Mathematische Principien der Naturlehre/Buch2-VI

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Mathematische Principien der Naturlehre (1872) von Isaac Newton, übersetzt von Jakob Philipp Wolfers Buch II. Abschnitt VI.

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ABSCHNITT VI.

Von der Bewegung und dem Widerstande der Pendel.

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§. 34. Lehrsatz. Die Menge der Materie bei Pendeln, deren Schwingungspunkte gleich weit vom Aufhängepunkte entfernt sind, verhält sich wie die Gewichte und die Quadrate der Schwingungszeiten im leeren Räume zusammengesetzt.

Die Geschwindigkeit, welche eine gegebene Kraft in gegebener Materie und Zeit erzeugen kann, ist nämlich direct der Kraft und Zeit und indirect der Materie proportional. Je grösser die Kraft oder die Zeit, oder je kleiner die Materie ist, desto grösser wird die erzeugte Geschwindigkeit. Dies erhellt aus dem 2. Gesetze der Bewegung. Haben nun Pendel dieselbe Länge, so verhalten sich die bewegenden Kräfte in Punkten, welche gleichweit vom Aufhängepunkte entfernt sind, wie die Gewichte. Beschreiben daher zwei schwingende Körper gleiche Bogen und theilt man die letztern in gleiche Stücke; so verhalten sich die Zeiten, in denen die Körper einzelne correspondirende Theile der Bogen beschreiben, wie die ganzen Schwingungszeiten. Ihre Geschwindigkeiten in den einzelnen correspondirenden Theilen der Schwingungen verhalten sich zu einander direct wie die bewegenden Kräfte und die ganzen Schwingungszeiten und indirect wie die Menge der Materie. Diese Menge der Materie verhält sich daher direct wie die Kräfte und die ganzen Schwingungszeiten und indirect wie die Geschwindigkeiten; oder weil die Geschwindigkeiten sich indirect wie die Zeiten verhalten, so verhält sich die Menge der Materie direct wie die bewegenden Kräfte und die Quadrate der Zeiten, d. h. wie die Gewichte und die Quadrate der Schwingungszeiten.   W. z. b. w.

Zusatz 1. Sind daher die Zeiten einander gleich, so verhalten sich die Mengen der Materie in beiden Körpern, wie die Gewichte.

Zusatz 2. Bei gleichen Gewichten verhalten sich die Mengen der Materie wie die Quadrate der Zeiten.

Zusatz 3. Ist die Menge der Materie in beiden Körpern gleich, so verhalten sich die Gewichte umgekehrt wie die Quadrate der Zeiten.

Zusatz 4. Da die Quadrate der Zeiten, unter übrigens gleichen Umständen, den Pendellängen proportional sind, so verhalten sich bei gleichen Zeiten und gleicher Menge der Materie die Gewichte wie die Pendellängen.

Zusatz 5. Allgemein ist die Menge der Materie des Pendels direct seinem Gewichte und dem Quadrate der Zeit und indirect der Pendellänge proportional.^[1]

Zusatz 6. In einem nicht widerstehenden Mittel verhält sich die Menge der Materie des Pendels direct wie sein relatives Gewicht und das Quadrat der Zeit, und indirect wie die Pendellänge. Denn das relative Gewicht ist in jedem schweren Mittel die bewegende Kraft, wie ich oben erklärt habe; es leistet daher in einem solchen nicht widerstehenden Mittel dasselbe, was das absolute Gewicht im leeren Raume bewirkt.

Zusatz 7. Hieraus ergiebt sich ein Verfahren, sowohl die Körper in Bezug auf die Menge ihrer Materie mit einander zu vergleichen, als auch den Unterschied des Gewichtes eines und desselben Körpers an verschiedenen Orten zu bestimmen und so die Aenderung der Schwere zu finden. Durch die schärfsten Versuche habe ich stets gefunden, dass die Menge der Materie in einzelnen Körpern ihrem Gewichte proportional ist.

§.35. Lehrsatz. Pendel, welche in einem beliebigen Mittel einen Widerstand erleiden, der den Zeitmomenten proportional ist und sich in einem nicht widerstehenden Mittel von demselben specifischen

Fig. 169.

Gewichte bewegen, vollenden ihre Schwingungen auf einer Cycloïde in derselben Zeit und beschreiben zugleich proportionale Theile der Bogen.

Es sei AB der Bogen einer Cycloïde, welchen der Körper D, in beliebiger Zeit und im nicht widerstehenden Mittel schwingend, beschreibt. Man halbire denselben in C, so dass C der tiefste Punkt sei; alsdann verhält sich die beschleunigende Kraft, welche den Körper in jedem beliebigen Orte D, d oder E antreibt, wie die Bogenlängen CD, Cd oder CE. Man drücke jene Kraft respective durch dieselben Bogen aus, und da der Widerstand dem Momente (Differentiale) der Zeit proportional, also constant ist, bezeichne man denselben durch den gegebenen Theil CO des cycloïdischen Bogens, und bestimme den Bogen Od durch die Proportion

Od : CD = OB : OB.

Die Kraft, welche im widerstehenden Mittel den Körper im Punkte d antreibt, wird ausgedrückt durch den Ueberschuss der Kraft Cd über den Widerstand CO, d. h. durch den Bogen Od, und sie verhält sich daher zu derjenigen Kraft, welche den Körper D im nicht widerstehenden Mittel im Punkte D antreibt, wie

Od : CD

und im Orte B wie

OB : BB.

Gehen nun zwei Körper D und d vom Orte B aus, und werden sie durch diese Kräfte angetrieben, so verhalten sich die letztern im Anfange wie

CB : OB,

und in demselben Verhältnisse werden ihre ersten Geschwindigkeiten und die anfänglich beschriebenen Bogen stehen. Es seien BD und Bd diese Bogen, und es werden die noch übrigen Bogen CD und Od in demselben Verhältniss stehen. Die den Bogen CD und Od proportionalen Kräfte bleiben ferner in demselben Verhältniss wie beim Anfange, und daher fahren die Körper fort, zugleich in demselben Verhältniss Bogen zu beschreiben. Es verhalten sich demnach die Kräfte, die Geschwindigkeiten und die noch übrigen Bogen CD und Od stets wie die ganzen Bogen CB und OB und es werden daher die übrigen Bogen zugleich beschrieben. Die beiden Körper D und d gelangen also zugleich nach den Orten C und O, jedoch der erstere im nicht widerstehenden, der andere im widerstehenden Mittel. Da nun aber die Geschwindigkeiten in C und O den Bogen CB und OB proportional sind, so stehen die Bogen, welche die Körper weitergehend zugleich beschreiben, in demselben Verhältniss. Dieselben seien CE und Oe. Die Kraft, durch welche der Körper D im nicht widerstehenden Mittel in E verzögert wird, ist CE proportional, und diejenige Kraft, welche den Körper d im widerstehenden Mittel im Punkte e verzögert, ist der Summe der Kraft Ce und des Widerstandes CO, d. h. Oe proportional. Die Kräfte, welche die Körper verzögern, verhalten sich demnach wie

CE : Oe,

d. h. wie

CB : OB,

und die in demselben Verhältniss verzögerten Geschwindigkeiten werden auch darin bleiben.

Die Geschwindigkeiten und die mit ihnen beschriebenen Bogen stehen daher stets zu einander in dem constanten Verhältniss

CB : OB

und nimmt man daher die ganzen Bogen AB und aB in demselben Verhältniss, so beschreiben die Körper D und d dieselben zugleich und verlieren auch zugleich ihre ganze Bewegung in A und a. Die ganzen Schwingungen sind daher isochronisch, und die beliebigen Theile BD und Bd oder BE und Be, welche gleichzeitig beschrieben werden, sind den ganzen Bogen BA und Ba proportional.   W. z. b. w.

Zusatz. Die grösste Geschwindigkeit im widerstehenden Mittel fällt daher nicht in den untersten Punkt C, sondern findet sich in jenem Punkte O, durch welchen der ganze beschriebene Bogen aB halbirt wird. Geht der Körper weiter nach a zu, so wird er in demselben Grade verzögert, in welchem er vorher bei seinem Falle von B nach O beschleunigt wurde.

§. 36. Lehrsatz. Die Wendeschwingungen in einer Cycloïde, bei denen ein der Geschwindigkeit proportionaler Widerstand stattfindet, sind isochronisch. Fig. 169.

Beschreiben nämlich zwei gleich weit vom Aufhängepunkte entfernte Körper, indem sie schwingen, ungleiche Bogen, und sind die Geschwindigkeiten in den correspondirenden Theilen derselben den ganzen Bogen proportional; so verhalten sich die, den Geschwindigkeiten proportionalen Widerstände ebenfalls wie die ganzen Bogen. Wenn man nun diese Widerstände von den, aus der Schwere entspringenden und denselben Bogen proportionalen, bewegenden Kräften subtrahirt oder erstere zu letzteren addirt; so stehen die Unterschiede oder Summen zu einander in demselben Verhältniss wie die Bogen. Da die Incremente oder Decremente diesen Unterschieden oder Summen proportional sind, verhalten sich die Geschwindigkeiten immer wie die ganzen Bogen.

Die Geschwindigkeiten werden nun, wenn sie in irgend einem Falle den ganzen Bogen proportional sind, immer in demselben Verhältniss bleiben. Im Anfange der Bewegung aber, wenn die Körper herabzusteigen beginnen und jene Bogen beschreiben wollen, erzeugen die, den Bogen selbst proportionalen Kräfte, Geschwindigkeiten, welche in demselben Verhältniss stehen. Diese verhalten sich also immer wie die ganzen zu beschreibenden Bogen, und die letzteren werden daher gleichzeitig beschrieben.   W. z. b. w.

