Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 32.

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§. 32.
Fortsetzung: Die Dichtigkeit in jedem Punkte der Oberfläche.


 Für die Dichtigkeit haben wir die Gleichung abgeleitet


(1)


|[139]Für nehmen wir am besten den Ausdruck (7) des vorigen Paragraphen. Dann findet sich


(2)


und daraus wird für


(3)


Das letzte Integral ist noch zu transformiren. Wir schreiben


Demnach ist



Der letzte Bestandtheil der rechten Seite verschwindet, wenn das Integral einen endlichen Werth hat, d. h. wenn ist. Den ersten Bestandtheil zerlegen wir weiter. Es ist nemlich |[140]



Folglich



 Danach geht die Gleichung (3) über in



und die Gleichung (1) gibt jetzt


(4)


 Man sieht aus dieser Gleichung, wie die Dichtigkeit in irgend einem Punkte der Kugeloberfläche abhängig ist von den Werthe, welche die Potentialfunction in allen Punkten dieser Oberfläche besitzt.

 Zur Berechnung von ist die Formel nicht brauchbar. Vielmehr hat man zu diesem Zweck sie in eine Reihe von Kugelfunctionen zu entwickeln. Die Convergenz der Reihe darf nicht a priori angenommen, sie muss vielmehr bewiesen werden. Das hat Dirichlet*)[1] gethan, indem er die Reihe summirt und allgemein nachweist, dass ihre Summe gleich dem obigen Integral-Ausdruck ist. |[141]

 Wir haben noch zu zeigen, dass im allgemeinen, d. h. abgesehen von einzelnen Ausnahmefällen, ist für . Zu dem Ende ziehen wir im Pol der Kugel (Fig. 25) zwei Tangenten, parallel resp. zu den Axen der positiven und der positiven , und
Fig. 25.
bezeichnen die auf ihnen gezählten Strecken resp. mit und . Nehmen wir dann auf irgend einem Meridian, der mit dem Anfangsmeridian den Winkel einschliesst, vom Pol aus eine unendlich kleine Strecke , so darf man diese durch ihre Tangente ersetzen und hat (unter Vernachlässigung der höheren Potenzen von ) die Gleichungen





Setzen wir voraus, dass in der Nähe des Pols endliche Derivirte hat, so können wir nach Taylor's Satze entwickeln



Dabei sind die nicht hingeschriebenen Glieder der zweiten und höheren Potenzen von proportional. Hieraus erhalten wir



In der Entwicklung von nach Potenzen von ist also der Coefficient der ersten Potenz gleich Null, d. h.


für


was zu beweisen war.

 In besonderen Fällen können Ausnahmen eintreten, die dann eine besondere Untersuchung nöthig machen.



  1. *) Dirichlet. Ueber einen neuen Ausdruck zur Bestimmung der Dichtigkeit einer unendlich dünnen Kugelschale, wenn der Werth des Potentials in jedem Punkte der Oberfläche gegeben ist. (Abhandlungen der K. Akademie der Wissenschaften zu Berlin. 1850. Seite 99.)