Schwere, Elektricität und Magnetismus:150

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 136
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Zweiter Abschnitt. §. 31.

oder, was auf dasselbe hinausläuft:

$-(4\;\pi )^{2}\,\rho =\left({\frac {\partial (4\pi V')}{\partial r'}}\right)_{a+0}-\left({\frac {\partial (4\pi V')}{\partial r'}}\right)_{a-0}\,.$

Nun ist aber

$\left({\frac {\partial (4\pi V')}{\partial r'}}\right)_{a+0}=+\,a^{2}\int \limits _{0}^{2\pi }\partial \varphi \int \limits _{0}^{\pi }\left({\frac {\partial ^{2}U}{\partial r\,\partial r'}}\right)_{r=a,\,r'=a}\,f(\theta ,\,\varphi )\sin \theta \,d\theta$

$\left({\frac {\partial (4\pi V')}{\partial r'}}\right)_{a-0}=-\,a^{2}\int \limits _{0}^{2\pi }\partial \varphi \int \limits _{0}^{\pi }\left({\frac {\partial ^{2}U}{\partial r\,\partial r'}}\right)_{r=a,\,r'=a}\,f(\theta ,\,\varphi )\sin \theta \,d\theta .$

Folglich ergibt sich

(5)	$-(4\;\pi )^{2}\,\rho =2a^{2}\int \limits _{0}^{2\pi }\partial \varphi \int \limits _{0}^{\pi }\left({\frac {\partial ^{2}U}{\partial r\,\partial r'}}\right)_{r=a,\,r'=a}\,f(\theta ,\,\varphi )\sin \theta \,d\theta .$

 Der bei ${\frac {\partial ^{2}U}{\partial r\,\partial r'}}$ angehängte doppelte Index soll bedeuten, dass nach Ausführung der Differentiation $r=a\!$ und $r'=a\!$ gesetzt werden soll.

 Es bleibt noch übrig, in (4) und (5) die Function $U\!$ des vorigen Paragraphen wirklich einzusetzen und die vorgeschriebenen Differentiationen auszuführen. Wir wollen dabei die Polaraxe des Kugelcoordinaten-Systems durch den Punkt legen, für welchen der Werth $V'\!$ der Potentialfunction ausgedrückt werden soll. Dann ist $\theta '=0,\;\varphi '$ beliebig, und es gilt für $U\!$ die Gleichung (18) des vorigen Paragraphen. Danach findet sich

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial U}{\partial r}}\right)_{r=a}=&-{\frac {a-r'\cos \theta }{(a^{2}+r'^{2}-2\,a\,r'\cos \theta )^{\frac {3}{2}}}}\\&+{\frac {{\frac {a}{r'}}\left(a-{\frac {a^{2}}{r'}}\,\cos \theta \right)}{\left(a^{2}+\left({\frac {a^{2}}{r'}}\right)^{2}-2\,a\,{\frac {a^{2}}{r'}}\,\cos \theta \right)^{\frac {3}{2}}}}\\=&{\frac {\left({\frac {r'}{a}}\right)^{2}\left(a-\,{\frac {a^{2}}{r'}}\,\cos \theta \right)-(a-r'\cos \theta )}{(a^{2}+r'^{2}-2\,a\,r'\cos \theta )^{\frac {3}{2}}}}\\=&{\frac {r'^{2}-a^{2}}{a(a^{2}+r'^{2}-2\,a\,r'\cos \theta )^{\frac {3}{2}}}}.\,\\\end{aligned}}$