§. 37. Lehrsatz. Erleiden Pendel einen Widerstand, welcher im doppelten Verhältniss der Geschwindigkeit steht; so sind die Unterschiede der Schwingungszeiten im widerstehenden Mittel und der Zeiten in einem nicht widerstehenden Mittel von demselben specifischen Gewichte sehr nahe den zu beschreibenden Schwingungsbogen proportional. Fig. 169. Es mögen gleiche Pendel im widerstehenden Mittel ungleiche Bogen A und B beschreiben, alsdann steht der Widerstand des Körpers im Bogen A zum Widerstande im correspondirenden Theile des Bogens B im doppelten Verhältniss der Geschwindigkeiten, d. h. sehr nahe in dem Verhältnisse

A² : B².

Verhielte sich nun der Widerstand im Bogen B zu dem in A stattfindenden, wie

AB : A², so würden nach dem vorigen Paragraphen die Zeiten in den Bogen A und B einander gleich sein. Der Widerstand A² in A, oder der Widerstand AB in B bewirkt also im Bogen A den Ueberschuss der im widerstehenden Mittel erforderlichen Zeit über die im nicht widerstehenden Mittel erforderliche, und der Widerstand B² bewirkt im Bogen B den Ueberschuss der im widerstehenden Mittel erforderlichen Zeit über die im nicht widerstehenden Mittel erforderliche Zeit. Jener Ueberschuss ist aber sehr nahe den bewirkenden Kräften AB und B² proportional, d. h. die Zeitunterschiede verhalten sich, wie sehr nahe A : B.   W. z. b. w.

Zusatz 1. Hiernach kann man aus den Zeiten der Schwingungen, welche im widerstehenden Mittel bei ungleichen Bogen stattfinden, die Schwingungszeiten in einem nicht widerstehenden Mittel von demselben specifischem Gewicht erkennen. Der Unterschied der Zeiten beider verhält sich nämlich zum Ueberschuss der Zeit des kleinem Bogens im widerstehenden Mittel, über die im nicht widerstehenden Mittel, wie der Unterschied der Bogen zum kleinern von beiden.

Zusatz 2. Kleinere Schwingungen sind im hohem Grade isochronisch, und äusserst kleine werden nahezu in derselben Zeit zurückgelegt, als im nicht widerstehenden Mittel. Die Zeiten der in grössern Bogen stattfindenden Schwingungen sind etwas grösser, weil der Widerstand beim Herabsteigen des Körpers, wodurch die Zeit verlängert wird, grösser ist im Verhältniss der beschriebenen Länge, als der Widerstand beim folgenden Aufsteigen, wodurch die Zeit verkürzt wird. Die Zeit der Schwingungen aber, sowohl der kurzen als langen, scheint auch etwas durch die Bewegung des Mittels verlängert zu werden. Körper, welche verzögert werden, erleiden nach Verhältniss der Geschwindigkeit einen etwas kleinern, beschleunigte Körper hingegen einen etwas grössern Widerstand, als solche Körper, welche sich gleichförmig bewegen. Dies rührt daher, dass das Mittel, vermöge der von den Körpern erhaltenen Bewegung, nach derselben Richtung fortschreitet und im erstern Falle mehr, im andern weniger angetrieben wird und deshalb mehr oder weniger mit den sich bewegenden Körpern übereinstimmt. Der Widerstand des Pendels ist daher grösser beim Absteigen als beim Aufsteigen, und zwar nach Verhältniss der Geschwindigkeit; beide Ursachen verlängern die Dauer.

§. 38. Lehrsatz. Fig. 169. Erleidet ein in einer Cycloïde schwingendes Pendel einen den Zeitmomenten proportionalen Widerstand, so verhält sich der letztere zur Schwerkraft, wie der Ueberschuss des beim ganzen Fallen beschriebenen Bogens über den beim nächstfolgenden Steigen beschriebenen zur doppelten Länge des Pendels.

Unter Voraussetzung der Construction und des Beweises zu §. 35. bezeichne BC den beim Fallen, Ca den beim Steigen beschriebenen Bogen und Aa den Unterschied beider. Alsdann verhält sich die Kraft, durch welche der Körper im beliebigen Orte D angetrieben wird, zur Kraft des Widerstandes wie

CD : CO,

wo CO = ½Aa ist. Daher verhält sich die Kraft, welche den Körper im Anfangspunkte der Cycloïde antreibt, d. h. die Schwerkraft zum Widerstande, wie der Bogen der Cycloïde zwischen jenem höchsten und dem niedrigsten Punkte zum Bogen CO, oder (wenn man beide Bogen verdoppelt) wie der Bogen der ganzen Cycloïde, d. h. die doppelte Pendellänge zum Bogen Aa.   W. z. b. w.

§. 39. Aufgabe. Vorausgesetzt wird, dass ein in einer Cycloïde schwingender Körper einen dem Quadrat der Geschwindigkeit proportionalen Widerstand erleide; man soll den Widerstand in den einzelnen Orten bestimmen.

Es sei Ba (Figur 169.) der in einer ganzen Schwingung beschriebene Bogen, C der unterste Punkt der Cycloïde und CZ die Hälfte des ganzen cycloïdischen Bogens, also der Pendellänge gleich; man sucht den Widerstand, welchen der Körper am beliebigen Orte D erleidet

Fig. 170.

Man schneide die unbestimmte gerade Linie OQ in den Punkten O, C, P, Q, so dass (wenn man die Perpendikel OK, CT, PJ, QE, errichtet, und zum Mittelpunkte und den Asymptoten OK und OQ die Hyperbel TJGE construirt, welche die Perpendikel CT, PJ und QE in den Punkten T, J und E schneidet, hierauf durch den Punkt J die Linie KF $\scriptstyle \parallel$ OQ zieht, welche die Asymptote OK in K und die Perpendikel CT und QE in L und F schneidet) alsdann

Fläche JEF : PJTC = Bogen BC : Ca

werde, wo BC den beim Herabsteigen, Ca den beim Aufsteigen beschriebenen Bogen bezeichnet. Ferner sei

1.   Fläche JEF : JLT = OQ : OC,

und es werde das Perpendikel MN so errichtet, dass

2.   Fläche PJNM : PJEQ = Bogen CZ : BC.

Errichtet man endlich das Perpendikel RG dergestalt, dass

3.   Fläche PJGR : PJEQ = Bogen CD : BC;

so verhält sich der Widerstand im Orte D zur Schwerkraft, wie

4.   Fläche $\scriptstyle {\frac {OR}{OQ}}$ · JEF — JGH : PJNM. Die aus der Schwere entspringenden Kräfte, durch welche der Körper in den Punkten Z, B, D, a angetrieben wird, sind nämlich bezüglich den Bogen ZC, BC, DC, aC,

und diese wieder den hyperbolischen Flächen

PJNM, PJEQ, PJGR, PJTC

proportional; man kann daher sowohl die Bogen, als auch die Kräfte durch diese Flächen ausdrücken. Ferner sei Dd ein sehr kleiner, vom fallenden Körper beschriebener Bogen, und man drücke denselben durch die ebenfalls sehr kleine Fläche RGgr aus, welche zwischen den Parallelen GR und gr liegt. Endlich verlängere man rg bis h, so dass GHhg und RGgr die gleichzeitigen Decremente von JGH und PJGR werden. Das Increment der Fläche

$\scriptstyle {\frac {OR}{OQ}}$ · JEF — JGH ist = $\scriptstyle {\frac {OR-rR}{OQ}}$ · JEF — [JGH — GHhg] — $\scriptstyle \left[{\frac {OR}{OQ}}JEF-JGH\right]$ = GHhg — $\scriptstyle {\frac {rR}{OQ}}$ · JEF 5.   Rr · GH — $\scriptstyle {\frac {rR}{OQ}}$ · JEF.

Das gleichzeitige Decrement der Fläche

6.   PJGR ist = Rr · RG;

daher verhält sich ersteres Increment zum letztern Decrement, wie

GH — $\scriptstyle {\frac {JEF}{OQ}}$ : RG = OR · GH — $\scriptstyle {\frac {OR}{OQ}}$ · JEF : OR · RG = OR · GH — $\scriptstyle {\frac {OR}{OQ}}$ · JEF : OP · PJ,

d. h.	(weil OR · HG	= OR (HR — GR)
		= OR · HG — OR · GR
	OR · HG	= ORHK — OPJK = PJHR,
	und PJHR	= PJGR + JGH)

wie 7.

PJGR + JGH — $\scriptstyle {\frac {OR}{OQ}}$ · JEF : OPJK.

