Schwere, Elektricität und Magnetismus:190

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 176
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Dritter Abschnitt. §. 43.

Das Princip des Lagrange spricht sich aus in der Gleichung (6) des vorigen Paragraphen, in welcher man $i\!$ der Reihe nach $=1,2,\ldots k\,$ setzen darf. Multiplicirt man nun in dieser Gleichung auf beiden Seiten mit $q_{i}^{\prime }$ und summirt über alle Werthe von $i\!$, so ergibt sich

$-\sum _{i=1}^{k}{\frac {d({\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}})}{dt}}\cdot q_{i}^{\prime }+\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}\cdot q_{i}^{\prime }+\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial P}{\partial q_{i}}}\cdot q_{i}^{\prime }=0.$

Hier braucht man aber nur die eben abgeleitete Gleichung (6) zu berücksichtigen, um zu finden

(7)	$\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}\,q_{i}^{\prime }\,+\,\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial T}{\partial q_{i}^{\prime }}}q_{i}^{\prime \prime }-\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial P}{\partial q_{i}^{\prime }}}\,q_{i}^{\prime }=0,$

d. h. mit Rücksicht auf (1):

(8)	${\frac {d(T-P)}{dt}}=0,$

und das sollte bewiesen werden.

 Die Untersuchungen der §§. 40 bis 43 sind in dem besonderen Falle anwendbar, dass die materiellen Punkte des Systems ihre gegenseitige Lage nicht ändern. Sie gelten demnach auch für die Bewegung eines starren Körpers. Die Lage eines solchen starren Körpers ist im Raume völlig bestimmt, wenn man sechs von einander unabhängige Grössen kennt, nemlich die drei Coordinaten eines mit dem Körper fest verbundenen Punktes, z. B. des Schwerpunktes, dann zwei Winkel, welche die Richtung einer geraden Linie festlegen, die durch jenen Punkt geht und mit dem Körper fest verbunden ist, und endlich ein Winkel, welcher die Lage einer Ebene bestimmt, die jene Linie in sich enthält und mit dem Körper ebenfalls fest verbunden ist. Bei der Bewegung eines starren Körpers hat man also diese sechs Grössen als die Variabeln $\ q$ zu nehmen.