Schwere, Elektricität und Magnetismus:189

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 175
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Zusammenhang der beiden Prinzipien

und ferner

${\frac {d({\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}})}{dt}}=2\sum _{j=1}^{k}{\frac {da_{ij}}{dt}}\cdot q_{j}^{\prime }+2\sum _{j=1}^{k}a_{ij}\cdot q_{j}^{\prime \prime }.\,$

In dieser letzten Gleichung wollen wir auf beiden Seiten mit $q_{i}^{\prime }$ multipliciren, dann für $\ i$ der Reihe nach alle ganzen Zahlen $\ 1,2,...\,k$ einsetzen und die Resultate rechts und links vom Gleichheitszeichen addiren. Dadurch findet sich

(3)

${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{k}{\frac {d({\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}})}{dt}}\cdot q_{i}^{\prime }&=2\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{k}{\frac {da_{ij}}{dt}}\cdot q_{i}^{\prime }\cdot q_{j}^{\prime }\\&+2\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{k}a_{ij}\cdot q_{i}^{\prime }\cdot q_{j}^{\prime \prime }\\\end{aligned}}$

Betrachten wir zunächst den ersten Bestandtheil der rechten Seite. Es ist

${\frac {da_{ij}}{dt}}=\sum _{h=1}^{k}{\frac {\partial a_{ij}}{\partial q_{h}}}\cdot q_{h}^{\prime }$

und in Folge davon

(4)	$\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{k}{\frac {da_{ij}}{dt}}\cdot q_{i}^{\prime }\cdot q_{j}^{\prime }=\sum _{h=1}^{k}q_{h}^{\prime }\cdot \left\lbrace \sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{k}{\frac {\partial a_{ij}}{\partial q_{h}}}q_{i}^{\prime }\cdot q_{j}^{\prime }\right\rbrace$

$=\sum _{h=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{h}}}\cdot q_{h}^{\prime },$

Der zweite Bestandteil auf der rechten Seite der Gleichung (3) lässt sich schreiben

$\sum _{i=1}^{k}q_{i}^{\prime \prime }\cdot \left\{2\sum _{j=1}^{k}a_{ij}\cdot q_{j}^{\prime }\right\},$

und demnach hat man

(5)	$2\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{k}a_{ij}\cdot q_{i}^{\prime }\cdot q_{j}^{\prime \prime }=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}\cdot q_{i}^{\prime \prime }.$

Benutzt man die Gleichungen (4) und (5), so geht die Gleichung (3) in folgende über

(6)	$\sum _{i=1}^{k}{\frac {d({\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}})}{dt}}\cdot q_{i}^{\prime }=2\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}\cdot q_{i}^{\prime }+\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}\cdot q_{i}^{\prime \prime }$