Setzt man demnach die Fläche

$\scriptstyle {\frac {OR}{OQ}}$ · JEF — JGH = Y,

und ist das Decrement RGgr der Fläche PJGR gegeben; so wird das Increment der Fläche Y proportional

8.   PJGR — Y.

Bezeichnet nun V die, aus der Schwere entspringende und dem zu beschreibenden Bogen CD proportionale Kraft, welche den Körper in D antreibt, und wird der Widerstand = R gesetzt; so ist

V — R

die ganze Kraft, durch welche der Körper in D fortgetrieben wird. Das Increment der Geschwindigkeit verhält sich daher, wie V — R und jenes Zeittheilchen, in welchem es entstanden ist, zusammengesetzt; aber auch die Geschwindigkeit selbst verhält sich direct, wie das gleichzeitige Increment des Weges und indirect wie jenes Zeittheilchen. Der Widerstand R ist nun (nach der Voraussetzung) dem Quadrat der Geschwindigkeit proportional, und das Increment des Widerstandes verhält sich daher (nach §. 10) wie die Geschwindigkeit und ihr Increment zusammengesetzt,^[2] d. h. wie der in einem gegebenen Zeittheilchen beschriebene Moment des Weges und V — R zusammengesetzt. Ist das Differential des Weges constant, so verhält sich also das Increment des Widerstandes, wie V — R, d. h. indem man statt V die sie bezeichnende Fläche PJGR setzt, und den Widerstand R durch eine beliebige andere Fläche Z ausdrückt, es wird das Increment des Widerstandes proportional

9.   PJGR — Z.

Nimmt nun die Fläche PJGR durch Substraction constanter Momente gleichförmig ab, so wächst die Fläche Y in dem Verhältniss

PJGR — Y (nach 8.)

und die Fläche Z in dem

PJGR — Z.

Entstehen daher die Flächen Y und Z zugleich, und sind sie im Anfange einander gleich, so werden sie durch Addition gleicher Momente fortwährend einander gleich bleiben, und eben so werden sie, indem sie um gleiche Momente abnehmen, gleichzeitig verschwinden. Umgekehrt, wenn sie gleichzeitig entstehen und verschwinden, so werden sie gleiche Momente haben und immer einander gleich bleiben.

Wenn nämlich der Widerstand Z wächst, so nimmt die Geschwindigkeit zugleich mit jenem Bogen Ca, welcher beim Aufsteigen des Körpers beschrieben wird, ab und wenn der Punkt, in welchem alle Bewegung zugleich mit dem Widerstande aufhört, näher nach C rückt; so wird der Widerstand schneller verschwinden, als die Fläche Y. Das Gegentheil geschieht, wenn der Widerstand kleiner wird.

Die Fläche Z entsteht nun aber und verschwindet, wenn der Widerstand gleich Null ist, d. h. beim Anfang und Ende der Bewegung, wenn der Bogen CD gleich CB und Ca wird, und die gerade Linie RG daher auf QE und CT fällt.

Die Fläche

Y = $\scriptstyle {\frac {OR}{OQ}}$ · JEF — JGH

entsteht und verschwindet, wenn sie = 0 ist, d. h. wenn

$\scriptstyle {\frac {OR}{OQ}}$ · JEF = JGH,

oder (nach der Construction) wenn RG auf QE oder CT fällt.^[3] Beide Flächen entstehen und verschwinden daher zugleich, und sind daher stets einander gleich. Es ist also

$\scriptstyle {\frac {OR}{OQ}}$ · JEF — JGH = Z, und weil Z den Widerstand und PJNM die Schwere bezeichnet, verhält sich Fläche $\scriptstyle {\frac {OR}{OQ}}$ · JEF — JGH : zur Fläche PJNM

wie der Widerstand zur Schwerkraft.   W. z. b. w.

Zusatz 1. Im untersten Punkte C verhält sich daher der Widerstand zur Schwere, wie

$\scriptstyle {\frac {OP}{OQ}}$ · JEF : PJNM.

Zusatz 2. Der Widerstand wird am grössten, wenn

PJHR : JEF = OR : OQ.

In diesem Falle wird nämlich sein Moment (d. h. PJGR — Y) = 0.^[4]

Zusatz 3. Hieraus ergiebt sich auch die Geschwindigkeit an den einzelnen Orten, indem dieselbe im halben Verhältniss des Widerstandes steht und beim Anfange der Bewegung der Geschwindigkeit eines Körpers gleich ist, welcher in derselben Cycloïde ohne allen Widerstand schwingt.

Wegen der schwierigen Rechnung, durch welche nach diesem Paragraphen der Widerstand und die Geschwindigkeit gefunden werden, erschien es zweckmässig, den folgenden Lehrsatz hinzuzufügen.

§. 40. Lehrsatz. Die Linie aB sei dem cycloïdischen Bogen gleich, welchen der schwingende Körper beschreibt, und in ihren einsehen Punkten D werden Perpendikel DK errichtet, welche sich zur Länge des Pendels verhalten, wie der Widerstand, welchen der Körper in den entsprechenden Punkten des Bogens erleidet, zur Schwere. Alsdann ist der Unterschied der, während des ganzen Steigens und Fallens beschriebenen Wege, multiplicirt in ihre halbe Summe, sehr nahe gleich der Fläche BK, welche alle Perpendikel DK umfasst.

Es werde der, in einer ganzen Schwingung beschriebene, cycloïdische Bogen durch die ihm gleiche gerade Linie aB und der Bogen, welcher im leeren Raume beschrieben werden würde, durch die Linie AB ausgedrückt. Man halbire AB in C, alsdann bezeichnet C den

Fig. 171.

untersten Punkt der Cycloïde und es ist CD der aus der Schwere entspringenden Kraft proportional, durch welche der Körper in D längs der Tangente der Cycloïde angetrieben wird. Diese Linie hat dasselbe Verhältniss zur Länge des Pendels, welches die Kraft in D zur Schwere hat. Man bezeichne daher diese Kraft durch die Linie CD und die Kraft der Schwere durch die Länge des Pendels. Nimmt man nun auf DE die Länge in dem Verhältniss zur Pendellänge, welches der Widerstand zur Schwere hat, so wird DK den erstern ausdrücken. Zum Mittelpunkt C und mit dem Radios CA = CB construire man den Halbkreis BEeA.

Der Körper wird in einer sehr kurzen Zeit den Weg Dd beschreiben, und errichtet man die Perpendikel DE und de, welche die Peripherie in E und e schneiden; so sind dieselben den Geschwindigkeiten proportional, welche der Körper beim Herabsteigen vom Punkt B im leeren Raume in den Punkten D und d erlangen würde. Dies erhellt aus §. 93. des ersten Buches. Man drücke daher diese Geschwindigkeiten durch jene Perpendikel aus, und es sei DF diejenige Geschwindigkeit, welche der Körper bei seinem Falle von B im widerstehenden Mittel, im Punkt D erlangen würde. Construirt man nun aus C als Mittelpunkt mit dem Radius CF den Kreis FfM welcher die geraden Linien de und AB in f und M schneidet; so ist M der Ort, zu welchem hierauf der Körper ohne allen weitern Widerstand ansteigen würde und df die Geschwindigkeit, welche er im Punkt d erlangen würde. Bezeichnet daher ferner Fg das Moment der Geschwindigkeit, welches der Körper, während er den sehr kleinen Weg Dd zurücklegt, durch den Widerstand des Mittels verliert und nimmt man

CN = Cg

an; so ist N der Ort, zu welchem der Körper hierauf ohne allen fernern Widerstand aufsteigen würde, so wie MN das Decrement des Aufsteigens welches aus jenem Verluste der Geschwindigkeit entspringen wird.

Auf df fälle man das Perpendikel Fm, alsdann verhält sich das Decrement Fg der Geschwindigkeit DF, welches durch den Widerstand DK erzeugt wird, zum Increment fm derselben Geschwindigkeit, welches aus der Kraft CD entspringt, wie die erzeugenden Kräfte selbst. Wir haben also

1.   Fg : fm = DK : CD.

Da nun

Δ Fmf ∼ Fhg ∼ FDC,

haben wir aber

2.   Fm : Fm = CD : DF,

also durch Zusammensetzung und weil Fm = Dd ist,

3.   Fg : Dd = DK : DF.

Ferner ist

4.   Fg : Fh = CF : DF,

also weil Fh = MN und CM = CF,

5.   Die Summe MN · CM = der Summe aller Dd · DK.

An dem beweglichen Punkte M denke man sich immer eine rechtwinklige Ordinate = MC errichtet, welche in stetiger Bewegung über die ganze Länge Aa geführt wird; alsdann wird das durch diese Bewegung entstehende Trapez oder das ihm gleiche Rechteck Aa · ½aB gleich der Summe aller MN · CM und daher gleich der Summen aller Dd · DK, d. h. gleich der Fluche BKVTa.^[5] W. z. b. w.

Zusatz. Hiernach kann man aus dem Gesetze des Widerstandes und dem Unterschiede der Bogen Aa = CB — Ca sehr nahe das Verhältniss des Widerstandes zur Schwere finden.

Wäre der Widerstand DK etwa gleichförmig, so würde die Figur BKTa ein Rechteck unter Ba und DK, also

½Ba · Aa = Ba · DK

oder

½Aa = DK

sein. Da nun DK den Widerstand und die Länge des Pendels die Schwerkraft ausdrückt, so verhält sich der Widerstand zur Schwere, wie ½Aa zur Pendellänge; ganz wie im §. 38. bewiesen worden ist.

