangt.

Der Satz 150 bringt eine neue, tief eingreifende Eigenschaft der in der Relativdiskriminante des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ in bezug auf $k(\zeta )$ aufgehenden Primideale ${\mathfrak {w}}$ zum Ausdruck. Diese Eigenschaft entspricht gewissermaßen dem bekannten Satze über die Verzweigungspunkte einer Riemannschen Fläche, wonach eine algebraische Funktion in der Umgebung eines Verzweigungspunktes $l$-ter Ordnung den Vollwinkel auf den $l$-ten Teil desselben konform abbildet. Infolgedessen nenne ich die in der Relativdiskri-minante von $k({\mathsf {M}},\zeta )$ in bezug auf $k(\zeta )$ aufgehenden Primideale ${\mathfrak {w}}$ auch Verzweigungsideale für den Körper $k({\mathsf {M}},\zeta )$; es bedeuten hier also „Primfaktor der Relativdiskriminante“ und „Verzweigungsideal“ den nämlichen Begriff, und die Verzweigungsideale sind die $l$-ten Potenzen der ambigen Primideale.

§ 130. Das Symbol $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}$.

Der Satz 150 weist uns auf die Möglichkeit hin, die nach einer Potenz ${\mathfrak {w}}^{e}$ ($e>l$ im Falle ${\mathfrak {w}}={\mathfrak {l}}$) vorhandenen, einander inkongruenten Zahlen des Körpers $k(\zeta )$ in $l$ Abteilungen zu sondern, die sämtlich gleich viele Zahlen enthalten, und von denen eine die Normenreste nach ${\mathfrak {w}}$ umfaßt. Um diese Sonderung in übersichtlicher Weise vornehmen zu können, führe ich ein neues Symbol $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}$ ein, welches zwei beliebigen, von $0$ verschiedenen ganzen Zahlen $\nu$, $\mu$ des Körpers $k(\zeta )$ in bezug auf ein beliebiges Primideal ${\mathfrak {w}}$ in $k(\zeta )$ jedesmal eine bestimmte $l$-te Einheitswurzel zuweist, und zwar geschieht dies in folgender Weise:

Es sei zunächst ${\mathfrak {w}}$ ein von ${\mathfrak {l}}$ verschiedenes Primideal. Ist dann $\nu$ genau durch ${\mathfrak {w}}^{b}$ und $\mu$ genau durch ${\mathfrak {w}}^{a}$ teilbar, so bilde man die Zahl $\varkappa ={\frac {\nu ^{a}}{\mu ^{b}}}$ und bringe $\varkappa$ in die Gestalt eines Bruches ${\frac {\varrho }{\sigma }}$, dessen Zähler $\varrho$ und Nenner $\sigma$ nicht durch ${\mathfrak {w}}$ teilbar sind. Das Symbol $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}$ werde dann durch die Formel

$\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=\left\{{\frac {\varkappa }{\mathfrak {w}}}\right\}=\left\{{\frac {\varrho }{\mathfrak {w}}}\right\}\left\{{\frac {\sigma }{\mathfrak {w}}}\right\}^{-1}$

definiert. Es ergeben sich hieraus unmittelbar für dieses Symbol die einfachen Regeln:

$\left.{\begin{aligned}\left\{{\frac {\nu _{1},\nu _{2},\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=\left\{{\frac {\nu _{1},\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}\left\{{\frac {\nu _{2},\mu }{\mathfrak {w}}}\right\},\\\left\{{\frac {\nu ,\mu _{1},\mu _{2}}{\mathfrak {w}}}\right\}=\left\{{\frac {\nu ,\mu _{1}}{\mathfrak {w}}}\right\}\left\{{\frac {\nu ,\mu _{2}}{\mathfrak {w}}}\right\},\\\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}\left\{{\frac {\mu ,\nu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1,\end{aligned}}\right\}$

(80)

wo $\nu$, $\nu _{1}$, $\nu _{2}$, $\mu$, $\mu _{1}$, $\mu _{2}$ beliebige von Null verschiedene ganze Zahlen in $k(\zeta )$ bedeuten können.

Um das neue Symbol für den Fall ${\mathfrak {w}}={\mathfrak {l}}$ zu definieren, stellen wir folgende Überlegungen an:

Wenn eine beliebige ganze Zahl $\omega$ in $k(\zeta )$ vorgelegt ist, welche der Kongruenz $\omega \equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$ genügt, und wenn wir setzen

$\omega =c+c_{1}\zeta +\cdots +c_{l-2}\zeta ^{l-2}$,

so daß $c$, $c_{1}$, …, $c_{l-2}$ ganze rationale Zahlen sind, so genügen diese notwendig der Kongruenz

$c+c_{1}+\cdots +c_{l-2}\equiv 1$, $(l)$.

Setzen wir dann

$\omega (x)=c+c_{1}x+\cdots +c_{l-2}x^{l-2}-{\frac {c+c_{1}+\cdots +c_{l-2}-1}{l}}(1+x+\cdots +x^{l-1})$,

so stellt $\omega (x)$ eine ganzzahlige Funktion $(l-1)$-ten Grades dar, und es wird

$\omega (1)=1$  und  $\omega (\zeta )=\omega$.

Diese Funktion heiße die zur ganzen Zahl $\omega$ gehörende Funktion. Wir schreiben ferner

$\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{g}\log \omega (\mathrm {e} ^{v})}{\mathop {\mathrm {d} } v^{g}}}\right]_{v=0}=1^{(g)}(\omega )$, $(g=1,2,\cdots ,l-1)$,

(81)

welche Verbindungen von Kummer mit Vorteil zur Abkürzung gewisser Rechnungen eingeführt sind [Kummer (12^[1])].

