Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 43.

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§. 43. Der Satz von der Erhaltung der lebendigen Kraft hergeleitet aus dem Princip des Lagrange.

 Aus dem Princip des Lagrange lässt sich die Gültigkeit des Satzes von der Erhaltung der lebendigen Kraft herleiten, unter der Voraussetzung, dass das Potential $P\!$ die Variable $t\!$ nicht explicite enthält. Da der Satz von der Erhaltung der lebendigen Kraft in der Gleichung sich ausspricht:

$\ T-P={\text{const.}},$

so kommt es nur darauf an, zu beweisen, dass

${\frac {d(T-P)}{dt}}=0$

ist. Nun berechnet sich aber

(1)	${\frac {d(T-P)}{dt}}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}q_{i}^{\prime }+\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}q_{i}^{\prime \prime }-\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial P}{\partial q_{i}}}q_{i}^{\prime },$

wenn $\ P$, wie vorausgesetzt wird, die Variable $\ t$ nicht explicite enthält. Wir haben im vorigen Paragraphen gesehen, dass $\ T$ eine homogene Function zweiten Grades von den Grössen $q_{1}^{\prime },q_{2}^{\prime },\ldots q_{k}^{\prime }\,$ ist, also:

(2)	$T=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{k}a_{ij}\cdot q_{i}^{\prime }\cdot q_{j}^{\prime }.$

 Hier sollen $\ i$ und $\ j$ irgend welche ganzen Zahlen aus der Reihe $\ 1,2,3,\ldots k\,$ sein. Jeder Werth, den $\ i$ annehmen kann, soll mit jedem Werthe von $\ j$ einmal zusammengestellt, und die entstehenden einzelnen Ausdrücke sollen addirt werden. Danach ist $\ T$ eine Summe von $\ k^{2}$ Gliedern, von denen jedes seinen eigenen Coefficienten $\ a_{ij}$ hat. Diese Coefficienten, für welche wir allgemein die Relation $\ a_{ij}=a_{ji}$ feststellen, sind Functionen der Grössen $\ q_{1},q_{2},\ldots q_{k}\,$.

 Aus der Gleichung (2) ergibt sich durch Differentiation

${\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}=2\sum _{j=1}^{k}a_{ij}\cdot q_{i}^{\prime }$

und ferner

${\frac {d({\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}})}{dt}}=2\sum _{j=1}^{k}{\frac {da_{ij}}{dt}}\cdot q_{j}^{\prime }+2\sum _{j=1}^{k}a_{ij}\cdot q_{j}^{\prime \prime }.\,$

In dieser letzten Gleichung wollen wir auf beiden Seiten mit $q_{i}^{\prime }$ multipliciren, dann für $\ i$ der Reihe nach alle ganzen Zahlen $\ 1,2,...\,k$ einsetzen und die Resultate rechts und links vom Gleichheitszeichen addiren. Dadurch findet sich

(3)

${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{k}{\frac {d({\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}})}{dt}}\cdot q_{i}^{\prime }&=2\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{k}{\frac {da_{ij}}{dt}}\cdot q_{i}^{\prime }\cdot q_{j}^{\prime }\\&+2\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{k}a_{ij}\cdot q_{i}^{\prime }\cdot q_{j}^{\prime \prime }\\\end{aligned}}$

Betrachten wir zunächst den ersten Bestandtheil der rechten Seite. Es ist

${\frac {da_{ij}}{dt}}=\sum _{h=1}^{k}{\frac {\partial a_{ij}}{\partial q_{h}}}\cdot q_{h}^{\prime }$

und in Folge davon

(4)	$\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{k}{\frac {da_{ij}}{dt}}\cdot q_{i}^{\prime }\cdot q_{j}^{\prime }=\sum _{h=1}^{k}q_{h}^{\prime }\cdot \left\lbrace \sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{k}{\frac {\partial a_{ij}}{\partial q_{h}}}q_{i}^{\prime }\cdot q_{j}^{\prime }\right\rbrace$

$=\sum _{h=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{h}}}\cdot q_{h}^{\prime },$

Der zweite Bestandteil auf der rechten Seite der Gleichung (3) lässt sich schreiben

$\sum _{i=1}^{k}q_{i}^{\prime \prime }\cdot \left\{2\sum _{j=1}^{k}a_{ij}\cdot q_{j}^{\prime }\right\},$

und demnach hat man

(5)	$2\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{k}a_{ij}\cdot q_{i}^{\prime }\cdot q_{j}^{\prime \prime }=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}\cdot q_{i}^{\prime \prime }.$

Benutzt man die Gleichungen (4) und (5), so geht die Gleichung (3) in folgende über

(6)	$\sum _{i=1}^{k}{\frac {d({\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}})}{dt}}\cdot q_{i}^{\prime }=2\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}\cdot q_{i}^{\prime }+\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}\cdot q_{i}^{\prime \prime }$

Das Princip des Lagrange spricht sich aus in der Gleichung (6) des vorigen Paragraphen, in welcher man $i\!$ der Reihe nach $=1,2,\ldots k\,$ setzen darf. Multiplicirt man nun in dieser Gleichung auf beiden Seiten mit $q_{i}^{\prime }$ und summirt über alle Werthe von $i\!$, so ergibt sich

$-\sum _{i=1}^{k}{\frac {d({\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}})}{dt}}\cdot q_{i}^{\prime }+\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}\cdot q_{i}^{\prime }+\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial P}{\partial q_{i}}}\cdot q_{i}^{\prime }=0.$

Hier braucht man aber nur die eben abgeleitete Gleichung (6) zu berücksichtigen, um zu finden

(7)	$\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}\,q_{i}^{\prime }\,+\,\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}q_{i}^{\prime \prime }-\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial P}{\partial q_{i}^{\prime }}}\,q_{i}^{\prime }=0,$

d. h. mit Rücksicht auf (1):

(8)	${\frac {d(T-P)}{dt}}=0,$

und das sollte bewiesen werden.

 Die Untersuchungen der §§. 40 bis 43 sind in dem besonderen Falle anwendbar, dass die materiellen Punkte des Systems ihre gegenseitige Lage nicht ändern. Sie gelten demnach auch für die Bewegung eines starren Körpers. Die Lage eines solchen starren Körpers ist im Raume völlig bestimmt, wenn man sechs von einander unabhängige Grössen kennt, nemlich die drei Coordinaten eines mit dem Körper fest verbundenen Punktes, z. B. des Schwerpunktes, dann zwei Winkel, welche die Richtung einer geraden Linie festlegen, die durch jenen Punkt geht und mit dem Körper fest verbunden ist, und endlich ein Winkel, welcher die Lage einer Ebene bestimmt, die jene Linie in sich enthält und mit dem Körper ebenfalls fest verbunden ist. Bei der Bewegung eines starren Körpers hat man also diese sechs Grössen als die Variabeln $\ q$ zu nehmen.

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