Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 99.

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§. 99. Riemann’s Grundgesetz.

 Wir wollen auch mit Hülfe dieses zweiten Ausdruckes für $D\,$ die Wechselwirkung zwischen zwei elektrischen Theilchen berechnen. Wir gehen wie in §. 97 aus von der Formel

(1)	$\delta \int _{0}^{t}(T-D+S)dt=0,$

in welcher der erweiterte Satz von Lagrange sich ausspricht. Wir könnten nun wieder denselben Weg einschlagen wie in §. 97. Es ist aber auch erlaubt, sofort von der Formel (6) des §. 42 Gebrauch zu machen, welche hier lautet:

(2)	${\frac {d\left({\frac {\partial (T-D))}{\partial q'}}\right)}{dt}}={\frac {\partial (T-D+S)}{\partial q}}.$

Für $q\,$ sind der Reihe nach die Coordinaten $x,\,y,\,z,\,x_{1},\,y_{1},\,z_{1}\$ einzusetzen. Wir führen die Rechnung durch für $q=x\,$. Es ist

$T={\frac {1}{2}}m(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})+{\frac {1}{2}}m_{1}(x_{1}'^{2}+y_{1}'^{2}+z_{2}'^{2}),\,$

also

${\frac {\partial T}{\partial x'}}=mx',\quad {\frac {\partial T}{\partial x}}=0.$

Demnach haben wir jetzt

(3)	$X=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {d\left({\frac {\partial D}{\partial x'}}\right)}{dt}}-{\frac {\partial D}{\partial x}}+{\frac {\partial S}{\partial x}}.$

Es findet sich aber aus der Formel (II) des vorigen Paragraphen

${\frac {\partial D}{\partial x'}}=2{\frac {\varepsilon \varepsilon '}{c^{2}}}{\frac {1}{r}}\left({\frac {dx}{dt}}-{\frac {x_{1}}{dt}}\right),$ ${\frac {\partial D}{\partial x}}=-{\frac {\varepsilon \varepsilon '}{c^{2}}}{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial x}}{\Bigg \lbrace }\left({\frac {dx}{dt}}-{\frac {dx_{1}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}-{\frac {dy_{1}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}-{\frac {dz_{1}}{dt}}\right)^{2}{\Bigg \rbrace }.\,$

Endlich ist

${\frac {\partial S}{\partial x}}={\frac {\varepsilon \varepsilon '}{r^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial x}}.$

Setzt man dies ein in Gleichung (3), so erhält man

(4)

$X={\frac {\varepsilon \varepsilon '}{r^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial x}}+{\frac {\varepsilon \varepsilon '}{c^{2}}}{\frac {d{\Bigg \lbrace }{\frac {2}{r}}\left({\frac {dx}{dt}}-{\frac {dx_{1}}{dt}}\right){\Bigg \rbrace }}{dt}}$ $+{\frac {\varepsilon \varepsilon '}{c^{2}}}{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial x}}{\Bigg \lbrace }\left({\frac {dx}{dt}}-{\frac {dx_{1}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}-{\frac {dy_{1}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}-{\frac {dz_{1}}{dt}}\right)^{2}{\Bigg \rbrace }.$

Ebenso findet sich

(5)

$Y={\frac {\varepsilon \varepsilon '}{r^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial y}}+{\frac {\varepsilon \varepsilon '}{c^{2}}}{\frac {d{\Bigg \lbrace }{\frac {2}{r}}\left({\frac {dy}{dt}}-{\frac {dy_{1}}{dt}}\right){\Bigg \rbrace }}{dt}}$ $+{\frac {\varepsilon \varepsilon '}{c^{2}}}{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial y}}{\Bigg \lbrace }\left({\frac {dx}{dt}}-{\frac {dx_{1}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}-{\frac {dy_{1}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}-{\frac {dz_{1}}{dt}}\right)^{2}{\Bigg \rbrace }.$

(6)

$Z={\frac {\varepsilon \varepsilon '}{r^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial z}}+{\frac {\varepsilon \varepsilon '}{c^{2}}}{\frac {d{\Bigg \lbrace }{\frac {2}{r}}\left({\frac {dz}{dt}}-{\frac {dz_{1}}{dt}}\right){\Bigg \rbrace }}{dt}}$ $+{\frac {\varepsilon \varepsilon '}{c^{2}}}{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial z}}{\Bigg \lbrace }\left({\frac {dx}{dt}}-{\frac {dx_{1}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}-{\frac {dy_{1}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}-{\frac {dz_{1}}{dt}}\right)^{2}{\Bigg \rbrace }.$

Ueber bewegte freie Elektricität ist es bis jetzt nicht gelungen, Versuche anzustellen.

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