32. Die ambigen Idealklassen und die Geschlechter im regulären Kummerschen Körper.
§ 143. Der Begriff der Einheitenschar im regulären Kreiskörper.
Es sei
eine reguläre ungerade Primzahl, und in dem durch
bestimmten regulären Kreiskörper
sei ein solches System
von Einheiten vorgelegt, in welchem die
-ten Potenzen aller Einheiten des Körpers
enthalten sind, und welchem überdies die Eigenschaft zukommt, daß das Produkt und der Quotient von irgend zwei Einheiten des Systems stets wieder dem Systeme angehört. Ein solches System
nenne ich eine Einheitenschar des Kreiskörpers
. Man kann in einer jeden Einheitenschar
stets eine gewisse Anzahl
von Einheiten
, …,
bestimmen von der Art, daß man jede Einheit der Einheitenschar und jede nur einmal erhält, wenn man in dem Ausdruck
|
|
einem jeden der Exponenten
, …,
unabhängig von den übrigen alle Werte
,
, …,
erteilt und für
eine jede Einheit in
einsetzt. Ein System von Einheiten
, …,
dieser Beschaffenheit nenne ich eine Basis der Einheitenschar
. Es ist klar, daß für die Einheiten
, …,
einer Basis von
niemals eine Relation von der Gestalt
|
|
stattfinden kann, wo
, …,
ganze rationale, nicht sämtlich durch
teilbare Exponenten sind und
eine Einheit in
bedeutet. Es läßt sich leicht zeigen, daß für eine jede andere Basis der Einheitenschar
die Anzahl
der Einheiten, aus denen sie besteht, die gleiche sein muß. Diese Zahl
ist daher für die Einheitenschar
eine vollkommen bestimmte; sie heiße der Grad der Einheitenschar.
Enthält insbesondere eine Einheitenschar nur die
-ten Potenzen der Einheiten in
, so ist sie die möglichst wenig Einheiten umfassende Einheitenschar, und ihr Grad
. Ferner bildet die Gesamtheit aller Einheiten des Körpers
eine Einheitenschar; aus dem Umstande, daß nach Satz 127 jede Einheit in
das Produkt einer
-ten Einheitswurzel und einer reellen Einheit ist, und aus den Entwicklungen beim Beweise des Satzes 157 entnehmen wir sofort, daß die in § 140 mit
, …,
bezeichneten Einheiten mit der Einheitswurzel
zusammen eine Basis dieser umfassendsten Einheitenschar sind. Die aus allen Einheiten des Körpers
bestehende Einheitenschar besitzt folglich den Grad
; sie ist offenbar die einzige Einheitenschar vom Grade
, und es kann überhaupt keine Einheitenschar von höherem als dem
-ten Grade geben.
Wie man ferner leicht erkennt, bilden die Relativnormen aller Einheiten eines aus
![{\displaystyle k(\zeta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80aafec6afae97c01bf3a3aed249853b6adb2e9e)
entspringenden Kummerschen Körpers
![{\displaystyle k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72162ca7fe383a561dd98509aa0435ade1272e1c)
für den Kreiskörper
![{\displaystyle k(\zeta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80aafec6afae97c01bf3a3aed249853b6adb2e9e)
eine Einheitenschar; endlich ist auch die Gesamtheit aller derjenigen Einheiten in
![{\displaystyle k(\zeta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80aafec6afae97c01bf3a3aed249853b6adb2e9e)
eine Einheitenschar, welche gleich Relativnormen, sei es von Einheiten, sei es von gebrochenen Zahlen des Kummerschen Körpers
![{\displaystyle k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72162ca7fe383a561dd98509aa0435ade1272e1c)
sind.
§ 144. Die ambigen Ideale und die ambigen Idealklassen eines regulären Kummerschen Körpers.
Es sei
ein regulärer Kreiskörper, und
eine ganze Zahl in
, welche nicht gleich der
-ten Potenz einer Zahl in
ist; der durch
und
bestimmte reguläre Kummersche Körper
werde mit
bezeichnet. Wir suchen nunmehr die Theorie dieses Körpers mittelst der entsprechenden Begriffe und Methoden zu fördern, wie sie in den Kapiteln 17 bis 18 in der Theorie des quadratischen Körpers angewandt worden sind.
Die Relativgruppe von
in bezug auf
wird durch die Potenzen der Substitution
gebildet; es werde gemäß § 57 ein Ideal
des Körpers
ein ambiges Ideal genannt, wenn
bei Anwendung der Operation
ungeändert bleibt, d. h.
ist, und wenn außerdem
kein von
verschiedenes Ideal des Körpers
als Faktor enthält. Nach Satz 93 sind die
in der Relativdiskriminante von
aufgehenden Primideale sämtlich ambig, und es gibt außer diesen auch keine anderen ambigen Primideale. Ist sodann
ein beliebiges ambiges Ideal in
, so schließen wir aus
leicht (vgl. § 73), daß auch jedes in
aufgehende Primideal des Körpers
ambig sein muß, und daraus folgt dann, daß die Anzahl aller vorhandenen ambigen Ideale
beträgt.
Ist
ein Ideal aus einer Klasse
des Kummerschen Körpers
, so werde die durch das relativ konjugierte Ideal
bestimmte Idealklasse mit
bezeichnet. Die Klassen
,
, …,
sollen die zu
relativ conjugierten Klassen heißen. Ist ferner
eine beliebige ganzzahlige Funktion vom
-ten Grade in
, nämlich
,
|
|
wo
,
, …,
ganze rationale Zahlen sind, so werde die durch den Ausdruck
|
|
bestimmte Klasse die
-te symbolische Potenz der Klasse
genannt und mit
|
|
bezeichnet. Endlich heiße eine Idealklasse
des Kummerschen Körpers
eine ambige Klasse wenn
, d. h., wenn ihre
-te symbolische Potenz
wird. Die
-te Potenz einer beliebigen ambigen Klasse
ist stets eine solche Klasse, welche unter ihren Idealen in
liegende Ideale enthält. Dies ergibt sich unmittelbar, wenn wir berücksichtigen, daß wir
|
|
als Folge von
![{\displaystyle A=SA}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/762fa597952478d01c9bc9310171d359e6cb733a)
haben und daß andererseits die Relativnorm eines beliebigen Ideals in
![{\displaystyle K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
stets notwendig ein Ideal in
![{\displaystyle k(\zeta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80aafec6afae97c01bf3a3aed249853b6adb2e9e)
ist.
§ 144. Der Begriff der Klassenschar im regulären Kummerschen Körper.