Ist der Widerstand der Geschwindigkeit proportional, so wird die Figur BKTa sehr nahe eine Ellipse. Wenn nämlich der Körper im nicht widerstehenden Mittel während einer ganzen Schwingung die Länge BA beschriebe, so würde die Geschwindigkeit im beliebigen Orte D der Ordinate DE proportional sein, welche zu dem über AB als Durchmesser beschriebenen Kreise gehört. Da ferner Ba im widerstehenden, und BA im nicht widerstehenden Mittel ungefähr in gleichen Zeiten beschrieben werden; da also die Geschwindigkeiten in den einzelnen Punkten von Ba sich sehr nahe zu den Geschwindigkeiten in den entsprechenden Punkten von BA verhalten, wie

Ba : BA :

so ist die Geschwindigkeit in D und im widerstehenden Mittel der Ordinate des Kreises oder der Ellipse, welche über BA als Durchmesser construirt ist, proportional.^[6] Die Figur BKVTa ist daher sehr nahe eine halbe Ellipse. Da der Widerstand als der Geschwindigkeit proportional vorausgesetzt wird, so drücke OV den erstern im mittlern Punkte O aus, und es wird die halbe Ellipse BRVSa, welche man zu O als Mittelpunkt, und zu OB und OV als halben Axen beschreibt, sehr nahe der Figur aBKVT und dem ihr gleichen Rechteck Aa · BO gleich. Es verhält sich daher Aa · BO zu OV · BO, wie die Fläche dieser halben Ellipse zu OV · BO, d. h. beiläufig.

Aa : OV = 11 : 7,^[7]

Es verhält sich daher 7/11Aa zur Pendellänge, wie der Widerstand des schwingenden Körpers in O zur Schwerkraft.^[8]

Steht der Widerstand DK im doppelten Verhältniss der Geschwindigkeit, so wird die Figur BKVTa sehr nahe eine Parabel, deren Scheitel in V liegt und deren Axe OV ist;^[9] es wird also

BKVTa = ⅔Ba · OV.

Demnach ist

½Ba · Aa = ⅔Ba · OV

oder

OV = ¾Aa,

und der Widerstand des schwingenden Körpers im Punkt O zur Schwerkraft, wie ¾Aa zur Pendellänge.

Ich halte diese Schlüsse für hinreichend genau in der Praxis. Denn da die Ellipse oder Parabel im mittlern Punkte V mit der Figur BKVTa zusammentrifft, so wird diese, wenn sie an der einen von beiden Seiten BRV oder VSa jene überschreitet, auf der andern Seite von jener übertroffen und so derselben sehr nahe gleich werden.

§. 41. Lehrsatz. Wird der Widerstand eines schwingenden Körpers in den einzelnen proportionalen Theilen der beschriebenen Bogen in einem gegebenen Verhältniss vergrössert oder verkleinert, so wird der Unterschied der beim Fallen und nächstfolgenden Steigen beschriebenen Bogen sehr nahe in demselben Verhältniss vergrössert oder verkleinert.

Es entspringt nämlich jener Unterschied aus der Verzögerung des Pendels durch den Widerstand des Mittels, und verhält sich daher wie die ganze Verzögerung und der ihr proportionale verzögernde Widerstand. Im vorhergehenden Paragraphen (Fig. § 40.) war das Rechteck unter ½aB und dem Unterschied Aa jener Bogen CB und Ca gleich der Fläche BKTa. Die letztere nimmt, wenn die Länge aB unverändert bleibt, zu oder ab im Verhältniss der Ordinate DK, d. h. im Verhältniss des Widerstandes; sie ist daher der Länge aB und dem Widerstande zusammengesetzt proportional. Daher verhält sich das Rechteck

Aa · ½aB

wie aB und der Widerstand zusammengesetzt und so Aa wie der Widerstand.   W. z. b. w.

Zusatz 1. Verhält sich daher der Widerstand wie die Geschwindigkeit, so ist der Unterschied der Bogen in demselben Mittel dem ganzen beschriebenen Bogen proportional, und umgekehrt.

Zusatz 2. Steht der Widerstand im doppelten Verhältniss der Geschwindigkeit, so ist jener Unterschied dem Quadrat des ganzen beschriebenen Bogens proportional, und umgekehrt.

Zusatz 3. Allgemein, steht der Widerstand im dreifachen, oder einem andern beliebigen Verhältniss der Geschwindigkeit; so steht der Unterschied der beschriebenen Bogen in demselben Verhältniss des ganzen Bogens, und umgekehrt.

Zusatz 4. Steht der Widerstand zum Theil im einfachen, zum Theil im doppelten Verhältniss der Geschwindigkeit; so steht jener Unterschied der beschriebenen Bogen zum Theil im einfachen, zum Theil im doppelten Verhältniss des beschriebenen Bogens, und umgekehrt. Dasselbe Gesetz und Verhältniss, welches zwischen Widerstand und Geschwindigkeit stattfindet, gilt auch zwischen jenem Unterschiede und der ganzen Länge des Bogens.

Zusatz 5. Beschreibt daher ein Pendel nacheinander ungleiche Bogen, und kann man das Verhältniss des Incrementes und Decrementes dieses Unterschiedes zur Länge des beschriebenen Bogens finden, so hat man auch das Verhältniss des Incrementes oder Decrementes des Widerstandes zur grössern oder kleinern Geschwindigkeit.

§. 42. Allgemeine Anmerkung. Nach diesen Sätzen kann man durch Pendelschwingungen den Widerstand der Mittel finden; denjenigen, welchen die Luft ausübt, habe ich durch folgende Versuche ermittelt.

Eine hölzerne, 577/22 Unzen wiegende Kugel, welche 67/8 Zoll im Durchmesser hatte, hing ich mittelst eines dünnen Fadens an einen hinreichend festen Nagel auf, so dass zwischen diesem und dem Schwingungspunkte der Kugel ein Abstand von 10,5 Fuss stattfand. Am Faden bezeichnete ich einen Punkt in 10 Fuss 1 Zoll Entfernung vom Aufhängepunkte und brachte in der Richtung dieses Punktes ein in Zolle getheiltes Lineal an, mittelst dessen ich die Länge der vom Pendel beschriebenen Bogen erkennen konnte. Hierauf zählte ich die Schwingungen, in denen die Kugel 1/8 ihrer Bewegung verlor.

Brachte man zuerst das Pendel in einen Abstand von 2 Zoll aus der vertikalen Richtung und liess es hierauf los, so dass es während seines ganzen Falles einen Bogen von 2 Zoll, und während der ganzen ersten, aus dem Falle und nächstfolgenden Steigen zusammengesetzten Schwingung einen Bogen von beinahe 4 Zoll beschrieb; so verlor es nach 164 Schwingungen 1/8 seiner Bewegung, und beschrieb beim letzten Steigen einen Bogen von 1¾ Zoll.

Beschrieb es beim ersten Falle einen Bogen von 4 Zoll, so verlor es 1/8 seiner Bewegung nach 121 Schwingungen, dergestalt dass es beim letzten Steigen einen Bogen von 3½ Zoll beschrieb. Wenn es ferner beim ersten Falle der Reihe nach einen Bogen von

8, 16, 32, 64 Zoll

beschrieb, so verlor es 1/8 seiner Bewegung bezüglich nach

69, 35½, 18½, 9⅔

Schwingungen. Der Unterschied zwischen den, beim ersten Falle und letzten Steigen beschriebenen Bogen, war daher im ersten, zweiten, dritten, vierten, fünften und sechsten Versuche respective

¼, ½, 1, 2, 4, 8 Zoll.

Dividirt man jeden dieser Unterschiede durch die Anzahl der ihm entsprechenden Schwingungen, so erhält man im Mittel bei Einer Schwingung, in welcher ein Bogen von

3¾, 7½, 15, 40, 60, 120 Zoll

beschrieben wurde, für den Unterschied der, bei einem Falle und dem nächstfolgenden Steigen beschriebenen, Bogen respective die Zahlen:

1/656, 1/242, 1/69, 4/71, 8/37, 24/29.^[10]

Diese stehen bei den grössern Schwingungen sehr nahe im doppelten Verhältniss der beschriebenen Bogen, bei den kleinern hingegen in einem etwas grössern, und daher steht (nach §.41, Zusatz 2. dieses Buches) der Widerstand der Kugel, im Fall sie sich schneller bewegt, sehr nahe im doppelten Verhältniss der Geschwindigkeit; wenn die Bewegung langsamer erfolgt, in einem etwas grössern Verhältniss. Ganz wie in den Zusätzen zu §. 41. gezeigt worden ist.

Es bezeichne nun V die grösste Geschwindigkeit in jeder Schwingung, es seien A, B, C constante Grössen, und man setze den Unterschied der Bogen

1.   = A · V + B · V3/2 + CV².

Da die grössten Geschwindigkeiten in der Cycloïde sich wie die halben beim Schwingen beschriebenen Bogen, im Kreise aber wie die Sehnen jener halben Bogen verhalten, und da sie bei gleichen Bogen grösser in der Cycloïde als im Kreise, und zwar im Verhältniss der halben Bogen zu ihren Sehnen sind; da die Zeiten aber im Kreise grösser sind, als in der Cycloïde im umgekehrten Verhältniss der Geschwindigkeiten: so müssen die, dem Widerstände und dem Quadrate der Zeit zusammengenommen proportionalen, Unterschiede der Bogen sehr nahe in beiden Curven dieselben sein. Jene Unterschiede müssen nämlich in der Cycloïde zugleich mit dem Widerstände vergrössert werden, ungefähr im doppelten Verhältniss des Bogens zur Sehne; weil die Geschwindigkeit in demselben einfachen Verhältniss zunimmt und zugleich mit dem Quadrate der Zeit in demselben doppelten Verhältniss vermindert werden. Um daher zur Cycloïde überzugehen, muss man dieselben Unterschiede der Bogen nehmen, welche am Kreise beobachtet worden sind, die grössten Geschwindigkeiten aber den ganzen oder den halben Bogen, d. h. den Zahlen

½, 1, 2, 4, 8, 16

analog setzen.

