Die anziehende Masse ist über eine beliebige Linie vertheilt. Die Gleichung:
Die anziehende Masse sei über eine krumme Linie vertheilt. Wir bezeichnen mit s die Länge des Bogens von dem Anfangspunkte der Curve bis zum Punkte . Im Endpunkte sei . Die Dichtigkeit wird als eine stetige Function von vorausgesetzt. Wir legen den Anfangspunkt der Coordinaten in einen Punkt der Curve, in welchem die Krümmungsradien nicht unendlich klein sind. Die Tangente der Curve in diesem Punkte wählen wir zur Axe der . Der angezogene Punkt soll in der Ebene liegen. Es handelt sich hauptsächlich um die Frage, was aus der Potentialfunction wird, wenn der angezogene Punkt unendlich nahe an den Anfangspunkt der Coordinaten heranrückt.
Wir haben
(1)
(2)
Zur Abkürzung werde gesetzt. Bezeichnen wir mit die Dichtigkeit im Anfangspunkte der Coordinaten, so lässt sich leicht beweisen, dass für die Function unendlich wird wie . Um den Beweis zu führen , bringen wir zunächst in die Form
(3)
Hier sind und die Werthe von für und resp. , und ist der Winkel, welchen die Tangente der Curve mit der
Axe der positiven einschliesst. Denken wir uns nun die Axe der von der Stelle bis zu der Stelle mit anziehender Masse von der constanten Dichtigkeit belegt und bezeichnen die davon herrührende Potentialfunction mit , so findet sich
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Aus (3) und (4) erhält man
(5)
Das Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung hat einen bestimmten, endlichen Werth, so lange von Null verschieden. Für nimmt der Factor von an einer Stelle zwischen den Integrationsgrenzen
die Form an, nemlich an der Stelle . Um den wahren Werth zu ermitteln, bringen wir die Function in die Form
Nun kann man leicht zeigen, dass für die Brüche und sich derselben endlichen Grenze annähern, wenn man in übergehen lässt. Denn es ist
Lässt man in Null übergehen, so werden gleichzeitig auch und zu Null. Man erhält . Beide Differentialquotienten sind aber gleich Null für , weil die Axe der im Anfangspunkte die Curve berührt. Für hat man also
Dieser gemeinschaftliche Grenzwerth ist aber jedenfalls verschieden von , d. h. er ist endlich, selbst wenn man nehmen will.
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Man kann also schreiben
und es handelt sich jetzt nur noch um den Grenzwerth von
Dieser findet sich nach den Regeln der Differentialrechnung
Nun ist aber für . Die Differentialquotienten und sind endlich. Ist also , so erhält man selbst an der Stelle zu dem Integral (5) nur einen unendlich kleinen Beitrag. Alle übrigen Elemente des Integrals sind ebenfalls unendlich klein. Folglich hat das Integral einen bestimmten, endlichen Werth auch für , und die Differenz ist eine endliche und stetige Function von . Die Function ist aber in Gleichung (12) des vorigen Paragraphen ausgedrückt. Wir haben demnach
(6)
wenn mit eine endliche und stetige Function bezeichnet wird. Das eben gewonnene Resultat lässt sich auch aus dem Satze von Gauss (§. 12) herleiten. Wir machen auf der Curve ein Element , das als geradlinig angesehen werden darf, zur Axe eines geraden Kreiscylinders mit dem Radius (Fig. 10). Da in Null übergehen soll, so kann man es so klein wählen, dass das Verhältnis gleich Null wird. Die Endflächen des Cylinders sind dann verschwindend klein im Vergleich zu der Mantelfläche,
|[65]und daher darf der Beitrag zu dem Integral welcher von den Endflächen herrührt, vernachlässigt werden. Fig. 10. Für einen Punkt der Mantelfläche fällt die Richtung der nach innen gezogenen Normale zusammen mit der Richtung der abnehmenden . Es ist also hier
und diese Componente der Anziehung hat wegen der unendlich kleinen Dimensionen des Cylinders denselben Werth in allen Punkten seiner Mantelfläche. Danach findet sich das Integral hier
Die anziehende Masse liegt im Innern des Cylinders, in seiner Axe. Bezeichnen wir die Dichtigkeit in einem Punkte von mit , so lautet der Satz von Gauss:
d. h. nach gehöriger Reduction
(7)
Daraus geht ohne weiteres hervor, dass für ein unendlich ahnehmendes die Function unendlich wird wie .
