Mathematische Principien der Naturlehre/Buch2-V

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Mathematische Principien der Naturlehre (1872) von Isaac Newton, übersetzt von Jakob Philipp Wolfers
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ABSCHNITT V.

Von der Dichtigkeit und der Zusammendrückung der Flüssigkeiten und von der Hydrostatik.

§. 26. Erklärung. Eine Flüssigkeit ist jeder Körper, dessen Theile einer jeden einwirkenden Kraft nachgeben und, indem sie nachgeben, leicht unter einander bewegt werden.

§. 27. Lehrsatz. Alle Theile einer gleichartigen und unbewegten Flüssigkeit, welche in einem beliebigen unbewegten Gefässe eingeschlossen und von allen Seiten zusammengedrückt wird, werden (indem wir die Betrachtung der Verdichtung, der Schwere und aller Centripetalkräfte zur Seite liegen lassen ) überall gleich stark gedrückt und bleiben, ohne jede aus dem Druck entspringende Bewegung, an ihren Orten.

1. Fall. In einem sphärischen Gefässe ABC werde eine Flüssigkeit eingeschlossen und von allen Seiten gleichmässig gedrückt; alsdann wird kein Theil derselben durch jenen Druck in Bewegung gesetzt werden. Sollte nämlich etwa ein Theil D sich bewegen, so müssten nothwendig alle derartigen Theile, welche überall gleich weit vom Mittelpunkte abstehen, sich auf ähnliche Weise und zugleich bewegen, weil alle einen ähnlichen und gleichen Druck erleiden und alle Bewegung ausgeschlossen wird, welche nicht aus jenem Drucke entspringt. Allein es können sich alle nur dann dem Centrum nähern, wenn die Flüssigkeit sich gegen das letztere hin verdichtet, was gegen die Voraussetzung ist. Eben so können sie sich nur dann von ihm entfernen, wenn die Verdichtung der Flüssigkeit gegen den Umfang zu erfolgt, was ebenfalls gegen die Voraussetzung ist. Sie können sich auch nicht, indem sie gleichen Abstand vom Centrum beibehalten, nach irgend einer Seite hin bewegen, weil sie sich aus demselben Grunde nach der entgegengesetzten Seite hin bewegen würden, derselbe Theil sich aber nicht zugleich nach zwei einander entgegengesetzten Richtungen bewegen kann. Es wird daher kein Theil der Flüssigkeit sich von seinem Orte entfernen. W. z. b. w.

2. Fall. Ich behaupte jetzt, dass alle sphärischen Theile dieser Flüssigkeit von allen Seiten gleich stark gedrückt werden. Es sei EF ein kugelförmiger Theil derselben, und man nehme an, derselbe werde von allen Seiten nicht gleich stark gedrückt. Alsdann würde der geringere Druck wachsen, bis von allen Seiten her gleicher Druck stattfände, und seine Theile würden, nach 1. Fall, ebenfalls au ihren Orten verharren, und sie würden nach der Hinzufügung des neuen Druckes, nach §. 26., von ihren Orten sich bewegen. Beides widerspricht einander. Es war daher die Annahme, dass die Kugel EF nicht überall stark gedrückt werde, falsch. W. z. b. w.

3. Fall. Ich behaupte ferner, dass verschiedene sphärische Theile gleichen Druck erleiden.

Sphärische Theile, welche sich berühren, drücken einander im Berührungspunkte, nach 3. Gesetz der Bewegung, gleich stark. Nach 2. Fall werden sie aber überall durch dieselbe Kraft gedrückt. Daher werden auch zwei beliebige, sich nicht berührende, kugelförmige Theile durch dieselbe Kraft gedrückt werden, weil ein zwischenliegender kugelförmiger Theil beide berühren kann. W. z. b. w.

4. Fall. Alle Theile der Flüssigkeit erleiden überall gleichen Druck. Zwei beliebige Theile können nämlich von sphärischen Stücken in beliebigen Punkten berührt werden, üben dort auf die letztern, nach 3. Fall, gleichen Druck aus und erleiden nun umgekehrt, nach 3. Gesetz der Bewegung, denselben Druck von ihnen. W. z. b. w.

5. Fall. Da also ein beliebiges Stück GHJ der Flüssigkeit in dem übrigen Theile der letztern wie in einem Gefässe eingeschlossen ist, und von allen Seiten gleich stark gedrückt wird; da seine einzelnen Theile aber sich wechselseitig gleich stark drücken, und unter sich ruhen: so müssen offenbar bei einem jeden Stücke GHJ, welches von allen Seiten gleich stark gedrückt wird, alle Theile auf einander gleichen Druck ausüben und unter sich ruhen.

6. Fall. Wird jene Flüssigkeit in einem nicht festen Gefässe eingeschlossen, und nicht gleich stark von allen Seiten gedrückt, so wird sie, nach §. 26., dem stärkeren Drucke nachgeben.

7. Fall. In einem festen Gefässe wird demnach eine Flüssigkeit von der einen Seite keinen stärkern Druck erleiden, als von der andern, wird aber vor demselben zurückweichen und zwar augenblicklich, weil die feste Seite des Gefässes der zurückweichenden Flüssigkeit nicht nachfolgen kann. Beim Zurückweichen wird die Flüssigkeit auf die entgegengesetzte Seite drücken und so der Druck sich von allen Seiten der Gleichheit nähern. Da nun die Flüssigkeit, sobald sie von der stärker gedrückten Seite zurückzuweichen sucht, durch den Widerstand des Gefässes an der entgegengesetzten Seite zu stehen kommt, so wird der Druck von allen Seiten augenblicklich zur Gleichheit zurückgebracht, ohne lokale Bewegung. Plötzlich werden die Theile der Flüssigkeit, nach 5. Fall, sich wechselseitig gleich stark drücken und unter sich ruhen. W. z. b. w.

Zusatz. Die Bewegung der Theile der Flüssigkeit unter sich wird daher durch einen, beliebig an der äusseren Oberfläche der Flüssigkeit beigebrachten, Druck nur dann sich ändern können, wenn entweder die Figur der Oberfläche irgendwo eine andere wird, oder alle Theile der Flüssigkeit, bei einem stärkeren oder schwächeren gegenseitigen Druck, sich schwerer oder leichter unter einander bewegen.

§. 28. Lehrsatz. Die einzelnen Theile eines kugelförmigen flüssigen Körpers, der in gleichen Abständen vom Centrum gleichartig ist, liegen auf einer concentrischen sphärischen Fläche und gravitiren gegen den Mittelpunkt des Körpers. Unter diesen Umständen trägt die Grundfläche das Gewicht eines Cylinders, dessen Basis gleich der Grundfläche und dessen Höhe gleich derjenigen der anfliegenden Fläche ist.

