Seite:NewtonPrincipien.djvu/430

	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

Krümmung desselben Kreises verhält, wie CTP² : CTp². Ferner verhält sich die Krümmung der Ellipse in A zur Krümmung dieses Kreises, wie TA² : TC². Die Krümmung dieses Kreises zur Krümmung desjenigen Kreises, dessen Mittelpunkt T und Radius TC ist, verhält sich wie TC : TA. Ferner verhält sich die Krümmung des letzteren Kreises zur Krümmung der Ellipse in C, wie TA² : TC².

Endlich verhält sich der Unterschied zwischen der Krümmung der Ellipse in C und der Krümmung des letzteren Kreises zum Unterschiede zwischen der Krümmung der Figur Cpa im Scheitel C und der Krümmung des letzteren Kreises, wie $\scriptstyle \angle$ CTp² : CTP². Dies findet man leicht aus den Sinussen der Berührungswinkel und der Unterschiede dieser Winkel.^[1]

Benutzt man alle diese Verhältnisse, so findet man, dass die Krümmung der Bahn Cpa in a sich zu ihrer Krümmung in C verhält, wie

5.     AT³ + $\scriptstyle {\frac {16824}{100000}}$ CT² · AT : CT³ + $\scriptstyle {\frac {16824}{100000}}$ AT² · CT.^[2]

Die Zahl $\scriptstyle {\frac {16824}{100000}}$ stellt den Unterschied der Quadrate $\scriptstyle \angle$ CTp² – $\scriptstyle \angle$ CTP², dividirt durch CTP², oder was dasselbe ist

$\scriptstyle {\frac {\left(29^{d}\ 12^{h}\ 44^{m}\right)^{2}-\left(27^{d}\ 7^{h}\ 43^{m}\right)^{2}}{\left(27^{d}\ 7^{h}\ 43^{m}\right)^{2}}}$ dar.

Da nun a die Syzygie und C die Quadratur des Mondes vorstellt, so muss das eben gefundene Verhältniss dasselbe sein, welches oben in Gl. 3. für die Krümmung der Mondbahn in den Syzygien zur Krümmung in den Quadraturen gefunden worden ist. Um nun das Verhältniss CT : AT zu finden, brauchen wir nur die äusseren und mittleren Glieder der so entstehenden Proportion mit einander zu multipliciren, und erhalten so, nachdem die entstehenden Glieder durch TC · AT dividirt worden sind, folgende Gleichung:

6.     2062,79 · CT⁴ – 2151969 N · CT³ + 368676 N · AT · CT²
+ 36342 AT² · CT² – 362047 N · AT² · CT + 2191371 N · AT³
+ 4051,4 AT⁴ = 0.

Setzt man in derselben N = $\scriptstyle {\frac {CT+AT}{2}}$ = 1 und $\scriptstyle {\frac {CT-AT}{2}}$ = x also CT = 1 + x und AT = 1 – x; so ergibt sich x = 0,00719, also die halbe grosse Axe CT = 1,00719 und die halbe kleine Axe AT = 0,99281 so wie sehr nahe CT : AT = 701/24 : 691/24.

Es verhält sich daher der Abstand des Mondes von der Erde in den Syzygien zum Abstande in den Quadraturen, wie 691/24 : 701/24 oder in runden Zahlen wie 69 : 70; vorausgesetzt, dass man von der Excentricität abstrahire.

§. 33. Aufgabe. Man soll die Variation des Mondes finden.

Diese Ungleichheit des Mondes entsteht zum Theil aus der elliptischen Gestalt seiner Bahn, zum Theil aus der Ungleichheit der Momente der Fläche, welche er um die Erde beschreibt. Setzt man voraus, dass

---

1. No. 247. S. 422. (Fig. 193.) Wir wollen der Kürze wegen

   die	Krümmung	der	Ellipse		in	A	und	C	durch	EA, EC
   „	„	„	Figur	Tpa	„	a	„	C	„	Ba BC
   „	„	des	ersten	Kreises					„	KA
   „	„	„	zweiten	„					„	KC

   bezeichnen. Denkt man sich nun aus T mit TA einen Kreisbogen geschlagen, welcher durch A und a gehen wird und hierauf von A und a aus auf der Ellipse und Bahn gleichzeitig beschriebene kleine Stücke v und v' abgetragen, so dass in beiden Fällen der Körper durch die anziehende Kraft der Erde ihr um gleiche Stücke e näher gebracht sein würde; so ist $\scriptstyle {\frac {e}{v^{2}}}$ dem Unterschiede der Krümmungen der Bahn in a und des Kreises in a, oder B^a – K^a proportional (Bem. 245.) Ferner ist $\scriptstyle {\frac {e}{v^{2}}}$ dem Unterschiede der Krümmung der Ellipse in A und desselben Kreises, oder E^A – K^A proportional. Wir haben daher

   

   Fig. 259.

