31. Der reguläre Kreiskörper.
§ 136. Die Definition des regulären Kreiskörpers, der regulären Primzahl und des regulären Kummerschen Körpers.
Es bedeute
eine ungerade Primzahl und
den durch
bestimmten Kreiskörper: dieser Kreiskörper
heiße ein regulärer Kreiskörper und die Primzahl
eine reguläre Primzahl, wenn die Anzahl
der Idealklassen des Körpers
nicht durch
teilbar ist. Die weiteren Kapitel werden lediglich von regulären Kreiskörpern und von solchen Kummerschen Körpern handeln, welche aus regulären Kreiskörpem entspringen, und die ich daher reguläre Kummersche Körper nennen will; für dieselben können wir sofort folgende einfache Tatsache beweisen:
Satz 153. Es sei
ein regulärer Kreiskörper und
ein aus
entspringender Kummerscher Körper: wenn dann ein Ideal
des Körpers
in dem Körper
Hauptideal ist, so ist das Ideal
auch in dem Kreiskörper
selbst ein Hauptideal.
Beweis. Setzen wir
, wo
eine ganze Zahl in
bedeutet, so folgt, indem wir die Relativnorm bilden
, d. h. es gilt in
die Äquivalenz
. Andererseits ist auch
, wobei
die Klassenanzahl von
bedeutet. Bestimmen wir nun zwei ganze rationale positive Zahlen
und
, so daß
wird, so folgt
, d. h. es ist
in
ein Hauptideal.
Es entsteht weiter die Aufgabe, ein Kriterium zu finden, durch welches sich auf leichte Weise ermitteln läßt, ob eine Primzahl
regulär ist. Es sollen zunächst zwei Hilfssätze entwickelt werden, die zu einem solchen Kriterium führen.
§ 137.
Ein Hilfssatz über die Teilbarkeit des ersten Faktors der Klassenanzahl von
durch
.
Hilfssatz 28. Ist
eine ungerade Primzahl und
der Kreiskörper der
-ten Einheitswurzeln, so ist der erste Faktor der Klassenanzahl von
dann und nur dann durch
teilbar, wenn
im Zähler einer der ersten
Bernoullischen Zahlen aufgeht [Kummer (8), Kronecker (5)].
Beweis. In Satz 142 ist die Klassenanzahl
des Körpers
als Produkt von zwei Faktoren dargestellt; wir betrachten den dort angegebenen Ausdruck für den ersten Faktor dieser Klassenanzahl. Zur Abkürzung werde
gesetzt; ferner denken wir uns die zugrunde gelegte Primitivzahl
nach
speziell derart angenommen, daß
nur durch die erste Potenz von
teilbar ist. Es sei endlich, wie in § 108 und § 109, allgemein
der kleinste positive Rest von
nach
und
.
Der erste Faktor der Klassenanzahl
stellt sich in Satz 142 als ein Bruch dar, dessen Nenner den Wert
hat, und dessen Zähler von der Gestalt
|
(105)
|
ist, wo zur Abkürzung
die ganzzahlige Funktion
|
|
bezeichnet. Wird ferner
|
|
gesetzt, so ergibt sich leicht
,
|
|
und da infolge der Wahl von
das Produkt
|
|
genau durch die erste Potenz von
teilbar ist, so folgt, daß der Zähler (105) des ersten Faktors von
nur dann durch
teilbar ist, wenn die Zahl
|
|
durch
teilbar ist. Nun ist
ein in
aufgehendes Primideal des Körpers
, und da offenbar
nach
ausfällt, so ist
, ;
|
|
folglich ist der erste Faktor der Klassenanzahl
nur dann durch
teilbar, wenn mindestens eine der
Kongruenzen
|
|
erfüllt ist.
Es bedeute nun
eine der Zahlen
,
,
, …,
. Erheben wir dann die Identität
|
|
in die
-te Potenz und bedenken, daß
durch
teilbar ist, so ergibt sich die Kongruenz
,
|
|
oder
,
|
|
und da offenbar
,
|
|
ist, so folgt
, .
|
|
Diese allgemeine Kongruenz ergibt bei Summation über die Werte
, .
|
|
Da nun
|
|
ist, so folgt, daß die Zahl
![{\displaystyle g(r^{2t-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6d451173f3eff9d801c8a1c0b828070c8988fea)
dann und nur dann durch
![{\displaystyle l}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac)
teilbar ist, wenn die Zahl
|
(106)
|
durch
teilbar ist. Wegen der über die Primitivzahl
gemachten Annahme ist nun der Ausdruck (106) für
sicher nicht durch
teilbar. Für
gilt auf Grund der Bernoullischen Summenformel jedesmal die Kongruenz
, ,
|
|
wo
die
-te Bernoullische Zahl bedeutet, und somit erkennen wir, daß die Teilbarkeit wenigstens einer der Zahlen (106) für
|
|
durch
mit der Teilbarkeit wenigstens eines der Zähler der
ersten Bernoullischen Zahlen durch
gleichbedeutend ist. Der Beweis des Hilfssatzes 28 ist dadurch erbracht.