Es sei DHM die Grundfläche und AEJ die äusserste Oberfläche der Flüssigkeit. Durch unzählige sphärische Oberflächen BFK, CGL werde die Flüssigkeit in gleichdicke concentrische Schalen getheilt, und man denke sich, dass die Schwere nur auf die obere Fläche jeder Schale wirke und ihre Wirkung auf gleiche Theile aller Oberflächen gleich sei. Die oberste Fläche AEJ wird daher nur durch die einfache Kraft ihrer eigenen Schwere gedrückt, welche dann auch auf alle Theile der oberen Schale und die zweite Oberfläche BFK (nach §. 27.) einen nach ihrer Grösse gleichen Druck ausübt. Ausserdem erleidet diese zweite Oberfläche. BFK durch ihre eigene Schwere einen Druck, welcher zur ersteren Kraft addirt, einen doppelten Druck hervorbringt. Diesen ihrer Grösse entsprechenden und ausserdem den Druck der eigenen Schwere, d. h. einen dreifachen Druck erleidet die dritte Oberfläche CGL. Auf ähnliche Weise erleidet die vierte Fläche einen vierfachen, die fünfte einen fünffachen Druck u. s. w. f. Der Druck also, welchen eine jede Oberfläche erleidet, verhält sich nicht wie die ganze Menge der aufliegenden Flüssigkeit, sondern wie die Zahl der Schalen bis zur äusseren Grenze des flüssigen Körpers und wird gleich der Schwere der untersten Schale, multiplicirt durch die Zahl aller Schalen,

d. h.

der Schwere eines festen Körpers, dessen letztes Verhältniss zum vorausgesetzten Cylinder (wenn man nur die Zahl der Schalen ins Unendliche vermehrt und ihre Dicke eben so vermindert, so dass die Wirkung der Schwere von der untersten zur obersten Fläche eine continuirliche werde) das der Gleichheit wird.

Die unterste Fläche hat daher das Gewicht des besagten Cylinders zu tragen. W. z. b. w.

Auf ähnliche Weise ergiebt sich die Wahrheit des Satzes, wenn die Schwere in irgend einem angegebenen Verhältniss des Abstandes vom Centrum abnimmt; wie auch, wenn die Flüssigkeit nach oben lockerer, nach unten dichter ist. W. z. b. w.

Zusatz 1. Die Grundfläche wird daher nicht durch das ganze Gewicht der anfliegenden Flüssigkeit gedrückt, sondern sie hat nur den im Lehrsatze beschriebenen Theil des Gewichtes zu tragen; indem der übrige Theil desselben durch die gewölbte Figur der Flüssigkeit angehoben wird.

Zusatz 2. In gleichen Entfernungen vom Centrum findet aber immer ein gleich grosser Druck statt, mag die gedrückte Oberfläche dem Horizonte parallel, perpendikulär oder schief gegen ihn liegen; mag die Flüssigkeit von der gedrückten Fläche aufwärts perpendikulär längs einer geraden Linie fortgehen, oder schief durch gedrehte Höhlungen und Kanäle fortfliessen; mögen die letzteren regulär oder höchst irregulär, eng oder weit sein. Dass durch diese Umstände der Druck sich nicht ändere, wird bewiesen, indem man die Beweismethode des §. 28. auf die einzelnen Fälle anwendet.

Zusatz 3. Durch denselben Beweis wird auch (nach §. 27.) dargethan, dass die Theile der schweren Flüssigkeit durch den Druck des aufliegenden Gewichtes eine Bewegung unter sich annehmen, wenn nur die Bewegung ausgeschlossen wird, welche aus der Verdichtung entspringt.

Zusatz 4. Wird daher ein anderer Körper von demselben specifischen Gewicht, welcher keine Verdichtung erleidet, in diese Flüssigkeit getaucht, so wird er durch den Druck des anfliegenden Gewichtes keine Bewegung erlangen. Er wird weder auf-, noch absteigen, noch gezwungen werden, seine Gestalt zu ändern. Ist er kugelförmig, so wird er es bleiben, wenn kein Druck hinzukommt; ist er würfelförmig, so bleibt er es, er mag weich oder flüssig sein, frei in der Flüssigkeit schwimmen oder auf dem Grunde liegen. Jeder innere Theil der Flüssigkeit befindet sich nämlich in der Lage eines untergetauchten Körpers, und in derselben Lage befinden sich alle untergetauchten Körper von derselben Grösse, Gestalt und demselben specifischen Gewicht. Wenn nun der untergetauchte Körper, unter Beibehaltung seines Gewichtes, flüssig würde und so die Form der Flüssigkeit annähme; so würde er, wenn er vorher auf- oder abstieg, oder eine neue Gestalt annahm, auch jetzt auf- oder abzusteigen, oder eine neue Gestalt anzunehmen gezwungen werden und zwar deshalb, weil die Schwere und andere Ursachen der Bewegung unverändert bleiben. Nach §. 27., 5. Fall würde er aber jetzt ruhen und seine Figur beibehalten, daher ist dies, auch früher der Fall.

Zusatz 5. Ein Körper, welcher specifisch schwerer als die ihn umgebende Flüssigkeit ist, wird untersinken, ein specifisch leichterer Körper wird aufsteigen, und beide werden eine Bewegung und Gestaltänderung erlangen, soweit jener Ueberschuss oder Mangel an Schwere es bewirken kann. Beide, Ueberschuss und Mangel, stehen nämlich in der Kategorie einer Kraft, durch welche der, übrigens mit den Theilen der Flüssigkeit im Gleichgewicht stehende, Körper getrieben wird, und sie kann mit dem Mehr- oder Mindergewicht in einer Wagschale verglichen werden.

Zusatz 6. Körper, welche sich in Flüssigkeiten befinden, haben daher eine zweifache Schwere, die eine, welche die wahre und absolute, die andere, welche die scheinbare, gewöhnliche und relative genannt wird. Die absolute Schwere ist die ganze Kraft, mit welcher ein Körper sich abwärts zu bewegen strebt, die relative oder gewöhnliche ist das Uebermaass der Schwere, mit welchem ein Körper starker als die ihn umgebende Flüssigkeit abwärts strebt. Vermöge der Schwere der ersten Art gravitiren die Theile aller Flüssigkeiten und Körper an ihren eigenen Orten, und bilden daher, durch Verbindung ihrer Gewichte, das Gewicht des Ganzen. Denn jedes Ganze ist schwer, wie man in Gefässen sehen kann, welche mit einer Flüssigkeit angefüllt sind, und das Gewicht des Ganzen ist der Summe der Gewichte aller Theile gleich und wird daher aus ihnen zusammengesetzt. Durch die Schwere der anderen Art gravitiren die Körper nicht an ihren Orten, d. h. unter einander verglichen, überwiegen sie nicht an Schwere, sondern verhindern die gegenseitigen Versuche herabzusteigen, und verbleiben daher an ihren Orten, als ob sie gar nicht schwer wären.

