übrig, und es verhält sich daher die dieser Fläche proportionale Kraft wie
AB — PE + PD.
Zusatz 2. Hiernach wird auch die Kraft bekannt, mit welcher das Sphäroïd AGBCD einen Körper P anzieht, welcher sich ausserhalb desselben auf seiner Axe AB befindet.
Es sei NKRM ein Kegelschnitt, dessen auf EP senkrechte Ordinate ER immer gleich PD sei, welche letztere Linie nach dem Punkte D gesogen ist, in welchem jene Ordinate das Sphäroïd schneidet. In den Scheitelpunkten A und B des Sphäroïds errichte man auf die Axe AB die Perpendikel
AK = PA,
BM = PB,
wesshalb beide AK und BM den Kegelschnitt in K und M schneiden. Nun ziehe man KM, welche das Segment KMRK abschneidet. Ist nun S der Mittelpunkt des Sphäroïds und SC die halbe grosse Axe; so verhält sich die Kraft, mit welcher das Sphäroïd den Körper P anzieht, zu derjenigen, mit welcher die über AB beschriebene Kugel ihn anzieht, wie
A
S
⋅
C
S
2
−
P
S
⋅
K
M
R
K
P
S
2
+
C
S
2
−
A
S
2
:
A
S
3
3
P
S
2
{\displaystyle \scriptstyle {\frac {AS\cdot CS^{2}-PS\cdot KMRK}{PS^{2}+CS^{2}-AS^{2}}}:{\frac {AS^{3}}{3PS^{2}}}}
[1] Auf dieselbe Weise kann man die Kräfte der Segmente des Sphäroïds finden.
Fig. 122. Zusatz 3. Befindet sich der kleine Körper innerhalb des Sphäroïds auf irgend einem gegebenen Durchmesser desselben, so ist seine Anziehung seinem Abstande vom Mittelpunkte proportional.
Fig. 123. Dies wird folgendermassen bewiesen. Es sei AGOF das anziehende Sphäroïd, S sein Mittelpunkt und P der angezogene Körper. Durch P ziehe man den Halbmesser APS und zwei beliebige gerade Linien DE und FG, welche das Sphäroïd auf beiden Seiten in D und E, wie in F und G schneiden. Es seien PCM und HLN die Oberflächen zweier inneren Sphäroïde, welche dem äusseren ähnlich und concentrisch sind, und von denen die
↑ [591 No. 74 . S. 217 . (Fig. 122.) Setzt man der Kürze wegen AP = α. AS = SB = b, PE = x, PD = ER = z, so ist nach §. 136., Zusatz 1. die Anziehung des Punktes P durch das Sphäroïd proportional
1.
∫
α
α
+
2
b
(
1
−
x
z
)
d
x
=
2
b
−
∫
α
α
+
2
b
x
z
d
x
{\displaystyle \scriptstyle \int \limits _{\alpha }^{\alpha +2b}\left(1-{\frac {x}{z}}\right)dx=2b-\int \limits _{\alpha }^{\alpha +2b}{\frac {x}{z}}dx}
Man setze ferner ED = y, SC = a; alsdann wird
2. y² =
a
2
b
2
{\displaystyle \scriptstyle {\frac {a^{2}}{b^{2}}}}
und hieraus
z² = x² + y² =
−
a
2
α
(
α
+
2
b
)
+
2
a
2
(
α
+
b
)
x
−
(
a
2
−
b
2
)
x
2
b
2
{\displaystyle \scriptstyle {\frac {-a^{2}\alpha (\alpha +2b)+2a^{2}(\alpha +b)x-(a^{2}-b^{2})x^{2}}{b^{2}}}}
oder
3. bz =
−
a
2
α
(
α
+
2
b
)
+
2
a
2
(
α
+
b
)
x
−
(
a
2
−
b
2
)
x
2
{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {-a^{2}\alpha (\alpha +2b)+2a^{2}(\alpha +b)x-(a^{2}-b^{2})x^{2}}}}
Aus 3. folgt für x = α, bx = bα, und für x = α + 2b, bx = b (α + 2b). Da nun allgemein
4.
∫
x
d
x
p
+
q
x
+
r
x
2
=
p
+
q
x
+
r
x
2
r
−
q
2
r
∫
d
x
p
+
q
x
+
r
x
2
{\displaystyle \scriptstyle \int {\frac {xdx}{\sqrt {p+qx+rx^{2}}}}={\frac {\sqrt {p+qx+rx^{2}}}{r}}-{\frac {q}{2r}}\int {\frac {dx}{\sqrt {p+qx+rx^{2}}}}}
ferner
∫
p
+
q
x
+
r
x
2
⋅
d
x
=
{\displaystyle \scriptstyle \int {\sqrt {p+qx+rx^{2}}}\cdot dx=}
(
q
+
2
r
x
)
p
+
q
x
+
r
x
2
4
r
+
4
p
r
−
q
2
8
r
∫
d
x
p
+
q
x
+
r
x
2
{\displaystyle \scriptstyle {\frac {(q+2rx){\sqrt {p+qx+rx^{2}}}}{4r}}+{\frac {4pr-q^{2}}{8r}}\int {\frac {dx}{\sqrt {p+qx+rx^{2}}}}}
oder aus dieser
5.
