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Krümmung desselben Kreises verhält, wie CTP² : CTp². Ferner verhält sich die Krümmung der Ellipse in A zur Krümmung dieses Kreises, wie TA² : TC². Die Krümmung dieses Kreises zur Krümmung desjenigen Kreises, dessen Mittelpunkt T und Radius TC ist, verhält sich wie TC : TA. Ferner verhält sich die Krümmung des letzteren Kreises zur Krümmung der Ellipse in C, wie TA² : TC².

Endlich verhält sich der Unterschied zwischen der Krümmung der Ellipse in C und der Krümmung des letzteren Kreises zum Unterschiede zwischen der Krümmung der Figur Cpa im Scheitel C und der Krümmung des letzteren Kreises, wie CTp² : CTP². Dies findet man leicht aus den Sinussen der Berührungswinkel und der Unterschiede dieser Winkel.[1]

Benutzt man alle diese Verhältnisse, so findet man, dass die Krümmung der Bahn Cpa in a sich zu ihrer Krümmung in C verhält, wie

5.     AT³ + CT² · AT : CT³ + AT² · CT.[2]

Die Zahl stellt den Unterschied der Quadrate CTp² – CTP², dividirt durch CTP², oder was dasselbe ist

dar.

Da nun a die Syzygie und C die Quadratur des Mondes vorstellt, so muss das eben gefundene Verhältniss dasselbe sein, welches oben in Gl. 3. für die Krümmung der Mondbahn in den Syzygien zur Krümmung in den Quadraturen gefunden worden ist. Um nun das Verhältniss CT : AT zu finden, brauchen wir nur die äusseren und mittleren Glieder der so entstehenden Proportion mit einander zu multipliciren, und erhalten so, nachdem die entstehenden Glieder durch TC · AT dividirt worden sind, folgende Gleichung:

6.     2062,79 · CT4 – 2151969 N · CT³ + 368676 N · AT · CT²
+ 36342 AT² · CT² – 362047 N · AT² · CT + 2191371 N · AT³
+ 4051,4 AT4 = 0.

Setzt man in derselben N = = 1 und = x also CT = 1 + x und AT = 1 – x; so ergibt sich x = 0,00719, also die halbe grosse Axe CT = 1,00719 und die halbe kleine Axe AT = 0,99281 so wie sehr nahe CT : AT = 701/24 : 691/24.

Es verhält sich daher der Abstand des Mondes von der Erde in den Syzygien zum Abstande in den Quadraturen, wie 691/24 : 701/24 oder in runden Zahlen wie 69 : 70; vorausgesetzt, dass man von der Excentricität abstrahire.

§. 33. Aufgabe. Man soll die Variation des Mondes finden.

Diese Ungleichheit des Mondes entsteht zum Theil aus der elliptischen Gestalt seiner Bahn, zum Theil aus der Ungleichheit der Momente der Fläche, welche er um die Erde beschreibt. Setzt man voraus, dass


  1. [630] No. 247. S. 422. (Fig. 193.) Wir wollen der Kürze wegen
    die Krümmung der Ellipse in A und C durch EA, EC
    Figur Tpa a C Ba BC
    des ersten Kreises KA
    zweiten KC

    bezeichnen. Denkt man sich nun aus T mit TA einen Kreisbogen geschlagen, welcher durch A und a gehen wird und hierauf von A und a aus auf der Ellipse und Bahn gleichzeitig beschriebene kleine Stücke v und v' abgetragen, so dass in beiden Fällen der Körper durch die anziehende Kraft der Erde ihr um gleiche Stücke e näher gebracht sein [631] würde; so ist dem Unterschiede der Krümmungen der Bahn in a und des Kreises in a, oder Ba – Ka proportional (Bem. 245.) Ferner ist dem Unterschiede der Krümmung der Ellipse in A und desselben Kreises, oder EA – KA proportional. Wir haben daher

    Fig. 259.

    1.     Ba – KA : EA – KA = = v² : v'² = CTP² : CTp².

    Auf ähnliche Weise ergiebt sich das letzte Verhältniss im Texte

    1a.     EC – KC : BC – KC = CTp² : CTP².

    Ferner ist KA proportional , KC proportional , EA ist dem Radius des osculirenden Kreises in A und EC den Radius des osculirenden Kreises in C umgekehrt proportional. Der erste Radius ist aber = , der letztere = , also

    2.     EA : KA = = TA² : TC².
    3.     KA : KC = = TC : TA.
    4.     KC : EC = = TA² : TC².
  2. [631] No. 248. S. 422. Aus Proportion 2. folgt nämlich
    5.     EA – KA : KA = TA² – TC², aus 1. und 5.
    6.     Ba – KA : KA = (TA² – TC²)CTP² : TC² · CTp².

    hieraus

    7.     Ba : KA – TA² · CTP² + TC²(CTp² – CTP²) : TC² · CTp².

    Ferner aus Proportion 4.

    8.     KC : EC – KC = TA² : TC² – TA²,

    hieraus und aus 1a.

    9.     KC : BC – KC = TA² · CTp² : (TC² – TA²)CTP²

    oder

    10.     KC : BC = TA² · CTp² : TC² · CTP² + TA²(CTp² – CTP²),

    hieraus und aus 3.

    11.     KA : BC = TA² · TC · CTp² : TA · TC² · CTP² + TA²(CTp² – CTP²).

    Durch die Verbindung der Proportionen 7. und 11. erhalten wir endlich

    12.     Ba : BC = TA4 · TC · CTp² · CTP² + TA² · TC³ · CTp²(CTp² – CTP²) : TA · TC4, CTp² · CTP² + TA³ · TC², CTp²(CTp² – CTP²)Ba : BC = TA³ + TA · TC²  : TC³ + TA² · TC .

    Man hätte übrigens auch die Verhältnisse EA : Ba und EC : BC unmittelbar [632] nach §. 84, Zusatz 3 des ersten Buches auf folgende Weise finden können. Setzte man statt des dortigen

    A hier TA
    T TC
    R
    F CTP
    G CTp;

    so würde das Verhältniss der Kräfte für E und B in den Punkten A und a und das Verhältniss der Geschwindigkeiten CTP : CTp; mithin EA : Ba = oder auch

    13.     EA : Ba = TA² ·  : TA² + TC² · .

    Vertauscht man hier

    TA mit TC,
    TA TC

    und umgekehrt, so erhält man unmittelbar

    14.     EC : BC = TC² ·  : TC² + TA² · .

    Aus diesen beiden Gleichungen 13 und 14 würde man leicht, durch Benutzung der Proportionen 2, 3 und 4, die Proportion 12 wieder herleiten können.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 422. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/430&oldid=- (Version vom 1.8.2018)