Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 31.

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§. 31. Fortsetzung: Die Masse ist nur in der Oberfläche ausgebreitet, $V\!$ in der Oberfläche gegeben.

 Wir wollen speciell voraussetzen, dass im Innern der Kugel und in dem ganzen äusseren Räume keine anziehende Masse vor- handen sei. Die Masse soll vielmehr über die Oberfläche vertheilt sein, und zwar in der Weise, dass für jeden Punkt der Oberfläche die Potentialfunction einen gegebenen Werth besitzt.

(1)	$V=f(\theta ,\,\varphi )$ für $r=a.\;$

Die Function $f(\theta ,\,\varphi )\!$ soll einwerthig und endlich sein für jede Werthencombination der Variablen $\theta \!$ und $\varphi \!$ zwischen den äussersten Werthen $0\!$ und $\pi \!$ von $\theta \!$ und den äussersten Werthen $0\!$ und $2\;\pi \!$ von $\varphi \!$.

 Für das Innere der Kugel und ausserhalb gilt dann überall die Gleichung von Laplace:

(2)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0.$

 Der Satz von Green (§.21) gibt für irgend einen Punkt $(r',\,\theta ',\,\varphi ')$ den Werth $V'\!$ der Potentialfunction durch die Gleichung

(3)	$4\;\pi \;V'=\int V\,{\frac {\partial U}{\partial n}}\,d\sigma .$

Die Integration hat man über die Kugeloberfläche auszudehnen. Die Function $U\!$ ist in Gleichung (15) des vorigen Paragraphen ausgedrückt, und es ist

${\frac {\partial U}{\partial n}}=\pm \left({\frac {\partial U}{\partial r}}\right)_{r=a},$

wobei das obere oder das untere Zeichen gilt, je nachdem $r'\!$ grösser oder kleiner als $a\!$ ist, d. h. je nachdem der Punkt $(r',\,\theta ',\,\varphi ')$) ausserhalb oder innerhalb der Kugel liegt.

 Folglich haben wir

(4)	$4\;\pi \;V'=\pm a^{2}\int \limits _{0}^{2\pi }d\varphi \int \limits _{0}^{\pi }\left({\frac {\partial U}{\partial r}}\right)_{a}f(\theta ,\,\varphi )\sin \theta \;d\theta ,$

je nachdem $r'\,{\begin{matrix}>\\<\end{matrix}}\,a\!$.

 Diese Formel drückt den Werth der Potentialfunction aus, wenn die anziehende Masse nur in der Oberfläche der Kugel vertheilt und der Werth der Potentialfunction in jedem Punkte dieser Oberfläche bekannt ist.

 Es fragt sich dann noch, wie gross die Dichtigkeit $\rho \!$ in jedem Punkte der Kugeloberfläche ist. Diese Frage ist nach §. 14 Gleichung (6) zu beantworten. Man erhält

$-4\;\pi \;\rho =\left({\frac {\partial V'}{\partial r'}}\right)_{a+0}-\left({\frac {\partial V'}{\partial r'}}\right)_{a-0},$

oder, was auf dasselbe hinausläuft:

$-(4\;\pi )^{2}\,\rho =\left({\frac {\partial (4\pi V')}{\partial r'}}\right)_{a+0}-\left({\frac {\partial (4\pi V')}{\partial r'}}\right)_{a-0}\,.$

Nun ist aber

$\left({\frac {\partial (4\pi V')}{\partial r'}}\right)_{a+0}=+\,a^{2}\int \limits _{0}^{2\pi }\partial \varphi \int \limits _{0}^{\pi }\left({\frac {\partial ^{2}U}{\partial r\,\partial r'}}\right)_{r=a,\,r'=a}\,f(\theta ,\,\varphi )\sin \theta \,d\theta$

