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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

$\scriptstyle 2b+{\frac {b}{a^{2}-b^{2}}}\left[b(\alpha +2b)-b\alpha \right]-{\frac {b\cdot 2a^{2}(\alpha +b)}{2\left(a^{2}-b^{2}\right)}}\int \limits _{\alpha }^{\alpha +2b}{\frac {dx}{bz}}=$ $\scriptstyle {\frac {2a^{2}b}{a^{2}-b^{2}}}-{\frac {a^{2}b(\alpha +b)}{a^{2}-b^{2}}}\left\{{\frac {-8\left(a^{2}-b^{2}\right)}{4a^{2}\alpha (\alpha +2b)\left(a^{2}-b^{2}\right)-4a^{4}(a+b)^{2}}}\int \limits _{\alpha }^{\alpha +2b}bzdx\right.$ $\scriptstyle \left.-{\frac {2\left[2a^{2}(\alpha +b)-2\left(a^{2}-b^{2}\right)3\right]bz}{4a^{2}\alpha (\alpha +2b)\left(a^{2}-b^{2}\right)-4a^{4}(\alpha +b)^{2}}}\right\}$ $\scriptstyle ={\frac {2a^{2}b}{a^{2}-b^{2}}}-{\frac {2(\alpha +b)}{\alpha ^{2}+2\alpha b+a^{2}}}\int \limits _{\alpha }^{\alpha +2b}zdx-{\frac {\alpha +b}{\left(a^{2}-b^{2}\right)b\left(\alpha ^{2}+2\alpha b+a^{2}\right)}}$ $\scriptstyle \times \left\{\left[a^{2}(\alpha +b)-\left(a^{2}-b^{2}\right)(\alpha +2b\right]\left(b^{2}+2b\alpha \right)-\left[a^{2}(\alpha +b)-\left(a^{2}-b^{2}\right)\alpha \right]b\alpha \right\}$ 6.   $\scriptstyle \int \limits _{\alpha }^{\alpha +2b}\left(1-{\frac {x}{z}}\right)dx=$ $\scriptstyle {\frac {2a^{2}b}{a^{2}-b^{2}}}-{\frac {2(\alpha +b)}{\alpha ^{2}+2\alpha b+a^{2}}}\cdot AKRMB-{\frac {(\alpha +b)^{2}2b\left(2b^{2}-a^{2}\right)}{\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(\alpha ^{2}+2\alpha b+a^{2}\right)}}$

Es ist aber AKRMB = AKMB + KMRK = 2b(α + b) + KMRK; mithin aus 6.

$\scriptstyle \int \limits _{\alpha }^{\alpha +2b}\left(1-{\frac {x}{z}}\right)dx={\frac {2a^{2}b}{a^{2}-b^{2}}}-{\frac {4(a+b)^{2}\cdot b}{\alpha ^{2}+2\alpha b+a^{2}}}-{\frac {2(\alpha +b)}{\alpha ^{2}+2\alpha b+a^{2}}}\cdot KMRK$ $\scriptstyle -{\frac {2b(\alpha +b)^{2}\left(2b^{2}-a^{2}\right)}{\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(\alpha ^{2}+2\alpha b+a^{2}\right)}}$ $\scriptstyle =2b\cdot {\frac {a^{2}\left(\alpha ^{2}+2\alpha b+a^{2}\right)-2(\alpha +b)^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)-(\alpha +b)^{2}\left(2b^{2}-a^{2}\right)}{\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(\alpha ^{2}+2\alpha b+a^{2}\right)}}$ $\scriptstyle -{\frac {2(\alpha +b)}{\alpha ^{2}+2\alpha b+a^{2}}}\cdot KMRK$ 7.   $\scriptstyle \int \limits _{\alpha }^{\alpha +2b}\left(1-{\frac {x}{z}}\right)dx=2\cdot {\frac {a^{2}b-(\alpha +b)\cdot KMRK}{\alpha ^{2}+2\alpha b+a^{2}}}$.

Weil aber α² + 2αb + a² = (α + b)² + a² — b², wird die Anziehung des Sphäroïds proportional

8.   $\scriptstyle 2\cdot {\frac {a^{2}b-(\alpha +b)\cdot KMRK}{(\alpha +b)^{2}+a^{2}-b^{2}}}$

Ist hingegen eine Kugel über AB beschrieben, so wird bei der vorhergehenden Bezeichnung

9.   y² = 2b(x — α) — (x — α)², z² = x² + y² = — α² — 2αb + 2(α + b)x 10.   $\scriptstyle z={\sqrt {-\left(\alpha ^{2}+2\alpha b\right)+2(\alpha +b)x}}$

für x = α, z = α, x = α + 2b, z = α + 2b und da allgemein

11.   $\scriptstyle \int {\frac {xdx}{\sqrt {p+qx}}}={\frac {2}{3q^{2}}}(qx-2p){\sqrt {q+qx}}$

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 592. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/600&oldid=- (Version vom 1.8.2018)