Was sich in der Luft befindet und nicht überwiegend schwer ist, hält man gewöhnlich nicht für schwer. Was an Schwere überwiegt, nennt man gewöhnlich schwer, so weit es nicht durch das Gewicht der Luft getragen wird. Die Gewichte sind nach der gewöhnlichen Bezeichnung nichts anderes, als das Uebermaass der wahren Gewichte über das der Luft. Man nennt daher gewöhnlich auch dasjenige leicht, was weniger schwer als die Luft ist und, indem es der schweren Luft nachgiebt, in die Höhe steigt. Die relativ leichten Körper sind dies aber nicht in Wahrheit, weil sie im leeren Raume herabsteigen. So sind auch im Wasser Körper, welche wegen ihres grösseren oder kleineren Gewichtes ab- oder aufsteigen, vergleichsweise und scheinbar schwer oder leicht, und ihre relative und scheinbare Schwere oder Leichtigkeit ist das Uebermaass oder der Mangel an Gewicht, um welches das wahre Gewicht derselben dasjenige des Wassers respective übertrifft, oder von ihm übertroffen wird. Was aber weder durch überwiegendes Gewicht sinkt, noch der überwiegenden Flüssigkeit nachgebend aufsteigt, wird, wenn es auch durch sein wahres Gewicht dasjenige des Ganzen vermehrt, relativ und im gewöhnlichen Sinne nicht schwer im Wasser genannt. Der Beweis dieser Fälle ist einander ähnlich.

Zusatz 7. Was von der Schwere bewiesen worden ist, findet auch bei allen anderen beliebigen Centripetalkräften statt.

Zusatz 8. Wird ein Mittel, in welchem irgend ein Körper sich bewegt, entweder durch sein eigenes Gewicht, oder durch irgend eine andere Centripetalkraft, und der Körper durch dieselbe Kraft, aber stärker angetrieben; so ist der Unterschied der Kräfte jene bewegende Kraft, welche wir in den vorhergehenden Sätzen als Centripetalkraft betrachtet haben. Dasselbe ist der Fall, wenn der Körper durch jene Kraft schwächer angetrieben wird, indem alsdann jener Unterschied die Centripetalkraft bildet.

Zusatz 9. Da aber Flüssigkeiten durch den Druck auf die in ihnen eingeschlossenen Körper die äussere Gestalt der letzteren nicht ändern, so werden sie auch, wie aus den Zusätzen zu §. 27. folgt, die gegenseitige Lage der inneren Theile dieser Körper nicht ändern. Werden Thiere darin eingetaucht, deren Gefühl nur aus der Bewegung ihrer Theile entspringt; so werden sie weder durch Untertauchung ihrer Körper eine Verletzung erleiden, noch irgend eine Empfindung haben, wofern ihr Körper nicht durch Zusammendrückung verdichtet werden kann.

Dasselbe Verhältniss findet bei jedem Systeme von Körpern statt, welches von einer comprimirenden Flüssigkeit umgeben ist. Alle Theile der Systems werden durch dieselben Bewegungen angetrieben, als wenn sie sich im leeren Räume befänden und behalten nur ihre relative Schwere bei, ausser in so weit die Flüssigkeit ihren Bewegungen einen Widerstand leistet, der erforderlich ist, um sie durch Zusammendrückung zu verbinden.

§.29. Lehrsatz. Ist die Dichtigkeit irgend einer Flüssigkeit der Zusammendrückung proportional, und werden ihre Theile durch eine ihren Abständen vom Centrum umgekehrt proportionale, Centripetalkraft abwärts gezogen; werden ferner jene Abstände stetig proportional angenommen: so sind auch die Dichtigkeiten in denselben Entfernungen stetig proportional.

Es bezeichne ATV eine Kugelfläche, auf welcher die Flüssigkeit ruhet, S das Centrum und SA, SB, SC, SD, SE, etc. die stetig proportionalen Abstände. Man errichte die Perpendikel AH, BJ, CK, DL, EM etc., welche den Dichtigkeiten des Mittels in den Punkten A, B, C, D, E, etc. proportional sind. Alsdann werden die specifischen Gewichte in denselben Punkten

\scriptstyle {\frac {AH}{AS}}

,

\scriptstyle {\frac {BJ}{BS}}

,

\scriptstyle {\frac {CK}{CS}}

, etc.,

oder was dasselbe ist,

\scriptstyle {\frac {AH}{AB}}

,

\scriptstyle {\frac {BJ}{BC}}

,

\scriptstyle {\frac {CK}{CD}}

proportional.^[1]

Man denke sich zuerst, dass diese specifischen Gewichte gleichförmig von A bis B, von B bis C, von C bis D, etc. fortgesetzt werden, indem die Decremente nach und nach in B, C, D, etc. stattfinden. Multiplicirt man nun diese Gewichte respective in die Höhen

AB, BC, CD, etc.,

so erhält man die verschiedenen Theile des Druckes

AH, BJ, CK, etc.,

welche auf die Grundfläche ATV wirken. (§. 28.)

Es erleidet demnach das Theilchen A alle Druckmengen

AH, BJ, CK, DL, etc. in infinitum;

das Theilchen B alle dieselben, mit Ausnahme des ersten AK; das Theilchen C alle ausser den beiden ersten AH und BJ; u. s. w. f. Es verhält sich demnach die Dichtigkeit des ersten Theilchens A zu derjenigen des zweiten B, oder

AH : BJ = AH + BJ + CK + DL + etc. in inf. : BJ + CK + DL + etc. in inf. BJ : CK = BJ + CK + DL + etc. in inf. : CK + DL + efc. in inf. u. s. w. f.

Es sind daher die Summen auf der rechten Seite der Gleichheitszeichen ihren Unterschieden

AH, BJ, CK, etc.

proportional, und stehen mithin (nach zweitem Buche, §. 2.) selbst in stetiger Proportion; dasselbe gilt auch von ihren eben angeführten Differenzen, welche den Summen proportional sind. Es werden demnach die in den Orten

A, B, C, etc.

den Linien

AH, BJ, CK, etc.

proportionalen Dichtigkeiten selbst stetig proportional sein. Geht man ferner sprungweise fort, so werden auch in den stetig proportionalen Entfernungen

SA, SC, SE, etc.

die entsprechenden Dichtigkeiten

AH, CK, EM, etc.

in stetiger Proportion stehen. Auf dieselbe Weise ergiebt sich, dass die, den stetig proportionalen Abständen

SA, SD, SQ, etc.

entsprechenden Dichtigkeiten

AH, DL, QO, etc.

in stetiger Proportion stehen.

Nähern sich nun die Punkte

A, B, C, D, E, etc.

einander so weit, dass die Progression der specifischen Gewichte, vom Grunde A bis zur Oberfläche der Flüssigkeit eine continuirliche werde; so werden die in den beliebigen stetig proportionalen Abständen

SA, SD, SQ, etc. immer stetig proportionalen Dichtigkeiten AH, DL, QO etc. dies auch jetzt bleiben, W. z. b. w.

