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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

Reducirt man dieselben gehörig, und subtrahirt man die beiden letzten vom ersten, so erhält man

$\scriptstyle {\frac {4\cdot \ SJ^{3}}{3\cdot \ LJ}}$^[1].

Die ganze Kraft, durch welche der Körper P gegen den Mittelpunkt gezogen wird, ist daher, weil

LJ = ½PJ,

proportional

$\scriptstyle {\frac {SJ^{3}}{PJ}}$,

d. h. weil

SJ = $\scriptstyle {\frac {AS^{2}}{PS}}$ und so $\scriptstyle {\frac {SJ^{3}}{PJ}}={\frac {AS^{6}}{PS^{3}\cdot PJ}}$,

wo AS constant, jene Kraft umgekehrt proportional

PS³ · PJ.

Nach derselben Methode kann man die Anziehung eines innerhalb der Kugel gelegenen Körpers bestimmen. Kürzer geschieht dies aber durch den folgenden Lehrsatz.

§. 127. Lehrsatz. Werden, wie in der Figur der vorhergehenden Aufgabe, die Linien

SJ, SA, SP

stetig proportional angenommen, so verhält sich die Anziehung, welche ein innerhalb der Kugel in I befindlicher Körper erleidet, zu der entsprechenden im Punkt P zusammengesetzt wie

die Quadratwurzeln aus den Abständen JS und PS vom Centrum und die Quadratwurzeln aus den, in P und J nach dem Centrum gerichteten Centripetalkräften.

Fig. 116.

Verhalten sich etwa die Centripetalkräfte einzelner Theile der Kugel umgekehrt wie die Abstände des durch sie angezogenen Körpers, so verhält sich die Kraft, mit welcher der Körper im Punkt J durch die ganze Kugel angezogen wird, zu derjenigen, mit welcher ihn dieselbe in P anziehen würde, zusammengenommen wie

$\scriptstyle {\sqrt {JS}}:{\sqrt {PS}}$,

und wie die Quadratwurzel aus der Centripetalkraft, welche im Punkt J durch ein im Centrum befindliches Theilchen ausgeübt wird, zur Quadratwurzel aus der im Punkt P eben so ausgeübten Kraft, d. h. wie

$\scriptstyle {\frac {1}{\sqrt {JS}}}:{\frac {1}{\sqrt {PS}}}$,

Das zusammengesetzte Verhältniss wird daher gleich

1 : 1:

mithin sind die auf J und P von der ganzen Kugel ausgehenden Anziehungen einander gleich.

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1. No. 62. S. 207. Denkt man sich von L eine Tangente LT an den Kreis gezogen (Fig. 116.), so wird LA · LB = LT² = LS² — ST² = (LJ + JS)² — AS² = LJ² + 2LJ · JS + JS² — AS² = LJ² + PJ · JS + JS² — AS² = LJ² + JH² + JS² — AS² = LJ² + SH² — AS² mithin LA · LB = LJ² oder 1.   LA : LJ = LJ : LB.

   Hieraus folgt LA : LJ = $\scriptstyle {\sqrt {LA}}:{\sqrt {LB}}$ oder

   2.   LA · $\scriptstyle {\sqrt {LB}}$ = LJ · $\scriptstyle {\sqrt {LA}}$

   und ebenso LB : LJ = $\scriptstyle {\sqrt {LB}}:{\sqrt {LA}}$, oder

   3. LB · $\scriptstyle {\sqrt {LA}}$ = LJ · $\scriptstyle {\sqrt {LB}}$

   Bringt man nun die drei Glieder im vorliegenden Beispiele unter gleiche Benennung, so erhält man zunächst den Ausdruck:

   $\scriptstyle SJ^{\frac {3}{2}}\cdot {\frac {\left[6LS+3LA-LB\right]{\sqrt {LB}}-\left[6LS+3LB-LA\right]{\sqrt {LA}}}{3{\sqrt {2}}{\sqrt {LA\cdot LB}}}}$ $\scriptstyle ={\frac {SJ^{\frac {3}{2}}}{3LJ}}\cdot {\frac {(4LS+4LA){\sqrt {LB}}-(4LS+4LB){\sqrt {LA}}}{\sqrt {2}}}$ $\scriptstyle ={\frac {4\cdot SJ^{\frac {3}{2}}}{3LJ}}\cdot {\frac {LS\cdot {\sqrt {LB}}+LJ\cdot {\sqrt {LA}}-LS\cdot {\sqrt {LA}}-LJ\cdot {\sqrt {LB}}}{\sqrt {2}}}$ $\scriptstyle ={\frac {4\cdot SJ^{\frac {3}{2}}}{3\cdot LJ}}\cdot {\frac {(LS+LJ)({\sqrt {LB}}-{\sqrt {LA}})}{\sqrt {2}}}$ $\scriptstyle ={\frac {4\cdot SJ^{\frac {3}{2}}}{3\cdot LJ}}\cdot {\frac {JS\cdot ({\sqrt {LB}}-{\sqrt {LA}})}{\sqrt {2}}}={\frac {4\cdot SJ^{\frac {3}{2}}}{3\cdot LJ}}{\sqrt {\frac {LB+LA-2{\sqrt {LB\cdot LA}}}{2}}}$

   oder, weil LA = LS — AS, LB = LS + AS und LB + LA = 2LS, jener Ausdruck $\scriptstyle ={\frac {4\cdot SJ^{\frac {3}{2}}}{3\cdot LJ}}\cdot {\sqrt {LS-LJ}}={\frac {4\cdot SJ^{\frac {3}{2}}}{3\cdot LJ}}{\sqrt {JS}}={\frac {4\cdot SJ^{3}}{3\cdot LJ}}.$.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 207. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/215&oldid=- (Version vom 1.8.2018)