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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

(nach §. 57., Zusatz 2.) und der Widerstand, welchen die Kugel erleidet, indem sie mit dieser Geschwindigkeit fallt, wird dem Gewichte B gleich. Der Widerstand aber, welchen sie bei irgend einer anderen Geschwindigkeit erleidet, steht zum Gewichte B im doppelten Verhältniss dieser letzteren Geschwindigkeit zur grössten Geschwindigkeit H, nach §. 57, Zusatz 1.

Dies ist derjenige Widerstand, welcher von der Trägheit der flüssigen Materie herrührt; derjenige hingegen, welcher aus der Elasticität, Zähigkeit und der Reibung ihrer Theile entspringt, findet sich folgendermaassen. Es sei eine Kugel sich selbst überlassen, so dass sie durch ihr Gewicht B in der Flüssigkeit fällt, und es sei P die in Secunden ausgedrückte Zeit, welche sie zu ihrem Falle braucht; die frühere Zeit G sei ebenfalls in Secunden verstanden. Ferner sei N eine absolute Zahl, deren Logarithme = 0,4342944819 · $\scriptstyle {\frac {2P}{G}}$ und der Logarithme von $\scriptstyle {\frac {N+1}{N}}$ = L; alsdann ist die im Fallen erlangte Geschwindigkeit = $\scriptstyle {\frac {N-1}{M+1}}$ H, und die beschriebene Höhe = $\scriptstyle {\frac {2PF}{G}}$ — 1,3862943611 · F + 4,605170186 FL. Ist die Flüssigkeit hinreichend tief, so kann man das letzte Glied vernachlässigen und es wird sehr nahe die beschriebene Höhe = $\scriptstyle {\frac {2PF}{G}}$ — 1,3862943611 · F. Alles dies ergiebt sich nach §. 13 dieses Buches und seinen Zusätzen, indem man voraussetzt, dass die Kugel keine andere Art von Widerstand erleide als den, welcher aus der Trägheit der Materie entspringt.^[1] Erlitte sie ausserdem einen anderen Widerstand, so würde sie langsamer herabsteigen, und man würde durch diese Verzögerung die Grösse des letzteren Widerstandes kennen lernen.

Um leichter die Geschwindigkeit und den Weg eines Körpers kennen zu lernen, welcher im leeren Raume fällt, habe ich die folgende Tabelle angefertigt, deren erste Columne die Zeit des Falles darstellt. Die zweite gibt die im Fallen erlangten Geschwindigkeiten an, indem man die grösste = 100000000 = H annimmt. Die dritte stellt den während dieser Zeiten durchlaufenen Weg dar, indem 2F derjenige Weg ist, welchen der Körper in der Zeit G mit der grössten Geschwindigkeit durchläuft. Die vierte Columne enthält die in denselben Zeiten mit der grössten Geschwindigkeit durchlaufenen Wege. Die Zahlen dieser Columne sind die Werthe von $\scriptstyle {\frac {2P}{G}}$ und subtrahirt man hiervon die Zahl 1,3862944 — 4,60517021L, so erhält man die Zahlen der dritten Columne, welche man mit dem Wege F multipliciren muss, um die im Fallen beschriebenen Wege zu erhalten.

Ich habe eine fünfte Columne hinzugefügt, welche die in denselben Zeiten vom Körper durchlaufenen Wege enthält, wenn er im leeren Raume vermöge seines relativen Gewichtes B gefallen wäre.