Zusatz. Ist daher die Dichtigkeit der Flüssigkeit in zwei Punkten A und E gegeben, so kann man daraus auf die Dichtigkeit in irgend einem anderen beliebigen Orte Q schliessen.

Man beschreibe nämlich zum Mittelpunkte S und den rechtwinkligen Asymptoten SQ und SX eine Hyperbel, welche die Perpendikel

AH, EM, QT

in den Punkten

a, e, q,

die auf die Asymptote SX gefällten Perpendikel

HX, MY, TZ

in den Punkten

h, m, t

schneidet. Hierauf setze man

ZYmt : YmhX = EeqQ : EeaA,

in welcher Proportion die drei letzten Flächen gegeben sind; alsdann wird die verlängerte Linie Zt die Linie QT der Dichtigkeit proportional abschneiden.

Sind nämlich die Linien SA, SE und SQ stetig proportional, so wird

Fläche EeqQ = EeaA,^[2]

daher auch nach obiger Proportion

ZYmt = YmhX,

und so

SX : SY = SY : SZ

oder auch

AH : EM = EM : QT

wie es sein muss. Nehmen die Linien SA, SE und SQ eine andere Stelle in einer Reihe stetig proportionaler Grössen ein, so werden die Linien

AH, EM und QT,

wegen der proportionalen hyperbolischen Flächen dieselbe Stelle in einer anderen Reihe stetig proportionaler Grössen einnehmen.

§. 30. Lehrsatz. Es sei die Dichtigkeit einer Flüssigkeit dem Drucke proportional, welchen die letztere erleidet, und es mögen ihre Theile durch die Schwere, welche dem Quadrat des Abstandes vom Centrum umgekehrt proportional ist, abwärts gezogen werden. Nimmt man nun die Entfernungen in harmonischer Progression an, so stehen die Dichtigkeiten der Flüssigkeit, in eben diesen Entfernungen, in geometrischer Progression.

Es bezeichnet S das Centrum, ferner seien

SA, SB, SC, SD, SE, etc.

die in geometrischer Progression stehenden Entfernungen. Man errichte die Perpendikel

AH, BJ, CK, etc.,

welche den Dichtigkeiten der Flüssigkeit in den Punkten

A, B, C, etc. proportional seien. Alsdann wird ihr specifisches Gewicht in denselben Punkten respective proportional

\scriptstyle {\frac {AH}{SA}}

,

\scriptstyle {\frac {BJ}{SB^{2}}}

,

\scriptstyle {\frac {CK}{SC^{2}}}

, etc.

Man denke sich, dass diese specifischen Gewichte gleichförmig fortgesetzt würden, nämlich

das	erste	von	A	bis	B,
„	zweite	„	B	„	C,
„	dritte	„	C	„	D,	u. s. w. f.

Multiplicirt man diese specifischen Gewichte bezüglich in die Höhen

AB, BC, CD, etc.,

oder, was wegen der gegenseitigen Proportionalität auch geschehen kann, in die Abstände

SA, SB, SC, etc.,

so erhält man die entsprechenden Theile des ganzen stattfindenden Druckes ausgedrückt durch

\scriptstyle {\frac {AH}{AS}}

,

\scriptstyle {\frac {BJ}{BS}}

,

\scriptstyle {\frac {CK}{CS}}

, etc.

Da nun die Dichtigkeiten den Summen dieser Theile des Druckes proportional sind, so verhalten sich die Unterschiede der Dichtigkeiten, d. h.

AH — BJ, BJ — CK, CK — DL, etc.

wie die Unterschiede jener Summen, d. h. wie

\scriptstyle {\frac {AH}{AS}}

,

\scriptstyle {\frac {BJ}{BS}}

,

\scriptstyle {\frac {CK}{CS}}

, etc.

Zum Mittelpunkte S und zu den Asymptoten SA und Sx beschreibe man eine beliebige Hyperbel, welche die Perpendikel

AH, BJ, CK, etc. in den Punkten a, b, c, etc.,

hingegen die auf die Asymptote Sx gefällten Perpendikel

Ht, Ju, Kw, etc. in den Punkten b, i, k, etc. schneidet. Nun verhalten sich die Unterschiede der Dichtigkeiten, d. h. tu, uw, wx, etc. wie

\scriptstyle {\frac {AH}{AS}}

,

\scriptstyle {\frac {BJ}{BS}}

,

\scriptstyle {\frac {CK}{CS}}

, etc. und die Rechtecke tu, th, uw, lu, etc. oder thpu, uiqw, etc. wie

\scriptstyle {\frac {AH}{AS}}

· th,

\scriptstyle {\frac {BJ}{BS}}

· ui, etc.

Aus der Natur der Hyperbel folgt nämlich

SA : St = th : Aa, oder auch SA : AH = th : Aa,

also
und eben so

1.

{\scriptstyle {\begin{cases}Aa={\frac {AH}{AS}}\cdot th\\Bb={\frac {BJ}{BS}}\cdot ui.\ etc.\end{cases}}}

Nun sind Aa, Bb, etc. stetig proportional, verhalten sich daher wie ihre Unterschiede Aa — Bb, Bb — Cc, etc.; also sind auch die Rechtecke thpu, uiqw etc. diesen letztern Unterschieden respective proportional. Eben so sind die Summen der Unterschiede

Aa — Cc oder Aa — Dd

proportional den Summen der Rechtecke

thpu + uiqw oder thpu + niqw + wkrx.

Nun seien jener Glieder so viel als möglich da, alsdann wird die Summe aller Unterschiede, nämlich

Aa — Ff

der Summe aller Rechtecke proportional sein. Vermehrt man die Zahl der Glieder und vermindert man den Abstand der Punkte A, B, C, etc. ins Unendliche; so geht die Summe jener Rechtecke in die hyperbolische Fläche zthn über, welcher der Unterschied Aa — Pf proportional sein wird.

Nun nehme man die beliebigen Abstände, etwa

SA, SD, SF

in harmonischer Progression;^[3]) so wird

Aa — Dd = Dd — Ff,

also werden auch die, diesen Unterschieden proportionalen, hyperbolischen Flächen einander gleich, d. h.

thlx = xlnz

und so die Dichtigkeiten St, Sx, Sz oder AH, DL, FN stetig proportional. W. z. b. w.

Zusatz. Sind daher zwei beliebige Dichtigkeiten einer Flüssigkeit, etwa AH und CK gegeben, so kennt man auch die, ihrem Unterschiede tw entsprechende Fläche thkw. Hieraus findet man die, einer beliebigen Höhe SF entsprechende, Dichtigkeit mittelst der Proportion

thnz : thkw = Aa — Ff : Aa — Cc.

