David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 7.12

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David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie (1932) von David Hilbert 7.12 Die Beziehung der arithmetischen zu algebraischen Eigenschaften des Galoisschen Körpers.

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12. Die Beziehungen der arithmetischen zu algebraischen Eigenschaften des Galoisschen Körpers.

§ 48. Der relativ-Galoissche, der relativ-Abelsche und der relativ-zyklische Körper.

Ist die Gruppe $G$ der Substitutionen $s_{1}$, …, $s_{M}$ eines Galoisschen Körpers $K$ eine Abelsche Gruppe, d. h. sind die Substitutionen $s_{1}$, …‚ $s_{M}$ untereinander vertauschbar, so heißt der Galoissche Körper $K$ ein Abelscher Körper. Ist jene Substitutionsgruppe $G$ insbesondere eine zyklische, d. h. sind die $M$ Substitutionen $s_{1}$, …, $s_{M}$ sämtlich als Potenzen einer einzigen unter ihnen darstellbar, so heißt der Abelsche Körper $K$ ein zyklischer Körper.

Wenn Wir die nämliche Betrachtung, welche in § 28 für die Idealklassen angestellt worden ist, auf die Substitutionen der Gruppe eines Abelschen Körpers anwenden, so ergibt sich der Satz, daß jeder Abelsche Körper aus zyklischen Körpern zusammengesetzt werden kann. Die zyklischen Körper ihrerseits lassen sich ferner stets aus solchen besonderen zyklischen Körpern zusammensetzen, deren Grade Primzahlen oder Primzahlpotenzen sind.

Die in Rede stehenden Begriffe lassen folgende Verallgemeinerung zu:

Es sei $\Theta$ die Wurzel einer Gleichung $l$—ten Grades:

$\Theta ^{l}+\alpha _{1}\Theta ^{l-1}+\dots +\alpha _{l}=0$,

deren Koeffizienten $\alpha _{1}$, …‚ $\alpha _{l}$ Zahlen eines Körpers $k$ vom $m$-ten Grade sind. Diese Gleichung $l$-ten Grades sei überdies im Rationalitätsbereiche $k$ irreduzibel und von der besonderen Eigenschaft, daß alle übrigen $l-1$ Wurzeln $\Theta '$, …, $\Theta ^{(l-1)}$ derselben sich als ganze rationale Funktionen der Wurzel $\Theta$ darstellen lassen, wobei die Koeffizienten dieser Funktionen Zahlen des Körpers $k$ sind. Unter dieser Voraussetzung heißt der aus $\Theta$ und den Zahlen von $k$ gebildete Zahlkörper $K$ vom $M=lm$-ten Grade ein relativ-Galoisscher Körper in bezug auf $k$. Der Grad $l$ jener Gleichung ist der Relativgrad von $K$. Wird etwa

$\Theta =S_{1}\Theta ,\ \Theta '=S_{2}\Theta ,\ \dots ,\ \Theta ^{(l-1)}=S_{l}\Theta$

gesetzt, so heißt die Gruppe der Substitutionen $S_{1}$, …, $S_{l}$ die Relativgruppe; ist diese Gruppe eine Abelsche, so heißt der Körper $K$ ein relativ-Abelscher Körper in bezug auf $k$. Ist die Relativgruppe zyklisch, so heißt der Körper $K$ relativ-zyklisch in bezug auf $k$.

§ 49. Die algebraischen Eigenschaften des Trägheitskörpers und der Verzweigungskörper. Die Darstellung der Zahlen des Galoisschen Körpers durch Wurzeln im Bereiche des Zerlegungskörpers.

Mit Benutzung der eben definierten Begriffe lassen sich in sehr einfacher Weise einige wichtige algebraische Eigenschaften des Zerlegungs- und des Trägheitskörpers, sowie der Verzweigungskörper aussprechen, welche eine unmittelbare Folge der oben bewiesenen Eigenschaften ihrer Gruppen sind. Es ergeben sich folgende Tatsachen:

Satz 81. Der Trägheitskörper $k_{t}$ ist relativ zyklisch vom Relativgrade $f$ in bezug auf den Zerlegungskörper $k_{z}$. Der Verzweigungskörper $k_{v}$ ist relativ zyklisch vom Relativgrade $h$ in bezug auf den Trägheitskörper $k_{t}$. Der einmal überstrichene Verzweigungskörper $k_{\overline {v}}$ ist ein relativ Abelscher vom Relativgrade $p^{\overline {e}}$ in bezug auf den Verzweigungskörper $k_{v}$; der Körper $k_{\overline {\overline {v}}}$ ist ein relativ Abelscher vom Relativgrade $p^{\overline {\overline {e}}}$ in bezug auf $k_{\overline {v}}$ usf. Die Abelschen Relativgruppen der Körper $k_{\overline {v}}$, $k_{\overline {\overline {v}}}$, … enthalten lediglich Substitutionen vom $p$-ten Grade.