Es sei in dem regulären Kummerschen Körper
ein solches System von Klassen vorgelegt, daß in der
-ten Potenz einer jeden dieser Klassen stets Ideale des Körpers
vorkommen, und überdies sollen insbesondere alle diejenigen Klassen, in welchen Ideale des Körpers
vorkommen, dem Systeme angehören; endlich sollen das Produkt und der Quotient von irgend zwei Klassen des Systems stets wiederum dem Systeme angehören. Ein solches System von Klassen nenne ich eine Klassenschar des Kummerschen Körpers. In einer vorgelegten Klassenschar kann man stets eine gewisse Anzahl
von Klassen
, …,
bestimmen von der Beschaffenheit, daß man jede Klasse der Klassenschar und jede nur einmal erhält, wenn man in dem Ausdruck
|
|
einem jeden der Exponenten
,
, …,
unabhängig von den anderen alle Werte
,
, …,
erteilt, und für
eine jede solche Klasse setzt, welche unter ihren Idealen in
liegende Ideale enthält. Die Klassen
,
, …,
mögen dann eine Basis der Klassenschar heißen. Es läßt sich leicht zeigen, daß für eine jede andere Basis der Klassenschar die Anzahl
der Klassen, aus welchen die Schar besteht, die gleiche sein muß. Diese Zahl
heiße der Grad der Klassenschar.
Enthalten insbesondere alle Klassen einer Schar Ideale des Körpers
, so ist die Schar vom Grade
. Des weiteren ist beispielsweise die Gesamtheit aller derjenigen Klassen in
, in welchen, sei es ambige Ideale in
, sei es Produkte aus ambigen Idealen in
mit Idealen des Körpers
vorkommen, eine Klassenschar. Ferner bildet die Gesamtheit aller ambigen Klassen des Kummerschen Körpers eine Klassenschar.
§ 144. Zwei allgemeine Hilfssätze über die relativen Grundeinheiten eines relativ-zyklischen Körpers von ungeradem Primzahlgrade.
Bevor wir die Untersuchungen des vorigen Paragraphen fortsetzen, leiten wir zwei Hilfssätze ab, die sich an den Satz 91 in § 55 anschließen und wie folgt lauten:
Hilfssatz 31. Es sei der Relativgrad
eines relativ zyklischen Körpers
in bezug auf einen Unterkörper
eine ungerade Primzahl, ferner sei
eine von der identischen verschiedene Substitution der Relativgruppe von
in bezug auf
und
, …,
ein System von relativen Grundeinheiten des Körpers
in bezug auf
, dann gilt für eine beliebige Einheit
in
jedesmal eine Gleichung von der Gestalt
,
|
|
wo
![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
ein ganzer rationaler, nicht durch
![{\displaystyle l}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac)
teilbarer Exponent ist,
![{\displaystyle F_{1}(S)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a5786d8a522fc8c509159a637afc1b4928dd31f)
, …,
![{\displaystyle F_{r+1}(S)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88445ae9763b1fd12bde7c7002a1ceeb6c16c25d)
ganzzahlige Funktionen vom
![{\displaystyle (l-2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3993ee968b3554dd9ff873437d26cee5424fdcca)
-ten Grade in
![{\displaystyle S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2)
bezeichnen und
![{\displaystyle [\varepsilon ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de5139270a1d58ba6553c9b2e829be9160f523ed)
eine Einheit bedeutet, deren
![{\displaystyle l}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac)
-te Potenz in
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
liegt.
Beweis. Aus dem Beweise des Satzes 91 geht hervor, daß die Einheiten
|
|
unter Hinzufügung von
Grundeinheiten des Körpers
voneinander unabhängig sind, und da die Anzahl dieser Einheiten insgesamt
beträgt, so gibt es, wenn
eine beliebig angenommene Einheit in
bedeutet, für
gewiß Relationen von der Gestalt
,
|
(122)
|
wo
,
, …,
ganzzahlige Funktionen vom
-ten Grade in
sind, unter denen die erste nicht identisch verschwindet, und wo
eine solche Einheit in
bedeutet, daß
in
liegt. Aus den unendlich vielen vorhandenen Relationen dieser Art denken wir uns eine solche ausgewählt, bei welcher die ganze Funktion
durch eine möglichst niedrige Potenz von
teilbar ist. Wir nehmen an, es treffe dies eben für die Relation (122) zu; wir setzen zunächst voraus, es sei dabei
noch mindestens einmal durch
teilbar. Nach der Definition der Grundeinheiten in § 55 müssen dann
|
|
sämtlich ebenfalls durch
teilbar sein. Erheben wir die Gleichung (122) in die
-te symbolische Potenz und setzen
|
|
|
|
so folgt leicht, indem wir berücksichtigen, daß die
-te symbolische Potenz einer Einheit in K stets eine Einheit in
wird,
,
|
(123)
|
wo
wieder eine Einheit in
oder die
-te Wurzel aus einer Einheit in
bedeutet. Wegen der Gleichung (123) ist eine
-te Wurzel aus dieser Zahl
sicherlich eine Zahl in
, also, wie leicht ersichtlich, ebenfalls eine solche Einheit in
, deren
-te Potenz in
liegt, und die wiederum mit
zu bezeichnen ist; aus (123) schließen wir daher:
,
|
|
wo wiederum
eine Einheit in
bedeutet, deren
-te Potenz in
liegt. Diese Gleichung ist von der nämlichen Gestalt wie (122), nur daß hier
durch eine niedrigere Potenz von
teilbar wäre als oben
. Dadurch erhalten wir einen Widerspruch mit unserer Annahme, wonach die zugrunde gelegte Relation (122) bereits eine solche war, in der
eine möglichst niedrige Potenz von
enthielt; wir sehen also, daß unter dieser Voraussetzung in (122)
nicht durch
teilbar sein kann.
Setzen wir
,
|
|
so wird
eine ganze rationale, nicht durch
teilbare Zahl, und es gibt offenbar zwei ganzzahlige Funktionen
,
, so daß die Gleichung
|
|
identisch in
erfüllt ist. Erheben wir (122) in die
-te symbolische Potenz, so folgt daraus sofort eine Formel von der im Hilfssatz 31 verlangten Beschaffenheit.
Hilfssatz 32. Es mögen dieselben Bezeichnungen wie in Hilfssatz 31 gelten, und überdies bilden wir die Relativnormen der
relativen Grundeinheiten des relativ-zyklischen Körpers
, nämlich
|
|
dann läßt sich jede Einheit
in
, welche die Relativnorm einer Einheit
des Körpers
ist, in der Gestalt
|
|
darstellen, wo
, …,
ganze rationale Exponenten sind und
eine Einheit in
ist.