§. 31. Anmerkung. Durch eine ähnliche Beweisführung kann man darthun, dass, wenn die Schwere der Theilchen einer Flüssigkeit im dreifachen Verhältniss der Entfernungen vom Centrum abnimmt, und die umgekehrten Quadrate dieser Entfernungen (nämlich $\scriptstyle {\frac {1}{SA^{2}}}$ , $\scriptstyle {\frac {1}{SB^{2}}}$ , $\scriptstyle {\frac {1}{SC^{2}}}$ , etc.) in arithmetischer Progression genommen werden; alsdann die Dichtigkeiten

AH, BJ, CK, etc.

in geometrischer Progression stehen.^[4]

Nimmt ferner die Schwere im vierfachen Verhältniss der Entfernungen ab, und werden die Cuben dieser Entfernungen umgekehrt (nämlich $\scriptstyle {\frac {1}{SA^{3}}}$ , $\scriptstyle {\frac {1}{SB^{3}}}$ , $\scriptstyle {\frac {1}{SC^{3}}}$ , etc.), in arithmethischer Progression angenommen, so stehen die Dichtigkeiten

AH, BI, CK, etc.

in geometrischer Progression^[5] u. s. w. f. in infinitum.

Ist die Schwere der Theilchen der Flüssigkeit überall dieselbe, und stehen die Entfernungen in arithmethischer Progression, so stehen die Dichtigkeiten in geometrischer Progression, wie Edmund Halley gefunden hat.^[6] Ist die Schwere dem Abstände proportional und stehen die Quadrate der Entfernungen in arithmetischer Progression, so stehen die Dichtigkeiten in geometrischer Progression.^[7] Alles dieses findet auf die dargestellte Weise statt, wenn die Dichtigkeit der durch Zusammendrückung verdichteten Flüssigkeit der zusammendrückenden Kraft proportional ist, oder, was dasselbe besagt, wenn der von der Flüssigkeit eingenommene Raum sich umgekehrt wie diese Kraft verhält

Man kann sich noch andere Gesetze der Verdichtung denken, etwa dass der Cubus der zusammendrückenden Kraft dem Biquadrat der Dichtigkeit proportional oder das dreifache Verhältniss der Kraft dem vierfachen der Dichtigkeit gleich sei. Wenn in diesem Falle die Schwere sich umgekehrt verhält, wie das Quadrat des Abstandes vom Centrum; so wird die Dichtigkeit dem Cubus des Abstandes umgekehrt proportional sein.^[8] Denkt man sich den Cubus der zusammendrückenden Kraft proportional der 5ten Potenz der Dichtigkeit und die Schwere dem Quadrat des Abstandes umgekehrt proportional; so steht die Dichtigkeit im umgekehrten 3/2ten Verhältniss des Abstandes.^[9]

Denkt man sich die zusammendrückende Kraft im doppelten Verhältniss der Dichtigkeit, und ist die Schwere dem Quadrat des Abstandes umgekehrt proportional; so ist die Dichtigkeit dem Abstände umgekehrt proportional.^[9]

Alle Fälle durchzugehen, würde zu weitläufig sein. Uebrigens weiss man durch Versuche, dass die Dichtigkeit der Luft entweder genau, oder wenigstens sehr nahe der zusammendrückenden Kraft proportional ist. Daher verhält sich die Dichtigkeit der Luft in der Atmosphäre unserer Erde, wie das Gewicht der ganzen aufliegenden Luft, d. h. wie die Höhe des Quecksilbers im Barometer.

§ 32. Lehrsatz. Theilchen, welche von einander fliehen in Folge von Kräften, die den Entfernungen ihrer Mittelpunkte umgekehrt proportional sind, bilden eine elastische Flüssigkeit, deren Dichtigkeit der Zusammendrückung proportional ist. Umgekehrt, verhält sich die Dichtigkeit einer, aus einander fliehenden Theilchen zusammengesetzten Flüssigkeit, wie die Zusammendrückung; so sind die Centrifugalkräfte der Theilchen den Abständen ihrer Mittelpunkte umgekehrt proportional.

Man denke sich die Flüssigkeit in dem Würfel ACE eingeschlossen, und hierauf durch Zusammendrückung auf den kleinern Raum ace gebracht. Behalten nun die Theilchen in beiden Räumen eine ähnliche gegenseitige Lage bei, so verhalten sich ihre Abstände von einander

wie die Seiten der Würfel, d. h. wie

AB : ab;

die Dichtigkeiten des Mittels verhalten sich aber umgekehrt, wie die es einschliessenden Räume, d. h. direct wie

ab³ : AB³.

Auf der Seitenfläche ABCD des grössern Würfels nehme man das Quadrat DP gleich der Seitenfläche db des kleinern Würfels an. Nach der Voraussetzung verhält sich alsdann der Druck, welchen DP auf die eingeschlossene Flüssigkeit ausübt, zu dem von db auf die eingeschlossene Flüssigkeit ausgeübten Drucke, wie die gegenseitigen Dichtigkeiten des Mittels, d. h. wie

ab³ : AB³.

Der Druck, welchen das Quadrat DB auf die eingeschlossene Flüssigkeit ausübt, verhält sich aber zu dem vom Quadrat DP ausgeübten Drucke wie DB : DP, d. h. wie

AB² : ab².

Durch Zusammensetzung beider Proportionen erhält man den von DB auf die Flüssigkeit ausgeübten Druck zu dem Drucke, mit welchem db wirkt, wie

ab : AB.

Durch die Ebene FGH und fgh, welche man auch durch das Innere der Würfel gelegt denkt, theile man die Flüssigkeit in zwei Stücke, welche sich wechselweise mit denselben Kräften drücken werden, mit denen sie selbst durch die Ebenen AC und ae gedrückt werden, d. h. in dem Verhältniss

ab : AB.

Die Centrifugalkräfte, durch welche jener Druck getragen wird, stehen in demselben Verhältniss. Wegen derselben Anzahl der Theilchen und ihrer ähnlichen Lage in beiden Würfeln verhalten sich die Kräfte, welche alle Theilchen in den Ebenen FGH und fgh auf alle ausüben, wie diejenigen Kräfte, womit ein einzelnes auf ein einzelnes wirkt. Es verhalten sich daher die Kräfte, welche die einzelnen Theilchen auf die einzelnen längs der Ebene FGH im grossen Würfel ausüben zu den im kleinen Würfel ihnen entsprechenden Kräften, wie

ab : AB,

d. h. umgekehrt wie der gegenseitige Abstand der Theilchen. W. z. b. w.

Verhalten sich ferner die Kräfte der einzelnen Theilchen umgekehrt wie ihre Abstände, also direct wie

ab : AB;

so stehen die Summen dieser Kräfte in demselben Verhältniss. Der Druck der Seitenflächen DB und db verhält sich wie diese Summen und der

Druck der Fläche DP : Druck der Fläche DB = ab² : AB².

Durch Zusammensetzung beider Proportionen ergiebt sich das Verhältniss des Druckes der Seitenfläche DP zum Druck der Fläche db, wie

ab³ : AB³,

d. h. es verhalten sich die zusammendrückenden Kräfte wie die Dichtigkeiten. W. z. b. w.

