Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 42.

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§. 42.
Fortsetzung: Andere Methode.


 Die Berücksichtigung der Bedingungen des Systems lässt sich auch noch in anderer Weise bewerkstelligen. Es seien diese Bedingungen in Gleichungen ausgesprochen:


(1)


Die Grössen sind gegebene Functionen der Coordinaten. Mit Hülfe der Gleichungen (1) kann man von den Coordinaten als Functionen der übrigen ausdrücken, und es werden dann, wenn man diese Abhängigkeit beachtet, die Gleichungen (1) identisch erfüllt. Man kann aber auch, — und das ist noch allgemeiner — neue Variable einführen und jede der Coordinaten als Function dieser neuen Variabeln so ausdrücken, dass die Gleichungen (1) identisch erfüllt sind. Geht man dann darauf aus, die Grössen nach dem Princip des Lagrange als Functionen von zu bestimmen, so ist dieses Problem von Nebenbedingungen frei.

 Um den eben ausgesprochenen Grundgedanken zu verwirklichen, hat man zunächst in die Functionen und die neuen Variabeln einzuführen. Es ist


(2)


|[172]Man hat aber


(3)




wenn zur Abkürzung für gesetzt wird. In den Gleichungen (3) sind bekannte Functionen von . Führt man also in die Gleichung (2) für die Ausdrücke ein, welche die rechten Seiten von (3) angeben, so geht dadurch in eine homogene Function zweiten Grades von den Grössen über, und die auftretenden Coefficienten sind Functionen von .

 Das Potential ist eine Function von .

 In unserm Problem wird die Anfangs- und die Endlage des Systems als bekannt vorausgesetzt. Es sind also die Anfangs- und die Endwerthe von bekannt.

 Gehen wir nun daran, das Prinzip des Lagrange in Anwendung zu bringen, so ist die Variation



herzustellen. Es findet sich



 Der Bestandtheil



ist zu transformiren. Wir erhalten |[173]



Der vom Integralzeichen freie Theil auf der rechten Seite dieser Gleichung fällt weg, weil für die Anfangs- und die Endlage des Systems ist. Also erhalten wir


(4)


Nach dem Princip des Lagrange ist nun



und zur Erfüllung dieser Gleichung ist nothwendig und hinreichend, dass während der Dauer der Bewegung zu jeder Zeit


(5)


sei. Diese Gleichung zerfällt in einzelne Gleichungen. Da nemlich die Variationen von völlig willkürlich und von einander unabhängig sind, so muss in (5) für sich gleich Null gesetzt werden, was mit jeder einzelnen Variation multiplicirt ist. Dadurch ergibt sich


(6)


|[174]und hierin ist der Reihe nach zu setzen. Dann hat man in (6) ein System von simultanen Differentialgleichungen, durch deren Integration die Grössen als Functionen von gefunden werden.