Beweis. Nach Hilfssatz 31 haben wir für
eine Gleichung
,
|
|
wo die Zeichen die dort angegebene Bedeutung besitzen. Indem wir von beiden Seiten dieser Gleichung die Relativnorm in bezug auf
bilden, ergibt sich
.
|
(124)
|
Bestimmen wir nun zwei ganze rationale Zahlen
,
, so daß
|
|
wird, und erheben dann die Gleichung (124) in die
-te Potenz, so entsteht eine Formel von der im Hilfssatz 32 behaupteten Art.
§ 147. Die durch ambige Ideale bestimmten Idealklassen.
Es sei
ein regulärer Kummerscher Körper; wir nehmen aus seiner Relativgruppe die Substitution
. Da ein beliebiges ambiges Ideal
des Körpers
vermöge seiner Eigenschaft
stets eine ambige Klasse bestimmt, so haben wir, um zur Kenntnis der ambigen Klassen zu gelangen, vor allem die aus den ambigen Idealen entspringende Klassenschar zu untersuchen. Wir beweisen die wichtige Tatsache:
Satz 158. Es sei
die Anzahl der verschiedenen Primideale, welche in der Relativdiskriminante des regulären Kummerschen Zahlkörpers
vom Relativgrade
aufgehen; ferner mögen die Relativnormen aller Einheiten von
für
eine Einheitenschar vom Grade
bilden: betrachten wir dann alle diejenigen Klassen, in welchen sei es ambige Ideale des Körpers
, sei es Produkte von ambigen Idealen in
mit Idealen in
vorkommen, so bilden diese eine Klassenschar vom Grade
.
|
|
Beweis. Wir setzen im folgenden zunächst voraus, daß die Zahl
nicht von der Gestalt
sei, wo
eine Einheit und
eine Zahl in
bedeuten soll. Es ist dann jede Einheit
des Körpers
, deren
-te Potenz in
liegt, notwendig selbst in
gelegen. Nunmehr mögen
, …,
ein System von relativen Grundeinheiten des Körpers
in bezug auf
und
|
|
deren Relativnormen bedeuten.
Wir nehmen erstens an, daß der äußerste Fall
eintritt. Aus Hilfssatz 32 schließen wir dann, daß die Einheiten
, …,
eine Basis derjenigen Einheitenschar bilden, welche aus den Relativnormen aller Einheiten in
besteht. Andererseits fassen wir die
ambigen Primideale
, …,
des Körpers
ins Auge; dieselben bestimmen
ambige Idealklassen, die wir bez.
, …,
nennen wollen. Um für die aus diesen Klassen entspringende Klassenschar den Grad zu bestimmen, setzen wir
,
|
(125)
|
wo
, …,
gewisse ganze rationale Exponenten bedeuten, und wo
ein Ideal in
ist. Wegen der zu Anfang getroffenen Voraussetzung über
ist wenigstens einer der Exponenten
, …,
nicht durch
teilbar; es sei etwa
prim zu
. Wir entnehmen aus der Gleichung (125), daß
|
|
eine solche Klasse ist, die Ideale des Körpers
enthält; da
ebenfalls eine Klasse dieser Art ist, so folgt hieraus sofort, daß die Klasse
sich als Produkt von Potenzen der Klassen
, …,
und einer Klasse darstellen läßt, die Ideale des Körpers
enthält.
Wir beweisen jetzt, daß aus den Idealklassen
, …,
allein keine Klasse von der Gestalt
|
(126)
|
hervorgehen kann, welche Ideale des Körpers
enthält, während
, …,
ganze rationale, nicht sämtlich durch
teilbare Exponenten sind. In der Tat, auf Grund der Relation (126) würden wir eine Gleichung
|
(127)
|
aufstellen können, so daß
ein Ideal des Körpers
und
eine ganze Zahl des Körpers
ist; hieraus schließen wir dann, daß
eine Einheit in
sein müßte. Auf diese Einheit
wenden wir den Hilfssatz 31 an und erhalten so eine Gleichung von der Gestalt
,
|
(128)
|
wo
eine ganze rationale, nicht durch
teilbare Zahl,
, …,
ganzzahlige Funktionen von
und
eine Einheit in
bedeuten. Da offenbar
ist, so ergibt sich durch Bildung der Relativnorm auf beiden Seiten von (128) die Gleichung
.
|
|
Da
, …,
eine Basis einer Einheitenschar bilden sollen, so müssen die ganzen rationalen Zahlen
, …,
sämtlich durch
und demnach die ganzen Zahlen
, …,
sämtlich durch
teilbar sein. Setzen wir
|
|
und
,
|
|
so wird
,
|
|
wo
wieder eine Einheit in
bedeutet. Durch Bildung der Relativnorm folgt aus letzterer Gleichung
, d. h.
ist eine
-te Einheitswurzel, etwa
. Berücksichtigen wir
, so haben wir
,
|
|
d. h. der Ausdruck
stellt eine Zahl in
dar. Da nun
wegen (127) das Ideal
nicht oder zu einem durch
teilbaren Exponenten erhoben enthält,
dagegen das Ideal
in einer Potenz enthält, deren Exponent
nicht durch
teilbar ist, so zeigt die Zerlegung dieser Zahl in Primideale des Körpers
erstens, daß
durch
teilbar sein muß; dann zeigt sie weiter, da
zu
prim ist, daß die Exponenten
, …,
sämtlich durch
teilbar sein müßten, was der Voraussetzung widerspricht. Daraus folgt, daß zwischen den Klassen
, …,
eine Relation wie (126) nicht bestehen kann, d. h. die Klassen
, …,
bilden unter der gegenwärtigen Annahme, die wesentlich auf
hinauskommt, für die aus allen ambigen Idealen entspringende Klassenschar eine Basis; der Grad dieser Klassenschar ist daher gleich
, wie es unserem Satze 158 für
entspricht.
Wir nehmen zweitens
an; dann muß zwischen den Einheiten
, …,
eine Relation von der Gestalt
bestehen, wo die Exponenten
, …,
ganze rationale, nicht sämtlich durch
teilbare Zahlen sind und
eine Einheit in
bedeutet. Ist etwa
nicht durch
teilbar, so sind, wie man aus Hilfssatz 32 schließt, notwendig
, …,
eine Basis der aus den Relativnormen aller Einheiten in
gebildeten Einheitenschar. Wir bilden die Einheit
.
|
(129)
|
Da diese die Relativnorm
besitzt, so gibt es nach Satz 90 (S. 149) eine ganze Zahl
in
von der Beschaffenheit, daß
wird. Wir bestimmen nun, was jedenfalls möglich ist, eine ganze rationale positive Zahl
in der Weise, daß in dem Produkt
das Primideal
zu einem durch
teilbaren Exponenten erhoben vorkommt. Es dürfen dann in
nicht auch die Faktoren
, …,
sämtlich in solchen Potenzen, deren Exponenten durch
teilbar sind, vorkommen, da man sonst unter Benutzung von Satz 153 (S. 279)
hätte in der Art, daß
eine Einheit in
und
eine ganze Zahl in
bedeutet; dann aber würde
folgen, und dies widerspräche mit Rücksicht auf (129), da
zu
prim ist, der Definition der relativen Grundeinheiten
, …,
nach § 55. Es komme nun in
etwa das ambige Primideal
zu einem nicht durch
teilbaren Exponenten erhoben vor. Dann entnehmen wir aus diesem Umstande die Tatsache, daß die Klasse
sich als Produkt von Potenzen der Klassen
, …,
und einer solchen Klasse darstellen läßt, die Ideale des Körpers
enthält.