Wird die Zahl $\omega$ mit der Kongruenzeigenschaft $\omega \equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$ auf irgendeine Weise in die Gestalt

$\omega =a+a_{1}\zeta +\cdots +a_{t}\zeta ^{t}$

gebracht, wo $a$, $a_{1}$, …, $a_{t}$ ganze rationale Zahlen bedeuten, so stellt

${\bar {\omega }}(x)=a+a_{1}x+\cdots +a_{t}x^{t}$

eine ganzzahlige Funktion $t$-ten Grades dar, welche im allgemeinen nicht der Gleichung ${\bar {\omega }}(1)=1$, aber jedenfalls der Kongruenz

${\bar {\omega }}(1)\equiv 1$, $(l)$

genüge leistet und also für $x=1$ zu $l$ prim ausfällt. Zwischen den Differentialquoten von $\log {\bar {\omega }}(\mathrm {e} ^{v})$ für $v=0$ und den soeben eingeführten Differentialquotienten (81) bestehen folgende Kongruenzen:

${\begin{aligned}\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{g}\log {\bar {\omega }}(\mathrm {e} ^{v})}{\mathop {\mathrm {d} } v^{g}}}\right]_{v=0}&\equiv 1^{(g)}(\omega ),\qquad (l),\qquad (g=1,2,\ldots ,l-2)\\\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{l-1}\log {\bar {\omega }}(\mathrm {e} ^{v})}{\mathop {\mathrm {d} } v^{l-1}}}\right]_{v=0}&\equiv 1^{(l-1)}(\omega )+{\frac {1-{\bar {\omega }}(1)}{l}},\qquad (l).\end{aligned}}$

Die Richtigkeit dieser Kongruenzen erkennen wir leicht wegen

${\begin{aligned}\omega (x)&={\bar {\omega }}(x)+{\frac {1-{\bar {\omega }}(1)}{l}}(1+x+\cdots +x^{l-1})+O(x)(x^{l}-1),\\\omega (\mathrm {e} ^{v})&={\bar {\omega }}(\mathrm {e} ^{v})+{\frac {1-{\bar {\omega }}(1)}{l}}v^{l-1},\qquad (l);\end{aligned}}$

in der ersten Formel bedeutet $O(x)$ eine bestimmte ganzzahlige Funktion von $x$, und die zweite Formel soll besagen, daß in den Entwicklungen der beiden Seiten dieser Kongruenz nach Potenzen von $v$ die Koeffizienten von $1$, $v$, $v^{2}$, …, $v^{l-1}$ nach $l$ kongruent ausfallen.

Sind $\nu$, $\mu$, irgend zwei ganze Zahlen in $k(\zeta )$ mit der Kongruenzeigenschaft $\nu \equiv 1$, $\mu \equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$, so definieren wir das Symbol $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$ wie folgt:

$\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=\zeta ^{l^{(1)}(\nu )l^{l-1}(\mu )-1^{(2)}(\nu )l^{(l-2)}(\mu )+\cdots -1^{(l-1)}(\nu )l^{(1)}(\mu )}$.

(82)

Aus dieser Definition ergeben sich unmittelbar die folgenden Regeln:

$\left.{\begin{aligned}\left\{{\frac {\nu _{1}\nu _{2},\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}&=\left\{{\frac {\nu _{1},\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {\nu _{2},\mu }{\mathfrak {l}}}\right\},\\\left\{{\frac {\nu ,\mu _{1},\mu _{2}}{\mathfrak {l}}}\right\}&=\left\{{\frac {\nu ,\mu _{1}}{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {\nu ,\mu _{2}}{\mathfrak {l}}}\right\},\\\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {\mu ,\nu }{\mathfrak {l}}}\right\}&=1,\end{aligned}}\right\}$

(83)

wo $\nu$, $\nu _{1}$, $\nu _{2}$, $\mu$, $\mu _{1}$, $\mu _{2}$ beliebige ganze Zahlen $\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$ in $k(\zeta )$ bedeuten können. Bezeichnet $r$ eine Primitivzahl nach $l$ und $s=(\zeta :\zeta ^{r})$ die entsprechende Substitution der Gruppe des Kreiskörpers $k(\zeta )$, so gilt, wie leicht ersichtlich ist, die weitere Formel

$\left\{{\frac {s\nu ,s\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}^{r}$.

(84)

Sind $\nu$, $\mu$ beliebige zu ${\mathfrak {l}}$ prime ganze Zahlen des Körpers $k(\zeta )$, so definiere ich das Symbol $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$ durch die Formel

$\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=\left\{{\frac {\nu ^{l-1},\mu ^{l-1}}{\mathfrak {l}}}\right\}$.

Für den Fall, daß eine der Zahlen $\nu$, $\mu$ oder beide durch ${\mathfrak {l}}$ teilbar sind, vergleiche man die Bemerkungen gegen Schluß des § 133.

§ 132. Einige Hilfssätze über das Symbol $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$ und über Normenreste nach dem Primideal ${\mathfrak {l}}$.

Hilfssatz 24. Wenn $\omega$ eine ganze Zahl in $k(\zeta )$ mit der Kongruenzeigenschaft $\omega \equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$ ist, so gilt für die Norm $n(\omega )$ von $\omega$ in $k(\zeta )$ die Kongruenz

$1^{(l-1)}(\omega )\equiv {\frac {1-n(\omega )}{l}}$, $(l)$.

[Kummer (20^[2])].