$\left({\frac {\partial (4\pi V')}{\partial r'}}\right)_{a-0}=-\,a^{2}\int \limits _{0}^{2\pi }\partial \varphi \int \limits _{0}^{\pi }\left({\frac {\partial ^{2}U}{\partial r\,\partial r'}}\right)_{r=a,\,r'=a}\,f(\theta ,\,\varphi )\sin \theta \,d\theta .$

Folglich ergibt sich

(5)	$-(4\;\pi )^{2}\,\rho =2a^{2}\int \limits _{0}^{2\pi }\partial \varphi \int \limits _{0}^{\pi }\left({\frac {\partial ^{2}U}{\partial r\,\partial r'}}\right)_{r=a,\,r'=a}\,f(\theta ,\,\varphi )\sin \theta \,d\theta .$

 Der bei ${\frac {\partial ^{2}U}{\partial r\,\partial r'}}$ angehängte doppelte Index soll bedeuten, dass nach Ausführung der Differentiation $r=a\!$ und $r'=a\!$ gesetzt werden soll.

 Es bleibt noch übrig, in (4) und (5) die Function $U\!$ des vorigen Paragraphen wirklich einzusetzen und die vorgeschriebenen Differentiationen auszuführen. Wir wollen dabei die Polaraxe des Kugelcoordinaten-Systems durch den Punkt legen, für welchen der Werth $V'\!$ der Potentialfunction ausgedrückt werden soll. Dann ist $\theta '=0,\;\varphi '$ beliebig, und es gilt für $U\!$ die Gleichung (18) des vorigen Paragraphen. Danach findet sich

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial U}{\partial r}}\right)_{r=a}=&-{\frac {a-r'\cos \theta }{(a^{2}+r'^{2}-2\,a\,r'\cos \theta )^{\frac {3}{2}}}}\\&+{\frac {{\frac {a}{r'}}\left(a-{\frac {a^{2}}{r'}}\,\cos \theta \right)}{\left(a^{2}+\left({\frac {a^{2}}{r'}}\right)^{2}-2\,a\,{\frac {a^{2}}{r'}}\,\cos \theta \right)^{\frac {3}{2}}}}\\=&{\frac {\left({\frac {r'}{a}}\right)^{2}\left(a-\,{\frac {a^{2}}{r'}}\,\cos \theta \right)-(a-r'\cos \theta )}{(a^{2}+r'^{2}-2\,a\,r'\cos \theta )^{\frac {3}{2}}}}\\=&{\frac {r'^{2}-a^{2}}{a(a^{2}+r'^{2}-2\,a\,r'\cos \theta )^{\frac {3}{2}}}}.\,\\\end{aligned}}$

 Setzt man dies in Gleichung (4) ein, so erhält man

(6)	$4\;\pi \;V'=\pm a(r'^{2}-a^{2})\int \limits _{0}^{2\pi }d\varphi \int \limits _{0}^{\pi }{\frac {f(\theta ,\,\varphi )\sin \theta \;d\theta }{(a^{2}+r'^{2}-2\;a\;r'\cos \theta )^{\frac {3}{2}}}},$

und es gilt das obere oder das untere Zeichen, je nachdem $r'^{2}-a^{2}\!$ positiv oder negativ ist.

 Es fragt sich, welchen Werth $V'\!$ annimmt für $r'=a\!$. Dies ist leicht vorauszusagen, wenn man daran denkt, dass der Punkt $(r',\,\theta ',\,\varphi ')$ auf der Polaraxe liegt $(x'=0,\,y'=0,\,z'=r)$. Für $r'=a\!$ rückt er also in den Pol der Kugeloberfläche, und für diesen ist $\theta '=0\!$ und $\varphi '\!$ beliebig. Es muss also dann $V'\!$ in den Werth übergehen, den $f(\theta ,\,\varphi )\!$ für $\theta =0\!$ annimmt, und dieser Werth muss von $\varphi \!$ unabhängig sein. Wir wollen zeigen, dass das wirklich aus der Gleichung (6) sich ergibt.