Nach diesem Satze 81 geschieht also die Spaltung in gleiche Faktoren stets mittels einer Kette Abelscher Gleichungen, und dieses Resultat drückt eine neue überraschende Eigenschaft des Zerlegungskörpers aus:

Satz 82. Der Zerlegungskörper eines jeden Primideals in $K$ bestimmt einen Rationalitätsbereich, in welchem die Zahlen des ursprünglichen Galoisschen Körpers $K$ lediglich durch Wurzelausdrücke darstellbar sind.

Dieser Satz 82 rückt zugleich die Bedeutung der Theorie der durch Wurzelziehen lösbaren Gleichungen in helles Licht; denn er zeigt, daß bei dem Prozeß der Zerlegung der Zahlen in Primideale die wichtigsten und schwierigsten Vorgänge sich gerade in solchen Relativkörpern abspielen, deren Zahlen in einem gewissen Rationalitätsbereiche durch Wurzelausdrücke darstellbar sind.

§ 50. Die Dichtigkeit der Primideale ersten Grades und der Zusammenhang dieser Dichtigkeit mit den algebraischen Eigenschaften eines Zahlkörpers.

Es ist eine merkwürdige Tatsache, daß die Häufigkeit gewisser Primideale ersten Grades in einem Zahlkörper Schlüsse auf die algebraische Natur desselben zuläßt [Kronecker (14^[1])].

Es sei $k$ ein beliebiger Zahlkörper $m$-ten Grades, und es bedeute allgemein $p_{i}$ eine rationale Primzahl, in der genau $i$ voneinander verschiedene Primideale ersten Grades aufgehen. Wenn dann der Limes

${\underset {s=1}{L}}\left\{{\frac {\sum \limits _{(p_{i})}{\frac {1}{p_{i}^{s}}}}{\log \left({\frac {1}{s-1}}\right)}}\right\}$

existiert, wo die im Zähler stehende Summe über alle Primzahlen $p_{i}$ zu erstrecken ist, so sagen wir: die Primzahlen von der Art $p_{i}$ besitzen eine Dichtigkeit; hat jener Limes den Wert $\Delta _{i}$, so heiße $\Delta _{i}$ die Dichtigkeit der Primzahlen

von der Art $p_{i}$. Kronecker macht bei seinen Untersuchungen die unausgesprochene Annahme, daß die Primzahlen von sämtlichen $m$ Arten $p_{1}$, …, $p_{m}$ Dichtigkeiten besitzen. Für den Fall, daß die Gruppe der zur Bestimmung des Körpers $k$ dienenden Gleichungen die symmetrische ist, läßt sich bereits aus den Bemerkungen Kroneckers die Existenz der Dichtigkeiten $\Delta _{1}$, …, $\Delta _{m}$ entnehmen; für einen beliebigen Körper $k$ hat Frobenius die Existenz dieser Dichtigkeiten bewiesen und zugleich ihre Werte bestimmt; sie sind rationale Zahlen, die in einfacher Weise von der Gruppe der den Körper $k$ bestimmenden Gleichungen abhängen [Frobenius (1^[2])]. Es gelingt leicht der Nachweis des folgenden Satzes:

Satz 83. Wenn in einem beliebigen Körper $m$-ten Grades von den Primzahlen der $m$ Arten $p_{1}$, …‚ $p_{m}$ irgend $m-1$ Arten Dichtigkeiten besitzen, so besitzt auch die übrigbleibende Art eine Dichtigkeit, und die $m$ Dichtigkeiten $\Delta _{1}$, …‚ $\Delta _{m}$ erfüllen die Relation:

$\Delta _{1}+2\Delta _{2}+\cdots +m\Delta _{m}=1$.