§. 33. Anmerkung. Auf ähnliche Weise ergiebt sich, wenn die Centrifugalkräfte im umgekehrten doppelten Verhältniss der Abstände ihrer Mittelpunkte stehen, dass die Cuben der zusammendrückenden Kräfte den Biquadraten der Dichtigkeiten proportional sind. Stehen die Centrifugalkräfte im umgekehrten drei- oder vierfachen Verhältniss der Abstände, so verhalten sich die Cuben der zusammendrückenden Kräfte bezüglich wie die fünften oder sechsten Potenzen der Dichtigkeiten.

Setzt man allgemein

den Abstand der Theilchen von einander = D

die Dichtigkeit der zusammengedrückten Flüssigkeit = E

und die Centrifugalkraft proportional

\scriptstyle {\frac {1}{D^{n}}}

;

so verhalten sich die zusammendrückenden Kräfte wie

\scriptstyle {\sqrt[{3}]{E^{n+2}}}

und umgekehrt. Alles dieses ist aber nur von denjenigen Centrifugalkräften zu verstehen, welche auf die einander sehr nahe liegenden Theile beschränkt werden, oder sich nicht weit jenseits erstrecken.

Ein Beispiel haben wir an den magnetischen Körpern. Die anziehende Kraft derselben beschränkt sich fast nur auf sehr nahe Körper ihrer Art. Die Kraft des Magneten wird durch ein zwischengelegtes Eisenblech zusammengezogen und beinahe auf das letztere beschränkt. Entfernte Körper werden nämlich nicht so sehr durch den Magneten, als durch das Blech angezogen.

Nach derselben Weise werden die Flüssigkeiten, von denen hier die Rede war, aus solchen Theilchen zusammengesetzt, welche nur von den, ihnen sehr nahe liegenden Theilchen ihrer Art zurückweichen, auf entferntere aber nur mittelst der zwischenliegenden einwirken, welche letztere durch jene ursprüngliche Kraft verstärkt worden sind. Wenn die Kraft irgend eines Theilchens sich in’s Unendliche fortpflanzt, so ist eine grössere Kraft zur gleichen Verdichtung einer grösseren Menge von Flüssigkeit erforderlich.

Ob die elastischen Flüssigkeiten aber aus Theilchen bestehen, welche von einander wechselseitig fliehen, ist eine Frage der Physik. Wir haben auf mathematische Weise die Eigenschaften von Flüssigkeiten hergeleitet, welche aus derartigen Theilchen bestehen, um den Naturforschern Veranlassung zu geben, jene Frage zu behandeln.

Bemerkungen und Erläuterungen [des Übersetzers]

↑ [604] No. 142. S. 288. (Fig. 165.) AH drückt die Dichtigkeit, d. h. die Menge materieller Theile in A aus, deren jedes nach der Voraussetzung durch eine, $\scriptstyle {\frac {1}{AS}}$ proportionale, Kraft gegen S hin gezogen wird; daher muss AH · $\scriptstyle {\frac {1}{AS}}$ dasjenige ausdrücken, was man das specifische Gewicht nennt. Da ferner SA : SB = SB : SC = SC : SD = etc., so ist auch SB — SA : SB = SC — SB : SC = SD — SC : SD = etc,
d. h. AB : BC : CD: etc. = SB : SC : SD : etc., = SA : SB : SC : etc und so $\scriptstyle {\frac {1}{AS}}$ proportional $\scriptstyle {\frac {1}{AB}},\ {\frac {1}{BS}}$ proportional $\scriptstyle {\frac {1}{BC}},\ {\frac {1}{CS}}$ proportional $\scriptstyle {\frac {1}{CD}}$ u. s. w.
↑ [604] No. 143. S. 289. Ist SQ : SE = SE : SA, oder log SQ — log SE = log SE — log SA, so wird, weil EeqQ = n [log SQ — log SE] und EeaA = n [log SE — log SA], wo n eine beliebige Constante bezeichnet, Fläche EeqQ = EeaA.
↑ [604] No. 144. S. 291. (Fig. 167.) Eine harmonische Progression bilden die Glieder $\scriptstyle {\frac {1}{\alpha }},\ {\frac {1}{\alpha +\beta }},\ {\frac {1}{\alpha +2\beta }},\ {\frac {1}{\alpha +3\beta }}$ , etc.; soll also SA = $\scriptstyle {\frac {1}{\alpha }}$ , SD = $\scriptstyle {\frac {1}{\alpha +\beta }}$ , SF = $\scriptstyle {\frac {1}{\alpha +2\beta }}$ sein, so wird $\scriptstyle {\frac {1}{SA}}-{\frac {1}{SD}}={\frac {1}{SD}}-{\frac {1}{SF}}$ oder 1. $\scriptstyle {\frac {SD-SA}{SA}}={\frac {SF-SD}{SF}}$ . Da nun ferner Aa : Dd = SD : SA und Dd : Ff = SP : SD, so wird 2. Aa — Dd = $\scriptstyle {\frac {SD-SA}{SA}}$ · Dd und Dd — Ff = $\scriptstyle {\frac {SF-SD}{SF}}$ · Dd, also nach 1. Aa — Dd = Dd — Ff. Aus thlx = xlnz folgt St : Sx = Sx : Sz nach Bem. 143.
↑ [604] No. 145. S. 291. Wenn n, n^I, n^II, n^III, n^IV constante Zahlen bezeichnen, so hat man hier die Schwere = $\scriptstyle {\frac {n}{SA^{3}}}$ , $\scriptstyle {\frac {n}{SB^{3}}}$ etc. die Dichtigkeit = n^IAH, n^IBJ, etc. das specif. Gewicht = $\scriptstyle {\frac {n^{II}AH}{SA^{3}}}$ , $\scriptstyle {\frac {n^{II}BJ}{SB^{3}}}$ , etc. [605] die Drucktheile = $\scriptstyle {\frac {n^{III}AH\cdot AB}{SA^{3}}}$ , $\scriptstyle {\frac {n^{III}BJ\cdot BC}{SB^{3}}}$ etc. = $\scriptstyle {\frac {n^{IV}AH}{SA^{2}}}$ , $\scriptstyle {\frac {n^{IV}BJ}{SB^{2}}}$ etc. weil AB : BC etc, = SA : SB etc. Hiernach AH — BJ = $\scriptstyle {\frac {n^{IV}AH}{SA^{2}}}$ BJ — CK = wu = $\scriptstyle {\frac {n^{IV}BJ}{SB^{2}}}$ etc.
und tu : uw : wx etc. = $\scriptstyle {\frac {AH}{SA^{2}}}:{\frac {BJ}{SB^{2}}}:{\frac {CK}{SC^{2}}}:$ etc. Da nun für die Rechtecke tp, uq, wr die Verhältnisse tp : uq: wr = th · tu : uw · iu : wx · rx = th · $\scriptstyle {\frac {AH}{SA^{2}}}$ : ui · $\scriptstyle {\frac {BJ}{SB^{2}}}$ : rx · $\scriptstyle {\frac {CK}{SC^{2}}}$ = $\scriptstyle {\frac {Aa}{SA}}:{\frac {Bb}{SB}}:{\frac {Cc}{SC}}:$ (nach §., 30., Gl. 1.) stattfinden; so muss nach der Analogie mit §. 30., wie dort GL 2. hier die Gleichung $\scriptstyle {\frac {Aa}{SA}}-{\frac {Dd}{SD}}={\frac {Dd}{SD}}-{\frac {Ff}{SF}}$ richtig erwiesen werden. Da nun aber allgemein Aa · AS = Dd · DS = Ff · PS also Aa = $\scriptstyle {\frac {Dd\cdot DS}{AS}}$ Ff = $\scriptstyle {\frac {Dd\cdot DS}{FS}}$ ; so wird durch Substitution dieser Werthe von Aa und Ff die vorstehende Gleichung übergehen in $\scriptstyle {\frac {1}{SA^{2}}}-{\frac {1}{SD^{2}}}={\frac {1}{SD^{2}}}-{\frac {1}{SF^{2}}}$ welche hier vorausgesetzt wird.
↑ [605] No. 146. S. 292. Wir verfahren, wie in der vorhergehenden Bemerkung 145, vergrössern aber die Exponenten um 1; alsdann erhalten wir die Bedingung $\scriptstyle {\frac {1}{SA^{3}}}-{\frac {1}{SB^{3}}}={\frac {1}{SB^{3}}}-{\frac {1}{SD^{3}}}$ welche hier vorausgesetzt wird.
↑ [605] No. 147. S. 292. Wegen der constanten Schwere sind die Drucktheile nach der Reihe : AH · AB, BJ · BC, CK · CD, etc. oder, weil nach der Voraussetzung SA — SB = SB — SC = SC — SD = etc. = AB = BC = CD = etc so werden sie AH · AB, BJ · AB, CK · AB etc.