Nehmen wir demnach im zweiten, vierten und sechsten Versuche für V respective die Zahlen 1, 4, 16 an, so erhalten wir für die gefundenen Unterschiede der Bogen die folgenden Gleichungen:

2.   $\scriptstyle {\scriptstyle {\begin{cases}{\frac {1}{242}}=A+B+C\\{\frac {4}{71}}=4A+8B+16C\\{\frac {24}{29}}=16A+64B+256C.\end{cases}}}$

Aus diesen Gleichungen erhält man durch gehörige Elimination

A = 0,0000916 B = 0,0010847 C = 0,0029058,

und der Unterschied der Bogen ist daher proportional:

3.   0,0000916 · V + 0,0010847 · V3/2 + 0,0029558 · V².

Da nun nach §. 40, Zusatz der Widerstand der Kugel in der Mitte des beschriebenen Bogens, wo die Geschwindigkeit = V ist, sich zu ihrem Gewichte verhält, wie

4. 7/11A · V + 7/10B · V3/2 + ¾C · V²^[11] zur Länge des Pendels; so erhält man nach der Substitution obiger Werthe von A, B und C das Verhältniss des Widerstandes der Kugel zu ihrem Gewichte, wie 5.   0,0000583 · V + 0,0007593V3/2 + 0,0022169 · V²

zur Länge des Pendels zwischen dem Aufhängepunkte und dem Lineale, d. h. zu 121 Zoll.

Da nun im zweiten, vierten und sechsten Versuche

respective V = 1, 4, 16

war, so wird das Verhältniss des Widerstandes zum Gewichte der Kugel in diesen drei Fällen

0,0030345 : 121 0,0417780 : 121 0,6170544 : 121.

Der Bogen, welchen der am Faden bezeichnete Punkt im sechsten Falle beschrieben hat, war 120 — 24/29 = 1195/29 Zoll.

Da nun der ungehörige Radius = 121 Zoll, und die Länge des Pendels zwischen dem Aufhängepunkt und dem Centrum der Kugel 126 Zoll betrug, so hat der Mittelpunkt der Kugel einen Bogen von 1243/31 Zoll beschrieben.^[12] Da ferner wegen des Widerstandes der Luft die grösste Geschwindigkeit des schwingenden Körpers nicht auf den untersten Punkt des beschriebenen Bogens trifft, sondern sich ungefähr in der Mitte des ganzen beschriebenen Bogens befindet; so wird dieselbe fast eben so gross sein, als wenn die Kugel bei ihrem Falle die Hälfte jenes Bogens, also 623/62 Zoll und zwar in einer Cycloïde, worauf wir die Bewegung des Pendels oben reducirt haben, beschrieben hätte. Jene Geschwindigkeit wird daher derjenigen gleich sein, welche eine perpendikulär fallende Kugel erlangen würde, wenn sie eine dem Sinus versus jenes Bogens gleiche Höhe beschriebe. Es verhält sich aber jener Sinus versus in der Cycloïde zum Bogen von 623/62 Zoll, wie dieser zur doppelten Pendellänge,^[13] und daher ist der Sinus versus = 15,278 Zoll. Jene Geschwindigkeit ist demnach dieselbe, welche ein Körper beim Falle durch 15,278 Zoll erlangen würde. Bei einer solchen Geschwindigkeit erleidet also die Kugel einen Widerstand, welcher sich zu ihrem Gewichte verhält, wie

6.   0,6170544 : 121

oder (wenn man nur den Widerstand betrachtet, welcher im doppelten Verhältniss der Geschwindigkeit steht), wie

7.   0,0022169 · V² : 121 = 0,0022169 · 16² : 121 = 0,56752 : 121.

Durch einen hydrostatischen Versuch habe ich aber gefunden, dass das Gewicht dieser hölzernen Kugel sich zu dem eines Wasserkörpers von derselben Grösse verhält, wie

8.   55 : 97

und 97/55 · 121 = 213,4; so wird der Wasserkörper bei seiner Bewegung mit der vorbezeichneten Geschwindigkeit einen Widerstand erleiden, welcher sich zu seinem Gewicht verhält, wie

9.   0,56752 : 213,4 = 1 : 376,02.

Da nun das Gewicht der Wasserkugel in der Zeit, in welcher sie, gleichförmig sich fortbewegend, einen Weg von 30,556 Zoll beschreibt, jene ganze Geschwindigkeit in der fallenden Kugel erzeugen konnte; so wird offenbar die gleichförmig fortwirkende Kraft des Widerstandes eine im Verhältniss 1 : 376,02 kleinere Geschwindigkeit, d. h. $\scriptstyle {\frac {1}{376,02}}$ der ganzen Geschwindigkeit aufheben können. Demnach wird die Kugel während der Zeit, wo sie mit gleichförmiger Geschwindigkeit sich bewegend, die Länge ihres Halbmessers = 37/16 Zoll zurücklegen könnte, $\scriptstyle {\frac {1}{3342}}$ ihrer Bewegung verlieren.^[14]

Ich zählte ferner die Schwingungen, nach denen das Pendel den vierten Theil seiner Bewegung verlor. In der folgenden Tabelle bezeichnen die oberen Zahlen die, in Zollen ausgedruckte, Länge des beim ersten Fallen beschriebenen Bogens, die folgenden die Länge des beim letzten Steigen beschriebenen Bogens und die letzten Zahlen die Anzahl der Schwingungen. Diesen Versuch habe ich als genauer bezeichnet, wie denjenigen, bei welchem der achte Theil der Bewegung verloren ging. Die Rechnung mag jeder, dem es beliebt, versuchen.

Erstes Fallen	2	4	8	16	32	64
Letztes Steigen	3/2	3	6	12	24	48
Zahl der Schwingungen	374	272	162½	83⅓	41⅔	22⅔.

Später hing ich eine Bleikugel von 2 Zoll im Durchmesser und 26¼ Unzen an Gewicht an demselben Faden auf, so dass zwischen dem Centrum der Kugel und dem Aufhängepunkt ein Zwischenraum von 10½ Fuss stattfand und zählte die Schwingungen, in denen ein bestimmter Theil der Bewegung verloren ging. Von den folgenden Tabellen stellt die erste die Zahl der Schwingungen dar, in denen der achte, die zweite diejenige Zahl, wobei der vierte Theil der Bewegung verloren ging.

Erstes Fallen	1	2	4	8	16	32	64
Letztes Steigen	7/8	7/4	7/2	7	14	28	56
Zahl der Schwingungen	226	228	198	140	90½	53	30
Erstes Fallen	1	2	4	8	16	32	64
Letztes Steigen	¾	3/2	3	6	12	24	48
Zahl der Schwingungen	510	518	420	318	204	121	70

Wählt man in der ersten Tabelle die dritte, fünfte und siebente Beobachtung und drückt die grössten Geschwindigkeiten bei denselben besonders durch die Zahlen 1, 4, 16 respective und allgemein durch V aus; so erhalten wir in Gl. 2

10.   $\scriptstyle {\scriptstyle {\begin{cases}{\frac {\frac {1}{2}}{193}}=A+B+C\\{\frac {2}{90,5}}=4A+8B+16C\\{\frac {8}{30}}=16A+64B+256C\end{cases}}}$

Aus diesen Gleichungen ergiebt sich durch gehörige Elimination

A = 0,001414 B = 0,000297 C = 0,000879

Der Widerstand der, mit der Geschwindigkeit V sich bewegenden Kugel, verhält sich daher, wie in Gl. 4., zu ihrem Gewicht von 26¼ Unzen, wie

11.   0,0009 · V + 0,000208 V^3/2 + 0,000659 V²

zur Pendellänge von 121 Zoll.

Ziehen wir nur den Theil des Widerstandes in Betracht, welcher im doppelten Verhältniss der Geschwindigkeit steht, so geht dieses Verhältniss über in

12.   0,000659 · V² : 121. Dieser Theil des Widerstandes verhielt sich beim ersten Versuche zum Gewichte der hölzernen Kugel von 577/22 Unzen (Gl. 7.) wie 0,002217 · V² : 121.

Bei gleicher Geschwindigkeit verhält sich daher der Widerstand der hölzernen Kugel zu dem der bleiernen, wie

0,002217 · 577/22 : 0,000659 · 26¼,

d. h. wie

13.   7⅓ : 1.

Die Durchmesser beider Kugeln betrugen 67/8 und 2 Zoll, deren Quadrate sich beiläufig verhalten wie

14.   47¼ : 4 oder wie 1113/16 : 1;

daher steht der Widerstand gleich schnell sich bewegender Körper in einem kleinem Verhältniss der Durchmesser, als dem doppelten.

Wir haben nun noch nicht den Widerstand des Fadens in Betracht gezogen, welcher gewiss sehr gross war und von dem gefundenen Widerstande der Pendel abgezogen werden muss. Genau habe ich ihn nicht bestimmen können, jedoch fand ich ihn grösser als ⅓ des Widerstandes, welchen das kleinere Pendel erleidet. Hieraus nahm ich ab, dass der Widerstand der Pendel, nach Abzug des durch den Faden hervorgebrachten Theiles desselben, sehr nahe im doppelten Verhältniss der Durchmesser stehe, indem nämlich

15.   7⅓ - ⅓ : 1 — ⅓ = 7 : ⅔ = 10,5 : 1

welches Verhältniss dem unter 14. gefundenen doppelten der Durchmesser sehr nahe kommt.

