Schwere, Elektricität und Magnetismus:188

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 174
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Dritter Abschnitt. §. 43.

und hierin ist $\ i$ der Reihe nach $=1,2,\ldots k\,$ zu setzen. Dann hat man in (6) ein System von $\ k$ simultanen Differentialgleichungen, durch deren Integration die Grössen $\ q_{1},q_{2},\ldots q_{k}\,$ als Functionen von $\ t$ gefunden werden.

§. 43. Der Satz von der Erhaltung der lebendigen Kraft hergeleitet aus dem Princip des Lagrange.

 Aus dem Princip des Lagrange lässt sich die Gültigkeit des Satzes von der Erhaltung der lebendigen Kraft herleiten, unter der Voraussetzung, dass das Potential $P\!$ die Variable $t\!$ nicht explicite enthält. Da der Satz von der Erhaltung der lebendigen Kraft in der Gleichung sich ausspricht:

$\ T-P={\text{const.}},$

so kommt es nur darauf an, zu beweisen, dass

${\frac {d(T-P)}{dt}}=0$

ist. Nun berechnet sich aber

(1)	${\frac {d(T-P)}{dt}}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}q_{i}^{\prime }+\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}q_{i}^{\prime \prime }-\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial P}{\partial q_{i}}}q_{i}^{\prime },$

wenn $\ P$, wie vorausgesetzt wird, die Variable $\ t$ nicht explicite enthält. Wir haben im vorigen Paragraphen gesehen, dass $\ T$ eine homogene Function zweiten Grades von den Grössen $q_{1}^{\prime },q_{2}^{\prime },\ldots q_{k}^{\prime }\,$ ist, also:

(2)	$T=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{k}a_{ij}\cdot q_{i}^{\prime }\cdot q_{j}^{\prime }.$

 Hier sollen $\ i$ und $\ j$ irgend welche ganzen Zahlen aus der Reihe $\ 1,2,3,\ldots k\,$ sein. Jeder Werth, den $\ i$ annehmen kann, soll mit jedem Werthe von $\ j$ einmal zusammengestellt, und die entstehenden einzelnen Ausdrücke sollen addirt werden. Danach ist $\ T$ eine Summe von $\ k^{2}$ Gliedern, von denen jedes seinen eigenen Coefficienten $\ a_{ij}$ hat. Diese Coefficienten, für welche wir allgemein die Relation $\ a_{ij}=a_{ji}$ feststellen, sind Functionen der Grössen $\ q_{1},q_{2},\ldots q_{k}\,$.

 Aus der Gleichung (2) ergibt sich durch Differentiation

${\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}=2\sum _{j=1}^{k}a_{ij}\cdot q_{i}^{\prime }$