Schwere, Elektricität und Magnetismus:344

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 330
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Achter Abschnitt. §. 101.

Der Ausdruck für ${\frac {\partial V}{\partial t}}\,$ geht dadurch in den folgenden über

(5)	${\frac {\partial V}{\partial t}}={\frac {\partial u_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial z}}.$

Auf Grund dieser Differentialgleichung könnte man über die Bedeutung der Functionen $V,\,u_{1},\,u_{2},\,u_{3}\,$ eine Annahme machen. Man kann annehmen, die elektrische Wirkung werde durch einen Aether vermittelt. Vermöge der Gleichung (5) liessen sich dann $V\,$ als die Dichtigkeit, $u_{1},\,u_{2},\,u_{3}\,$ als die Stromintensitäten dieses Aethers ansehen.

§. 101. Fortsetzung: Weber’s Gesetz.

 Wir wollen für die Wirkung der sämmtlichen Theilchen $\varepsilon '\,$ auf das eine Theilchen $\varepsilon \,$ das Potential auch nach Weber’s Theorie herstellen.

 Zunächst ist wieder

(1)	$S=\varepsilon V.$

Diese Function genügt der Gleichung von Laplace. Zur Abkürzung möge für irgend eine Function $F\,$ die Summe der drei Derivirten

${\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}=\Delta _{2}F$

gesetzt werden. Bei dieser Bezeichnung haben wir also

(2)	$\Delta _{2}S=0.\,$

Die Function $D\,$ ist jetzt aus Gleichung (2^a) des vorigen Paragraphen zu nehmen. Es ist nun aber

$r^{2}=(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}+(z-z_{1})^{2},\,$

folglich

${\frac {dr}{dt}}={\frac {(x-x_{1})}{r}}\left({\frac {dx}{dt}}-{\frac {dx_{1}}{dt}}\right)+{\frac {(y-y_{1})}{r}}\left({\frac {dy}{dt}}-{\frac {dy_{1}}{dt}}\right)+{\frac {(z-z_{1})}{r}}\left({\frac {dz}{dt}}-{\frac {dz_{1}}{dt}}\right).\,$

Setzen wir dies in den Ausdruck für $D\,$ ein, so ergibt sich

(3)	$D={\frac {\varepsilon }{c^{2}}}\sum {\frac {\varepsilon '}{r^{3}}}{\Bigg \lbrace }(x-x_{1})\left({\frac {dx}{dt}}-{\frac {dx_{1}}{dt}}\right)+(y-y_{1})\left({\frac {dy}{dt}}-{\frac {dy_{1}}{dt}}\right)+(z-z_{1})\left({\frac {dz}{dt}}-{\frac {dz_{1}}{dt}}\right){\Bigg \rbrace }^{2}.\,$

Diese Function genügt, insofern sie von $x,\,y,\,z$ abhängig ist, nicht der Gleichung von Laplace, sondern der complicirteren Differentialgleichung

(4)	$\Delta _{2}\Delta _{2}D=0.\,$