|[171]
§. 42.
Fortsetzung: Andere Methode.
Die Berücksichtigung der Bedingungen des Systems lässt sich auch noch in anderer Weise bewerkstelligen. Es seien diese Bedingungen in
Gleichungen ausgesprochen:
(1)
|
|
Die Grössen
sind gegebene Functionen der
Coordinaten. Mit Hülfe der Gleichungen (1) kann man
von den Coordinaten als Functionen der übrigen ausdrücken, und es werden dann, wenn man diese Abhängigkeit beachtet, die Gleichungen (1) identisch erfüllt. Man kann aber auch, — und das ist noch allgemeiner —
neue Variable
einführen und jede der
Coordinaten
als Function dieser neuen Variabeln so ausdrücken, dass die Gleichungen (1) identisch erfüllt sind. Geht man dann darauf aus, die Grössen
nach dem Princip des Lagrange als Functionen von
zu bestimmen, so ist dieses Problem von Nebenbedingungen frei.
Um den eben ausgesprochenen Grundgedanken zu verwirklichen, hat man zunächst in die Functionen
und
die neuen Variabeln
einzuführen. Es ist
(2)
|
|
|[172]Man hat aber
(3)
|
|
wenn zur Abkürzung
für
gesetzt wird. In den Gleichungen (3) sind
bekannte Functionen von
. Führt man also in die Gleichung (2) für
die Ausdrücke ein, welche die rechten Seiten von (3) angeben, so geht dadurch
in eine homogene Function zweiten Grades von den Grössen
über, und die auftretenden Coefficienten sind Functionen von
.
Das Potential
ist eine Function von
.
In unserm Problem wird die Anfangs- und die Endlage des Systems als bekannt vorausgesetzt. Es sind also die Anfangs- und die Endwerthe von
bekannt.
Gehen wir nun daran, das Prinzip des Lagrange in Anwendung zu bringen, so ist die Variation
|
|
herzustellen. Es findet sich
|
|
Der Bestandtheil
|
|
ist zu transformiren. Wir erhalten
|[173]
|
|
Der vom Integralzeichen freie Theil auf der rechten Seite dieser Gleichung fällt weg, weil für die Anfangs- und die Endlage des Systems
ist. Also erhalten wir
(4)
|
|
|
|
Nach dem Princip des Lagrange ist nun
|
|
und zur Erfüllung dieser Gleichung ist nothwendig und hinreichend, dass während der Dauer der Bewegung zu jeder Zeit
(5)
|
|
sei. Diese Gleichung zerfällt in
einzelne Gleichungen. Da nemlich die Variationen von
völlig willkürlich und von einander unabhängig sind, so muss in (5) für sich gleich Null gesetzt werden, was mit jeder einzelnen Variation multiplicirt ist. Dadurch ergibt sich
(6)
|
|
|[174]und hierin ist
der Reihe nach
zu setzen. Dann hat man in (6) ein System von
simultanen Differentialgleichungen, durch deren Integration die Grössen
als Functionen von
gefunden werden.