Beweis. Es bedeute $\omega (x)$ die zu $\omega$ gehörende Funktion, und es werde

$F(x)=\prod _{(g)}\omega {\big (}1+x(\zeta ^{g}-1){\big )}$

gesetzt, wo das Produkt über die Werte $g=0,1,2,\ldots ,l-1$ zu erstrecken ist. Der Ausdruck $F(x)$ stellt eine ganzzahlige Funktion von $x$ dar und die Koeffizienten aller durch $x^{l}$ teilbaren Glieder dieser Funktion sind offenbar durch $\lambda ^{l}$ und folglich wegen der Rationalität der Koeffizienten auch durch $l^{2}$ teilbar. Durch Entwicklung nach Potenzen von $x$ ergibt sich nun:

$\left.{\begin{aligned}\log \omega {\big (}1&+x(\xi -1){\big )}={\frac {\xi -1}{1!}}x\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \log \omega (x)}{\mathop {\mathrm {d} } x}}\right]_{x=1}\\&+{\frac {(\xi -1)^{2}}{2!}}x^{2}\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{2}\log \omega (x)}{\mathop {\mathrm {d} } x^{2}}}\right]_{x=1}+\cdots \\\cdots &+{\frac {(\xi -1)^{l-1}}{(l-1)!}}x^{l-1}\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{l-1}\log \omega (x)}{\mathop {\mathrm {d} } x^{l-1}}}\right]_{x=1}+\cdots .\end{aligned}}\right\}$[WS 3]

(85)

Setzen wir erstens in dieser Entwicklung der Reihe nach

$\xi =1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{l-1}$

ein und addieren die betreffenden Formeln, so entsteht unter Berücksichtigung von

$(\zeta -1)^{g}+(\zeta ^{2}-1)^{g}+\cdots +(\zeta ^{l-1}-1)^{g}=(-1)^{g}l,$ $(g=1,2,\ldots ,l-1)$

die Gleichung:

$\left.{\begin{aligned}\log F(x)&=l\left\{-{\frac {x}{1!}}\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \log \omega (x)}{\mathop {\mathrm {d} } x}}\right]_{x=1}\right.\\&+{\frac {x^{2}}{2!}}\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{2}\log \omega (x)}{\mathop {\mathrm {d} } x^{2}}}\right]_{x=1}-\cdots \\\cdots &+\left.{\frac {x^{l-1}}{(l-1)!}}\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{l-1}\log \omega (x)}{\mathop {\mathrm {d} } x^{l-1}}}\right]_{x=1}\right\}+x^{l}G,\end{aligned}}\right\}$[WS 3]

(86)

wobei $x^{l}G$ das Aggregat der durch $x^{l}$ teilbaren Glieder der Entwicklung andeutet.

Setzen wir zweitens in der Entwicklung (85) $\xi =\mathrm {e} ^{v}$ ein und bilden den $(l-1)$-ten Differentialquotienten nach $v$, so wird derselbe für $v=0$:

$\left.{\begin{aligned}\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{l-1}\log \omega (1+x(\mathrm {e} ^{v}-1))}{\mathop {\mathrm {d} } v^{l-1}}}\right]_{v=0}=&{\frac {x}{1!}}\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \log \omega (x)}{\mathop {\mathrm {d} } x}}\right]_{x=1}\\&+{\frac {2^{l-1}-2\cdot 1^{l-1}}{2!}}x^{2}\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{2}\log \omega (x)}{\mathop {\mathrm {d} } x^{2}}}\right]_{x=1}\\&+{\frac {3^{l-1}-3\cdot 2^{l-1}+3\cdot 1^{l-1}}{3!}}x^{3}\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{3}\log \omega (x)}{\mathop {\mathrm {d} } x^{3}}}\right]_{x=1}+\cdots \\&+{\frac {(l-1)^{l-1}-\cdots -(l-1)1^{l-1}}{(l-1)!}}x^{l-1}\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{l-1}\log \omega (x)}{\mathop {\mathrm {d} } x^{l-1}}}\right]_{x=1}\\\equiv &{\frac {x}{1!}}\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \log \omega (x)}{\mathop {\mathrm {d} } x}}\right]_{x=1}-{\frac {x^{2}}{2!}}\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{2}\log \omega (x)}{\mathop {\mathrm {d} } x^{2}}}\right]_{x=1}+\cdots \\&\cdots -{\frac {x^{l-1}}{(l-1)!}}\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{l-1}\log \omega (x)}{\mathop {\mathrm {d} } x^{l-1}}}\right]_{x=1},\qquad (l).\end{aligned}}\right\}$

(87)

Durch Vergleichung der beiden Formeln (86) und (87) ergibt sich

$\log F(x)\equiv -l\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{l-1}\log \omega (1+x(\mathrm {e} ^{v}-1))}{\mathop {\mathrm {d} } v^{l-1}}}\right]_{v=0}$, $(l^{2})$,

d. h. die Koeffizienten von $x$, $x^{2}$, …, $x^{l-1}$ auf der linken Seite sind den entsprechenden Koeffizienten rechts nach $l^{2}$ kongruent, und wenn wir beide Seiten dieser Kongruenz in den Exponenten von $\mathrm {e}$ setzen, so erhalten wir zunächst in demselben Sinne, dann aber mit Rücksicht auf die zu Beginn dieses Beweises gemachte Bemerkung auch vollständig die Kongruenz der zwei ganzzahligen Funktionen:

$F(x)\equiv 1-l\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{l-1}\log \omega (1+x(\mathrm {e} ^{v}-1))}{\mathop {\mathrm {d} } v^{l-1}}}\right]_{v=0}$, $(l^{2})$,

und folglich für $x=1$:

$n(\omega )\equiv 1-l\cdot 1^{(l-1)}(\omega )$, $(l^{2})$,

womit der Hilfssatz 24 bewiesen ist.