∫
d
x
p
+
q
x
+
r
x
2
=
{\displaystyle \scriptstyle \int {\frac {dx}{\sqrt {p+qx+rx^{2}}}}=}
−
2
(
q
+
2
r
x
)
p
+
q
x
+
r
x
2
4
p
r
−
q
2
+
8
r
4
p
r
−
q
2
∫
p
+
q
x
+
r
x
2
⋅
d
x
{\displaystyle \scriptstyle -{\frac {2(q+2rx){\sqrt {p+qx+rx^{2}}}}{4pr-q^{2}}}+{\frac {8r}{4pr-q^{2}}}\int {\sqrt {p+qx+rx^{2}}}\cdot dx}
so wird
∫
α
α
+
2
b
(
1
−
x
z
)
d
x
=
{\displaystyle \scriptstyle \int \limits _{\alpha }^{\alpha +2b}\left(1-{\frac {x}{z}}\right)dx=}
[592
2
b
+
b
a
2
−
b
2
[
b
(
α
+
2
b
)
−
b
α
]
−
b
⋅
2
a
2
(
α
+
b
)
2
(
a
2
−
b
2
)
∫
α
α
+
2
b
d
x
b
z
=
{\displaystyle \scriptstyle 2b+{\frac {b}{a^{2}-b^{2}}}\left[b(\alpha +2b)-b\alpha \right]-{\frac {b\cdot 2a^{2}(\alpha +b)}{2\left(a^{2}-b^{2}\right)}}\int \limits _{\alpha }^{\alpha +2b}{\frac {dx}{bz}}=}
2
a
2
b
a
2
−
b
2
−
a
2
b
(
α
+
b
)
a
2
−
b
2
{
−
8
(
a
2
−
b
2
)
4
a
2
α
(
α
+
2
b
)
(
a
2
−
b
2
)
−
4
a
4
(
a
+
b
)
2
∫
α
α
+
2
b
b
z
d
x
{\displaystyle \scriptstyle {\frac {2a^{2}b}{a^{2}-b^{2}}}-{\frac {a^{2}b(\alpha +b)}{a^{2}-b^{2}}}\left\{{\frac {-8\left(a^{2}-b^{2}\right)}{4a^{2}\alpha (\alpha +2b)\left(a^{2}-b^{2}\right)-4a^{4}(a+b)^{2}}}\int \limits _{\alpha }^{\alpha +2b}bzdx\right.}
−
2
[
2
a
2
(
α
+
b
)
−
2
(
a
2
−
b
2
)
3
]
b
z
4
a
2
α
(
α
+
2
b
)
(
a
2
−
b
2
)
−
4
a
4
(
α
+
b
)
2
}
{\displaystyle \scriptstyle \left.-{\frac {2\left[2a^{2}(\alpha +b)-2\left(a^{2}-b^{2}\right)3\right]bz}{4a^{2}\alpha (\alpha +2b)\left(a^{2}-b^{2}\right)-4a^{4}(\alpha +b)^{2}}}\right\}}
=
2
a
2
b
a
2
−
b
2
−
2
(
α
+
b
)
α
2
+
2
α
b
+
a
2
∫
α
α
+
2
b
z
d
x
−
α
+
b
(
a
2
−
b
2
)
b
(
α
2
+
2
α
b
+
a
2
)
{\displaystyle \scriptstyle ={\frac {2a^{2}b}{a^{2}-b^{2}}}-{\frac {2(\alpha +b)}{\alpha ^{2}+2\alpha b+a^{2}}}\int \limits _{\alpha }^{\alpha +2b}zdx-{\frac {\alpha +b}{\left(a^{2}-b^{2}\right)b\left(\alpha ^{2}+2\alpha b+a^{2}\right)}}}
×
{
[
a
2
(
α
+
b
)
−
(
a
2
−
b
2
)
(
α
+
2
b
]
(
b
2
+
2
b
α
)
−
[
a
2
(
α
+
b
)
−
(
a
2
−
b
2
)
α
]
b
α
}
{\displaystyle \scriptstyle \times \left\{\left[a^{2}(\alpha +b)-\left(a^{2}-b^{2}\right)(\alpha +2b\right]\left(b^{2}+2b\alpha \right)-\left[a^{2}(\alpha +b)-\left(a^{2}-b^{2}\right)\alpha \right]b\alpha \right\}}
6.