Hilfssatz 29. Wenn
eine ungerade Primzahl bedeutet, welche in den Zählern der ersten
Bernoullischen Zahlen nicht aufgeht, so läßt sich aus den Kreiseinheiten des Körpers
der
-ten Einheitswurzeln stets durch Bildung geeigneter Produkte und Quotienten ein System von solchen
Einheiten
, …,
ableiten, für welche
Kongruenzen von der Gestalt
|
(107)
|
gelten, wo
,
, …,
, ganze rationale, durch
nicht teilbare Zahlen bedeuten; dabei ist
gesetzt [Kummer (12[1])].
Beweis. Wir gehen aus von der Kreiseinheit (vgl. § 98)
,
|
(108)
|
wo
eine Primitivzahl nach
bezeichnet. Wir setzen dann
und
|
(109)
|
für
![{\displaystyle t=1,2,3,\ldots ,l^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f3b6615e43ad9ccbcd9fcb5698765e3fd4110fe)
, wo
![{\displaystyle s=(\zeta :\zeta ^{r})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f38f788b89c564826f6d2f14072fb0f7a321fcc4)
im Exponenten symbolisch zu verstehen ist.
Die Einheit
ist als
-te Potenz einer ganzen Zahl in
notwendig
nach
, und das gleiche gilt dann auch von jeder der Einheiten
. Wir denken uns nun allgemein bei jedem Werte
die zur Einheit
gehörende Funktion
gemäß § 131 gebildet; dann gelten für die rationalen Zahlen
, ,
|
|
d. h. für die Werte der ersten
Differentialquotienten des Logarithmus von
an der Stelle
, die Kongruenzen:
|
(110)
|
Um dies zu beweisen, bedenken wir, daß nach den Formeln S. 266 oben bei der Berechnung der ersten
Differentialquotienten
,
|
|
in bezug auf die Zahl
an Stelle der zu
gehörenden Funktion direkt die folgende ganze Funktion
|
|
genommen werden darf. Nun gilt bekanntlich die Entwicklung
,
|
|
wo
,
,
, … die Bernoullischen Zahlen bedeuten. Mit Benutzung dieser unendlichen Reihe folgt
|
(111)
|
Von derselben Verwendbarkeit wie
in bezug auf die Zahl
ist die Funktion
in bezug auf die Zahl
,
in bezug auf
usf. Ersetzen wir dann nach Entwicklung des Ausdrucks (109) von
darin
,
,
, … durch
,
,
, … so entsteht eine Funktion
, welche nach den Ausführungen auf S. 266 bei Bildung von
,
, …,
die Stelle der Funktion
vertreten kann. Aus (111) ergibt sich
|
|
wo
![{\displaystyle C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029)
,
![{\displaystyle C_{l-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7168a43e5d4e93148dcefb86e912a53fae4c6b34)
,
![{\displaystyle C_{l+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/843a4d0d0c11394607c9cab1d6843a4b69ac27d8)
, … gewisse Konstanten bedeuten. Das ausführlich geschriebene Produkt in dem Koeffizienten von
![{\displaystyle v^{2t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9634bfe3300532da73a1f5d510cf711be3c19d66)
ist
,
|
|
und die hier zu differentiierende Funktion ist
nach
. Aus dieser Entwicklung folgt nun unmittelbar die Richtigkeit der Kongruenzen (110).
Da nach Voraussetzung die Zähler der ersten
Bernoullischen Zahlen
, …,
nicht durch
teilbar sein sollen, so sind nach (110) die
Differentialquotienten
für
sämtlich der Null inkongruent nach
. Aus dem letzteren Umstande schließen wir zunächst, daß keine der Einheiten
, …,
nach
der Zahl
kongruent ausfällt. Setzen wir daher
|
(112)
|
mit solchen Exponenten
, …,
, daß dabei
, …,
ganze rationale, nicht durch
teilbare Zahlen bedeuten, so sind diese Exponenten
, …,
, sämtlich
. Nun erhält man aus den Kongruenzen (112), da die Entwicklung eines Ausdruckes
nach Potenzen von
mit dem Gliede
beginnt, für die Einheit
die Kongruenzen
|
|
und da
nicht durch
teilbar sein soll, so ergibt sich mit Rücksicht auf die vorhin bemerkte Folgerung aus den Kongruenzen (110)
, womit der Hilfssatz 29 bewiesen ist.