Da der Widerstand des Fadens bei grösseren Kugeln von geringerem Belang ist, so machte ich auch einen Versuch mit einer Kugel von 18¾ Zoll im Durchmesser. Die Länge des Pendels zwischen dem Aufhänge- und dem Schwingungspunkte betrug 122½ Zoll, die zwischen dem ersteren und dem Knoten am Faden 109½ Zoll. Der beim ersten Fallen vom Knoten beschriebene Bogen betrug 32 Zoll, der beim letzten Steigen nach 5 Schwingungen^[15] beschriebene Bogen 60 und ihr Unterschied 4 Zoll. Der zehnte Theil des letzteren, oder der Unterschied der beim Fallen und Steigen in einer mittleren Schwingung beschriebenen Bogen betrug 2/5 Zoll. Nun verhält sich der Radius

16.   109½ : 122½,

wie der ganze mittlere, vom Knoten beschriebene Bogen 60 zum Bogen von 671/8 Zoll, welchen der Mittelpunkt der Kugel in einer mittleren Schwingung beschrieben hat. In demselben Verhältniss steht der Unterschied 2/5 des ersteren, zu dem = 0,4475 des letzteren. Wird bei unveränderter Länge des Bogens die Pendellänge im Verhältniss

17.   126 : 122,5 vergrössert, so wird die Schwingungszeit in jenem halben Verhältniss vergrössert und die Geschwindigkeit in demselben vermindert, und der Unterschied 0,4475 der beim Fallen und nächstfolgenden Steigen beschriebenen Bogen unverändert bleiben. Würde hierauf der beschriebene Bogen im Verhältniss 18.   1243/31 : 671/8

vergrössert, so müsste der Unterschied 0,4475 in jenem doppelten Verhältniss wachsen und so in 1,5295 übergehen. Dies folgt aus der Voraussetzung, dass der Widerstand im doppelten Verhältniss der Geschwindigkeit stehe. Beschriebe also das Pendel den ganzen Bogen von 1243/31 Zoll, und betrüge seine Länge zwischen dem Aufhänge- und Schwingungspunkt 126 Zoll, so würde der Unterschied der beim Fallen und nächstfolgenden Steigen beschriebenen Bogen 1,5295 Zoll betragen. Multiplicirt man diesen Unterschied in das Gewicht der Kugel, welches 208 Unzen betrug, so ergibt sich das Produkt 318,136. Als ferner das frühere, aus einer hölzernen Kugel construirte Pendel, bei einer Entfernung von 126 Zoll zwischen dem Aufhänge- und dem Schwingungspunkte, den ganzen Bogen von 1243/31 Zoll (Gl. 18.) beschrieb, war der Unterschied der beim Fallen und Steigen beschriebenen Bogen $\scriptstyle {\frac {126}{121}}\cdot {\frac {8}{9{\frac {2}{3}}}}$ und multiplicirt man diesen in das Gewicht der Kugel von 57,7/22 Unzen; so ergiebt sich das Produkt 49,396. Ich habe diese Unterschiede in die Gewichte der Kugeln multiplicirt, um den Widerstand der letzteren zu finden. Die Unterschiede entspringen nämlich aus den Widerständen und verhalten sich direct wie diese und indirect wie die Gewichte. Demnach verhalten sich die Widerstände beider Kugeln, wie die Zahlen

19.   318,136 : 49,396.

Der Theil vom Widerstande der kleineren Kugel, welcher im doppelten Verhältniss der Geschwindigkeit steht, verhält sich zum ganzen Widerstande (Gl. 6. und 7.) wie 0,56752 : 0,61705 = x : 49,396, wonach

20.   x = 45,430.

Der Theil des Widerstandes der grösseren Kugel ist nahezu dem ganzen Widerstande gleich, daher verhalten sich jene Theile nahezu wie

21.   318,136 : 45,430, d. h. wie 7 : 1.

Die Durchmesser der Kugeln verhalten wie 18¾ : 67/8, ihre Quadrate wie

22.   7,438 : 1,

d. h. sehr nahe wie die Widerstände beider Kugeln.

Der Unterschied dieser beiden Verhältnisse ist nicht grösser, als er aus dem Widerstande des Fadens entspringen konnte. Daher verhalten sich jene Theile der Widerstände, welche bei gleichen Kugeln dem Quadrat der Geschwindigkeit proportional sind, auch bei gleichen Geschwindigkeiten, wie die Quadrate der Kugel-Durchmesser.

Uebrigens war die grösste der bei diesen Versuchen angewandten Kugeln nicht vollkommen sphärisch geformt, und daher habe ich bei der hier aufgeführten Rechnung einige Kleinigkeiten der Kürze wegen vernachlässigt; ich kümmerte mich nämlich nicht um eine genaue Rechnung bei nicht hinreichend genauen Versuchen. Ich wünschte daher wohl, dass man Versuche mit mehreren und grösseren Kugeln, und auf genauere Weise anstellen möchte.

Nimmt man die Durchmesser der Kugeln in geometrischer Progression, nämlich 4, 8, 16, 32 Zoll, so kann man aus der Progression der, aus den Versuchen sich ergebenden, Resultate schliessen, was bei noch grösseren Kugeln erfolgen müsse.

Ich stellte hierauf folgende Versuche an, um den Widerstand verschiedener Flüssigkeiten unter sich zu vergleichen. Ich verfertigte einen hölzernen 4 Fuss langen und 1 Fuss breiten und hohen. Kasten. Nachdem sein Deckel fortgenommen war, füllte ich ihn mit Quellwasser an und bewirkte, dass die darin eingetauchten Pendel sich in der Mitte des Wassers schwingend bewegten. Eine Bleikugel, welche 1661/6 Unzen schwer war und 33/8 Zoll im Durchmesser hatte, bewegte sich so, wie die folgende Tabelle es angibt, wobei die Länge des Pendels zwischen dem Aufhänge- und einem am Faden bezeichneten Punkte 126, zwischen dem ersteren und dem Schwingungspunkte 1343/8 Zoll betrug.

Bogen, durch den am Faden bezeichneten Punkt beim ersten Fallen beschrieben	64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, ½, ¼ Zoll.
Bogen, beim letzten Steigen beschrieben	48, 24, 12, 6, 3, 3/2, ¾, 3/8, 3/16 Zoll
Unterschied beider Bogen, der verlorenen Bewegung proportional	16, 8, 4, 2, 1, ½, ¼, 1/8, 1/16 Zoll.
Anzahl der Schwingungen im Wasser	29/60, 11/5, 3, 7, 11¼, 12⅔, 13⅓ Zoll.
Anzahl der Schwingungen in der Luft	85½, 287, 535 Zoll.

In dem Versuche der vierten Columne wurden gleiche Bewegungen in der Luft nach 535, im Wasser nach 11/5 Schwingungen verloren; die ersteren erfolgten aber etwas schneller, als die letzteren. Wenn daher diese Schwingungen in dem Verhältniss beschleunigt würden, dass die Pendelbewegung in beiden Mitteln gleich schnell erfolgte; so würde die Zahl 11/5 der Schwingungen im Wasser, nach denen dieselbe Bewegung wie vorhin verloren ginge (weil der Widerstand in jenem doppelten Verhältniss wächst und die Zeit in demselben einfachen Verhältniss abnimmt) unverändert bleiben.

Bei gleicher Geschwindigkeit der Pendel würden daher gleiche Bewegungen in der Luft nach 535, im Wasser nach 11/5 Schwingungen verloren gehen, und es verhält sich daher der Widerstand des Pendels im Wasser zu dem in der Luft, wie

22.   535 : 11/5.

Dies ist das Verhältniss der ganzen Widerstände für die Angaben der vierten Columne.

Es bezeichnen nun (Gl. 1.)

23.   AV + CV²

den Unterschied der Bogen, welche eine mit der grössten Geschwindigkeit V sich in der Luft bewegende Kugel beim Fallen und nächstfolgenden Steigen beschreibt. Da die grösste Geschwindigkeit in der vierten Columne sich zu der in der ersten Columne verhält, wie 1 : 8, und der Unterschied der Bogen für dieselben Versuche sich verhält, wie $\scriptstyle {\frac {2}{535}}:{\frac {16}{85,5}}$ = 85,5 : 4280; so setzen wir in beiden Fällen respective 1 und 8 für die Geschwindigkeiten, so wie 85,5 und 4280 für die Unterschiede der Bogen, und erhalten so nach 23., zur Bestimmung von A und C die Gleichungen :

24.   $\scriptstyle {\begin{cases}A+C=85,5\\8A+64C=4280.\end{cases}}$

Aus ihnen ergibt sich: A = 212/7, C = 643/14, und so der Widerstand, welcher sich (nach Gl. 4.) wie 7/11AV + ¾CV² verhält, nun proportional

25.   136/11 · V + 489/56 · V².

Für die vierte Columne, wo die Geschwindigkeit = 1 war, verhält sich der ganze Widerstand zu dem, dem Quadrate der Geschwindigkeit proportionalen, Theile wie

26.   166/11 + 489/56 : 489/56 = 6112/17 : 48 9/56.

