Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 42.

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§. 42. Fortsetzung: Andere Methode.

 Die Berücksichtigung der Bedingungen des Systems lässt sich auch noch in anderer Weise bewerkstelligen. Es seien diese Bedingungen in $\ 3n-k$ Gleichungen ausgesprochen:

(1)	$u_{1}=0,\quad u_{2}=0\quad \ldots \quad u_{3n-k}=0$

Die Grössen $\ u_{1},u_{2},\ldots u_{3n-k}$ sind gegebene Functionen der $\ 3n$ Coordinaten. Mit Hülfe der Gleichungen (1) kann man $\ 3n-k$ von den Coordinaten als Functionen der übrigen ausdrücken, und es werden dann, wenn man diese Abhängigkeit beachtet, die Gleichungen (1) identisch erfüllt. Man kann aber auch, — und das ist noch allgemeiner — $\ k$ neue Variable $\ q_{1},q_{2},\ldots q_{k}$ einführen und jede der $\ 3n$ Coordinaten $\ x_{1},y_{1},z_{1}\ldots x_{n},y_{n},z_{n}$ als Function dieser neuen Variabeln so ausdrücken, dass die Gleichungen (1) identisch erfüllt sind. Geht man dann darauf aus, die Grössen $\ q_{1},q_{2},\ldots q_{k}$ nach dem Princip des Lagrange als Functionen von $\ t$ zu bestimmen, so ist dieses Problem von Nebenbedingungen frei.

 Um den eben ausgesprochenen Grundgedanken zu verwirklichen, hat man zunächst in die Functionen $T\!$ und $P\!$ die neuen Variabeln $\ q_{1},q_{2},\ldots q_{k}$ einzuführen. Es ist

(2)	$T={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left\lbrace \left({\frac {dx_{i}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dx_{i}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dx_{i}}{dt}}\right)^{2}\right\rbrace .$

Man hat aber

(3)

${\frac {dx_{i}}{dt}}={\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{1}}}q_{1}^{\prime }+{\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{2}}}q_{2}^{\prime }+\dotsb +{\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{k}}}q_{k}^{\prime },$ ${\frac {dy_{i}}{dt}}={\frac {\partial y_{i}}{\partial q_{1}}}q_{1}^{\prime }+{\frac {\partial y_{i}}{\partial q_{2}}}q_{2}^{\prime }+\dotsb +{\frac {\partial y_{i}}{\partial q_{k}}}q_{k}^{\prime },$ ${\frac {dz_{i}}{dt}}={\frac {\partial z_{i}}{\partial q_{1}}}q_{1}^{\prime }+{\frac {\partial z_{i}}{\partial q_{2}}}q_{2}^{\prime }+\dotsb +{\frac {\partial z_{i}}{\partial q_{k}}}q_{k}^{\prime },$

wenn zur Abkürzung $q^{\prime }$ für ${\frac {dq}{dt}}$ gesetzt wird. In den Gleichungen (3) sind ${\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{1}}},{\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{2}}},\ldots \,$ bekannte Functionen von $\ q_{1},q_{2},\ldots q_{k}\,$. Führt man also in die Gleichung (2) für ${\frac {dx_{i}}{dt}},{\frac {dy_{i}}{dt}},{\frac {dz_{i}}{dt}}$ die Ausdrücke ein, welche die rechten Seiten von (3) angeben, so geht dadurch $T\!$ in eine homogene Function zweiten Grades von den Grössen $q_{1}^{\prime },q_{2}^{\prime },\ldots q_{k}^{\prime }$ über, und die auftretenden Coefficienten sind Functionen von $\ q_{1},q_{2},\ldots q_{k}\,$.

 Das Potential $\ P$ ist eine Function von $\ q_{1},q_{2},\ldots q_{k}\,$.

 In unserm Problem wird die Anfangs- und die Endlage des Systems als bekannt vorausgesetzt. Es sind also die Anfangs- und die Endwerthe von $\ q_{1},q_{2},\ldots q_{k}\,$ bekannt.

 Gehen wir nun daran, das Prinzip des Lagrange in Anwendung zu bringen, so ist die Variation

$\delta \int \limits _{0}^{t}(T+P)\,dt$

herzustellen. Es findet sich

$\delta \int \limits _{0}^{t}(T+P)\,dt$ $=\int \limits _{0}^{t}\left\lbrace \sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}+\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}\delta q_{i}^{\prime }+\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial P_{i}}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}\right\rbrace dt.$

 Der Bestandtheil

$\int \limits _{0}^{t}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}\delta q_{i}^{\prime }dt$

ist zu transformiren. Wir erhalten

$\int \limits _{0}^{t}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}\delta q_{i}^{\prime }\,dt=\int \limits _{0}^{t}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}{\frac {d\,\delta q_{i}}{dt}}\,dt$ $=\left\lbrack {\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}\delta q_{i}\right\rbrack _{t}-\left\lbrack {\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}\delta q_{i}\right\rbrack _{t=0}$ $-\int \limits _{0}^{t}\delta q_{i}{\frac {d({\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}})}{dt}}dt.$

Der vom Integralzeichen freie Theil auf der rechten Seite dieser Gleichung fällt weg, weil für die Anfangs- und die Endlage des Systems $\delta q_{i}=0\!$ ist. Also erhalten wir

(4)	$\delta \int \limits _{0}^{t}(T+P)\,dt$

$=\int \limits _{0}^{t}\left\lbrace \sum _{i=1}^{k}\delta q_{i}\left(-{\frac {d({\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}})}{dt}}+{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial P}{\partial q_{i}}}\right)\right\rbrace dt.$

Nach dem Princip des Lagrange ist nun

$\delta \int \limits _{0}^{t}(T+P)\,dt=0,$

und zur Erfüllung dieser Gleichung ist nothwendig und hinreichend, dass während der Dauer der Bewegung zu jeder Zeit

(5)	$\sum _{i=1}^{k}\delta q_{i}\left(-{\frac {d({\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}})}{dt}}+{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial P}{\partial q_{i}}}\right)=0$

sei. Diese Gleichung zerfällt in $\ k$ einzelne Gleichungen. Da nemlich die Variationen von $\ q_{1},q_{2},\ldots q_{k}$ völlig willkürlich und von einander unabhängig sind, so muss in (5) für sich gleich Null gesetzt werden, was mit jeder einzelnen Variation multiplicirt ist. Dadurch ergibt sich

(6)	$-{\frac {d({\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}})}{dt}}+{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial P}{\partial q_{i}}}=0,$

und hierin ist $\ i$ der Reihe nach $=1,2,\ldots k\,$ zu setzen. Dann hat man in (6) ein System von $\ k$ simultanen Differentialgleichungen, durch deren Integration die Grössen $\ q_{1},q_{2},\ldots q_{k}\,$ als Functionen von $\ t$ gefunden werden.

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