∫
α
α
+
2
b
(
1
−
x
z
)
d
x
=
{\displaystyle \scriptstyle \int \limits _{\alpha }^{\alpha +2b}\left(1-{\frac {x}{z}}\right)dx=}
2
a
2
b
a
2
−
b
2
−
2
(
α
+
b
)
α
2
+
2
α
b
+
a
2
⋅
A
K
R
M
B
−
(
α
+
b
)
2
2
b
(
2
b
2
−
a
2
)
(
a
2
−
b
2
)
(
α
2
+
2
α
b
+
a
2
)
{\displaystyle \scriptstyle {\frac {2a^{2}b}{a^{2}-b^{2}}}-{\frac {2(\alpha +b)}{\alpha ^{2}+2\alpha b+a^{2}}}\cdot AKRMB-{\frac {(\alpha +b)^{2}2b\left(2b^{2}-a^{2}\right)}{\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(\alpha ^{2}+2\alpha b+a^{2}\right)}}}
Es ist aber AKRMB = AKMB + KMRK = 2b(α + b) + KMRK; mithin aus 6.
∫
α
α
+
2
b
(
1
−
x
z
)
d
x
=
2
a
2
b
a
2
−
b
2
−
4
(
a
+
b
)
2
⋅
b
α
2
+
2
α
b
+
a
2
−
2
(
α
+
b
)
α
2
+
2
α
b
+
a
2
⋅
K
M
R
K
{\displaystyle \scriptstyle \int \limits _{\alpha }^{\alpha +2b}\left(1-{\frac {x}{z}}\right)dx={\frac {2a^{2}b}{a^{2}-b^{2}}}-{\frac {4(a+b)^{2}\cdot b}{\alpha ^{2}+2\alpha b+a^{2}}}-{\frac {2(\alpha +b)}{\alpha ^{2}+2\alpha b+a^{2}}}\cdot KMRK}
−
2
b
(
α
+
b
)
2
(
2
b
2
−
a
2
)
(
a
2
−
b
2
)
(
α
2
+
2
α
b
+
a
2
)
{\displaystyle \scriptstyle -{\frac {2b(\alpha +b)^{2}\left(2b^{2}-a^{2}\right)}{\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(\alpha ^{2}+2\alpha b+a^{2}\right)}}}
=
2
b
⋅
a
2
(
α
2
+
2
α
b
+
a
2
)
−
2
(
α
+
b
)
2
(
a
2
−
b
2
)
−
(
α
+
b
)
2
(
2
b
2
−
a
2
)
(
a
2
−
b
2
)
(
α
2
+
2
α
b
+
a
2
)
{\displaystyle \scriptstyle =2b\cdot {\frac {a^{2}\left(\alpha ^{2}+2\alpha b+a^{2}\right)-2(\alpha +b)^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)-(\alpha +b)^{2}\left(2b^{2}-a^{2}\right)}{\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(\alpha ^{2}+2\alpha b+a^{2}\right)}}}
−
2
(
α
+
b
)
α
2
+
2
α
b
+
a
2
⋅
K
M
R
K
{\displaystyle \scriptstyle -{\frac {2(\alpha +b)}{\alpha ^{2}+2\alpha b+a^{2}}}\cdot KMRK}
7.
∫
α
α
+
2
b
(
1
−
x
z
)
d
x
=
2
⋅
a
2
b
−
(
α
+
b
)
⋅
K
M
R
K
α
2
+
2
α
b
+
a
2
{\displaystyle \scriptstyle \int \limits _{\alpha }^{\alpha +2b}\left(1-{\frac {x}{z}}\right)dx=2\cdot {\frac {a^{2}b-(\alpha +b)\cdot KMRK}{\alpha ^{2}+2\alpha b+a^{2}}}}
Weil aber α² + 2αb + a² = (α + b)² + a² — b², wird die Anziehung des Sphäroïds proportional
8.
2
⋅
a
2
b
−
(
α
+
b
)
⋅
K
M
R
K
(
α
+
b
)
2
+
a
2
−
b
2
{\displaystyle \scriptstyle 2\cdot {\frac {a^{2}b-(\alpha +b)\cdot KMRK}{(\alpha +b)^{2}+a^{2}-b^{2}}}}
Ist hingegen eine Kugel über AB beschrieben, so wird bei der vorhergehenden Bezeichnung
9. y² = 2b(x — α) — (x — α)², z² = x² + y² = — α² — 2αb + 2(α + b)x
10.
z
=
−
(
α
2
+
2
α
b
)
+
2
(
α
+
b
)
x
{\displaystyle \scriptstyle z={\sqrt {-\left(\alpha ^{2}+2\alpha b\right)+2(\alpha +b)x}}}
für x = α, z = α, x = α + 2b, z = α + 2b und da allgemein
11.