Wir beweisen jetzt, daß aus den Idealklassen
, …,
keine Klasse
|
(130)
|
hervorgehen kann, welche Ideale in
enthält, während die Exponenten
, …,
ganze rationale, nicht sämtlich durch
teilbare Zahlen sind. In der Tat, eine Relation (130) hätte eine Gleichung von der Gestalt
|
(131)
|
zur Folge von der Art, daß
eine ganze Zahl in
und
ein Ideal in
ist; hieraus schließen wir dann, daß
eine Einheit in
sein müßte. Wir wenden für diese Einheit
den Hilfssatz 31 an und erhalten so eine Gleichung
,
|
(132)
|
wo
eine ganze rationale, nicht durch
teilbare Zahl,
|
|
ganzzahlige Funktionen von
sind und
eine Einheit in
ist. Wir bestimmen nun einen ganzen rationalen Exponenten
in der Weise, daß die ganze Zahl
durch
teilbar wird; mit Rücksicht auf
erhalten wir aus (132) durch Bildung der Relativnorm in bezug auf
die Gleichung:
,
|
(133)
|
wo
wiederum eine Einheit in
ist. Da die Einheiten
, …,
eine Basis einer Einheitenschar sind, so folgt aus (133), daß die Exponenten
, …,
sämtlich durch
, d. h. die Zahlen
, …,
sämtlich durch
teilbar sein müssen. Setzen wir
|
|
und
,
|
|
so folgt aus (132)
,
|
|
wo
![{\displaystyle {\mathsf {E}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15ff92910bf40abf016c7e30df8ef0937a0006b7)
die durch (129) festgelegte Einheit in
![{\displaystyle K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
und
![{\displaystyle \varepsilon '^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9f2bea158f6e0d4dc98dc550da57766d6f0bda4)
wieder eine Einheit in
![{\displaystyle k(\zeta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80aafec6afae97c01bf3a3aed249853b6adb2e9e)
bedeutet; durch Bildung der Relativnorm erhalten wir
![{\displaystyle 1=\varepsilon '^{*l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38b4e615fea59c4eb588f75c693415b1f23f1440)
, d. h.
![{\displaystyle \varepsilon '^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9f2bea158f6e0d4dc98dc550da57766d6f0bda4)
ist eine
![{\displaystyle l}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac)
-te Einheitswurzel, etwa gleich
![{\displaystyle \zeta ^{g'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1231b4e2a8746b27e1d52c26e953f4f3586cccf4)
. Alsdann wird, wenn wir die Gleichungen
, ,
|
|
berücksichtigen,
,
|
|
d. h. der Ausdruck
stellt eine Zahl in
dar. Beachten wir, daß
,
,
, …,
in
Primideale sind, so schließen wir daraus zunächst, daß
durch
teilbar sein muß; sodann ersehen wir, da
nach Voraussetzung das Ideal
zu einer Potenz erhoben enthält, deren Exponent nicht durch
teilbar ist, dagegen in der Zahl
wegen (131) das Ideal
sicher zu einem durch
teilbaren Exponenten erhoben vorkommt, daß notwendigerweise auch
durch
teilbar sein muß, und endlich müßten dann, da
zu
prim ist, die Exponenten
, …,
sämtlich durch
teilbar sein, was unserer Voraussetzung über dieselben widerspricht. Damit ist gezeigt, daß zwischen den Klassen
, …,
eine Relation wie (130) nicht bestehen kann, d. h. die Klassen
, …,
bilden unter der gegenwärtigen Annahme
für die aus allen ambigen Idealen entspringende Klassenschar eine Basis; der Grad dieser Klassenschar ist daher gleich
, wie es unserem Satz 158 entspricht.
Wenn wir drittens
annehmen, so besteht zwischen den Einheiten
, …,
nicht nur, wie im vorigen Falle, eine Relation von der Gestalt
, wo
eine Einheit in
und einer der Exponenten
, …,
, etwa wieder
, nicht durch
teilbar ist, sondern es besteht alsdann noch eine zweite Relation von der Gestalt
, wo
wieder eine Einheit in
ist, und wo einer der Exponenten
, …,
, etwa
, nicht durch
teilbar ist. Wir bilden die Einheiten
|
(134)
|
Da die Relativnormen der Einheiten
und
gleich
sind, so können wir nach Satz 90 (S. 149)
und
setzen, wobei
und
ganze Zahlen in
bedeuten. Bestimmen wir dann zunächst, wie im vorigen Falle, eine ganze rationale positive Zahl
derart, daß
den Faktor
zu einem durch
teilbaren Exponenten erhoben enthält, so kommt, wie die dortigen Überlegungen zeigen, in
mindestens eines der ambigen Primideale
, …,
zu einer Potenz erhoben vor, deren Exponent nicht durch
teilbar ist; es treffe dies etwa für
zu. Wir bestimmen dann zwei ganze rationale positive Zahlen
und
so, daß die Zahl
die beiden Faktoren
und
zu Exponenten erhoben enthält, die durch
teilbar sind. Alsdann können in dieser Zahl
die Faktoren
, …,
nicht sämtlich zu solchen Potenzen erhoben vorkommen, deren Exponenten durch
teilbar sind. Denn wäre dies der Fall, so könnten wir unter Benutzung von Satz 153
setzen, so daß
eine Einheit in
und
eine ganze Zahl in
ist. Berücksichtigen wir dann die Gleichungen
,
,
, so wäre
;
|
|
wegen (134) würde hieraus folgen:
,
|
(135)
|
wo
eine gewisse Einheit in
bedeutet; diese Relation widerspräche aber der Definition der relativen Grundeinheiten nach § 55; denn da jede der beiden Zahlen
,
zu
prim ist, so sind die Exponenten von
,
in (135) sicher niemals beide zugleich durch
teilbar. Kommt nun in
etwa
zu einem nicht durch
teilbaren Exponenten erhoben vor, so entnehmen wir aus diesem Umstande, daß die Klasse
sich als Produkt von Potenzen der Klassen
, …,
und einer solchen Klasse darstellen läßt, die Ideale des Körpers
enthält.