↑ [612] No. 179. S. 342. (Fig. 143.) Es bezeichne V die Geschwindigkeit, welche die Kugel bei ihrem Falle in zusammengedrückter Flüssigkeit während der Zeit P erlangt haben würde. Es sei nun 1.   AP : AC = V : H,
und man ziehe durch den Punkt T der Hyperbel AVZ, πτ $\scriptstyle \parallel$ AC, bis die erstere die Hyperbel in τ und die Asymptote DC in π schneidet. Da nun aus TX² = DX² — DA² (§. 13.) = πX² — AC² folgt
πX² — TX² = AC² = (πX + TX) (πX — TX) = πτ · πT
also
2.   πτ : AC = AC : πT;
so wird
3.   πτ: πT = πτ² : AC²
und auch
4.   πτ : πτ — πT = πτ² : πτ² — AC²
so wie
5.   πτ : Tτ = πτ² : πτ² — AC² [613] Es ist aber Tτ : τX = 2 : 1 also πτ : τX = 2πτ² : πτ² — AC² und hieraus, weil τX = TX 6.   πX : TX =πτ² + AC² : πτ² — AC².
Da nun ferner πX $\scriptstyle \parallel$ CA, so ist πX : TX = AC : AP = H : V (Gl. 1.) und so (nach Gl. 6.)
7. H : V = πτ² + AC² : πτ² — AC², und indem man $\scriptstyle {\frac {\pi ^{2}\tau }{AC^{2}}}$ = N setzt, H : W = N + 1 : N — 1 oder V = $\scriptstyle {\frac {N-1}{N+1}}$ H.
Setzt man DX = x, τX = TX = y, DA = AC = a, so wird Δ ADC
= ½a², Sector ADT = ½xy — $\scriptstyle \int \limits _{a}^{x}$ ydx = ½xy — xy + $\scriptstyle \int \limits _{a}^{y}$ xdy.
Ferner folgt aus y² = x² — a², dy = $\scriptstyle {\frac {xdx}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}$ und so
ADT = —½xy + $\scriptstyle \int \limits _{a}^{x}{\frac {x^{2}dx}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}$ = — ½xy + ½xy + ½a² ln(x + y) — ½a² ln a = ADC · ln $\scriptstyle {\frac {x+y}{a}}$ = ADC · ln $\scriptstyle {\frac {\pi \tau }{AC}}$
endlich
8.   2 · ADT = ADC · ln $\scriptstyle {\frac {\pi \tau ^{2}}{AC^{2}}}$ = ADC · lnN.
Hier bezeichnet in einen natürlichen Logarithmen, hingegen soll log einen Briggischen bezeichnen. Setzt man nämlich β = 0,4342944819 gleich dem Modulus der Briggischen Logarithmen, so folgt ans Gl. 8.
2β · ADT = ADC · log N.
Ferner ist
ADT = ADC · $\scriptstyle {\frac {P}{G}}$ (nach §. 13., Zusatz 5.) also 2β · $\scriptstyle {\frac {P}{G}}$ = log N
und
9.   N = Numerus log $\scriptstyle \left(0,4342944818\cdot {\frac {2P}{G}}\right)$ .
Der während der Zeit P beschriebene Weg werde durch A, dagegen der von einem beliebigen Körper, in derselben Zeit P mit der Geschwindigkeit H beschriebene, Weg durch S bezeichnet. Alsdann ist in der Figur
AB = ¼AC
also
10.   AB · AC = ¼AC² = ¼AC · AD = ½ADC.
