Schwere, Elektricität und Magnetismus:152

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Zweiter Abschnitt. §. 32.



In dieser Gleichung gelten überall gleichzeitig die oberen Zeichen, wenn , und die unteren, wenn ist. Die Gleichung lässt sich kürzer schreiben:


(7)


 Soll nun gesetzt werden, so erhält man



Das letzte Integral hat dann, aber auch nur dann, einen endlichen Werth, wenn ist. Wir wollen nachher zeigen, dass diese Bedingung im allgemeinen erfüllt ist. Unter dieser Voraussetzung reducirt sich die letzte Gleichung auf folgende:


für


Der letzte Ausdruck ist aber das arithmetische Mittel von allen den Werthen, welche die Function auf einem Parallelkreis von unendlich kleiner Poldistanz annimmt, d. h. da einwerthig vorausgesetzt ist, gleich dem Werthe dieser Function im Pole selbst. Und das war zu beweisen.


§. 32.
Fortsetzung: Die Dichtigkeit in jedem Punkte der Oberfläche.


 Für die Dichtigkeit haben wir die Gleichung abgeleitet


(1)