Hilfssatz 25. Wenn die ganzen Zahlen $\nu$, $\mu$ in $k(\zeta )$ die Kongruenzeigenschaften $\nu =1$ nach ${\mathfrak {l}}$ und $\mu \equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ besitzen, und wenn außerdem $\nu$ kongruent der Relativnorm einer ganzen Zahl ${\mathsf {A}}$ des durch ${\mathsf {M}}={\sqrt[{l}]{\mu }}$ bestimmten Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ ist, so existiert eine ganzzahlige Funktion $f(x)$ vom $(l-1)$-ten Grade in $x$, derart, daß $f(1)>0$ ist und die Kongruenzen

$n(f(\zeta ))\equiv 1$, $(l^{2})$

und

$\nu \equiv f(\mu ),$ $({\mathfrak {l}}^{l})$

erfüllt sind. [Kummer (20^[2])]. Beweis. Nach dem Beweise des Hilfssatzes 23 ist jede ganze Zahl ${\mathsf {A}}$ in $k({\mathsf {M}},\zeta )$ in der Gestalt

${\mathsf {A}}={\frac {\gamma +\gamma _{1}({\mathsf {M}}-1)+\cdots +\gamma _{l-1}({\mathsf {M}}-1)^{l-1}}{\delta }}$

und folglich auch in der Gestalt

${\mathsf {A}}={\frac {\beta +\beta _{1}{\mathsf {M}}+\cdots +\beta _{l-1}{\mathsf {M}}^{l-1}}{\delta }}$

darstellbar, so daß $\gamma$, $\gamma _{1}$, …, $\gamma _{l-1}$, $\delta$ und $\beta$, $\beta _{1}$, …, $\beta _{l-1}$ ganze Zahlen in $k(\zeta )$ sind und überdies $\delta$ zu ${\mathfrak {l}}$ prim ausfällt. Infolge des letzteren Umstandes können wir

${\mathsf {A}}\equiv \alpha +\alpha _{1}{\mathsf {M}}+\cdots +\alpha _{l-1}{\mathsf {M}}^{l-1}$, $({\mathfrak {l}}^{l})$

setzen in solcher Weise, daß $\alpha$, $a_{1}$, …, $\alpha _{l-1}$ ganze Zahlen in $k(\zeta )$ sind. Es sei nun

$\alpha \equiv a^{*}$, $\alpha _{1}\equiv a_{1}^{*},\ldots ,\alpha _{l-1}\equiv a_{l-1}^{*}$, $({\mathfrak {l}})$,

wo $a^{*}$, $a_{1}^{*}$, …, $a_{l-1}^{*}$ ganze rationale positive Zahlen bedeuten sollen; wir setzen

$f^{*}(x)=a^{*}+a_{1}^{*}x+\cdots +a_{l-1}^{*}x^{l-1}$.

Da in $k({\mathsf {M}},\zeta )$ sich ${\mathfrak {l}}={\mathfrak {L}}^{l}$ und ${\mathsf {M}}\equiv 1$ nach ${\mathfrak {L}}$ erweist, so folgt

${\mathsf {A}}\equiv \alpha +\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{l-1}\equiv a^{*}+a_{1}^{*}+\cdots +a_{l-1}^{*}$, $({\mathfrak {L}})$.

Ist nun ${\mathsf {A}}$ die vorausgesetzte Zahl, für welche $N_{k}({\mathsf {A}})\equiv \nu$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ wird, so erhalten wir weiter

$\nu \equiv N_{k}({\mathsf {A}})\equiv a^{*}+a_{1}^{*}+\cdots +a_{l-1}^{*}\equiv 1$, $({\mathfrak {L}})$,

also auch

$a^{*}+a_{1}^{*}+\cdots +a_{l-1}^{*}\equiv 1$, $(l)$.

Folglich ist $f^{*}(\zeta )$ eine Zahl in $k(\zeta )$ mit der Kongruenzeigenschaft $f^{*}(\zeta )\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$. Wir finden nun mit Rücksicht hierauf leicht eine ganze rationale positive Zahl $b$ derart, daß die Norm der Zahl $f(\zeta )=f^{*}(\zeta )+lb$ im Körper $k(\zeta )$ der Kongruenz

$n(f(\zeta ))\equiv 1$, $(l^{2})$

(89)

genügt; dann erfüllt die ganzzahlige Funktion

$f(x)=f^{*}(x)+lb=a+a_{1}x+\cdots +a_{l-1}x^{l-1}$

die Bedingungen des zu beweisenden Hilfssatzes 25. Denn es ist offenbar ${\mathsf {A}}=f(M)+\lambda {\mathsf {B}}$, wo ${\mathsf {B}}$ eine ganze Zahl in $k({\mathsf {M}},\zeta )$ bedeutet. Hieraus ergibt sich leicht durch eine ähnliche Betrachtung wie auf S. 263:

$\nu \equiv N_{k}({\mathsf {A}})\equiv N_{k}{\big (}f({\mathsf {M}}){\big )}$, $({\mathfrak {l}}^{l})$.

(90)

Andererseits erkennen wir unter Berücksichtigung der Kongruenzen

$a^{l}\equiv a$, $a_{1}^{l}\equiv a_{1},\ldots ,a_{l-1}^{l}\equiv a_{l-1},$ $(l)$,

daß identisch in $x$ eine Gleichung

$f(x)f(\zeta x)\cdots f(\zeta ^{l-1}x)=f(x^{l})+lF(x^{l})$

(91)

gilt, wo $F(x^{l})$ eine ganzzahlige Funktion von $x^{l}$ bedeutet. Diese Gleichung liefert für $x=1$ mit Rücksicht auf (89) die Kongruenz

$f(1)\equiv f(1)+lF(l)$, $(l^{2})$, d. h. $F(1)\equiv 0$, $(l)$.

