Schwere, Elektricität und Magnetismus:185

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 171
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Das nicht freie System.

so handelt es sich nur noch um die Integration von $\ 3\ n$ simultanen Differentialgleichungen, in welchen die Coefficienten sämmtlich bekannt sind.

 Um die Werthe der von Null verschiedenen Grössen $\ \lambda$ zu ermitteln , hat man in den Gleichungen von der Form $\ u=0$ zweimal hinter einander nach $\ t$ zu differentiiren. Aus den so gewonnenen neuen Gleichungen, deren Zahl wieder gleich der Zahl der unbekannten $\ \lambda$ ist, werden mit Hülfe der Gleichungen (1) die nach $\ t$ genommenen zweiten Differentialquotienten der Coordinaten eliminirt. Dadurch hat man die Gleichungen erlangt, aus welchen die Grössen $\ \lambda$ sich berechnen lassen.  Diese Methode rührt von Lagrange her.

§. 42. Fortsetzung: Andere Methode.

 Die Berücksichtigung der Bedingungen des Systems lässt sich auch noch in anderer Weise bewerkstelligen. Es seien diese Bedingungen in $\ 3n-k$ Gleichungen ausgesprochen:

(1)	$u_{1}=0,\quad u_{2}=0\quad \ldots \quad u_{3n-k}=0$

Die Grössen $\ u_{1},u_{2},\ldots u_{3n-k}$ sind gegebene Functionen der $\ 3n$ Coordinaten. Mit Hülfe der Gleichungen (1) kann man $\ 3n-k$ von den Coordinaten als Functionen der übrigen ausdrücken, und es werden dann, wenn man diese Abhängigkeit beachtet, die Gleichungen (1) identisch erfüllt. Man kann aber auch, — und das ist noch allgemeiner — $\ k$ neue Variable $\ q_{1},q_{2},\ldots q_{k}$ einführen und jede der $\ 3n$ Coordinaten $\ x_{1},y_{1},z_{1}\ldots x_{n},y_{n},z_{n}$ als Function dieser neuen Variabeln so ausdrücken, dass die Gleichungen (1) identisch erfüllt sind. Geht man dann darauf aus, die Grössen $\ q_{1},q_{2},\ldots q_{k}$ nach dem Princip des Lagrange als Functionen von $\ t$ zu bestimmen, so ist dieses Problem von Nebenbedingungen frei.

 Um den eben ausgesprochenen Grundgedanken zu verwirklichen, hat man zunächst in die Functionen $T\!$ und $P\!$ die neuen Variabeln $\ q_{1},q_{2},\ldots q_{k}$ einzuführen. Es ist

(2)	$T={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left\lbrace \left({\frac {dx_{i}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dx_{i}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dx_{i}}{dt}}\right)^{2}\right\rbrace .$