∫
x
d
x
p
+
q
x
=
2
3
q
2
(
q
x
−
2
p
)
q
+
q
x
{\displaystyle \scriptstyle \int {\frac {xdx}{\sqrt {p+qx}}}={\frac {2}{3q^{2}}}(qx-2p){\sqrt {q+qx}}}
[593 die Anziehung der Kugel proportional
∫
α
α
+
2
b
(
1
−
x
z
)
d
x
=
2
b
−
2
3
⋅
4
⋅
(
α
+
b
)
2
[
2
(
α
+
b
)
x
+
2
α
(
α
+
2
b
)
]
z
{\displaystyle \scriptstyle \int \limits _{\alpha }^{\alpha +2b}\left(1-{\frac {x}{z}}\right)dx=2b-{\frac {2}{3\cdot 4\cdot (\alpha +b)^{2}}}[2(\alpha +b)x+2\alpha (\alpha +2b)]z}
=
2
b
−
1
3
(
α
+
b
)
2
{
[
α
+
b
)
(
α
+
2
b
)
+
α
(
α
+
2
b
)
]
(
α
+
2
b
)
−
{\displaystyle \scriptstyle =2b-{\frac {1}{3(\alpha +b)^{2}}}\left\{[\alpha +b)(\alpha +2b)+\alpha (\alpha +2b)](\alpha +2b)-\right.}
[
(
α
+
b
)
α
+
a
(
α
+
2
b
)
]
α
}
{\displaystyle \scriptstyle \left.[(\alpha +b)\alpha +a(\alpha +2b)]\alpha \right\}}
12.
∫
α
α
+
2
b
(
1
−
x
z
)
d
x
=
2
b
3
2
(
α
+
b
)
2
{\displaystyle \scriptstyle \int \limits _{\alpha }^{\alpha +2b}\left(1-{\frac {x}{z}}\right)dx={\frac {2b^{3}}{2(\alpha +b)^{2}}}}
Hiernach verhält sich endlich die Anziehung des Sphäroïds zu der von Seiten der Kugel auf P ausgeübten Anziehung, wie
a
2
b
−
(
α
+
b
)
⋅
K
M
R
K
(
α
+
b
)
2
+
a
2
−
b
2
:
b
3
3
(
α
+
b
)
2
{\displaystyle \scriptstyle {\frac {a^{2}b-(\alpha +b)\cdot KMRK}{(\alpha +b)^{2}+a^{2}-b^{2}}}:{\frac {b^{3}}{3(\alpha +b)^{2}}}}
![{\displaystyle \scriptstyle 2b+{\frac {b}{a^{2}-b^{2}}}\left[b(\alpha +2b)-b\alpha \right]-{\frac {b\cdot 2a^{2}(\alpha +b)}{2\left(a^{2}-b^{2}\right)}}\int \limits _{\alpha }^{\alpha +2b}{\frac {dx}{bz}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d46ffe4cf190b07f93493719698412313049c0a)
![{\displaystyle \scriptstyle \left.-{\frac {2\left[2a^{2}(\alpha +b)-2\left(a^{2}-b^{2}\right)3\right]bz}{4a^{2}\alpha (\alpha +2b)\left(a^{2}-b^{2}\right)-4a^{4}(\alpha +b)^{2}}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ef47621d7ed9c7ff17600706951a1c7ee3aab1c)
![{\displaystyle \scriptstyle \times \left\{\left[a^{2}(\alpha +b)-\left(a^{2}-b^{2}\right)(\alpha +2b\right]\left(b^{2}+2b\alpha \right)-\left[a^{2}(\alpha +b)-\left(a^{2}-b^{2}\right)\alpha \right]b\alpha \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8771a593df57f48590a041a7c0059ad13e3a4d9)
![{\displaystyle \scriptstyle \int \limits _{\alpha }^{\alpha +2b}\left(1-{\frac {x}{z}}\right)dx=2b-{\frac {2}{3\cdot 4\cdot (\alpha +b)^{2}}}[2(\alpha +b)x+2\alpha (\alpha +2b)]z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e536cb2007ce8ab68f9a9c3921e1229c59fd76d6)
-\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4517386049dcd29901e6e16779a9d22c374eee47)
![{\displaystyle \scriptstyle \left.[(\alpha +b)\alpha +a(\alpha +2b)]\alpha \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85a8040d2dc6f48f3d6074767594d7e8fe4b704c)