Wenn in der Gleichung (91) $x={\mathsf {M}}$ genommen wird, so ergibt sich

$N_{k}(f({\mathsf {M}}))=f(\mu )+lF(\mu )$

und hieraus, da $F(\mu )\equiv F(1)\equiv 0$ nach ${\mathfrak {l}}$ ausfällt,

$N_{k}(f({\mathsf {M}}))\equiv f(\mu )$, $({\mathfrak {l}}^{l})$,

d. i. wegen (90)

$\nu \equiv f(\mu )$, $({\mathfrak {l}}^{l})$.

Damit und in Anbetracht von (89) ist der Hilfssatz 25 vollständig bewiesen.

Hilfssatz 26. Wenn $\nu$, $\mu$ ganze Zahlen in $k(\zeta )$ mit den Kongruenzeigenschaften $\nu \equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$ und $\mu \equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ bedeuten, und wenn außerdem $\nu$ Normenrest des durch ${\mathsf {M}}={\sqrt[{l}]{\mu }}$ bestimmten Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}$ ist, so wird stets

$\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$.

[Kummer (20^[2])].

Beweis. Aus der bekannten Lagrangeschen Formel für die Umkehrung einer Potenzreihe entnimmt man unmittelbar die folgende Identität:

$\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{l-1}F(v)}{\mathop {\mathrm {d} } V^{l-1}}}\right]_{V=0}=\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{l-2}{\frac {\mathop {\mathrm {d} } F(v)}{\mathop {\mathrm {d} } v}}(\varphi (v))^{l-1}}{\mathop {\mathrm {d} } v^{l-2}}}\right]_{v=0};$

(92)

dabei stelle man sich unter $F(v)$ eine beliebige Potenzreihe von $v$, ferner unter $\varphi (v)$ eine Potenzreihe vor, deren konstantes Glied von $0$ verschieden ist, und denke sich den Zusammenhang der Variabeln $v$ und $V$ durch die Gleichung $V\varphi (v)-v=0$ vermittelt.

Es seien nun $\nu (x)$ und $\mu (x)$ die zu den Zahlen $\nu$ und $\mu$ gehörenden Funktionen. Da $\nu$ Normenrest des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}$ sein soll, so gibt es nach Hilfssatz 25 eine ganzzahlige Funktion $(l-1)$-ten Grades $f(x)$ derart, daß

$n{\big (}f(\zeta ){\big )}\equiv 1$, $(l^{2}),$

(93)

$\nu \equiv f(\mu )$, $(l^{2})$

(94)

und $f(1)>0$ wird.

Wir setzen nun

${\begin{aligned}F(\nu )&=\log f{\big (}\mu (\mathrm {e} ^{v}){\big )},\\V&=\log \mu (\mathrm {e} ^{v}),\\\varphi (v)&={\frac {v}{\log \mu (\mathrm {e} ^{v})}};\end{aligned}}$

diese Funktionen werden nur an der Stelle $v=0$ betrachtet werden, und es sollen die Logarithmen so genommen werden, daß sie für $v=0$ reell sind.

Ersetzen wir die Zeichen $\omega$, ${\bar {\omega }}(x)$, $v$ in der dritten Formelzeile auf S. 266 oben bez. durch $f(\zeta )$, $f(x)$, $V$, so wird aus derselben

$\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{l-1}\log f(\mathrm {e} ^{V})}{\mathop {\mathrm {d} } V^{l-1}}}\right]_{V=0}\equiv 1^{(l-1)}{\big (}f(\zeta ){\big )}+{\frac {1-f(1)}{l}}$, $(l)$.

Aus Hilfssatz 24 ergibt sich unter Berücksichtigung von (93) die Kongruenz

$1^{(l-1)}{\big (}f(\zeta ){\big )}\equiv 0$, $(l)$

und folglich wird

$\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{l-1}F(v)}{\mathop {\mathrm {d} } V^{l-1}}}\right]_{V=0}=\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{l-1}\log f(\mathrm {e} ^{V})}{\mathop {\mathrm {d} } V^{l-1}}}\right]_{V=0}\equiv {\frac {1-f(1)}{l}}$, $(l)$.

(95)

Andererseits gilt mit Rücksicht auf (94) die Kongruenz

$f{\big (}\mu (\mathrm {e} ^{v}){\big )}\equiv \nu (\mathrm {e} ^{v})+{\frac {f(1)-1}{l}}v^{l-1}$, $(l),$

welche so aufzufassen ist, daß in den Entwicklungen nach Potenzen von $v$ die Koeffizienten von $1$, $v$, …, $v^{l-1}$ auf den beiden Seiten einander nach $l$ kongruent sind, und hieraus ergibt sich die Entwicklung

$\left.{\begin{aligned}{\frac {\mathop {\mathrm {d} } F(v)}{\mathop {\mathrm {d} } v}}\equiv &1^{(1)}(\nu )+1^{(2)}(\nu ){\frac {v}{1!}}+1^{(3)}(\nu ){\frac {v^{2}}{2!}}+\cdots \\&\cdots +\left(1^{(l-1)}(\nu )+{\frac {1-f(1)}{l}}\right){\frac {v^{l-2}}{(l-2)!}},\qquad (l),\end{aligned}}\right\}$

(96)

welche so aufzufassen ist, daß die Koeffizienten von $1$, $v$, …, $v^{l-2}$ auf den beiden Seiten einander nach $l$ kongruent sind.

