Schwere, Elektricität und Magnetismus:343

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 329
<< Zurück	Vorwärts >>
fertig
Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.

Wirkung sämmtlicher Theilchen $\varepsilon '\,$ auf ein Theilchen $\varepsilon \,$.

 Zur Abkürzung wollen wir setzen

$\sum {\frac {\varepsilon '}{r}}v'^{2}=W,$ $\sum {\frac {\varepsilon '}{r}}{\frac {dx_{1}}{dt}}=u_{1},$ $\sum {\frac {\varepsilon '}{r}}{\frac {dy_{1}}{dt}}=u_{2},$ $\sum {\frac {\varepsilon '}{r}}{\frac {dz_{1}}{dt}}=u_{3}.$

 Dann haben wir

(3)	$D=-{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}v^{2}V+{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}W-2{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}\left(u_{1}{\frac {dx}{dt}}+u_{2}{\frac {dy}{dt}}+u_{3}{\frac {dz}{dt}}\right).$

 Die Functionen $V,\,W,\,u1,\,u2,\,u3,\,$ genügen der Gleichung von Laplace, folglich auch $D\,$, insofern es von $x,\,y,\,z$ abhängig ist:

(4)	${\frac {\partial ^{2}D}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}D}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}D}{\partial z^{2}}}=0.$

 Wir wollen noch die Aenderung von $V\,$ herstellen, die in dem Zeitelement $dt\,$ dadurch zu Stande kommt, dass die Theilchen $\varepsilon '\,$ sich bewegen, und $x,\,y,\,z$ constant genommen werden. Es findet sich

${\frac {\partial V}{\partial t}}=-\sum \varepsilon '{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial x_{1}}}{\frac {dx_{1}}{dt}}-\sum \varepsilon '{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial y_{1}}}{\frac {dy_{1}}{dt}}-\sum \varepsilon '{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial z_{1}}}{\frac {dz_{1}}{dt}}.$

Nun haben wir aber

${\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial x_{1}}}=-{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial x}},$

folglich

$-\sum \varepsilon '{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial x_{1}}}{\frac {dx_{1}}{dt}}=\sum \varepsilon '{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial x}}{\frac {dx_{1}}{dt}}={\frac {\partial u_{1}}{\partial x}},$

und ebenso

$-\sum \varepsilon '{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial y_{1}}}{\frac {dy_{1}}{dt}}=\sum \varepsilon '{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial y}}{\frac {dy_{1}}{dt}}={\frac {\partial u_{2}}{\partial y}},$

$-\sum \varepsilon '{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial z_{1}}}{\frac {dz_{1}}{dt}}=\sum \varepsilon '{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial z}}{\frac {dz_{1}}{dt}}={\frac {\partial u_{3}}{\partial z}}.$