§ 139. Ein Kriterium für die regulären Primzahlen.
Der folgende Satz liefert ein einfaches Kriterium für die regulären Primzahlen
:
Satz 154. Eine ungerade Primzahl
ist dann und nur dann regulär, wenn sie in den Zählern der ersten
Bernoullischen Zahlen nicht aufgeht [Kummer (8[2])].
Beweis. Der Hilfssatz 28 zeigt, daß, wenn
im Zähler wenigstens einer der ersten
Bernoullischen Zahlen aufgeht, die Klassenanzahl
des Körpers
jedenfalls durch
teilbar ist. Sind hingegen die Zähler der ersten
Bernoullischen Zahlen sämtlich zu
prim, so zeigt der nämliche Hilfssatz 28, daß der erste Faktor der Klassenanzahl zu
prim ist. Es bedarf also nur noch des Nachweises, daß auch der zweite Faktor der Klassenanzahl
nicht durch
teilbar ist, wenn die Zähler der ersten
Bernoullischen Zahlen sämtlich zu
prim sind. Diesen Nachweis führen wir in folgender Weise:
Es sei
, …,
ein System von reellen
Grundeinheiten des Körpers
, wie ein solches nach Satz 127 stets existiert; dann können wir setzen:
|
(113)
|
für
, wo die Exponenten
,
,…,
ganze rationale Zahlen sind und
die in Formel (108) definierte Kreiseinheit bedeutet. Aus (113) erhalten wir:
|
(114)
|
für
, wo unter den Logarithmen deren reelle Werte verstanden werden sollen. Andererseits bringen die Definitionsgleichungen (109) der Einheiten
, …,
ein Gleichungssystem von der Gestalt
,
|
(115)
|
mit sich. Von demselben gehen wir zu den Gleichungen
|
(116)
|
|
|
über, wo für die Logarithmen wieder die reellen Werte eintreten sollen, und vermöge (114) wird hieraus
,
|
(117)
|
|
|
wo
,
, …,
die bekannten bilinearen Verbindungen der
ganzen rationalen Zahlen
,
, …,
;
,
, …,
bedeuten. Aus den Gleichungssystemen (113) und (115) entspringen jedesmal
weitere Gleichungssysteme, wenn wir auf die darin vorkommenden Einheiten die Substitutionen
,
, …,
anwenden. Indem wir dann wieder die betreffenden Logarithmen nehmen, erhalten wir diejenigen Gleichungssysteme, die aus den Gleichungssystemen (114), (116) und (117) hervorgehen, wenn man auf die darin vorkommenden Einheiten der Reihe nach durchgehends die Substitution
, bez.
, …, bez.
anwendet.
Setzen wir nun
,
,
,
|
|
so ergibt eine Anwendung des Multiplikationssatzes der Determinanten
.
|
(118)
|
Die rechts stehende Determinante ist eine ganze rationale und überdies eine zu
prime Zahl. Wäre nämlich diese Determinante durch
teilbar, so würde man imstande sein,
ganze rationale Zahlen
, …,
zu finden, die nicht sämtlich durch
teilbar sind, während die aus ihnen gebildeten Ausdrücke
,
|
|
sämtlich durch
teilbar ausfallen. Durch Berücksichtigung dieses zweiten Umstandes ergibt sich aus (117) eine Gleichung von der Gestalt
,
|
|
in welcher
eine gewisse positive Einheit des Körpers
bezeichnet. Setzen wir beide Seiten in den Exponenten von
, so haben wir
.
|
(119)
|
Es ist nun das Bestehen einer solchen Gleichung (119) unmöglich. Denn es würde zunächst
nach
folgen; denken wir uns die zu
gehörende Funktion
eingeführt und betrachten wir die Werte der ersten
Differentialquotienten von
an der Stelle
, so würden aus (119) unter Verwendung von (110) die Kongruenzen
, ,
|
|
folgen. Es sollen aber die Bernoullischen Zahlen
,
, …,
sämtlich zu
prim und andererseits die Zahlen
…,
nicht sämtlich kongruent
nach
sein; wir erhalten damit einen Widerspruch.