Endlich betrachten wir die Funktion $\varphi (v)$. Wegen $\mu \equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ wird $\varphi (v)$ eine Potenzreihe, deren konstantes Glied $\equiv -1$ nach $l$ ist. Ferner folgt leicht

${\big (}\varphi (v){\big )}^{l}\equiv \varphi (v^{l})\equiv \varphi (0)\equiv -1$, $(l)$

in dem Sinne, daß die Koeffizienten von $1$, $v$, …, $v^{l-2}$ auf den beiden Seiten einander nach $l$ kongruent sind. Es gilt daher weiter in demselben Sinne

$-{\big (}\varphi (v){\big )}^{l-1}\equiv {\frac {\log \mu (\mathrm {e} ^{v})}{v}}$, $(l)$,

und es folgt hieraus endlich in eben demselben Sinne die Entwicklung

$\left.{\begin{aligned}-{\big (}\varphi (v){\big )}^{l-1}\equiv &1^{(1)}(\mu )+1^{(2)}(\mu ){\frac {v}{2!}}+1^{(3)}(\mu ){\frac {v^{2}}{3!}}+\cdots \\&\cdots +1^{(l-1)}(\mu ){\frac {v^{l-2}}{(l-1)!}},\qquad (l).\end{aligned}}\right\}$

(97)

Die Zusammenstellung der Kongruenz (95) und der beiden Entwicklungen (96), (97) mit (92) liefert, wegen $1^{(1)}(\mu )\equiv -1$ und $(l-g)!(g-1)!\equiv (-1)^{g}$ nach $l$ für $g=1,2,\ldots ,l-1$, die folgende Kongruenz:

$1^{(l-1)}(\nu )1^{(1)}(\mu )-1^{(l-2)}(\nu )1^{(2)}(\mu )+\cdots -1^{(1)}(\nu )1^{(l-1)}(\mu )\equiv 0$, $(l)$,

d. i. nach der Definition (82) des Symbols $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$ § 131:

$\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$,

und hiermit ist der Hilfssatz 26 bewiesen.

§ 133. Das Symbol $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}$ zur Unterscheidung zwischen Normenresten und Normennichtresten.

Wir sind jetzt in den Stand gesetzt, soweit die betreffenden Symbole bereits definiert sind, die Richtigkeit der folgenden Behauptung einzusehen:

Satz 151. Wenn $\nu ,\mu$ zwei beliebige ganze Zahlen in $k(\zeta )$ sind, nur daß ${\sqrt[{l}]{\mu }}$ nicht in $k(\zeta )$ liegt, und wenn ${\mathfrak {w}}$ ein beliebiges Primideal des Kreiskörpers $k(\zeta )$ bedeutet, so ist $\nu$ Normenrest oder Normennichtrest des durch ${\mathsf {M}}={\sqrt[{l}]{\mu }}$ bestimmten Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ nach ${\mathfrak {w}}$, je nachdem

$\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {m}}}\right\}=1$ oder $\neq 1$

ausfällt.

Beweis. Es sei zunächst das Primideal ${\mathfrak {w}}$ von ${\mathfrak {l}}$ verschieden und gehe nicht in der Relativdiskriminante des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ auf. Ist $\mu ^{*}$ eine ganze Zahl in $k(\zeta )$ derart, daß ${\frac {\mu ^{*}}{\mu }}$ die $l$-te Potenz einer Zahl in $k(\zeta )$ ist, so gilt stets $\left\{{\frac {\nu ,\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right\}=\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}$; danach und mit Rücksicht auf Satz 148 können wir hier annehmen, daß $\mu$ nicht durch ${\mathfrak {w}}$ teilbar ist. Wir unterscheiden zwei Fälle, je nachdem ${\mathfrak {w}}$ im Körper $k({\mathsf {M}},\zeta )$ als Produkt von $l$ Primidealen ${\mathfrak {W}}_{1}$, …, ${\mathfrak {W}}_{l}$ darstellbar wird oder in $k({\mathsf {M}},\zeta )$ Primideal bleibt. Nach Satz 149 ist im ersteren Falle $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1$, im letzteren $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}\neq 1$ und $\neq 0$.

Im ersteren Falle bestimmen wir eine ganze Zahl ${\mathsf {A}}$ in $k({\mathsf {M}},\zeta )$, welche durch ${\mathfrak {W}}_{1}$, aber nicht durch ${\mathfrak {W}}_{1}^{2}$ und auch nicht durch eines der Primideale ${\mathfrak {W}}_{2}$, …, ${\mathfrak {W}}_{l}$ teilbar ist; dann geht in der Relativnorm $\alpha =N_{k}({\mathsf {A}})$ das Primideal ${\mathfrak {w}}$ genau zur ersten Potenz auf. Ist nun ${\mathfrak {w}}^{b}$ die in $\nu$ enthaltene Potenz von ${\mathfrak {w}}$, so läßt sich $\varkappa ={\frac {\nu }{\alpha ^{b}}}$ als ein Bruch schreiben, dessen Zähler und Nenner zu ${\mathfrak {w}}$ prim sind, und folglich sind Zähler und Nenner dieses Bruches nach Satz 150 Normenreste des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ nach ${\mathfrak {w}}$. Das gleiche gilt also auch von $\nu$. Da nach der Definition in § 131

$\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=\left\{{\frac {\mu ^{b}}{\mathfrak {w}}}\right\}^{-1}=1$

ist, so erweist sich im ersteren Falle der Satz 151 als richtig.

