Schwere, Elektricität und Magnetismus:340

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 326
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Achter Abschnitt. §. 99.

Denn wir können mit der Summirung über den zweiten Leiter beginnen. Dann tritt

$\varepsilon {\Bigg \lbrace }\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}{\Bigg \rbrace }$

vor das innere Summenzeichen. Für irgend ein beliebiges Element des zweiten Leiters ist ${\frac {1}{r}}\,$ constant. Bei der Summirung über dieses Element kann also auch ${\frac {1}{r}}\,$ als Factor vorangenommen werden. Es ist aber für jedes einzelne Element des zweiten Leiters $\sum \varepsilon '=0\,$. Folglich liefern alle einzelnen Elemente des zweiten Leiters den Beitrag Null, und deshalb ist die ganze Summe gleich Null. In entsprechender Weise zeigen wir, dass

(4)	${\frac {1}{c^{2}}}\sum \sum {\frac {\varepsilon \varepsilon '}{r}}{\Bigg \lbrace }\left({\frac {dx_{1}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy_{1}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz_{1}}{dt}}\right)^{2}{\Bigg \rbrace }=0$

ist. Aus (2), (3), (4) ergibt sich dann

(5)	$D_{1}={\frac {1}{c^{2}}}\sum \sum {\frac {\varepsilon \varepsilon '}{r}}{\Bigg \lbrace }\left({\frac {dx}{dt}}-{\frac {dx_{1}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}-{\frac {dy_{1}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz_{1}}{dt}}-{\frac {dz_{1}}{dt}}\right)^{2}{\Bigg \rbrace }.$

Für zwei einzelne Theilchen setzen wir demnach

(II)	$D={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\varepsilon \varepsilon '}{r}}{\Bigg \lbrace }\left({\frac {dx}{dt}}-{\frac {dx_{1}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}-{\frac {dy_{1}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz_{1}}{dt}}-{\frac {dz_{1}}{dt}}\right)^{2}{\Bigg \rbrace }.$

§. 99. Riemann’s Grundgesetz.

 Wir wollen auch mit Hülfe dieses zweiten Ausdruckes für $D\,$ die Wechselwirkung zwischen zwei elektrischen Theilchen berechnen. Wir gehen wie in §. 97 aus von der Formel

(1)	$\delta \int _{0}^{t}(T-D+S)dt=0,$

in welcher der erweiterte Satz von Lagrange sich ausspricht. Wir könnten nun wieder denselben Weg einschlagen wie in §. 97. Es ist aber auch erlaubt, sofort von der Formel (6) des §. 42 Gebrauch zu machen, welche hier lautet:

(2)	${\frac {d\left({\frac {\partial (T-D))}{\partial q'}}\right)}{dt}}={\frac {\partial (T-D+S)}{\partial q}}.$

Für $q\,$ sind der Reihe nach die Coordinaten $x,\,y,\,z,\,x_{1},\,y_{1},\,z_{1}\$ einzusetzen. Wir führen die Rechnung durch für $q=x\,$. Es ist