Hiernach ist die Determinante rechts in (118) nicht durch
teilbar. Da andererseits ihre Faktoren
und
beide ebenfalls als ganze Zahlen erscheinen und
den zweiten Faktor der Klassenanzahl
darstellt, so ist auch der zweite Faktor der Klassenanzahl nicht durch
teilbar. Damit ist der Beweis des Satzes 154 vollständig erbracht.
Auf Grund des Satzes 154 findet sich aus den Werten der ersten 47 Bernoullischen Zahlen, daß außer den drei Primzahlen 37, 59, 67 die unterhalb 100 liegenden Primzahlen sämtlich regulär sind. Wie sich ferner durch Rechnung findet, sind die Klassenanzahlen
der Kreiskörper
für
nur durch die erste und nicht durch eine höhere Potenz von
teilbar [Kummer (11, 26)].
§ 140. Ein besonderes System von unabhängigen Einheiten im regulären Kreiskörper.
Wir haben in § 139 die Mittel zur Aufstellung eines Systems von Einheiten des regulären Kreiskörpers gewonnen, welches für die weiteren Entwicklungen von Nutzen sein wird.
Satz 155. Ist
eine reguläre Primzahl, so gibt es im Kreiskörper der
-ten Einheitswurzeln stets ein System von
unabhängigen Einheiten
, …,
von der Art, daß für dieselben die Kongruenzen
|
|
erfüllt sind; dabei ist
,
gesetzt.
Beweis. Da der Kreiskörper
regulär sein soll, so sind in Anbetracht von Satz 154 die Zähler der ersten
Bernoullischen Zahlen sämtlich zu
prim, und folglich gibt es nach Hilfssatz 29
Einheiten
, …,
, welche die in (107) ausgedrückten Kongruenzeigenschaften besitzen. Da dort die Koeffizienten
, …,
sämtlich zu
prim sind, so können wir
ganze rationale Zahlen
, …,
, bestimmen derart, daß
,
|
|
wird. Setzen wir dann
,
|
|
so erfüllen diese Einheiten
, …,
jedenfalls die in Satz 155 geforderten Kongruenzbedingungen.
Ferner bilden
, …,
ein System voneinander unabhängiger Einheiten, weil die in § 138 bestimmten Einheiten
, …,
ein solches waren. Um letzteres einzusehen, nehmen wir im Gegenteil an, daß eine Gleichung von der Gestalt
|
(120)
|
bestehe, wo die Exponenten
, …,
ganze rationale, nicht sämtlich verschwindende Zahlen sind; dann können wir weiter die Annahme machen, daß diese Exponenten
, …,
, nicht sämtlich durch
teilbar seien, da im entgegengesetzten Falle offenbar sofort
|
|
folgen würde. Unter der Annahme, daß in (120) die Exponenten
![{\displaystyle e_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e81caf3d4bcb929315801cbabc83543829484ee)
, …,
![{\displaystyle e_{l^{*}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c482dc2ef2ef2966cb93ca8f0bb8cb592e376f6)
nicht sämtlich durch
![{\displaystyle l}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac)
teilbar sind, ist aber (120) von der Gestalt der Gleichung (119), und daß eine solche Gleichung unmöglich ist, haben wir bereits in § 139 erkannt.
§ 141. Eine charakteristische Eigenschaft für die Einheiten eines regulären Kreiskörpers.
Satz 156. Wenn
eine reguläre Primzahl bedeutet und im Körper
der
-ten Einheitswurzeln eine solche Einheit
vorliegt, welche einer ganzen rationalen Zahl nach
kongruent ist, so ist sie notwendig die
-te Potenz einer Einheit dieses Kreiskörpers [Kummer (8[2])].
Beweis. Wir denken uns ein System von Einheiten
, …,
gemäß Satz 155 bestimmt; da dieselben ein System unabhängiger Einheiten bilden, so gibt es ganze rationale, nicht sämtlich verschwindende Exponenten
,
, …,
, so daß
|
(121)
|
wird, und wir können, wie sich sofort zeigt, noch annehmen, daß
,
, …,
nicht sämtlich durch
teilbar sind. Wäre dann
durch
teilbar, so hätte die Gleichung (121) die Gestalt (119), und daß eine Gleichung von dieser Gestalt nicht statthaben kann, haben wir bereits erkannt. Wäre andererseits
nicht durch
teilbar, so würde jedenfalls
nach
und also
nach
sein; wir bilden dann für beide Seiten der Gleichung (121) die logarithmischen Differentialquotienten der zu ihnen gehörenden Funktionen. Da wegen
nach
die Zahlen
für
sämtlich kongruent
nach
sind, so folgt, wenn wir dies insbesondere für
in Anwendung bringen und die Werte der Zahlen
, …,
in Rücksicht auf (110) einsetzen, der Reihe nach
, …,
nach
; es wird dann also
, wo
eine gewisse Einheit des Kreiskörpers bedeutet, während
nach Voraussetzung eine nicht durch
teilbare ganze rationale Zahl ist. Bestimmen wir nun zwei ganze rationale Zahlen
und
, so daß
wird, so folgt
,
|
|
und hiermit ist der Beweis des Satzes 156 vollständig erbracht.
