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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

Wenn daher AD = ∞ ist, so wird auch PH = ∞, und so für n > 1, $\scriptstyle {\frac {PA}{PH^{n-1}}}={\frac {PA}{\infty }}=0$.

No. 72. S. 216. (Fig. 121., I.) Setzt man PT = x, so wird $\scriptstyle \int \limits _{PA}^{PB}$ 1 · dx = 1(PB - PA) = 1 · AB.

No. 73. S. 216. (Fig. 121., II.) Setzt man AD = RT = EB = r, so wird $\scriptstyle {\sqrt {r^{1}+x^{2}}}$ und $\scriptstyle \int {\frac {PT}{PR}}dx=\int {\frac {xdx}{\sqrt {r^{2}+x^{2}}}}={\sqrt {r^{2}+x^{2}}}+C$
$\scriptstyle \int \limits _{PA}^{PB}{\frac {PT}{PR}}dx$ = (PE + C) — (PD + C) = PE — PD.

No. 74. S. 217. (Fig. 122.) Setzt man der Kürze wegen AP = α. AS = SB = b, PE = x, PD = ER = z, so ist nach §. 136., Zusatz 1. die Anziehung des Punktes P durch das Sphäroïd proportional

1.   $\scriptstyle \int \limits _{\alpha }^{\alpha +2b}\left(1-{\frac {x}{z}}\right)dx=2b-\int \limits _{\alpha }^{\alpha +2b}{\frac {x}{z}}dx$

Man setze ferner ED = y, SC = a; alsdann wird

2.    y² = $\scriptstyle {\frac {a^{2}}{b^{2}}}$ [2b(x — α) — (x — α)²]

und hieraus

z² = x² + y² = $\scriptstyle {\frac {-a^{2}\alpha (\alpha +2b)+2a^{2}(\alpha +b)x-(a^{2}-b^{2})x^{2}}{b^{2}}}$

oder

3.   bz = $\scriptstyle {\sqrt {-a^{2}\alpha (\alpha +2b)+2a^{2}(\alpha +b)x-(a^{2}-b^{2})x^{2}}}$.

Aus 3. folgt für x = α, bx = bα, und für x = α + 2b, bx = b (α + 2b). Da nun allgemein

4.   $\scriptstyle \int {\frac {xdx}{\sqrt {p+qx+rx^{2}}}}={\frac {\sqrt {p+qx+rx^{2}}}{r}}-{\frac {q}{2r}}\int {\frac {dx}{\sqrt {p+qx+rx^{2}}}}$,

ferner

$\scriptstyle \int {\sqrt {p+qx+rx^{2}}}\cdot dx=$ $\scriptstyle {\frac {(q+2rx){\sqrt {p+qx+rx^{2}}}}{4r}}+{\frac {4pr-q^{2}}{8r}}\int {\frac {dx}{\sqrt {p+qx+rx^{2}}}}$,

oder aus dieser

5.   $\scriptstyle \int {\frac {dx}{\sqrt {p+qx+rx^{2}}}}=$ $\scriptstyle -{\frac {2(q+2rx){\sqrt {p+qx+rx^{2}}}}{4pr-q^{2}}}+{\frac {8r}{4pr-q^{2}}}\int {\sqrt {p+qx+rx^{2}}}\cdot dx$;

so wird

$\scriptstyle \int \limits _{\alpha }^{\alpha +2b}\left(1-{\frac {x}{z}}\right)dx=$

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 591. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/599&oldid=- (Version vom 1.8.2018)