Durch die entsprechenden Überlegungen wie im vorigen Falle
kann man nun unter der gegenwärtigen Annahme
beweisen, daß aus den Idealklassen
, …,
keine Klasse
|
|
hervorgehen kann, welche Ideale in
enthält, während die Exponenten
, …,
ganze rationale, nicht sämtlich durch
teilbare Zahlen sind. Wir ersehen dann, daß bei der gegenwärtigen Annahme
, …,
eine Basis der aus den ambigen Idealen entspringenden Klassenschar bilden; der Grad dieser Klassenschar beträgt folglich
, wie es dem Satz 158 entspricht.
Durch die geeignete Weiterführung des oben geschilderten Verfahrens gelangen wir zum vollständigen Beweise des Satzes 158.
Wir hatten oben den Fall ausgeschlossen, daß der Kummersche Körper
durch eine Zahl
bestimmt werden kann, wo
eine Einheit in
bedeutet; wir haben daher diesen Fall jetzt noch besonders zu behandeln. Die Relativdiskriminante des Körpers
kann alsdann nach Satz 148 keine anderen Primfaktoren als
enthalten; nach Satz 94 und Satz 153 muß sie den Faktor
wirklich enthalten. Wir haben dann in
eine Zerlegung
, und es ist
das einzige ambige Primideal des Körpers
, Es seien wieder
, …,
bez. die Relativnormen der
relativen Grundeinheiten
, …,
. Da der Grad einer Einheitenschar in
stets
ist, so besteht sicher eine Relation von der Gestalt:
,
|
(136)
|
wo
, …,
,
ganze rationale, nicht sämtlich durch
teilbare Exponenten sind, und wo
eine Einheit in
bedeutet. Setzen wir
,
|
(137)
|
so ist
und folglich nach Satz 90
, wo
eine geeignete ganze Zahl in
bedeutet; wir können dann
setzen, wo
eine Potenz des ambigen Primideals
und
ein Ideal in
bedeutet. Der Exponent
ist dann sicher nicht durch
teilbar; denn sonst wäre wegen
und mit Rücksicht auf Satz 153
in solcher Weise, daß
eine Einheit in
und
eine Zahl in
bezeichnet; hieraus aber würden wir
entnehmen und dadurch mit Rücksicht auf (137) in einen Widerspruch mit der Definition der relativen Grundeinheiten in § 55 geraten. Aus der Gleichung
schließen wir
, daraus
,
und, da
zu
prim ist,
, d. h. das einzige im gegenwärtigen Fall vorhandene ambige Ideal
ist ein Hauptideal; der Grad der aus den ambigen Idealen entspringenden Klassenschar ist mithin gleich
.
Wir nehmen nun an, von den Exponenten
, …,
sei etwa
prim zu
, und beweisen dann, daß keine Relation
|
(138)
|
bestehen kann von der Art, daß
![{\displaystyle e'_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2b9e0328f9092ddf517dc6e2bf84282ad1ddb14)
, …,
![{\displaystyle e'_{\frac {l-3}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e4cb5c046df6f08ad30212f099b136af4d034d2)
,
![{\displaystyle e'_{\frac {l+1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92062f87dc98c57e20d3330bd8b46a95d0aa1afc)
ganze rationale, nicht sämtlich durch
![{\displaystyle l}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac)
teilbare Exponenten sind und
![{\displaystyle \eta '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8847ba85d8b14cc9ab902c82da70c41b112593ea)
eine Einheit in
![{\displaystyle k(\zeta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80aafec6afae97c01bf3a3aed249853b6adb2e9e)
bedeutet. In der Tat, würde eine solche Relation (138) gelten, so hätten wir in
|
|
eine Einheit mit der Relativnorm
. Wir setzen unter Benutzung des Satzes 90
, wo
eine geeignete ganze Zahl in
bedeutet, und bestimmen dann einen solchen ganzen rationalen positiven Exponenten
, daß in
das Primideal
zu einem durch
teilbaren Exponenten vorkommt. Nun mehr können wir mit Rücksicht auf Satz 153
setzen in solcher Weise, daß
eine Einheit in
und
eine ganze Zahl in
bedeutet; dann wird
, d. h. die Einheit
|
|
wäre die symbolische
-te Potenz einer Einheit in
, und diese Folgerung steht mit der Definition der relativen Grundeinheiten aus dem schon mehrfach erörterten Grunde in Widerspruch. Damit ist gezeigt, daß eine Relation wie (138) nicht statthaben kann; mit Rücksicht auf (136) und auf den Umstand, daß
zu
prim ist, bilden nunmehr
, …,
,
eine Basis der aus den Relativnormen aller Einheiten in
gebildeten Einheitenschar; es folgt also, daß der Grad
dieser Schar gleich
ist und somit jede Einheit in
die Relativnorm einer Einheit in
ist. Es ist demnach
|
|
und damit der Satz 158 auch in diesem Falle bestätigt.
§ 148. Die sämtlichen ambigen Idealklassen.
Der Satz 158 hat eine merkwürdige Beziehung aufgedeckt, die zwischen der aus den ambigen Idealen entspringenden Klassenschar und derjenigen Einheitenschar stattfindet, die aus den Relativnormen sämtlicher Einheiten in
gebildet wird. Eine ebenso wichtige Beziehung herrscht zwischen der aus allen ambigen Klassen gebildeten Klassenschar und einer gewissen Einheitenschar in
. Wir sprechen folgenden Satz aus:
Satz 159. Es sei
die Anzahl der Primideale, die in der Relativdiskriminante des regulären Kummerschen Körpers
vom Relativgrade
aufgehen; ferner mögen alle diejenigen Einheiten in
, welche gleich Relativnormen sei es von Einheiten, sei es von gebrochenen Zahlen des Körpers
sind, eine Einheitenschar vom Grade
bilden: dann besitzt die aus sämtlichen ambigen Klassen bestehende Klassenschar den Grad
.