Die Dichtigkeit AH ist mithin proportional [ AH + BJ + CK + etc.] AB

BJ „ „ „ [ BJ + CK + etc.] AB

CK „ „ „ [ CK + etc.] AC

und wenn n eine Constante bezeichnet AH — BJ = n · AH · AB oder BJ = AH (1 — n · AB); BJ — CK = n · BJ · AB oder BJ = CK : (1 — n · AB) also BJ² = AH · CK oder AH : BJ = BJ : CK.
↑ [605] No. 148. S. 292. Hier wird die Schwere = nAS, etc. die Dichtigkeit = n^I · AH, etc. das spec. Gewicht = n^IIAH · AS, etc. der Drucktheil = n^IIIAH · AS², etc, tu = AH — BS = n^III AH · AS²; uw = BJ — CK = n^IIIBJ · BS²; tu : uw = AH · AS² : BJ · BS²; tp : uq = th · AH · AS² : ui · BJ · BS²; tp : uq = Aa · AS³ : Bb · BS³ (§. 30 Gl. 1.) Es muss mithin Aa · AS³ — Bb · BS³ = Bb · BS³ — Cc · CS³ d. h. $\scriptstyle {\frac {Bb\cdot BS}{AS}}$ AS³ — Bb · BS³ = Bb · BS³ — $\scriptstyle {\frac {Bb\cdot BS}{CS}}$ oder AS² — BS² = BS² — CS² sein, wie vorausgesetzt.
↑ [606] No. 149. S. 292. Hier ist die Dichtigkeit = n · AH, die Schwere = $\scriptstyle {\frac {n^{I}}{AS^{2}}}$ das spec. Gewicht = $\scriptstyle {\frac {n^{II}AH}{AS^{2}}}$ die drückende Kraft = $\scriptstyle {\frac {n^{III}AH\cdot AB}{AS^{2}}}={\frac {n^{IV}AH}{AS}}$ also n^V · $\scriptstyle {\frac {AH^{3}}{AS^{3}}}$ = n^VIAH⁴ und so AH = $\scriptstyle {\frac {n^{VII}}{AS^{3}}}$ ; hier sind n, n^I, . . . . n^VII constant.
↑ ^a ^b [606] No. 150. S. 292. Hier ist n^V $\scriptstyle {\frac {AH^{3}}{AS^{3}}}$ = n^VIAH⁵ also AH = $\scriptstyle {\frac {n^{VII}}{AS^{\frac {3}{2}}}}$ . Aehnlich beim folgenden Beispiel n^V · $\scriptstyle {\frac {AH}{AS}}$ = n^VIAH², also AH = $\scriptstyle {\frac {n^{VII}}{AS}}$ .

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[1] [604] No. 142. S. 288. (Fig. 165.) AH drückt die Dichtigkeit, d. h. die Menge materieller Theile in A aus, deren jedes nach der Voraussetzung durch eine, $\scriptstyle {\frac {1}{AS}}$ proportionale, Kraft gegen S hin gezogen wird; daher muss AH · $\scriptstyle {\frac {1}{AS}}$ dasjenige ausdrücken, was man das specifische Gewicht nennt. Da ferner SA : SB = SB : SC = SC : SD = etc., so ist auch SB — SA : SB = SC — SB : SC = SD — SC : SD = etc,
d. h. AB : BC : CD: etc. = SB : SC : SD : etc., = SA : SB : SC : etc und so $\scriptstyle {\frac {1}{AS}}$ proportional $\scriptstyle {\frac {1}{AB}},\ {\frac {1}{BS}}$ proportional $\scriptstyle {\frac {1}{BC}},\ {\frac {1}{CS}}$ proportional $\scriptstyle {\frac {1}{CD}}$ u. s. w.

[2] [604] No. 143. S. 289. Ist SQ : SE = SE : SA, oder log SQ — log SE = log SE — log SA, so wird, weil EeqQ = n [log SQ — log SE] und EeaA = n [log SE — log SA], wo n eine beliebige Constante bezeichnet, Fläche EeqQ = EeaA.

[3] [604] No. 144. S. 291. (Fig. 167.) Eine harmonische Progression bilden die Glieder $\scriptstyle {\frac {1}{\alpha }},\ {\frac {1}{\alpha +\beta }},\ {\frac {1}{\alpha +2\beta }},\ {\frac {1}{\alpha +3\beta }}$ , etc.; soll also SA = $\scriptstyle {\frac {1}{\alpha }}$ , SD = $\scriptstyle {\frac {1}{\alpha +\beta }}$ , SF = $\scriptstyle {\frac {1}{\alpha +2\beta }}$ sein, so wird $\scriptstyle {\frac {1}{SA}}-{\frac {1}{SD}}={\frac {1}{SD}}-{\frac {1}{SF}}$ oder 1. $\scriptstyle {\frac {SD-SA}{SA}}={\frac {SF-SD}{SF}}$ . Da nun ferner Aa : Dd = SD : SA und Dd : Ff = SP : SD, so wird 2. Aa — Dd = $\scriptstyle {\frac {SD-SA}{SA}}$ · Dd und Dd — Ff = $\scriptstyle {\frac {SF-SD}{SF}}$ · Dd, also nach 1. Aa — Dd = Dd — Ff. Aus thlx = xlnz folgt St : Sx = Sx : Sz nach Bem. 143.

