Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 41.

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§.41. Fortsetzung: Bestimmung der Grössen $\lambda \!$.

 Es handelt sich nun noch darum, die Grössen $\lambda _{1},\,\lambda _{2},\ldots$ zu bestimmen. Ihrer Bedeutung nach sind diese Grössen entweder gleich oder proportional den Zusatzkräften, welche man einzuführen hat, damit das System als völlig frei betrachtet werden könne. Nach Einführung der Grössen $\lambda \!$ sind demnach die Variationen der 3 $\,n$ Coordinaten $x_{1},\,y_{1},\,z_{1},\ldots x_{n},\,y_{n},\,z_{n}$ wieder von einander unabhängig. Man hat also in Gleichung (15) des vorigen Paragraphen für jedes $\delta u\!$ zu schreiben

${\begin{aligned}\delta u&=\,{\frac {\partial u}{\partial x_{1}}}\,\delta x_{1}+\,{\frac {\partial u}{\partial y_{1}}}\,\delta y_{1}+\,{\frac {\partial u}{\partial z_{1}}}\,\delta z_{1}\\&+\,{\frac {\partial u}{\partial x_{2}}}\,\delta x_{2}+\,{\frac {\partial u}{\partial y_{2}}}\,\delta y_{2}+\,{\frac {\partial u}{\partial z_{1}}}\,\delta z_{2}\\&+\dotsb \dotsb \dotsb \dotsb \dotsb \dotsb \dotsb \dotsb \dotsb \\&+\,{\frac {\partial u}{\partial x_{n}}}\,\delta x_{n}+\,{\frac {\partial u}{\partial y_{n}}}\,\delta y_{n}+\,{\frac {\partial u}{\partial z_{n}}}\,\delta z_{n}.\\\end{aligned}}$

Man hat ferner, wie in §. 39, das Integral

$\int \limits _{0}^{t}\delta T\,dt$

zu transformiren. Nachher findet sich unter dem Integralzeichen, wenn alles zusammengefasst wird, eine Summe von $\ 3n$ Gliedern, welche der Reihe nach die Variationen $\delta x_{1},\delta y_{1},\delta z_{1},...\,\delta x_{n},\delta y_{n},\delta z_{n}$ als Factoren enthalten. Zur Erfüllung der Gleichung ist dann nothwendig und hinreichend, dass für sich besonders gleich Null gesetzt werde, was mit jeder einzelnen Variation multiplicirt ist. Dadurch erhält man die $\ 3n$ Differentialgleichungen der Bewegung, welche jetzt lauten

(1)

${\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}+\sum \lambda {\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}=0,$ ${\frac {\partial P}{\partial y_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}+\sum \lambda {\frac {\partial u}{\partial y_{i}}}=0,$ ${\frac {\partial P}{\partial z_{i}}}-m_{i}{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}}+\sum \lambda {\frac {\partial u}{\partial z_{i}}}=0.$

Als unbekannt sind in diesen Gleichungen anzusehen die $\ 3n$ Coordinaten, insofern ihre Abhängigkeit von $\ t$ gesucht wird, ausserdem aber ebenso viele Grössen $\lambda \!$, als Bedingungen in der Form $u\geq 0$ gegeben sind. Die Gleichungen (1) und die analytischen Ausdrücke der Bedingungen sind also an Zahl ebenso gross wie die Anzahl der Unbekannten. So lange eine Ungleichung von der Form $\ u>0$ erfüllt ist, hat man das zugehörige $\ \lambda =0$ zu setzen. Erst wenn die Coordinaten aufhören, die Ungleichung zu erfüllen, tritt die Gleichung $\ u=0$ in Kraft, und das zugehörige $\ \lambda$ hat dann einen unbekannten Werth. Umgekehrt bleibt, wenn die Bedingung in der doppelten Form $u\geq 0$ auftritt, die Gleichung $\ u=0$ allein nur so lange bestehen, als das zugehörige $\ \lambda$ von Null verschieden ist, und von dem Augenblicke an, in welchem $\ \lambda =0$ wird, erhält neben der Gleichung $\ u=0$ auch die Ungleichung $\ u>0$ ihre Gültigkeit. Man hat also immer ebenso viele Gleichungen als Unbekannte, und daraus geht hervor, dass die Grössen $\ \lambda$ vermöge der vorhandenen Gleichungen bestimmte Werthe besitzen. Hat man diese ermittelt und in die Gleichungen (1) eingesetzt, so handelt es sich nur noch um die Integration von $\ 3\ n$ simultanen Differentialgleichungen, in welchen die Coefficienten sämmtlich bekannt sind.

 Um die Werthe der von Null verschiedenen Grössen $\ \lambda$ zu ermitteln , hat man in den Gleichungen von der Form $\ u=0$ zweimal hinter einander nach $\ t$ zu differentiiren. Aus den so gewonnenen neuen Gleichungen, deren Zahl wieder gleich der Zahl der unbekannten $\ \lambda$ ist, werden mit Hülfe der Gleichungen (1) die nach $\ t$ genommenen zweiten Differentialquotienten der Coordinaten eliminirt. Dadurch hat man die Gleichungen erlangt, aus welchen die Grössen $\ \lambda$ sich berechnen lassen.  Diese Methode rührt von Lagrange her.

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