Beweis. Es habe
die Bedeutung wie in Satz 158. Fällt erstens
aus, so stimmt die jetzt in Frage kommende Einheitenschar mit der in Satz 158 behandelten Einheitenschar überein, d. h. wenn eine Einheit in
gleich der Relativnorm einer gebrochenen Zahl in
ist, so ist sie stets auch gleich der Relativnorm einer Einheit in
. Wir beweisen nun, daß in diesem Falle die Klassenschar, die aus den ambigen Idealen entspringt, die Schar sämtlicher ambigen Klassen darstellt. In der Tat, wenn
eine beliebige ambige Klasse in
und
ein Ideal aus
ist, so können wir
setzen in solcher Weise, daß
eine geeignete ganze oder gebrochene Zahl in
bedeutet, und die Relativnorm
wird dann offenbar gleich einer Einheit
des Körpers
. Da dann unter der gegenwärtigen Annahme
nach dem soeben bemerkten auch eine Einheit
in
gefunden werden kann derart, daß
wird, so haben wir
und folglich nach Satz 90
oder
, wo
eine geeignete ganze Zahl in
ist. Wegen
wird
, d. h. es ist
gleich dem Produkte aus einem ambigen Ideal und einem Ideal in
, und es entsteht also die Klasse
durch Multiplikation einer Klasse, die ein ambiges Ideal enthält, mit einer Klasse, die Ideale in
enthält. Damit ist unsere Behauptung bewiesen und der Grad der aus sämtlichen ambigen Klassen gebildeten Klassenschar ist nunmehr mit Rücksicht auf Satz 158 gleich
,
|
|
wie es im vorliegenden Falle
dem Satz 159 entspricht.
Es sei zweitens
; dann kommt in
eine Einheit
vor, die zwar nicht die Relativnorm einer Einheit in
, aber doch die Relativnorm einer gebrochenen Zahl
in
ist, und es muß sich jede andere Einheit
von der nämlichen Natur durch die Einheit
solcher Gestalt
ausdrücken lassen, daß
ein ganzer rationaler Exponent und
die Relativnorm einer Einheit in
ist. Wir setzen
,
|
|
wo
voneinander verschiedene Primideale in
bedeuten sollen, von denen keine zwei zueinander relativ konjugiert sind, und wo
ganzzahlige Funktionen vom
-ten Grade in
sind. Wegen
folgt
,
|
|
und hieraus entnehmen wir leicht, daß die Funktionen
sämtlich durch
teilbar sein müssen. Setzen wir
|
|
und
,
|
|
wo
ein Ideal in
und
eine ganze oder gebrochene Zahl in
ist, so wird
. Hieraus folgt zunächst, daß
eine ambige Klasse bestimmt. Diese ambige Klasse, sie heiße
, enthält kein Ideal, welches das Produkt eines ambigen Ideals mit einem Ideal des Körpers
wäre. In der Tat, wäre dies der Fall, so könnten wir
setzen so, daß
eine ganze oder gebrochene Zahl in
, ferner
ein ambiges Ideal in
und
ein Ideal in
bedeutet; dann aber wäre
, d. h.
, wo
eine Einheit in
ist. Hieraus würde
folgen, was der vorausgesetzten Beschaffenheit der Einheit
widerspricht.
Wir wollen nun für die gegenwärtige Annahme
den Nachweis führen, daß jede überhaupt vorhandene ambige Klasse
in der Gestalt
dargestellt werden kann, wo
eine Potenz der soeben bestimmten Klasse
bedeutet, wo ferner
eine Klasse mit ambigem Ideal und
eine solche Klasse bedeutet, die unter ihren Idealen Ideale des Körpers
enthält. Zu dem Zwecke nehmen wir aus
ein beliebiges Ideal
; dann können wir
setzen in solcher Weise, daß
eine geeignete ganze oder gebrochene Zahl in
wird. Es ist sodann
eine Einheit in
; wir setzen unserer Voraussetzung entsprechend
, wo
,
,
die oben erklärte Bedeutung haben sollen. Es sei
die oben betrachtete Zahl für welche
ist; es sei ferner
, wo
eine Einheit in
bedeute. Aus diesen Gleichungen ergibt sich
, und daher wird nach Satz 90
, wo
eine geeignete ganze Zahl in
ist; hieraus entnehmen wir
. Die letztere Gleichung zeigt, daß
nach Multiplikation mit einer geeigneten ganzen Zahl des Körpers
das Produkt eines ambigen Ideals
in ein Ideal
des Körpers
wird; wir haben somit
. Es geht daraus in dem vorliegenden Falle
hervor, daß der Grad der aus sämtlichen ambigen Klassen bestehenden Klassenschar
beträgt, und dies ist die Aussage des Satzes 159 für diesen Fall.
Nehmen wir drittens
an, so existiert in
außer der Einheit
noch eine Einheit
, welche die Relativnorm einer gebrochenen Zahl
in
ist, und für die dennoch keine Darstellung von der Gestalt
möglich ist, wo
eine Potenz der oben eingeführten Einheit
und
die Relativnorm einer Einheit in
bedeuten soll. Wir setzen
,
|
|
wo
solche Primideale in
bedeuten sollen, von denen keine zwei einander gleich oder relativ konjugiert sind, und wo
ganzzahlige Funktionen vom
-ten Grade in
sind. Wegen
folgt
,
|
|
und hieraus entnehmen wir leicht, daß die Funktionen
sämtlich durch
teilbar sein müssen. Setzen wir
|
|
und
|
|
so daß
ein Ideal in
und
eine ganze oder gebrochene Zahl in
ist, so wird
. Das Ideal
bestimmt daher eine ambige Klasse
. Diese Klasse ist nicht in der Gestalt
darstellbar, wo
eine Potenz der Klasse
,
eine Klasse mit einem ambigen Ideal und
eine Klasse mit Idealen in
bedeutet. In der Tat, eine solche Darstellung der Klasse
hätte für das Ideal
eine Darstellung
zur Folge, wo
eine Zahl in
, ferner
ein ambiges Ideal und
ein Ideal in
bedeuten soll; dann aber wäre
, d. h
, wo
eine Einheit in
ist. Durch Bildung der Relativnorm ergäbe sich nunmehr
, und das Vorhandensein einer solchen Relation haben wir oben ausgeschlossen.
Bei der gegenwärtigen Annahme
muß jede Einheit
in
, welche die Relativnorm einer Zahl in
ist, in der Gestalt
darstellbar sein, so daß
,
ganze rationale Exponenten sind und
die Relativnorm einer Einheit in
bedeutet. Indem wir diesen Umstand berücksichtigen, können wir durch ähnliche Überlegungen, wie im vorigen Falle
, zeigen, daß überhaupt jede vorhandene ambige Klasse
in der Gestalt
sich darstellen läßt, wo
,
die eben bestimmten ambigen Klassen sind und
eine Klasse mit ambigem Ideal,
eine Klasse mit Idealen in
ist. Daraus geht dann hervor, daß der Grad der aus allen ambigen Klassen bestehenden Klassenschar genau
beträgt, wie es der Satz 159 für den Fall
aussagt.
Durch Fortsetzung der eingeleiteten Schlußweise erhalten wir den vollständigen Beweis des Satzes 159.
§ 149. Das Charakterensystem einer Zahl und eines Ideals im regulären Kummerschen Körper.