Es verhält sich daher der Widerstand des Pendels im Wasser zu dem Theile des Widerstandes in der Luft, welcher dem Quadrat der Geschwindigkeit proportional ist und bei schnellen Bewegungen allein in Betracht gezogen zu werden braucht (Gl. 22. und 26.) wie 6112/17 : 489/56 und 535 : 11/5 zusammengenommen, d. h. wie

27.   571 : 1.

Wäre bei dem im Wasser schwingenden Pendel der ganze Faden eingetaucht worden, so würde der Widerstand noch grösser ausgefallen sein, dergestalt dass jener Widerstand des im Wasser schwingenden Pendels, welcher dem Quadrat der Geschwindigkeit proportional ist und bei einer schnellen Bewegung allein in Betracht kommt, sich zum Widerstände desselben ganzen, mit derselben Geschwindigkeit in der Luft schwingenden, Pendels verhält wie ungefähr

28.   850 : 1,

d. h. sehr nahe, wie die Dichtigkeit des Wassers zur Dichtigkeit der Luft.

Bei dieser Rechnung sollte auch der Theil des Widerstandes des Pendels im Wasser in Betracht genommen werden, welcher dem Quadrat der Geschwindigkeit proportional ist; allein der Widerstand nahm (was vielleicht wunderbar erscheint) in einem grösseren Verhältniss als dem doppelten der Geschwindigkeit zu. Bei der Aufsuchung der dies bewirkenden Ursache verfiel ich darauf, dass wohl der Kasten für die Grösse der Pendelkugel zu eng war und die Bewegung des ausweichenden Wassers zu sehr durch seine Enge verhinderte. Wurde nämlich eine Pendelkugel von 1 Zoll im Durchmesser eingetaucht, so nahm der Widerstand sehr nahe im doppelten Verhältniss der Geschwindigkeit zu. Ich untersuchte dies, indem ich ein Pendel mit zwei Kugeln construirte, von denen die untere und kleinere im Wasser schwang, die obere und grössere nahe über demselben am Faden befestigt war und, indem sie so in der Luft schwang, die Bewegung des Pendels unterstützte und ihre Dauer vergrösserte. Die auf diese Weise angestellten Versuche verhielten sich, wie die folgende Tabelle es darstellt.

Bogen, beim ersten Fallen beschrieben	16, 8, 4, 2, 1, ½, ¼,
„ „ letzten Steigen „	12, 6, 3, 3/2, ¾, 3/8, 3/16
Unterschied beider, der verlorenen Bewegung proportional	4, 2, 1, ½, ¼, 1/8, 1/16
Zahl der Schwingungen	33/8, 6½, 121/12, 211/5, 34, 58, 621/5.

Bei der Vergleichung der Widerstände verschiedener Mittel untereinander liess ich auch ein eisernes Pendel in Quecksilber schwingen. Der Pendelfaden war etwa 3 Fuss lang, die Kugel hatte beiläufig ⅓ Zoll im Durchmesser. Am Faden war, nahe über dem Quecksilber, eine andere bleierne Kugel befestigt von hinreichender Grösse, um der Bewegung des Pendels eine längere Dauer zu verschaffen. Hierauf fällte ich das Gefäss, welches etwa 3 Pfund Quecksilber fasste, abwechselnd mit Quecksilber und Wasser an, um das Verhältniss der Widerstände zu finden, welches das nach und nach in beiden Flüssigkeiten schwingende Pendel erlitt. Es ergab sich der Widerstand des Quecksilbers zu dem des Wassers, wie ungefähr

29.   13 oder 14 : 1,

d. h. wie ihre Dichtigkeiten. Wenn ich eine etwas grössere Pendelkugel anwandte, deren Durchmesser nämlich ⅓ oder ⅔ Zoll betrug, so ergab sich jener Widerstand wie ungefähr

30.   12 oder 10 : 1.

Dem ersten Versuche ist aber mehr zu trauen, weil bei dem letzten das Gefäss, im Verhältniss zur Grösse der eingetauchten Kugel, zu eng war. Bei einer grössern Kugel hätte auch ein weiteres Gefäss angewandt werden sollen. Ich hatte zwar die Absicht, Versuche dieser Art in grösseren Gefässen mit geschmolzenen Metallen und einigen andern, sowohl kalten als warmen, Flüssigkeiten zu wiederholen; allein es fehlte mir an Zeit, um alle Versuche anzustellen. Aus den bereits beschriebenen ergibt sich zur Genüge, dass der Widerstand von Körpern, welche sich in Flüssigkeiten schnell bewegen, den Dichtigkeiten der letztern sehr nahe proportional sei. Ich sage nicht genau. Denn zähere Flüssigkeiten werden ohne Zweifel, bei gleicher Dichtigkeit, einen grössern Widerstand ausüben, als solche, welche flüssiger sind; demnach kaltes Gel einen grössern als warmes, dieses einen grössern als Regenwasser und letzteres einen grössern als Weingeist. In Flüssigkeiten aber, welche für das Gefühl hinreichend flüssig erscheinen, wie in der Luft, in süssem oder salzigem Wasser, Weingeist, Spiritus von Terpentin und Salzen in Gel, welches durch Destillation vom Bodensatz befreit und erwärmt ist, in Vitriolöl und Quecksilber, in flüssig gemachten Metallen und allen andern so flüssigen Mitteln, dass sie, in Gefässen fortbewegt, die mitgetheilte Bewegung eine Zeit lang beibehalten und frei ausgegossen, herablaufend sich in Tropfen auflösen; in allen diesen Mitteln wird ohne Zweifel die angeführte Regel genau genug gelten, besonders wenn die Versuche mit grössern und schneller sich bewegenden Pendeln angestellt weiden.

Nach der von vielen angenommenen Meinung existirt ein gewisses ätherisches und sehr lockeres Mittel, welches alle Poren und Zugänge eines jeden Körpers ganz frei durchwandert; aus einem solchen Mittel, welches die Poren der Körper durchströmt, muss ein Widerstand entspringen. Um zu bestimmen, ob der durch Versuche an bewegten Körpern gefundene Widerstand ganz an ihrer äussern Oberfläche stattfinde, oder ob auch die innern Theile an ihren eigenen Oberflächen einen merklichen Widerstand erleiden, erdachte ich folgenden Versuch. An einem 11 Fuss langen Faden, welcher mittelst eines stählernen Ringes von einem hinreichend festen stählernen Nagel herabhing, befestigte ich eine Büchse von Tannenholz, um so ein Pendel von der oben bezeichneten Länge herzustellen. Der Nagel war oberhalb sehr scharf mit concav geformter Schneide versehen, so dass der Ring, wenn er mit seinem obern Bogen auf der Schneide ruhete, sich ganz frei bewegen konnte. An dem untern Bogen war der Faden befestigt. Das so hergestellte Pendel brachte ich um einen Abstand von etwa 6 Fuss aus der perpendikulären Richtung und zwar in der Ebene, welche auf die Schneide des Nagels perpendikulär war, damit nämlich der Ring beim Schwingen des Pendels oberhalb der Schneide nicht hin und herschwanken sollte. Der Aufhängepunkt, in welchem der Ring den Nagel berührt, muss nämlich unbewegt bleiben. Ich bezeichnete nun genau den Ort, zu welchem ich das Pendel geführt, und nachdem ich es losgelassen hatte, auch die drei Orte, zu denen es am Ende der ersten, zweiten und dritten Schwingung zurückkehrte. Diess wiederholte ich mehrmals, um jene Orte so genau als möglich zu bestimmen. Hierauf füllte ich die Büchse mit Blei und andern schweren Metallen, welche ich zur Hand hatte. Vorher aber wog ich die leere Büchse zugleich mit dem Theile des Fadens, welcher um dieselbe gewickelt war, wie auch mit der Hälfte vom übrigen Theile des letztern, der zwischen Nagel und Pendelbüchse angespannt war. Der gespannte Faden wird nämlich auf das, aus der perpendikulären Richtung gebrachte, Pendel immer mit der Hälfte seines Gewichtes wirken. Zu diesem Gewichte fügte ich dasjenige der Luft, welche die ganze Büchse fassen konnte. Das ganze Gewicht betrug ungefähr 1/78 desjenigen, welches die mit Metall angefüllte Büchse hatte. Da nun durch das letztere Gewicht der Faden angespannt und so die Länge des Pendels vergrössert wird, zog ich den Faden zusammen, um die frühere Länge herzustellen. Führte ich nun das Pendel zu dem zuerst bezeichneten Punkte und liess es dann los, so zählte ich ungefähr 77 Schwingungen, bis es zu dem zweiten, hierauf eben so viel, bis es zum dritten und dann eben so viel, bis es zum vierten Punkte zurückkehrte. Hieraus schloss ich, dass der ganze Widerstand der vollen Büchse zu dem der leeren kein grösseres Verhältniss habe, ab das 78 : 77. Wären nämlich die Widerstände beider einander gleich, so müsste die volle Büchse, weil sie mit einer 78 mal grösseren Kraft ausgestattet ist als die leere, ihre schwingende Bewegung um eben so viel länger beibehalten, also immer nach 78 Schwingungen zu den bezeichneten Orten zurückkehren. Es geschieht aber bereits nach 77 Schwingungen.

