Schwere, Elektricität und Magnetismus:184

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 170
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Dritter Abschnitt. §. 41.

Man hat ferner, wie in §. 39, das Integral

$\int \limits _{0}^{t}\delta T\,dt$

zu transformiren. Nachher findet sich unter dem Integralzeichen, wenn alles zusammengefasst wird, eine Summe von $\ 3n$ Gliedern, welche der Reihe nach die Variationen $\delta x_{1},\delta y_{1},\delta z_{1},...\,\delta x_{n},\delta y_{n},\delta z_{n}$ als Factoren enthalten. Zur Erfüllung der Gleichung ist dann nothwendig und hinreichend, dass für sich besonders gleich Null gesetzt werde, was mit jeder einzelnen Variation multiplicirt ist. Dadurch erhält man die $\ 3n$ Differentialgleichungen der Bewegung, welche jetzt lauten

(1)

${\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}+\sum \lambda {\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}=0,$ ${\frac {\partial P}{\partial y_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}+\sum \lambda {\frac {\partial u}{\partial y_{i}}}=0,$ ${\frac {\partial P}{\partial z_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}}+\sum \lambda {\frac {\partial u}{\partial z_{i}}}=0.$

Als unbekannt sind in diesen Gleichungen anzusehen die $\ 3n$ Coordinaten, insofern ihre Abhängigkeit von $\ t$ gesucht wird, ausserdem aber ebenso viele Grössen $\lambda \!$, als Bedingungen in der Form $u\geq 0$ gegeben sind. Die Gleichungen (1) und die analytischen Ausdrücke der Bedingungen sind also an Zahl ebenso gross wie die Anzahl der Unbekannten. So lange eine Ungleichung von der Form $\ u>0$ erfüllt ist, hat man das zugehörige $\ \lambda =0$ zu setzen. Erst wenn die Coordinaten aufhören, die Ungleichung zu erfüllen, tritt die Gleichung $\ u=0$ in Kraft, und das zugehörige $\ \lambda$ hat dann einen unbekannten Werth. Umgekehrt bleibt, wenn die Bedingung in der doppelten Form $u\geq 0$ auftritt, die Gleichung $\ u=0$ allein nur so lange bestehen, als das zugehörige $\ \lambda$ von Null verschieden ist, und von dem Augenblicke an, in welchem $\ \lambda =0$ wird, erhält neben der Gleichung $\ u=0$ auch die Ungleichung $\ u>0$ ihre Gültigkeit. Man hat also immer ebenso viele Gleichungen als Unbekannte, und daraus geht hervor, dass die Grössen $\ \lambda$ vermöge der vorhandenen Gleichungen bestimmte Werthe besitzen. Hat man diese ermittelt und in die Gleichungen (1) eingesetzt,