 Wir setzen zur Abkürzung

${\frac {1}{2\,\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }f(\theta ,\,\varphi )d\varphi =F(\theta ).$

Dann ist $F(\theta )\!$ der Mittelwerth von allen den Werthen, welche die Function $f(\theta ,\,\varphi )\!$ auf dem Parallelkreis von der Poldistanz $a\,\theta \!$ annimmt. Bei dieser abgekürzten Schreibweise geht die Gleichung (6) in folgende über:

$2\,V'=\pm a(r'^{2}-a^{2})\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {F(\theta )\sin \theta \;d\theta }{(a^{2}+r'^{2}-2\;a\;r'\cos \theta )^{\frac {3}{2}}}}.\,$

 Betrachten wir zunächst das unbestimmte Integral, so gibt die Integration nach Theilen:

${\begin{aligned}&\int F(\theta )\left\lbrace a^{2}+r'^{2}-2\;a\;r'\cos \theta \right\rbrace ^{-{\frac {3}{2}}}d(-\cos \theta )\\=&-F(\theta ){\frac {(a^{2}+r'^{2}-2\;a\;r'\cos \theta )^{-{\frac {1}{2}}}}{a\;r'}}\\&+{\frac {1}{a\;r'}}\int {\frac {F'(\theta )d\theta }{(a^{2}+r'^{2}-2\;a\;r'\cos \theta )^{\frac {1}{2}}}}.\,\\\end{aligned}}$

 Geht man also zu der Integration zwischen den vorgeschriebenen Grenzen $0\!$ und $\pi \!$ über, so findet sich

${\begin{aligned}2\,V'=&\mp {\frac {r'-a}{r'}}\,F(\pi )\pm {\frac {1}{r'}}{\frac {(r'^{2}-a^{2})}{\pm (r'-a)}}\,F(0)\\&\pm {\frac {r'^{2}-a^{2}}{r'}}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {F'(\theta )\,d\theta }{(a^{2}+r'^{2}-2\;a\;r'\cos \theta )^{\frac {1}{2}}}}.\,\\\end{aligned}}$

In dieser Gleichung gelten überall gleichzeitig die oberen Zeichen, wenn $r'>a\!$, und die unteren, wenn $r'<a\!$ ist. Die Gleichung lässt sich kürzer schreiben:

(7)	${\begin{aligned}2\;V'=&\mp {\frac {r'-a}{r'}}\,F(\pi )+{\frac {r'+a}{r'}}\,F(0)\\&\pm {\frac {r'^{2}-a^{2}}{r'}}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {F'(\theta )\,d\theta }{(a^{2}+r'^{2}-2\;a\;r'\cos \theta )^{\frac {1}{2}}}}.\,\\\end{aligned}}$

 Soll nun $r'=a\!$ gesetzt werden, so erhält man

$2\;V=2\;F(0)\pm \lim \,{\frac {r'^{2}-a^{2}}{r'}}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {F'(\theta )}{2\;a\sin {\frac {1}{2}}\,\theta }}\,d\theta .$

Das letzte Integral hat dann, aber auch nur dann, einen endlichen Werth, wenn $F'(0)=0\!$ ist. Wir wollen nachher zeigen, dass diese Bedingung im allgemeinen erfüllt ist. Unter dieser Voraussetzung reducirt sich die letzte Gleichung auf folgende:

$V=F(0)={\frac {1}{2\;\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }f(\theta ,\,\varphi )\,d\varphi$ für $\theta =0.\!$

Der letzte Ausdruck ist aber das arithmetische Mittel von allen den Werthen, welche die Function $f(\theta ,\,\varphi )$ auf einem Parallelkreis von unendlich kleiner Poldistanz annimmt, d. h. da $f(\theta ,\,\varphi )$ einwerthig vorausgesetzt ist, gleich dem Werthe dieser Function im Pole selbst. Und das war zu beweisen.

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