Schwere, Elektricität und Magnetismus:076

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Erster Abschnitt. §. 17.

§. 17. Die anziehende Masse ist über eine beliebige Linie vertheilt. Die Gleichung:

$\left(t{\frac {\partial V}{\partial t}}\right)_{t=0}=-2\,\rho .$

 Die anziehende Masse sei über eine krumme Linie vertheilt. Wir bezeichnen mit $s\,$s die Länge des Bogens von dem Anfangspunkte der Curve bis zum Punkte $(a,\,b,\,c)$. Im Endpunkte sei $s=s_{1}\,$. Die Dichtigkeit $\rho \,$ wird als eine stetige Function von $s\,$ vorausgesetzt. Wir legen den Anfangspunkt der Coordinaten in einen Punkt der Curve, in welchem die Krümmungsradien nicht unendlich klein sind. Die Tangente der Curve in diesem Punkte wählen wir zur Axe der $x\,$. Der angezogene Punkt soll in der $yz\,$Ebene liegen. Es handelt sich hauptsächlich um die Frage, was aus der Potentialfunction wird, wenn der angezogene Punkt unendlich nahe an den Anfangspunkt der Coordinaten heranrückt. Wir haben

(1)	$r^{2}=a^{2}+(b-y)^{2}+(c-z)^{2},\,$

(2)	$V=\int \limits _{0}^{s_{1}}{\frac {\rho \,ds}{r}}.$

 Zur Abkürzung werde $y^{2}+z^{2}=t^{2}\,$ gesetzt. Bezeichnen wir mit $\rho _{0}\,$ die Dichtigkeit im Anfangspunkte der Coordinaten, so lässt sich leicht beweisen, dass für $t=0\,$ die Function $V\,$ unendlich wird wie $2\,\rho _{0}\,\lg {\frac {1}{t}}\,$. Um den Beweis zu führen , bringen wir $V\,$ zunächst in die Form

(3)	$V=\int \limits _{k}^{k_{1}}{\frac {\rho \,da}{r{\frac {da}{ds}}}}=\int \limits _{k}^{k1}{\frac {\rho \,da}{r\cos \lambda }}.$

Hier sind $k\,$ und $k_{1}\,$ die Werthe von $a\,$ für $s=0\,$ und resp. $s=s_{1}\,$, und $\lambda \,$ ist der Winkel, welchen die Tangente der Curve mit der Axe der positiven $x\,$ einschliesst. Denken wir uns nun die Axe der $x\,$ von der Stelle $a=k\,$ bis zu der Stelle $a=k_{1}\,$ mit anziehender Masse von der constanten Dichtigkeit $\rho _{0}\,$ belegt und bezeichnen die davon herrührende Potentialfunction mit $V'\,$, so findet sich