Im zweiten Falle ist die Relativnorm einer ganzen Zahl ${\mathsf {A}}$ in $k({\mathsf {M}},\zeta )$ jedesmal genau durch eine solche Potenz von ${\mathfrak {w}}$ teilbar, deren Exponent ein Vielfaches von $l$ ist. Es sei wiederum ${\mathfrak {w}}^{b}$ die in $\nu$ enthaltene Potenz von ${\mathfrak {w}}$; ist dann $b$ kein Vielfaches von $l$, so kann also $\nu$ nicht Nonnenrest nach ${\mathfrak {w}}$ sein; in diesem Falle wird andererseits $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=\left\{{\frac {\mu ^{b}}{\mathfrak {w}}}\right\}^{-1}\neq 1$. Ist dagegen $b$ ein Vielfaches von $l$, und bedeutet $\alpha$ eine ganze durch ${\mathfrak {w}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {w}}^{2}$ teilbare Zahl in $k(\zeta )$, so setzen wir $\varkappa ={\frac {\nu }{\alpha ^{b}}}$ und erkennen wie im ersteren Falle $\nu$ als Normenrest nach ${\mathfrak {w}}$; andererseits ist jetzt

$\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=\left\{{\frac {\mu ^{b}}{\mathfrak {w}}}\right\}^{-1}=1$.

Damit ist der Satz 151 auch für den zweiten Fall bewiesen.

Wir nehmen jetzt an, es sei die Relativdiskriminante des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ durch das Primideal ${\mathfrak {w}}$ teilbar; ${\mathfrak {w}}$ soll dabei von ${\mathfrak {l}}$ verschieden sein. Es gehe ${\mathfrak {w}}$ in $\nu$ genau zur $b$-ten und in $\mu$ genau zur $a$-ten Potenz auf; dann ist $a$ jedenfalls kein Vielfaches von $l$. Die Zahl $\varkappa ={\frac {\nu ^{a}}{\mu ^{b}}}$ läßt sich in die Gestalt eines Bruches ${\frac {\varrho }{\sigma }}$ setzen, dessen Zähler $\varrho$ und dessen Nenner $\sigma$ zu ${\mathfrak {w}}$ prim sind. Die Zahl $\varrho \sigma ^{l-1}$ ist eine nicht durch ${\mathfrak {w}}$ teilbare ganze Zahl; nach dem Beweise des Satzes 150 auf S. 261 ist eine solche ganze Zahl dann und nur dann Normenrest des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ nach ${\mathfrak {w}}$, wenn sie $l$-ter Potenzrest nach ${\mathfrak {w}}$ ist, d. i. hier, wenn $\left\{{\frac {\varrho \sigma ^{l-1}}{\mathfrak {w}}}\right\}=1$ und also $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1$ ist; damit ist für den gegenwärtigen Fall wiederum der Satz 151 als richtig erkannt.

Es sei endlich ${\mathfrak {w}}={\mathfrak {l}}$. Wir fassen lediglich den Fall ins Auge, daß $\mu \equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ ist: es ist dies der einzige Fall, für den wir die betreffenden Sätze späterhin brauchen werden; die anderen Fälle gestatten übrigens eine ähnliche Behandlung. Beim Beweise machen wir noch die nicht wesentlich einschränkende Annahme $\nu \equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$. Wegen der Annahme $\mu \equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ kann man laut Satz 150 genau $l^{l-1}$ Normenreste $\nu ^{*}$ des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}$ bilden, welche kongruent $1$ nach ${\mathfrak {l}}$ ausfallen und untereinander nach ${\mathfrak {l}}^{l+1}$ inkongruent sind. Andererseits muß ein jeder Normenrest $\nu ^{*}$ von $k({\mathsf {M}},\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}$, für den man $\nu ^{*}\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$ hat, laut Hilfssatz 26 die Bedingung $\left\{{\frac {\nu ^{*},\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$ erfüllen. Wegen

$\left.{\begin{aligned}1^{(1)}(\mu )&\equiv -1,\\1^{(1)}(1-l)&\equiv 0,1^{(2)}(1-l)\equiv 0,\ldots ,1^{(l-2)}(1-l)\equiv 0,\\1^{(l-1)}(1-l)&\equiv {\frac {1-n(1-l)}{l}}\equiv -1,\end{aligned}}\right\}$ $(l)$

ergibt sich nach (82)

$\left\{{\frac {1-l,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=\zeta ^{-1}$.

(98)

Es sei nun erstens $\alpha$ irgendeine ganze Zahl in $k(\zeta )$ mit der Kongruenzeigenschaft $\alpha \equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$, und es werde $\left\{{\frac {\alpha ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=\zeta ^{a}$ gesetzt, wo $a$ eine Zahl aus der Reihe $0$, $1$, $2$, …, $l-1$ bedeuten soll; dann ist offenbar $\left\{{\frac {\alpha (1-l)^{a},\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$; dagegen fällt jedesmal $\left\{{\frac {\alpha (1-l)^{x},\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}\neq 1$ aus, wenn $x$ eine von $a$ verschiedene Zahl aus der Reihe $0$, $1$, $2$, …, $l-1$ bedeutet. Wählen wir ferner eine ganze Zahl $\alpha '$ in $k(\zeta )$, welche ebenfalls kongruent $1$ nach ${\mathfrak {l}}$, aber keiner der $l$ Zahlen $\alpha$, $\alpha (1-l)$, $\alpha (1-l)^{2}$, …, $\alpha (1-l)^{l-1}$ nach ${\mathfrak {l}}^{l+1}$ kongruent ist, so sind auch die $l$ Zahlen $\alpha '$, $\alpha ^{'}(1-l)$, $\alpha ^{'}(1-l)^{2}$, …, $\alpha ^{'}(1-l)^{l-1}$ nach ${\mathfrak {l}}^{l+1}$ sämtlich untereinander inkongruent und zugleich keiner der ersteren $l$ Zahlen kongruent; unter den letzteren $l$ Zahlen gibt es wegen (98) offenbar eine und nur eine Zahl – es sei dies etwa $\alpha '(1-l)^{a'}$ – von der Art, daß $\left\{{\frac {\alpha '(1-l)^{a'},\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$ ist. Fahren wir in dieser Weise fort, so erkennen wir, daß die Anzahl der vorhandenen nach ${\mathfrak {l}}^{l+1}$ inkongruenten Zahlen $\nu$, die kongruent $1$ nach ${\mathfrak {l}}$ sind und der Bedingung $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$ genügen, genau gleich $l^{l-1}$ ist, und aus der Übereinstimmung dieser Anzahl mit der oben gefundenen für die Normemeste $\nu ^{*}$ ist ersichtlich, daß umgekehrt auch jede Zahl $\nu$ mit diesen zwei Eigenschaften Normenrest des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}$ ist.

