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Erster Fall. Der Brennpunkt S ist gegeben, und die Curve soll durch die Punkte B und C gehen. Da die Curve ihrer Art nach gegeben ist, kennt man das Verhältniss der grossen Axe, zum gegenseitigen Abstande beider Brennpunkte, also das

1.     Aa : SH,

wenn H der andere Brennpunkt und Aa die grosse Axe ist. Nun mache man

2.     

Aus B und C als Mittelpunkten beschreibe man mit BK und CL als Radien Kreisbogen, ziehe an diese die Tangente KL und fälle auf die letztere das Perpendikel SG. In der Richtung des letztern bestimme man die Punkte A und a durch die Proportionen

3.     

Die zu Aa als Axe und den Punkten A und a als Scheitelpunkten beschriebene Figur ist die verlangte.

Ist H der andere Brennpunkt, so folgt aus den Proportionen 3.

SA : AG = Sa : aG

hieraus

Sa – SA : aG – AG = SA : AG

oder

4.     SH : Aa = SA : AG;

also steht die gegenseitige Entfernung der Brennpunkte zur grossen Axe in dem verlangten Verhältniss. Da ferner nach 2.

KB : BS = Aa : SH und
LC : CS = Aa : SH,

so geht die Figur nach der Lehre von den Kegelschnitten durch die Punkte B und C.[1]

Fig. 34.

Zweiter Fall. Der Brennpunkt S ist gegeben, man soll die Curve construiren, welche die beiden Linien TR und tr irgendwo berührt.

Man fälle aus S auf die Tangenten die Perpendikel ST und St, und mache deren Verlängerungen

VT = TS und vt = tS.

Hierauf halbire man Vv in O, errichte das unbestimmte Perpendikel OH auf Vv, und schneide die unbegrenzte Linie VS in K und k so, dass

VK : KS = Vk : kS = a : e,

wenn a die Hauptaxe und e der gegenseitige Abstand der Brennpunkte in der zu construirenden Figur sind. Ueber Kk als Durchmesser beschreibe man einen Kreis, welcher OH in H schneidet, und beschreibe dann zu S und H als Brennpunkten und einer grossen Axe = VH die Figur; alsdann ist diese die verlangte.

  1. ↑ [581]

    Fig. 231.

    No. 23. S. 83. Setzen wir die zu B gehörende Abscisse AM = x, die Ordinate BM = y, den Radius vector BS = r; so wird bekanntlich v² = (1 – e²)(2ax – x²) wo e die Excentricität der Ellipse ausdrückt, ferner weil AS = a(1 – e)r² = y² + (AS – x)² = (1 – e²) (2ax – x²) + (a(1 – e) – x)² und hieraus nach gehöriger Reduction
    1.     r = ex + (1 – e)a

    und eben so, wenn AN = x1, CN = y1, SC = r1 gesetzt wird.

    2.     r1 = ex1 + (1 – e)a.

    Da nun, wenn wir AG durch d bezeichnen, BK = d + x, LC = d + x1 nach Prop. 2. d + x : r = 2a : 2ae = 1 : e, so folgt

    [582]
    3.     de + ex = r

    und nach derselben zweiten Proportion d + x1: r1 = 1 : e also

    4.     de + ex1 = r1.

    Vergleicht man 3. mit 1. und 4. mit 2., so gehören die Gleichungen 3. und 4. einer Ellipse an, wenn

    5.     de = (1 – e)a.

    Nach Prop. 4. des Textes ist aber 2ae : 2a = a(1 – e) : d also in der That de = e(1 – e) wie in 5.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 83. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/91&oldid=- (Version vom 1.8.2018)
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