Beweis: Wenn man die zweite der drei in § 27 angegebenen Darstellungen der Funktionen $\zeta (s)$ benutzt und den Logarithmus bildet, so ergibt sich

$\log \zeta (s)=\sum \limits _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{s}}}+S$,

$S={\frac {1}{2}}\sum \limits _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{2s}}}+{\frac {1}{3}}\sum \limits _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{3s}}}+\cdots$,

wo die Summen über sämtliche Primideale ${\mathfrak {p}}$ des Körpers zu erstrecken sind. Bezeichnen wir nun die Primideale ersten Grades allgemein mit ${\mathfrak {p}}_{1}$, so wird offenbar

$\sum \limits _{({\mathfrak {p}}_{1})}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}}_{1})^{s}}}=\sum \limits _{(p_{1})}{\frac {1}{p_{1}^{s}}}+\sum \limits _{(p_{2})}{\frac {2}{p_{2}^{s}}}+\cdots +\sum \limits _{(p_{m})}{\frac {m}{p_{m}^{s}}}$,

(19)

wo links über alle Primideale ${\mathfrak {p}}_{1}$ und rechts bezüglich über alle rationalen Primzahlen $p_{1}$, $p_{2}$, …, $p_{m}$ zu summieren ist.

Wir berücksichtigen andererseits, daß für alle Primideale ${\mathfrak {p}}$ von höherem als dem ersten Grade $n({\mathfrak {p}})\geqq p^{2}$ ist, und daß eine beliebige Primzahl ${\mathfrak {p}}$ höchstens $m$ Primideale enthält; dadurch ergibt sich:

$\sum \limits _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{s}}}-\sum \limits _{({\mathfrak {p}}_{1})}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}}_{1})^{s}}}\leqq m\sum \limits _{(p)}{\frac {1}{p^{2s}}}<m\sum \limits _{(h)}{\frac {1}{h^{2}}}$,

wo die letzte Summe über alle ganzen rationalen Zahlen $h>1$ zu erstrecken ist. Desgleichen findet man:

$S<m\left\{\sum \limits _{(h)}{\frac {1}{h^{2}}}+\sum \limits _{(h)}{\frac {1}{h^{3}}}+\cdots \right\}=m\sum \limits _{(h)}{\frac {1}{h(h-1)}}=m$.

Aus diesen Ungleichungen folgt, daß $\log \zeta (s)-\sum \limits _{({\mathfrak {p}}_{1})}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}}_{1})^{s}}}$ sich für $s=1$ einer endlichen Grenze nähert. Nach Satz 56 hat auch der Ausdruck $\log \zeta (s)-\log {\frac {1}{s-1}}$ für $s=1$ einen endlichen Grenzwert, und daher gilt das Nämliche auch von dem Ausdruck

$\sum \limits _{({\mathfrak {p}}_{1})}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}}_{1})^{s}}}-\log {\frac {1}{s-1}}$,

d. h. es ist

${\underset {s=1}{L}}{\frac {\sum \limits _{({\mathfrak {p}}_{1})}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}}_{1})^{s}}}}{\log {\frac {1}{s-1}}}}=1$,

woraus unter Benutzung der Formel (19) die Behauptung folgt.

Für einen Galoisschen Körper $K$ vom $M$-ten Grade ist $\Delta _{1}=0$, $\Delta _{2}=0$, …, $\Delta _{M-1}=0$, und daher folgt aus Satz 83:

Satz 84. In einem Galoisschen Körper $M$-ten Grades besitzen die in lauter Primideale ersten Grades zerfallenden Primzahlen $p_{M}$ eine Dichtigkeit, und diese Dichtigkeit ist $\Delta _{M}={\frac {1}{M}}$.

Ist $k$ ein beliebiger Körper und $K$ derjenige Galoissche Körper $M$-ten Grades, welcher aus $k$ und den zu $k$ konjugierten Körpern $k'$, …, $k^{(m-1)}$ zusammengesetzt ist, so stimmen, wie man leicht erkennt, die Primzahlen $p_{m}$ in $k$ mit den Primzahlen $p_{M}$ in $K$ überein, und daher besitzen die Primzahlen $p_{m}$ in $k$ eine Dichtigkeit, und diese ist gleich ${\frac {1}{M}}$, d. h. gleich dem reziproken Wert des Grades $M$ seiner Galoisschen Resolvente [Kronecker (14^[1])].

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1. Über die Irreduktibilität von Gleichungen. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1880.^{[WS 1]}
2. Über Beziehungen zwischen den Primidealen eines algebraischen Körpers und den Substitutionen seiner Gruppe. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1896.^{[WS 2]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kronecker, Leopold: Über die Irreductibilität von Gleichungen, in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1880, S. 155–162 Berlin-Brandenburgische Akademie
2. Frobenius, Georg Ferdinand: Über Beziehungen zwischen den Primidealen eines algebraischen Körpers und den Substitutionen seiner Gruppe, in: Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1896, 1. Band, S. 689–703 Berlin-Brandenburgische Akademie

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