Schwere, Elektricität und Magnetismus:075

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 61
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Die anziehende Masse ist über eine unendliche gerade Linie vertheilt.

Da aber $V\,$ nur von $t\,$ und $V_{1}\,$ nur von $t_{1}\,$ abhängig ist, so zerfällt die Gleichung (8) in die beiden folgenden:

$V=2\rho \,\lg {\frac {1}{t}}+{\text{const.}},\quad V_{1}=2\,\rho \,\lg {\frac {1}{t_{1}}}+{\text{const.}}$

Die Constante hat in beiden Gleichungen denselben Werth. Es kömmt aber auf sie gar nichts an. Man darf sie also auch $=0\,$ setzen und erlangt so wieder die Gleichung (6).

 Uebrigens ist es auch leicht, die Potentialfunction für den Fall herzustellen, dass die Masse mit constanter Dichtigkeit über einen endlichen Theil der $x\,$Axe (von $a=k\,$ bis $a=k_{1}\,$) vertheilt ist. Man erhält

(9)	$V=\rho \int \limits _{k}^{k_{1}}{\frac {da}{\sqrt {\left(a-x\right)^{2}+t^{2}}}}.$

Die Integration lässt sich ausführen. Wir bringen das Resultat in drei verschiedene Formen, je nachdem $x>k_{1}\,$ oder $k>x\,$ oder $k_{1}>x>k\,$ ist, nemlich

(10)	$V=\rho \,\lg {\frac {x-k+{\sqrt {\left(x-k\right)^{2}+t^{2}}}}{x-k_{1}+{\sqrt {\left(x-k_{1}\right)^{2}+t^{2}}}}}$

für $x>k_{1}\,$; dagegen

(11)	$V=\rho \,\lg {\frac {k_{1}-x+{\sqrt {\left(k_{1}-x\right)^{2}+t^{2}}}}{k-x+{\sqrt {\left(k-x\right)^{2}+t^{2}}}}}$

fur $k>x\,$; und endlich

(12)	${\begin{aligned}V=\;&2\rho \,\lg {\frac {1}{t}}\\&+\rho \,\lg \lbrace k_{1}-x+{\sqrt {\left(k_{1}-x\right)^{2}+t^{2}}}\rbrace \\&+\rho \,\lg \lbrace x-k+{\sqrt {\left(x-k\right)^{2}+t^{2}}}\rbrace \end{aligned}}$

für $k_{1}>x>k\,$.

 Lässt man in (12) $t=0\,$ werden, d. h. den angezogenen Punkt in die anziehende Linie fallen, so wird $V\,$ unendlich wie $2\rho \,\lg {\frac {1}{t}}$, also gerade so wie bei der unbegrenzten anziehenden Linie.