   1.     B^a – K^A : E^A – K^A = $\scriptstyle {\frac {e}{v'^{2}}}:{\frac {e}{v^{2}}}$ = v² : v'² = CTP² : CTp².

   Auf ähnliche Weise ergiebt sich das letzte Verhältniss im Texte

   1a.     E^C – K^C : B^C – K^C = $\scriptstyle \angle$ CTp² : CTP².

   Ferner ist K^A proportional $\scriptstyle {\frac {1}{TA}}$, K^C proportional $\scriptstyle {\frac {1}{TC}}$, E^A ist dem Radius des osculirenden Kreises in A und E^C den Radius des osculirenden Kreises in C umgekehrt proportional. Der erste Radius ist aber = $\scriptstyle {\frac {TC^{2}}{TA}}$, der letztere = $\scriptstyle {\frac {TA^{2}}{TC}}$, also

   2.     E^A : K^A = $\scriptstyle {\frac {TA}{TC^{2}}}:{\frac {1}{TA}}$ = TA² : TC².
   3.     K^A : K^C = $\scriptstyle {\frac {1}{TA}}:{\frac {1}{TC}}$ = TC : TA.
   4.     K^C : E^C = $\scriptstyle {\frac {1}{TC}}:{\frac {TC}{TA^{2}}}$ = TA² : TC².
2. No. 248. S. 422. Aus Proportion 2. folgt nämlich
   5.     E^A – K^A : K^A = TA² – TC², aus 1. und 5.
   6.     B^a – K^A : K^A = (TA² – TC²)CTP² : TC² · CTp².

   hieraus

   7.     B^a : K^A – TA² · CTP² + TC²(CTp² – CTP²) : TC² · CTp².

   Ferner aus Proportion 4.

   8.     K^C : E^C – K^C = TA² : TC² – TA²,

   hieraus und aus 1a.

   9.     K^C : B^C – K^C = TA² · CTp² : (TC² – TA²)CTP²

   oder

   10.     K^C : B^C = TA² · CTp² : TC² · CTP² + TA²(CTp² – CTP²),

   hieraus und aus 3.

   11.     K^A : B^C = TA² · TC · CTp² : TA · TC² · CTP² + TA²(CTp² – CTP²).

   Durch die Verbindung der Proportionen 7. und 11. erhalten wir endlich

   12.     B^a : B^C = TA⁴ · TC · CTp² · CTP² + TA² · TC³ · CTp²(CTp² – CTP²) : TA · TC⁴, CTp² · CTP² + TA³ · TC², CTp²(CTp² – CTP²)B^a : B^C = TA³ + TA · TC² $\scriptstyle {\frac {CTp^{2}-CTP^{2}}{CTP^{2}}}$ : TC³ + TA² · TC $\scriptstyle {\frac {CTp^{2}-CTP^{2}}{CTP^{2}}}$.

   Man hätte übrigens auch die Verhältnisse E^A : B^a und E^C : B^C unmittelbar nach §. 84, Zusatz 3 des ersten Buches auf folgende Weise finden können. Setzte man statt des dortigen

   A	hier	TA
   T	„	TC
   R	„	$\scriptstyle {\frac {TA^{2}}{TC}}$
   F	„	CTP
   G	„	CTp;

   so würde das Verhältniss der Kräfte für E und B in den Punkten A und a $\scriptstyle {\frac {TA\cdot CTP^{2}}{TC^{3}}}:{\frac {TA\cdot CTP^{2}}{TC^{3}}}+{\frac {TA^{2}}{TC}}\cdot {\frac {CTp^{2}-CTP^{2}}{TA^{3}}}$ und das Verhältniss der Geschwindigkeiten CTP : CTp; mithin E^A : B^a = $\scriptstyle {\frac {TA\cdot CTP^{2}}{TC^{3}\cdot CTP^{2}}}:{\frac {TA\cdot CTP^{2}}{TC^{3}\cdot CTp^{2}}}+{\frac {1}{TC+TA}}\cdot {\frac {CTp^{2}-CTP^{2}}{CTp^{2}}}$ oder auch

   13.     E^A : B^a = TA² · $\scriptstyle {\frac {CTp^{2}}{CTP^{2}}}$ : TA² + TC² · $\scriptstyle {\frac {CTp^{2}-CTP^{2}}{CTp^{2}}}$.

   Vertauscht man hier

   TA	mit	TC,
   TA	„	TC

   und umgekehrt, so erhält man unmittelbar

   14.     E^C : B^C = TC² · $\scriptstyle {\frac {CTp^{2}}{CTP^{2}}}$ : TC² + TA² · $\scriptstyle {\frac {CTp^{2}-CTP^{2}}{CTp^{2}}}$.

   Aus diesen beiden Gleichungen 13 und 14 würde man leicht, durch Benutzung der Proportionen 2, 3 und 4, die Proportion 12 wieder herleiten können.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 422. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/430&oldid=- (Version vom 1.8.2018)