Ferner wird, wenn man NK = y, CK = x, ¼AC² = α² setzt, yx = α² und
11.   ABNK = $\scriptstyle \int \limits _{CK}^{CA}$ ydx = α² (lnAC — lnCK) = ½ADCln $\scriptstyle \left({\frac {AC}{CK}}\right)$ ,
Nach §. 13. ist AC : AP : = AP : AK, also AC : AK = AC² : AP², und daher AC : CK = AC² : AC² — AP² = H² : H² — V² (Gl. 1.)
= H² : H² — $\scriptstyle \left({\frac {N-1}{N+1}}\right)^{2}$ · H² 12.   AC : CK = (N + 1)² : 4N. [614] Aus Gl. 11. und 12. folgt 2 · ABNK = ADC · ln = $\scriptstyle \left({\frac {(N+1)^{2}}{4N}}\right)={\frac {ADC}{\beta }}\log \left({\frac {(N+1)^{2}}{4N}}\right)$ . Oben war ADC · logN = 2β · ADT;
also wird
13.   ABNK : ADT = $\scriptstyle \log \left[{\frac {(N+1)^{2}}{4N}}\right]$ · log N.
Nach §. 13., Zusatz 1. ist ABNK : ADT = A : S, mithin
A : S = $\scriptstyle \log \left[{\frac {(N+1)^{2}}{4N}}\right]$ : log N
oder
<centerA log N = S · $\scriptstyle \log \left[{\frac {(N+1)^{2}}{4N}}\right]$ .
Da nun S und 2F die Wege sind, welche die mit der Geschwindigkeit H gleichförmig fortschreitenden Körper in den Zeiten P und G zurücklegen würden; so ist
S : 2F = P : G
und
15.   S = $\scriptstyle {\frac {2PF}{G}}$
Aus Gl. 14. und 15. folgt demnach A log N = $\scriptstyle {\frac {2PF}{G}}$ $\scriptstyle \log \left[{\frac {(N+1)^{2}}{4N}}\right]={\frac {2PF}{G}}\log \left[{\frac {(N+1)^{2}N}{4N^{2}}}\right]={\frac {2PF}{G}}$ [2L + log N — log 4] d. h. weil oben
logN = $\scriptstyle {\frac {2P}{G}}\beta$ war. 16.   A = $\scriptstyle {\frac {2PF}{G}}+{\frac {G\cdot 2L}{\beta }}-{\frac {F\cdot \log 4}{\beta }}$
Mittelst des Werthes von β = 0,4342944619 und log 4 = 0,6020599913 wird $\scriptstyle {\frac {2}{\beta }}$ = 4,60517086, $\scriptstyle {\frac {\log 4}{\beta }}$ = 1,3862945611, also A, oder die in der Zeit P zurückgelegte Höhe
17.   A = $\scriptstyle {\frac {2PF}{G}}$ — 1,3862943611 · F + 4,60517086 · LF.
Ist A sehr gross, so dass AP in §. 13. der Linie AC sehr nahe gleich wird, so fällt nach Gl. 7. πτ² sehr gross im Vergleich mit AC² aus, d. h. es wird nach Gl. 8. N sehr gross und $\scriptstyle {\frac {N+1}{N}}$ kaum grösser als 1. Hiernach wird ferner L = log $\scriptstyle {\frac {N+1}{N}}$ sehr nahe = 0 und man kann daher in Gl. 17. das Glied 4,60517086 LF vernachlässigen.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 342. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/350&oldid=- (Version vom 1.8.2018)

