Schwere, Elektricität und Magnetismus:149

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Potentialfunction einer nicht homogenen Kugel.

handen sei. Die Masse soll vielmehr über die Oberfläche vertheilt sein, und zwar in der Weise, dass für jeden Punkt der Oberfläche die Potentialfunction einen gegebenen Werth besitzt.

(1)	$V=f(\theta ,\,\varphi )$ für $r=a.\;$

Die Function $f(\theta ,\,\varphi )\!$ soll einwerthig und endlich sein für jede Werthencombination der Variablen $\theta \!$ und $\varphi \!$ zwischen den äussersten Werthen $0\!$ und $\pi \!$ von $\theta \!$ und den äussersten Werthen $0\!$ und $2\;\pi \!$ von $\varphi \!$.

 Für das Innere der Kugel und ausserhalb gilt dann überall die Gleichung von Laplace:

(2)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0.$

 Der Satz von Green (§.21) gibt für irgend einen Punkt $(r',\,\theta ',\,\varphi ')$ den Werth $V'\!$ der Potentialfunction durch die Gleichung

(3)	$4\;\pi \;V'=\int V\,{\frac {\partial U}{\partial n}}\,d\sigma .$

Die Integration hat man über die Kugeloberfläche auszudehnen. Die Function $U\!$ ist in Gleichung (15) des vorigen Paragraphen ausgedrückt, und es ist

${\frac {\partial U}{\partial n}}=\pm \left({\frac {\partial U}{\partial r}}\right)_{r=a},$

wobei das obere oder das untere Zeichen gilt, je nachdem $r'\!$ grösser oder kleiner als $a\!$ ist, d. h. je nachdem der Punkt $(r',\,\theta ',\,\varphi ')$) ausserhalb oder innerhalb der Kugel liegt.

 Folglich haben wir

(4)	$4\;\pi \;V'=\pm a^{2}\int \limits _{0}^{2\pi }d\varphi \int \limits _{0}^{\pi }\left({\frac {\partial U}{\partial r}}\right)_{a}f(\theta ,\,\varphi )\sin \theta \;d\theta ,$

je nachdem $r'\,{\begin{matrix}>\\<\end{matrix}}\,a\!$.

 Diese Formel drückt den Werth der Potentialfunction aus, wenn die anziehende Masse nur in der Oberfläche der Kugel vertheilt und der Werth der Potentialfunction in jedem Punkte dieser Oberfläche bekannt ist.

 Es fragt sich dann noch, wie gross die Dichtigkeit $\rho \!$ in jedem Punkte der Kugeloberfläche ist. Diese Frage ist nach §. 14 Gleichung (6) zu beantworten. Man erhält

$-4\;\pi \;\rho =\left({\frac {\partial V'}{\partial r'}}\right)_{a+0}-\left({\frac {\partial V'}{\partial r'}}\right)_{a-0},$