Ein wesentlich hiervon verschiedener Beweis des Satzes 156 beruht auf folgender Überlegung. Wäre
nicht die
-te Potenz einer Einheit in
, so könnte auch die Einheit
nicht die
-te Potenz einer Einheit sein, wie leicht aus dem Umstande ersichtlich ist, daß
und
zwei ganzzahlige Funktionen von
sind, die im Sinne der Kongruenz nach
keinen gemeinsamen Faktor haben. Nun wird aber, wenn wir
kongruent einer ganzen rationalen Zahl nach
annehmen,
nach
, und hieraus würde nach dem zweiten Teile von Satz 148 folgen, daß der Kummersche Körper
die Relativdiskriminante
in bezug auf
besitzt. Da ferner dieser Kummersche Körper relativ-Abelsch vom Relativgrade
in bezug auf
ist, so würde endlich aus Satz 94 folgen, daß die Anzahl der Idealklassen des Kreiskörpers
durch
teilbar sein müßte, was der Annahme, daß
ein regulärer Kreiskörper ist, widerspräche.
§ 142. Der Begriff der primären Zahl im regulären Kreiskörper.
Eine ganze Zahl
des regulären Kreiskörpers
heißt primär, wenn sie erstens semiprimär ist (s. S. 230), und wenn sie zweitens die Eigenschaft besitzt, daß ihr Produkt mit der konjugiert imaginären Zahl, also mit
, einer ganzen rationalen Zahl nach
kongruent wird. Eine primäre Zahl ist also stets zu
prim und hat die Kongruenzen
so zu erfüllen, daß
und
ganze rationale Zahlen sind [Kummer (12[1])]. Es gilt die Tatsache:
Satz 157. In einem regulären Kreiskörper
kann eine beliebige zu
prime ganze Zahl
stets durch Multiplikation mit einer Einheit in eine primäre Zahl verwandelt werden [Kummer (12[1])].
Beweis. Bilden wir aus
die Zahl
, so ist dieselbe offenbar eine Zahl in dem Unterkörper vom Grade
des Körpers
und genügt daher einer Kongruenz
nach
, wo
eine ganze rationale, nicht durch
teilbare Zahl bedeutet. Es seien
,
, …,
die
in § 140 bestimmten Einheiten. Ist nun etwa
nach
, wo
eine ganze rationale Zahl bedeute, so bestimme man eine ganze rationale Zahl
so, daß
nach
wird; dann ist notwendig
, .
|
|
Ist ferner etwa
nach
, wo
wieder eine ganze rationale Zahl bedeute, so bestimme man eine ganze rationale Zahl
derart, daß
nach
wird; dann ist
,
|
|
Fahren wir in der begonnenen Weise fort und setzen am Ende
,
|
|
so wird
nach
. Ist andererseits
eine solche Potenz von
, daß
semiprimär wird, so ist offenbar
eine primäre Zahl.
Eine reelle primäre Zahl ist stets einer ganzen rationalen Zahl nach
kongruent. Aus Satz 156 folgt leicht, daß eine primäre Einheit in
stets die
-te Potenz einer Einheit in
ist.
Wir erörtern noch kurz einen Hilfssatz über primäre Zahlen, welcher uns später von Nutzen sein wird.
Hilfssatz 30. Wenn
zwei primäre Zahlen des regulären Kreiskörpers
sind, so ist stets
|
|
Beweis. Wir dürfen annehmen, daß die Zahlen
beide
nach
ausfallen, da sonst ihre
-ten Potenzen sicher dieser Bedingung genügen und wir mit Rücksicht auf
(vgl. S. 266) diese an Stelle der Zahlen
selbst betrachten können. Nach (83) ist
|
|
und da bei unserer Annahme
nach
und
nach
ausfällt, so folgt aus der allgemeinen Definition (82) des Symbols
in § 131 unmittelbar
und daher wird
|
|
Entsprechend beweisen wir, daß
|
|
ist. Aus Formel (84) ergibt sich ferner:
|
|
Die drei letzten Gleichungen zusammengenommen liefern:
|
|
und damit ist der Hilfssatz 30 bewiesen.