Durch die bisherigen Überlegungen ist der Satz 151 in allen Teilen bewiesen; für den Fall ${\mathfrak {w}}={\mathfrak {l}}$ allerdings nur soweit, als für die Zahlen $\nu ,\mu$ die Kongruenzeigenschaften $\nu \equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$ und $\mu \equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ erfüllt sind. Die $\nu$ betreffende Einschränkung ist offenbar leicht aufzuheben.

Aus dem Satze 151 folgt, bei Benutzung der ersten Formel in (80) und (83), die Formel

$\left\{{\frac {\nu \nu ^{*},\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}$,

wo ${\mathfrak {w}}$ ein beliebiges Primideal in $k(\zeta )$ bedeutet und $\nu ^{*}$ ein Normenrest des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ nach ${\mathfrak {w}}$ sein soll.

Um nun das Symbol $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$ auch für den Fall zu definieren, daß eine der beiden Zahlen $\nu ,\mu$ oder beide durch ${\mathfrak {l}}$ teilbar sind, braucht man nur die allgemeine Gültigkeit der Formeln

$\left\{{\frac {\nu \nu ^{*},\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$, $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {\mu ,\nu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$

festzusetzen, wobei $\nu ^{*}$ ein beliebiger Normenrest des Körpers $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}$ bedeuten soll. Bei dieser Festsetzung folgt dann insbesondere

$\left\{{\frac {1+a\lambda ^{l},\lambda }{\mathfrak {l}}}\right\}=\left\{{\frac {1+a\lambda ^{l}}{\mathfrak {l}}}\right\}=\zeta$.

Wir können überhaupt die Definition des Symbols $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$ auf die Formeln

$\left\{{\frac {\alpha ,\zeta }{\mathfrak {l}}}\right\}=\zeta ^{\frac {n(\alpha )-1}{l}}$, $\left\{{\frac {\nu _{1}\nu _{2},\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=\left\{{\frac {\nu _{1},\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {\nu _{2},\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}$, $\left\{{\frac {\nu ^{*},\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$, $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}\left\{{\frac {\mu ,\nu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$

gründen, wo $\alpha$ eine zu ${\mathfrak {l}}$ prime ganze Zahl in $k(\zeta ),\ \nu ^{\ast }$ ein Normenrest des Körpers $k\left({\sqrt[{l}]{\mu }},\ \zeta \right)$ nach ${\mathfrak {l}}$ und $\nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2},\ \mu$ beliebige ganze Zahlen in $k(\zeta )$ sein sollen (vgl. § 166). Ich habe jedoch gegenwärtig die obige Definition (82) gewählt, welche unmittelbar an die Entwicklungen von Kummer anknüpft.

Schließlich sei hier bemerkt, daß nunmehr das zu Anfang des § 131 gesteckte Ziel erreicht ist; wenn nämlich ${\mathfrak {w}}^{e}$ eine beliebige Potenz eines Primideals ${\mathfrak {w}}$ bedeutet, wobei im Falle ${\mathfrak {w=l}}$ der Exponent $e>l$ sei, so kann offenbar ein vollständiges System zu ${\mathfrak {w}}$ primer und nach ${\mathfrak {w}}^{e}$ inkongruenter Zahlen $\nu$ in $k(\zeta )$ mit Rücksicht auf die Werte, die das Symbol $\left\{{\frac {\nu ,\ \mu }{\mathfrak {w}}}\right\}$ annimmt, in $l$ Abteilungen von gleich vielen Zahlen gesondert werden, von denen die eine Abteilung die sämtlichen im System befindlichen Normenreste des Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\ \zeta )$ nach ${\mathfrak {w}}$ darstellt.

1. Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reziprozitätsgesetzen. J. Math. 44 (1851).^{[WS 1]}
2. Über die allgemeinen Reziprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. Abh. K. Akad. Wiss. Berlin 1859.^{[WS 2]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kummer, Ernst Eduard: Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesetzen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 44 (1851), S. 93–146 GDZ Göttingen
2. Kummer, Ernst Eduard: Über die allgemeinen Reciprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist, in: Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Mathematische Abhandlungen, 1859, S. 19–159 Internet Archive; Auszug in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1858 S. 158–171 Berlin-Brandenburgische Akademie
3. Vorlage: $l-1!$
4. Kummer, Ernst Eduard: Über die allgemeinen Reciprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist, in: Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Mathematische Abhandlungen, 1859, S. 19–159 Internet Archive; Auszug in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1858 S. 158–171 Berlin-Brandenburgische Akademie
5. Kummer, Ernst Eduard: Über die allgemeinen Reciprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist, in: Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Mathematische Abhandlungen, 1859, S. 19–159 Internet Archive; Auszug in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1858 S. 158–171 Berlin-Brandenburgische Akademie

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