Es handelt sich nun darum, diejenige Einteilung der Idealklassen eines aus dem regulären Kreiskörper
entspringenden Kummerschen Körpers
zu erörtern, welche der Einteilung der Klassen eines quadratischen Körpers in Geschlechter entspricht. Wir bezeichnen die verschiedenen in der Relativdiskriminante des Körpers
aufgehenden Primideale des Körpers
, deren Anzahl
sei, mit
. Zu einer beliebigen ganzen Zahl
in
gehören dann bestimmte Werte der
einzelnen Symbole
|
(139)
|
diese Symbole bedeuten
-te Einheitswurzeln gemäß ihrer Definition in § 131. Diese
Einheitswurzeln (139) sollen das Charakterensystem der Zahl
im Kummerschen Körper
heißen. Um auch einem jeden Ideal
des Kummerschen Körpers
in bestimmter Weise ein Charakterensystem zuzuordnen, bilden wir die Relativnorm
. Ferner bezeichnen wir mit
die Anzahl der Idealklassen in
und bestimmen eine ganze rationale positive Zahl
derart, daß
nach
wird. Dann ist
sicher ein Hauptideal in
; wir setzen
, wo
eine ganze Zahl in
sein soll. Nunmehr verstehen wir unter
eine Einheit in
. Haben dann für jede beliebige Einheit
alle
Symbole
|
|
durchweg den Wert
, so setzen wir
und bezeichnen die
Einheitswurzeln
|
|
als das Charakterensystem des Ideals
; dasselbe ist dann durch das Ideal
völlig eindeutig bestimmt.
Es sei andererseits eine spezielle Einheit
in
vorhanden, für welche wenigstens eines der
Symbole
|
|
von
verschieden ausfällt; dann können wir, ohne damit eine Beschränkung einzuführen, annehmen, es sei etwa
. Wir betrachten nun alle diejenigen Einheiten
in
, für welche
wird. Es sei unter diesen weiter eine solche Einheit
vorhanden, für welche wenigstens eines der
Symbole
|
|
von
verschieden ausfällt; dann können wir annehmen, es sei etwa
. Wir betrachten nunmehr alle diejenigen Einheiten
, für welche sowohl
als auch
wird, und sehen nach, ob unter diesen eine Einheit
vorhanden ist, für welche wenigstens eines der
Symbole
|
|
von
verschieden ausfällt. Fahren wir in der geeigneten Weise fort, so erhalten wir schließlich eine gewisse Anzahl
und dazu ein System von
Einheiten
des Körpers
von der Art, daß bei geeigneter Anordnung der Primideale
die Gleichungen
|
(140)
|
gelten, und daß außerdem für eine jede solche Einheit
, die den
Gleichungen
|
|
genügt, notwendig auch die
Symbole
|
|
sämtlich den Wert
besitzen.
Wir multiplizieren nunmehr die vorhin aus dem Ideal
gebildete Zahl
des Körpers
derart mit Potenzen der Einheiten
, daß das entstehende Produkt
den Gleichungen
|
|
genügt; dann bezeichne ich die
Einheiten
|
|
als das Charakterensystem des Ideals
. Dasselbe ist durch das Ideal
völlig eindeutig bestimmt. In § 151 wird gezeigt werden, daß stets
und mithin
wird.
§ 150. Das Charakterensystem einer Idealklasse und der Begriff des Geschlechtes.
Mit Rücksicht auf den Satz 151 und die dazu auf S. 274 angefügten Bemerkungen erkennen wir sofort die Tatsache:
Satz 160. Die Ideale ein und derselben Klasse eines regulären Kummerschen Körpers besitzen sämtlich dasselbe Charakterensystem. Auf diese Weise ist überhaupt einer jeden Idealklasse ein bestimmtes Charakterensystem zuzuordnen. Wir rechnen, ähnlich wie es in § 66 für den quadratischen Körper geschehen ist, alle diejenigen Idealklassen, welche ein und dasselbe Charakterensystem besitzen, in ein Geschlecht und definieren insbesondere das Hauptgeschlecht als die Gesamtheit aller derjenigen Klassen, deren Charakterensystem aus lauter Einheiten
besteht. Da das Charakterensystem der Hauptklasse offenbar von der letzteren Eigenschaft ist, so gehört insbesondere die Hauptklasse stets zum Hauptgeschlecht. Aus der ersten Formel in (80) und in (83) auf S. 265 und S. 266 entnehmen wir leicht die folgenden Tatsachen: Wenn
und
zwei beliebige Geschlechter sind und jede Klasse in
mit jeder Klasse in
multipliziert wird, so bilden sämtliche solche Produkte wiederum ein Geschlecht; dieses werde das Produkt der Geschlechter
und
genannt. Das Charakterensystem desselben erhalten wir durch Multiplikation der entsprechenden Charaktere der beiden Geschlechter
und
.
Aus der eben aufgestellten Definition der Geschlechter leuchtet ferner ein, daß die zu einer Klasse
relativ konjugierten Klassen
zu demselben Geschlechte wie
selbst gehören, und hieraus folgt, daß die
-te symbolische Potenz
einer jeden Klasse
stets zum Hauptgeschlecht gehört. Endlich ist offenbar, daß jedes Geschlecht des Kummerschen Körpers gleichviel Klassen enthält.
§ 151. Obere Grenze für den Grad der aus sämtlichen ambigen Klassen bestehenden Klassenschar.
Es entsteht, entsprechend wie in der Theorie des quadratischen Körpers, die wichtige Frage, ob ein System von
beliebig vorgelegten
-ten Einheitswurzeln stets das Charakterensystem für ein Geschlecht des Kummerschen Körpers sein kann. Diese Frage findet erst in Kapitel 34 ihre vollständige Erledigung. In diesem und in den nächsten Paragraphen werden lediglich einige für das Spätere notwendige Hilfssätze bewiesen.
Hilfssatz 33. Wenn
und
die Bedeutung wie in Satz 159 haben und
die Anzahl der Charaktere ist, welche das Geschlecht einer Klasse des Kummerschen Körpers bestimmen, so ist stets
.
|
|
Beweis. Es seien
, diejenigen besonderen
Einheiten des Körpers
, welche in § 149 eingeführt worden sind. Es ist dann
. Ferner mögen
eine Basis für diejenige Einheitenschar in
bilden, welche aus allen Einheiten in
besteht, die Relativnormen von Zahlen in
sind. Wir nehmen nun an, es gäbe zwischen den
Einheiten
eine Relation von der Gestalt
,
|
(141)
|
so daß die Exponenten
ganze rationale, nicht sämtlich durch
teilbare Zahlen sind und
eine geeignete Einheit in
vorstellt; dann müßte für
stets
|
|
ausfallen, und wenn wir berücksichtigen, daß die Einheiten
sämtlich Relativnormen von Zahlen in
sind und daher stets
für
und
sein muß, so ergibt sich auch
|
|
für
. Wegen der Formeln (140) für die Einheiten
, ist dies nur möglich, wenn die Exponenten
, sämtlich durch
teilbar sind, und die Relation (141) würde somit die Gestalt
|
|
annehmen, wo
wiederum eine Einheit in
bedeutet. Das Bestehen einer solchen Relation ist aber, da
die Basis einer Einheitenschar in
bilden, nur möglich, falls die Exponenten
sämtlich durch
teilbar sind. Daraus folgt, daß eine Relation von der Gestalt (141), wie wir sie annahmen, nicht statthaben kann, d. h. die Einheiten
bilden eine Basis einer Einheitenschar; es ist der Grad dieser Einheitenschar
, und da der Grad einer Einheitenschar höchstens
sein kann, so haben wir
; hiermit deckt sich die Aussage des Hilfssatzes 33. Da
ist, so folgt insbesondere, daß stets
, also
ausfällt.
