Schwere, Elektricität und Magnetismus:074

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 60
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Erster Abschnitt. §. 16.

Die willkürliche Zahl $k\,$ darf man nun $={\frac {1}{2}}$ setzen. Dann wird

(5)	$V=-\rho \lg(y^{2}+z^{2})\,$

oder, wenn man den Abstand des Punktes $(x,\,y,\,z)$ von der anziehenden Linie mit $t\,$ bezeichnet:

(6)	$V=2\,\rho \lg {\frac {1}{t}}.$

Die Potentialfunction ist hier also von $x\,$ unabhängig und daher die Componente der Anziehung in der Richtung parallel zur anziehenden Linie gleich Null. Dies war bei dem unbegrenzten Verlauf der Linie und der constanten Dichtigkeit ihrer Masse vorauszusehen. Man hätte auch den Anfangspunkt der Coordinaten auf der Axe der $x\,$ so verschieben können, dass der angezogene Punkt in die neue $yz\,$Ebene fällt. Dadurch wird $x=0\,$ und $r\,$ geht über in ${\sqrt {a^{2}+t^{2}}}$. Die Integration in (1) bleibt aber von $-\infty$ bis $+\infty$ zu erstrecken.

 Von der Richtigkeit der Gleichung (6) kann man sich auch auf folgendem Wege überzeugen. Man nehme ausser dem Punkte $(0,\,y,\,z)$ noch einen Punkt $(0,\,y_{1},\,z_{1})$ und bezeichne die Potentialfunction der anziehenden Linie auf den ersten Punkt mit $V\,$, auf den anderen mit $V_{1}\,$. Setzt man $y^{2}+z^{2}=t^{2}\,$ und $y_{1}^{2}+z_{1}^{2}=t_{1}^{2}\,$, so hat man

(7)	$V-V_{1}=\rho \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\left({\frac {1}{\sqrt {a^{2}+t^{2}}}}-{\frac {1}{\sqrt {a^{2}+t_{1}^{2}}}}\right)da.$

Die Integration erstrecken wir zunächst von $-k\,$ bis $+k\,$ und suchen den Grenzwerth für $\lim k=\infty \,$. Nun ist aber

$\int \limits _{-k}^{k}{\frac {da}{\sqrt {a^{2}+t^{2}}}}=\lg {\frac {k+{\sqrt {k^{2}+t^{2}}}}{-k+{\sqrt {k^{2}+t^{2}}}}}=2\,\lg {\frac {k+{\sqrt {k^{2}+t^{2}}}}{t}},$

folglich

$V-V_{1}=2\,\rho \,\lim \lg \left\lbrace {\frac {1+{\sqrt {1+{\frac {t^{2}}{k^{2}}}}}}{1+{\sqrt {1+{\frac {t_{1}^{2}}{k^{2}}}}}}}\cdot {\frac {t_{1}}{t}}\right\rbrace$

für $\lim k=\infty \,$, d. h.

(8)	$V-V_{1}=2\,\rho \left(\lg {\frac {1}{t}}-\lg {\frac {1}{t_{1}}}\right).$