Es bezeichne daher A den Widerstand der Büchse an ihrer äussern Seite, B den an den innern Theilen der leeren Büchse, und wenn der Widerstand gleich schneller Körper in den innern Theilen der Materie oder der Menge der Theilchen, welche einen Widerstand erleiden, proportional ist; so wird 78 B der Widerstand im Innern der vollen Büchse sein. Es ist ferner A + B der ganze Widerstand der leeren A + 78 B der ganze Widerstand der vollen Büchse, und wir haben

A + B : A + 78 B = 77 : 78 A + B : 77 B = 77 : 1 A + B : B = 77² : 1

endlich

31.   A : B = 5928 : 1.

Es ist also der Widerstand im Innern der leeren Büchse beinahe 6000 mal kleiner, als der an der äussern Oberfläche stattfindende. Dies schliessen wir vermöge der Hypothese, dass jener grössere Widerstand der vollen Büchse nicht aus irgend einer andern verborgenen Ursache, sondern aus der Wirkung einer gewissen lockern Flüssigkeit auf das eingeschlossene Metall entspringe.

Diesen Versuch habe ich aus dem Gedächtniss mitgetheilt, da das Papier, worauf ich ihn einst beschrieben hatte, verloren gegangen ist. Ich war daher gezwungen, einige Bruchtheile der Zahlen fortzulassen, weil sie meinem Gedächtniss entschwunden waren. Den ganzen Versuch aufs neue anzustellen, mangelte es mir an Zeit.

Beim ersten Versuche hatte ich mich eines nicht ganz festen Nagels bedient, und dadurch wurde die volle Büchse schneller zur Ruhe gebracht. Da ich nach dem Grunde forschte, fand ich, dass der unfeste Nagel dem Gewichte der Büchse nachgab und, indem er ihren Schwingungen folgte, sich nach allen Seiten hinneigte. Ich brachte daher einen festen Nagel an, damit der Aufhängepunkt unbewegt bliebe, und dann trug sich alles nach obiger Beschreibung zu.

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Bemerkungen und Erläuterungen [des Übersetzers]

1. No. 151. S. 296. Bezeichnen M, P, T, L die Menge der Materie, das Gewicht, die Zeit und die Lange bei einem Pendel, m, p, t, l dieselben Grössen bei einem zweiten; so ist nach dem Lehrsatz, §. 34. für L = l, T² : t² = $\scriptstyle {\frac {M}{P}}:{\frac {m}{p}}$, für M = m und P = p, T² : t² = L : l daher überhaupt T² : t² = $\scriptstyle {\frac {ML}{P}}:{\frac {ml}{p}}$. Hieraus folgt M : m = $\scriptstyle {\frac {P\cdot T^{2}}{L}}:{\frac {pt^{2}}{l}}$, wie im Zusatz 5., ferner wird für T = t und M = m, L : l = P : p, wie in Zusatz 4.
2. No. 152. S. 302. Ist x die Geschwindigkeit, c eine Constante, so hat man nach der Voraussetzung R = ex², mithin dR = 2cxdz, und da x der in einem gegebenen Zeittheilchen beschriebene Weg, und dx, das Increment der Geschwindigkeit der antreibenden Kraft proportional ist, wenn wir das Zeittheilchen durch dt bezeichnen dR proportional x (V — R).
3. No. 153. S. 302. (Fig. 170.) Fällt RG auf QE, so wird OR = OQ und JGH = JEF und daher die Gleichung $\scriptstyle {\frac {OR}{OQ}}$ · JEF = JGH identisch. Fällt RG auf CT, so wird OR = OC; JGH = JLT, also $\scriptstyle {\frac {OC}{OQ}}$ · JEF = JLT, welche Gleichung nach 1. richtig ist.
4. No. 154. S. 303. Aus der Proportion dieses Zusatzes folgt $\scriptstyle {\frac {OR}{OQ}}$ · JEF = PJHR, also Y = $\scriptstyle {\frac {OR}{OQ}}$ · JEF — JGH = PJHR — JGH = PJGR

   und das Differential des Widerstandes = PJGR — Y = 0.

5. No. 155. S. 304. (Fig. 171.) Setzt man MC = x, also MN = dx, so wird die Summe aller MN · CM $\scriptstyle \int \limits _{Ca}^{CA}$ xdx = ½(CA² — Ca²) = ½(CA + Ca) (CA — Ca) = ½aB · Aa.

   Setzt man nun eben so DK = y, BD = x, Dd = dx, so wird die Summe aller DK · Dd = $\scriptstyle \int \limits _{a}^{Ba}$ ydx = d. h. gleich der Fläche BKVTa. Da nun jene Summen einander gleich, auch BKVTa = ½aB · Aa.

6. No. 156. S. 305. Setzt man kurz die Geschwindigkeit DE im nicht widerstehenden Mittel = Y, die entsprechende Geschwindigkeit DK im widerstehenden Mittel = y; so hat man nahe bei y : Y = Ba : BA, oder y = $\scriptstyle {\frac {Ba}{BA}}$Y und so BKVTa gleich einer Ellipse.
7. No. 157. S. 305. Da die Fläche der halben Ellipse = ½OV · BOπ, wo π die Ludolfsche Zahl, also genähert = $\scriptstyle {\frac {22}{7}}$ ist; so wird Aa · BO : OV · BO = ½OV · BO · π : OV · BO

   oder

   Aa : OV = ½π : 1 = 11 : 7.
8. No. 158. S. 305. Es wird nämlich 7/11Aa : CB = OV : CB, wo CB der Pendellänge gleich ist und die Schwerkraft ausdrückt, während OV den Widerstand in O bezeichnet.

9. 

   Fig. 250.

   No. 159. S. 305. Setzt man nämlich VO = x, VL = x', OB = y, KL = y'; so ist nach der Voraussetzung DK = c · DE² = c · DP · Da wo c eine Constante bezeichnet. Da nun DK = VO — VL = x — x'; DB = BO — KL = y — y' und da = aO + OD = y + y', so wird x — x' = c (y² — y'²) die Gleichung einer Parabel, da für x' = 0 und y' = 0 x = cy² wird.

10. No. 160. S. 307. Setzen wir die im Texte erhaltenen mittleren Differenzen der beschriebenen Bogen $\scriptstyle {\frac {1}{656}}$ = a, $\scriptstyle {\frac {1}{242}}$ = b, $\scriptstyle {\frac {1}{69}}$ = c, $\scriptstyle {\frac {4}{71}}$ = d, $\scriptstyle {\frac {8}{37}}$ = e, $\scriptstyle {\frac {24}{29}}$ = f, so erhalten wir deren Verhältnisse, welche die Widerstände andeuten: $\scriptstyle {\frac {a}{a}}$ = 1, $\scriptstyle {\frac {b}{a}}$ = 2,7107, $\scriptstyle {\frac {c}{a}}$ = 9,5072 $\scriptstyle {\frac {d}{a}}$ = 36,9570, $\scriptstyle {\frac {e}{a}}$ = 141,8878, $\scriptstyle {\frac {f}{a}}$ = 542,8965.

    Die auf einander folgenden Schwingungen seien A = $\scriptstyle {\frac {15}{4}}$, B = $\scriptstyle {\frac {15}{2}}$, C = 15, D = 30, E = 60, F = 120 und es wird offenbar (A : A)² = 1, (B : A)² = 4, (C : A)² = 16, (D : A)² = 64, (E : A)² = 256, (F : A)² = 1024. Während diese Zahlen nach einander im constanten Verhältniss 1 : 4 stehen, nähern sich die vorher aufgeführten Zahlen diesem Verhältniss, indem

    a : b = 1 : 2,7107, b : c = 1 : 3,5057, c : d = 1 : 3,8873, d : e = 1 : 3,8381, e : f = 1 : 3,8276.
11. No 161. S. 308. Betrachtet man den Widerstand der Kugel als aus drei Theilen bestehend, von denen der erste der Geschwindigkeit V selbst, der zweite ihrer 3/2ten Potenz, der dritte ihrer 2ten Potenz proportional ist;

    so ist der Coëfficient des	ersten	nach §. 40., Zusatz	= 7/11,
    „ „ „ „	dritten Theiles	„ „	= ¾

    und weil V^3/2 = $\scriptstyle {\sqrt {V\cdot V^{2}}}$, der Coëfficient des zweiten Theiles = $\scriptstyle {\sqrt {{\frac {7}{11}}\cdot {\frac {3}{4}}}}$ = 0,69085, oder näherungsweise = 7/10 Texte.

12. No. 162. S. 309. Da die Radien dem Bogen proportional sind, haben wir 121 : 1195/29 = 126 : x, x = 124 + 2,8/29 = 1243/31 sehr nahe.

13. 

    Fig. 251.

    No. 163. S. 309. Für den Umwälzungswinkel PQN = z und den Radius des erzeugenden Kreises PQ = r, ist bei der Cycloïde DPS, DN = x = sinus versus z = 2r sin ½z², DP = 4r sin ½z, DS = 4r sin ½π = 4r = der Pendellänge; also

    2r sin ½z² : 4r sin ½z = 4r sin ½z : 2 · 4r wie im Text.
14. No. 164. S. 309. Wir nehmen an, dass der Verlust an Bewegung der Kugel ihrem zurückgelegten Wege proportional sei. Wir haben daher nach dem Vorhergehenden die Proportion 30,656 : 3,4375 = $\scriptstyle {\frac {1}{376,02}}$ : x und hieraus x = $\scriptstyle {\frac {1}{3342}}$. In der ersten Ausgabe stand $\scriptstyle {\frac {1}{3261}}$
15. No. 165. S. 311. Wie aus dem Folgenden hervorgeht, kann Newton unter den 5 Schwingungen nur doppelte verstanden haben, welche aus zweimaligen Fallen und Steigen zusammengesetzt waren.

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