[1] [612] No. 179. S. 342. (Fig. 143.) Es bezeichne V die Geschwindigkeit, welche die Kugel bei ihrem Falle in zusammengedrückter Flüssigkeit während der Zeit P erlangt haben würde. Es sei nun 1. AP : AC = V : H,
und man ziehe durch den Punkt T der Hyperbel AVZ, πτ $\scriptstyle \parallel$ AC, bis die erstere die Hyperbel in τ und die Asymptote DC in π schneidet. Da nun aus TX² = DX² — DA² (§. 13.) = πX² — AC² folgt
πX² — TX² = AC² = (πX + TX) (πX — TX) = πτ · πT
also
2. πτ : AC = AC : πT;
so wird
3. πτ: πT = πτ² : AC²
und auch
4. πτ : πτ — πT = πτ² : πτ² — AC²
so wie
5. πτ : Tτ = πτ² : πτ² — AC² [613] Es ist aber Tτ : τX = 2 : 1 also πτ : τX = 2πτ² : πτ² — AC² und hieraus, weil τX = TX 6. πX : TX =πτ² + AC² : πτ² — AC².
Da nun ferner πX $\scriptstyle \parallel$ CA, so ist πX : TX = AC : AP = H : V (Gl. 1.) und so (nach Gl. 6.)
7. H : V = πτ² + AC² : πτ² — AC², und indem man $\scriptstyle {\frac {\pi ^{2}\tau }{AC^{2}}}$ = N setzt, H : W = N + 1 : N — 1 oder V = $\scriptstyle {\frac {N-1}{N+1}}$ H.
Setzt man DX = x, τX = TX = y, DA = AC = a, so wird Δ ADC
= ½a², Sector ADT = ½xy — $\scriptstyle \int \limits _{a}^{x}$ ydx = ½xy — xy + $\scriptstyle \int \limits _{a}^{y}$ xdy.
Ferner folgt aus y² = x² — a², dy = $\scriptstyle {\frac {xdx}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}$ und so
ADT = —½xy + $\scriptstyle \int \limits _{a}^{x}{\frac {x^{2}dx}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}$ = — ½xy + ½xy + ½a² ln(x + y) — ½a² ln a = ADC · ln $\scriptstyle {\frac {x+y}{a}}$ = ADC · ln $\scriptstyle {\frac {\pi \tau }{AC}}$
endlich
8. 2 · ADT = ADC · ln $\scriptstyle {\frac {\pi \tau ^{2}}{AC^{2}}}$ = ADC · lnN.
Hier bezeichnet in einen natürlichen Logarithmen, hingegen soll log einen Briggischen bezeichnen. Setzt man nämlich β = 0,4342944819 gleich dem Modulus der Briggischen Logarithmen, so folgt ans Gl. 8.
2β · ADT = ADC · log N.
Ferner ist
ADT = ADC · $\scriptstyle {\frac {P}{G}}$ (nach §. 13., Zusatz 5.) also 2β · $\scriptstyle {\frac {P}{G}}$ = log N
und
9. N = Numerus log $\scriptstyle \left(0,4342944818\cdot {\frac {2P}{G}}\right)$ .
Der während der Zeit P beschriebene Weg werde durch A, dagegen der von einem beliebigen Körper, in derselben Zeit P mit der Geschwindigkeit H beschriebene, Weg durch S bezeichnet. Alsdann ist in der Figur
AB = ¼AC
also
10. AB · AC = ¼AC² = ¼AC · AD = ½ADC.
Ferner wird, wenn man NK = y, CK = x, ¼AC² = α² setzt, yx = α² und
11. ABNK = $\scriptstyle \int \limits _{CK}^{CA}$ ydx = α² (lnAC — lnCK) = ½ADCln $\scriptstyle \left({\frac {AC}{CK}}\right)$ ,
Nach §. 13. ist AC : AP : = AP : AK, also AC : AK = AC² : AP², und daher AC : CK = AC² : AC² — AP² = H² : H² — V² (Gl. 1.)
= H² : H² — $\scriptstyle \left({\frac {N-1}{N+1}}\right)^{2}$ · H² 12. AC : CK = (N + 1)² : 4N. [614] Aus Gl. 11. und 12. folgt 2 · ABNK = ADC · ln = $\scriptstyle \left({\frac {(N+1)^{2}}{4N}}\right)={\frac {ADC}{\beta }}\log \left({\frac {(N+1)^{2}}{4N}}\right)$ . Oben war ADC · logN = 2β · ADT;
also wird
13. ABNK : ADT = $\scriptstyle \log \left[{\frac {(N+1)^{2}}{4N}}\right]$ · log N.
Nach §. 13., Zusatz 1. ist ABNK : ADT = A : S, mithin
A : S = $\scriptstyle \log \left[{\frac {(N+1)^{2}}{4N}}\right]$ : log N
oder
<centerA log N = S · $\scriptstyle \log \left[{\frac {(N+1)^{2}}{4N}}\right]$ .
Da nun S und 2F die Wege sind, welche die mit der Geschwindigkeit H gleichförmig fortschreitenden Körper in den Zeiten P und G zurücklegen würden; so ist
S : 2F = P : G
und
15. S = $\scriptstyle {\frac {2PF}{G}}$
Aus Gl. 14. und 15. folgt demnach A log N = $\scriptstyle {\frac {2PF}{G}}$ $\scriptstyle \log \left[{\frac {(N+1)^{2}}{4N}}\right]={\frac {2PF}{G}}\log \left[{\frac {(N+1)^{2}N}{4N^{2}}}\right]={\frac {2PF}{G}}$ [2L + log N — log 4] d. h. weil oben
logN = $\scriptstyle {\frac {2P}{G}}\beta$ war. 16. A = $\scriptstyle {\frac {2PF}{G}}+{\frac {G\cdot 2L}{\beta }}-{\frac {F\cdot \log 4}{\beta }}$
Mittelst des Werthes von β = 0,4342944619 und log 4 = 0,6020599913 wird $\scriptstyle {\frac {2}{\beta }}$ = 4,60517086, $\scriptstyle {\frac {\log 4}{\beta }}$ = 1,3862945611, also A, oder die in der Zeit P zurückgelegte Höhe
17. A = $\scriptstyle {\frac {2PF}{G}}$ — 1,3862943611 · F + 4,60517086 · LF.
Ist A sehr gross, so dass AP in §. 13. der Linie AC sehr nahe gleich wird, so fällt nach Gl. 7. πτ² sehr gross im Vergleich mit AC² aus, d. h. es wird nach Gl. 8. N sehr gross und $\scriptstyle {\frac {N+1}{N}}$ kaum grösser als 1. Hiernach wird ferner L = log $\scriptstyle {\frac {N+1}{N}}$ sehr nahe = 0 und man kann daher in Gl. 17. das Glied 4,60517086 LF vernachlässigen.

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