Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 100.

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§. 100. Wirkung sämmtlicher Theilchen $\varepsilon '\,$ auf ein Theilchen $\varepsilon \,$. Riemann’s Gesetz.

 Um die Wirkung sämmtlicher elektrischer Theilchen $\varepsilon '\,$ auf das eine Theilchen $\varepsilon \,$ zu untersuchen, haben wir zu setzen

(1)	$S=\varepsilon \sum \left(-{\frac {\varepsilon '}{r}}\right)=\varepsilon V,$

wenn V die elektrostatische Potentialfunction der Theilchen $\varepsilon '\,$ auf den Punkt $(x,\,y,\,z)$ bezeichnet. Was $D\,$ betrifft, so sind die beiden Hypothesen (§§. 96 u. 98) zu unterscheiden. Nach Weber’s Formel ist

(2a)	$D=\varepsilon \sum {\frac {\varepsilon '}{c^{2}}}{\frac {1}{r}}\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2};$

nach Riemann’s Formel dagegen

(2b)	$D=\varepsilon \sum {\frac {\varepsilon '}{c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\Bigg \lbrace }\left({\frac {dx}{dt}}-{\frac {dx_{1}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}-{\frac {dy_{1}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}-{\frac {dz_{1}}{dt}}\right)^{2}{\Bigg \rbrace }.\,$

Wir wollen die letztgenannte zuerst behandeln. Werden in (2^b) die Quadrate ausgerechnet, so zerlegt sich D in drei Bestandtheile, nemlich:

${\begin{aligned}D&=\varepsilon \sum {\frac {\varepsilon '}{c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\Bigg \lbrace }\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}{\Bigg \rbrace }\\&+\varepsilon \sum {\frac {\varepsilon '}{c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\Bigg \lbrace }\left({\frac {dx_{1}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy_{1}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz_{1}}{dt}}\right)^{2}{\Bigg \rbrace }\\&-2\varepsilon \sum {\frac {\varepsilon '}{c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\Bigg \lbrace }{\frac {dx}{dt}}{\frac {dx_{1}}{dt}}+{\frac {dy}{dt}}{\frac {dy_{1}}{dt}}+{\frac {dz}{dt}}{\frac {dz_{1}}{dt}}{\Bigg \rbrace }.\\\end{aligned}}$

Bezeichnen wir die Geschwindigkeit des Teilchens $\varepsilon \,$ mit $v\,$, die Geschwindigkeit des Theilchens $\varepsilon '\,$ mit $v'\,$, so lässt sich kürzer schreiben:

${\begin{aligned}D={\frac {\varepsilon }{c^{2}}}&v^{2}\sum {\frac {\varepsilon '}{r}}+{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}\sum {\frac {\varepsilon '}{r}}v'^{2}\\-2&{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}\sum {\frac {\varepsilon '}{r}}{\Bigg \lbrace }{\frac {dx}{dt}}{\frac {dx_{1}}{dt}}+{\frac {dy}{dt}}{\frac {dy_{1}}{dt}}+{\frac {dz}{dt}}{\frac {dz_{1}}{dt}}{\Bigg \rbrace }.\\=&-2{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}v^{2}V+{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}\sum {\frac {\varepsilon '}{r}}v'^{2}\\&-2{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}{\frac {dx}{dt}}\sum {\frac {\varepsilon '}{r}}{\frac {dx_{1}}{dt}}\,\\&-2{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}{\frac {dy}{dt}}\sum {\frac {\varepsilon '}{r}}{\frac {dy_{1}}{dt}}\,\\&-2{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}{\frac {dz}{dt}}\sum {\frac {\varepsilon '}{r}}{\frac {dz_{1}}{dt}}.\,\\\end{aligned}}$

 Zur Abkürzung wollen wir setzen

$\sum {\frac {\varepsilon '}{r}}v'^{2}=W,$ $\sum {\frac {\varepsilon '}{r}}{\frac {dx_{1}}{dt}}=u_{1},$ $\sum {\frac {\varepsilon '}{r}}{\frac {dy_{1}}{dt}}=u_{2},$ $\sum {\frac {\varepsilon '}{r}}{\frac {dz_{1}}{dt}}=u_{3}.$

 Dann haben wir

(3)	$D=-{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}v^{2}V+{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}W-2{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}\left(u_{1}{\frac {dx}{dt}}+u_{2}{\frac {dy}{dt}}+u_{3}{\frac {dz}{dt}}\right).$

 Die Functionen $V,\,W,\,u1,\,u2,\,u3,\,$ genügen der Gleichung von Laplace, folglich auch $D\,$, insofern es von $x,\,y,\,z$ abhängig ist:

(4)	${\frac {\partial ^{2}D}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}D}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}D}{\partial z^{2}}}=0.$

 Wir wollen noch die Aenderung von $V\,$ herstellen, die in dem Zeitelement $dt\,$ dadurch zu Stande kommt, dass die Theilchen $\varepsilon '\,$ sich bewegen, und $x,\,y,\,z$ constant genommen werden. Es findet sich

${\frac {\partial V}{\partial t}}=-\sum \varepsilon '{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial x_{1}}}{\frac {dx_{1}}{dt}}-\sum \varepsilon '{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial y_{1}}}{\frac {dy_{1}}{dt}}-\sum \varepsilon '{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial z_{1}}}{\frac {dz_{1}}{dt}}.$

Nun haben wir aber

${\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial x_{1}}}=-{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial x}},$

folglich

$-\sum \varepsilon '{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial x_{1}}}{\frac {dx_{1}}{dt}}=\sum \varepsilon '{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial x}}{\frac {dx_{1}}{dt}}={\frac {\partial u_{1}}{\partial x}},$

und ebenso

$-\sum \varepsilon '{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial y_{1}}}{\frac {dy_{1}}{dt}}=\sum \varepsilon '{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial y}}{\frac {dy_{1}}{dt}}={\frac {\partial u_{2}}{\partial y}},$

$-\sum \varepsilon '{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial z_{1}}}{\frac {dz_{1}}{dt}}=\sum \varepsilon '{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial z}}{\frac {dz_{1}}{dt}}={\frac {\partial u_{3}}{\partial z}}.$

Der Ausdruck für ${\frac {\partial V}{\partial t}}\,$ geht dadurch in den folgenden über

(5)	${\frac {\partial V}{\partial t}}={\frac {\partial u_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial z}}.$

Auf Grund dieser Differentialgleichung könnte man über die Bedeutung der Functionen $V,\,u_{1},\,u_{2},\,u_{3}\,$ eine Annahme machen. Man kann annehmen, die elektrische Wirkung werde durch einen Aether vermittelt. Vermöge der Gleichung (5) liessen sich dann $V\,$ als die Dichtigkeit, $u_{1},\,u_{2},\,u_{3}\,$ als die Stromintensitäten dieses Aethers ansehen.

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