§ 152. Die Komplexe des regulären Kummerschen Körpers.
Es sei
die Anzahl der Idealklassen des regulären Kreiskörpers
: dann gibt es in dem Kummerschen Körper
genau
voneinander verschiedene Idealklassen, welche unter ihren Idealen Ideale des Kreiskörpers
enthalten. In der Tat, jede Klasse in
liefert offenbar eine Klasse in
von der fraglichen Art; würden nun zwei verschiedene Klassen
in
Ideale enthalten, die in
einander äquivalent sind, so würde ein Ideal
in
aus der Klasse
stets zu einem Hauptideal im Körper
werden müssen. Nach Satz 153 wäre dann aber
auch ein Hauptideal in
, und dies ist gegen die Annahme
.
Ist nun
eine beliebige Klasse in
und sind
diejenigen
Klassen in
, welche Ideale in
enthalten, so nenne ich das System der
Klassen
einen Komplex. Der Komplex, welcher aus den
Klassen
besteht, heiße der Hauptkomplex und werde mit
bezeichnet. Die
Klassen eines beliebigen Komplexes
gehören offenbar sämtlich zu dem nämlichen Geschlecht; ich bezeichne dieses Geschlecht als das Geschlecht des Komplexes
.
Wenn eine Klasse eines Komplexes
ambig ist, so sind sämtliche Klassen dieses Komplexes ambig; den Komplex
nenne ich dann einen ambigen Komplex.
Wenn
und
zwei ambige Komplexe sind und jede Klasse in
mit jeder Klasse in
multipliziert wird, so bilden sämtliche solche Produkte wiederum einen Komplex; dieser werde das Produkt der Komplexe
genannt und mit
bezeichnet. Wenn
eine Klasse in
ist, so werde derjenige Komplex, zu welchem die relativ konjugierte Klasse
gehört, mit
bezeichnet; ferner nenne ich denjenigen Komplex
, der nach der Multiplikation mit
den Komplex
ergibt, die symbolische
-te Potenz des Komplexes
und bezeichne ihn mit
.
Wenn insbesondere die symbolische
-te Potenz eines Komplexes
den Hauptkomplex
liefert, so ist
ein ambiger Komplex. In der Tat, wenn
eine Klasse in
ist, so folgt aus
offenbar
, wo
eine der
Idealklassen
ist. Bilden wir auf beiden Seiten der letzten Gleichung die Relativnorm, so erhalten wir
, und da andererseits auch
ist, so folgt
, d. h.
; mithin ist
eine ambige Klasse und daher
ein ambiger Komplex.
§ 153. Obere Grenze für die Anzahl der Geschlechter in einem regulären Kummerschen Körper.
Hilfssatz 34. Wenn
und
die Bedeutung wie in Satz 159 haben und
die Anzahl der Geschlechter des regulären Kummerschen Körpers
bezeichnet, so fällt stets
aus.
Beweis. Wenn
die Anzahl der Geschlechter in dem Kummerschen Körper
ist, so zerfallen, wie man unmittelbar aus der Definition des Geschlechtes eines Komplexes ersieht, auch die Komplexe genau in
Geschlechter. Bezeichnen wir daher mit
die Anzahl der Komplexe vom Hauptgeschlecht, so ist die Anzahl, aller überhaupt vorhandenen Komplexe, welche
heiße, genau
.
Wir wollen nun die Anzahl
der ambigen Komplexe ermitteln. Zu dem Zwecke bedenken wir, daß nach Satz 159 der Grad der aus allen ambigen Klassen bestehenden Klassenschar gleich
ist. Es sei
eine Basis dieser Klassenschar, dann stellt der Ausdruck
,
|
|
wenn die Exponenten
unabhängig voneinander die Werte
durchlaufen, lauter ambige Klassen dar, welche in verschiedenen Komplexen liegen, und es werden somit durch diese Klassen genau
Komplexe bestimmt. Jede vorhandene ambige Klasse
ist in der Gestalt
|
|
darstellbar, wo
ganze rationale Exponenten sind und
eine Klasse in
bedeutet. Berücksichtigen wir nun, daß die
-ten Potenzen der ambigen Klassen
Klassen sind, welche Ideale des Körpers
enthalten, so folgt, daß
notwendig einem der oben bestimmten
Komplexe angehören muß, und mithin ist die gesuchte Anzahl
Aus den Definitionen in § 150 und § 152 geht unmittelbar hervor, daß die symbolische
-te Potenz eines beliebigen Komplexes stets ein Komplex des Hauptgeschlechtes ist. Wir fassen nun diejenigen Komplexe des Hauptgeschlechtes ins Auge, welche
-te symbolische Potenzen von Komplexen sind; ihre Anzahl sei
; wir bezeichnen sie mit
, und wir mögen
haben, wo
, gewisse Komplexe bedeuten. Ist jetzt
ein beliebiger Komplex, so ist
notwendig ein bestimmter der
Komplexe
; es sei etwa
. Dann folgt
, d. h.
, und somit ist
ein bestimmter ambiger Komplex
; es wird
, und folglich stellt der Ausdruck
alle Komplexe dar, sobald
alle ambigen Komplexe und
die
Komplexe
, durchläuft. Auch ist klar, daß diese Darstellung für jeden Komplex nur auf eine Weise möglich ist; es ist daher die Anzahl aller überhaupt vorhandenen Komplexe
. Die Zusammenstellung dieser Gleichung mit der vorhin gefundenen
liefert
und wegen
folgt hieraus
d. h.
und hiermit ist der Hilfssatz 34 bewiesen.
Aus den beiden Hilfssätzen 33 und 34 folgt sofort die weitere Tatsache:
Hilfssatz 35. Wenn in einem regulären Kummerschen Körper
die Anzahl der Charaktere ist, welche das Geschlecht einer Klasse bestimmen, so ist die Anzahl der Geschlechter jenes Körpers