[4] [604] No. 145. S. 291. Wenn n, n^I, n^II, n^III, n^IV constante Zahlen bezeichnen, so hat man hier die Schwere = $\scriptstyle {\frac {n}{SA^{3}}}$ , $\scriptstyle {\frac {n}{SB^{3}}}$ etc. die Dichtigkeit = n^IAH, n^IBJ, etc. das specif. Gewicht = $\scriptstyle {\frac {n^{II}AH}{SA^{3}}}$ , $\scriptstyle {\frac {n^{II}BJ}{SB^{3}}}$ , etc. [605] die Drucktheile = $\scriptstyle {\frac {n^{III}AH\cdot AB}{SA^{3}}}$ , $\scriptstyle {\frac {n^{III}BJ\cdot BC}{SB^{3}}}$ etc. = $\scriptstyle {\frac {n^{IV}AH}{SA^{2}}}$ , $\scriptstyle {\frac {n^{IV}BJ}{SB^{2}}}$ etc. weil AB : BC etc, = SA : SB etc. Hiernach AH — BJ = $\scriptstyle {\frac {n^{IV}AH}{SA^{2}}}$ BJ — CK = wu = $\scriptstyle {\frac {n^{IV}BJ}{SB^{2}}}$ etc.
und tu : uw : wx etc. = $\scriptstyle {\frac {AH}{SA^{2}}}:{\frac {BJ}{SB^{2}}}:{\frac {CK}{SC^{2}}}:$ etc. Da nun für die Rechtecke tp, uq, wr die Verhältnisse tp : uq: wr = th · tu : uw · iu : wx · rx = th · $\scriptstyle {\frac {AH}{SA^{2}}}$ : ui · $\scriptstyle {\frac {BJ}{SB^{2}}}$ : rx · $\scriptstyle {\frac {CK}{SC^{2}}}$ = $\scriptstyle {\frac {Aa}{SA}}:{\frac {Bb}{SB}}:{\frac {Cc}{SC}}:$ (nach §., 30., Gl. 1.) stattfinden; so muss nach der Analogie mit §. 30., wie dort GL 2. hier die Gleichung $\scriptstyle {\frac {Aa}{SA}}-{\frac {Dd}{SD}}={\frac {Dd}{SD}}-{\frac {Ff}{SF}}$ richtig erwiesen werden. Da nun aber allgemein Aa · AS = Dd · DS = Ff · PS also Aa = $\scriptstyle {\frac {Dd\cdot DS}{AS}}$ Ff = $\scriptstyle {\frac {Dd\cdot DS}{FS}}$ ; so wird durch Substitution dieser Werthe von Aa und Ff die vorstehende Gleichung übergehen in $\scriptstyle {\frac {1}{SA^{2}}}-{\frac {1}{SD^{2}}}={\frac {1}{SD^{2}}}-{\frac {1}{SF^{2}}}$ welche hier vorausgesetzt wird.

[5] [605] No. 146. S. 292. Wir verfahren, wie in der vorhergehenden Bemerkung 145, vergrössern aber die Exponenten um 1; alsdann erhalten wir die Bedingung $\scriptstyle {\frac {1}{SA^{3}}}-{\frac {1}{SB^{3}}}={\frac {1}{SB^{3}}}-{\frac {1}{SD^{3}}}$ welche hier vorausgesetzt wird.

[6] [605] No. 147. S. 292. Wegen der constanten Schwere sind die Drucktheile nach der Reihe : AH · AB, BJ · BC, CK · CD, etc. oder, weil nach der Voraussetzung SA — SB = SB — SC = SC — SD = etc. = AB = BC = CD = etc so werden sie AH · AB, BJ · AB, CK · AB etc.

Die Dichtigkeit AH ist mithin proportional [ AH + BJ + CK + etc.] AB

BJ „ „ „ [ BJ + CK + etc.] AB

CK „ „ „ [ CK + etc.] AC

und wenn n eine Constante bezeichnet AH — BJ = n · AH · AB oder BJ = AH (1 — n · AB); BJ — CK = n · BJ · AB oder BJ = CK : (1 — n · AB) also BJ² = AH · CK oder AH : BJ = BJ : CK.

[7] [605] No. 148. S. 292. Hier wird die Schwere = nAS, etc. die Dichtigkeit = n^I · AH, etc. das spec. Gewicht = n^IIAH · AS, etc. der Drucktheil = n^IIIAH · AS², etc, tu = AH — BS = n^III AH · AS²; uw = BJ — CK = n^IIIBJ · BS²; tu : uw = AH · AS² : BJ · BS²; tp : uq = th · AH · AS² : ui · BJ · BS²; tp : uq = Aa · AS³ : Bb · BS³ (§. 30 Gl. 1.) Es muss mithin Aa · AS³ — Bb · BS³ = Bb · BS³ — Cc · CS³ d. h. $\scriptstyle {\frac {Bb\cdot BS}{AS}}$ AS³ — Bb · BS³ = Bb · BS³ — $\scriptstyle {\frac {Bb\cdot BS}{CS}}$ oder AS² — BS² = BS² — CS² sein, wie vorausgesetzt.

[8] [606] No. 149. S. 292. Hier ist die Dichtigkeit = n · AH, die Schwere = $\scriptstyle {\frac {n^{I}}{AS^{2}}}$ das spec. Gewicht = $\scriptstyle {\frac {n^{II}AH}{AS^{2}}}$ die drückende Kraft = $\scriptstyle {\frac {n^{III}AH\cdot AB}{AS^{2}}}={\frac {n^{IV}AH}{AS}}$ also n^V · $\scriptstyle {\frac {AH^{3}}{AS^{3}}}$ = n^VIAH⁴ und so AH = $\scriptstyle {\frac {n^{VII}}{AS^{3}}}$ ; hier sind n, n^I, . . . . n^VII constant.

[a-9] [606] No. 150. S. 292. Hier ist n^V $\scriptstyle {\frac {AH^{3}}{AS^{3}}}$ = n^VIAH⁵ also AH = $\scriptstyle {\frac {n^{VII}}{AS^{\frac {3}{2}}}}$ . Aehnlich beim folgenden Beispiel n^V · $\scriptstyle {\frac {AH}{AS}}$ = n^VIAH², also AH = $\scriptstyle {\frac {n^{VII}}{AS}}$ .

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Die Dichtigkeit	AH ist mithin proportional	[	AH +	BJ +	CK + etc.] AB
	BJ „ „ „	[		BJ +	CK + etc.] AB
	CK „ „ „	[			CK + etc.] AC