Schwere, Elektricität und Magnetismus:078

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Erster Abschnitt. §. 17.

 Man kann also schreiben

$\lim \left\lbrace {\frac {{\frac {a}{r}}{\frac {\rho }{\cos \lambda }}-{\frac {a\rho _{0}}{R}}}{a}}\right\rbrace =\lim {\frac {a}{R}}\cdot \lim \left\lbrace {\frac {{\frac {\rho }{\cos \lambda }}-\rho _{0}}{a}}\right\rbrace$

und es handelt sich jetzt nur noch um den Grenzwerth von

${\frac {{\frac {\rho }{\cos \lambda }}-\rho _{0}}{a}}.$

Dieser findet sich nach den Regeln der Differentialrechnung

$={\frac {{\frac {1}{\cos \lambda }}{\frac {d\rho }{ds}}-{\frac {\rho }{\cos \lambda ^{2}}}{\frac {d\,\cos \lambda }{ds}}}{\frac {da}{ds}}}$ $={\frac {1}{\cos \lambda ^{2}}}{\frac {d\rho }{ds}}-{\frac {\rho }{\cos \lambda ^{3}}}{\frac {d\,\cos \lambda }{ds}}.$

Nun ist aber $\cos \lambda =1\,$ für $a=0\,$. Die Differentialquotienten ${\frac {d\,\cos \lambda }{ds}}$ und ${\frac {d\rho }{ds}}$ sind endlich. Ist also $t=0\,$, so erhält man selbst an der Stelle $a=0\,$ zu dem Integral (5) nur einen unendlich kleinen Beitrag. Alle übrigen Elemente des Integrals sind ebenfalls unendlich klein. Folglich hat das Integral einen bestimmten, endlichen Werth auch für $t=0\,$, und die Differenz $V-V'\,$ ist eine endliche und stetige Function von $t\,$. Die Function $V'\,$ ist aber in Gleichung (12) des vorigen Paragraphen ausgedrückt. Wir haben demnach

(6)	$V=2\rho _{0}\lg {\frac {1}{t}}+f.\,c.,$

wenn mit $f.\,c.$ eine endliche und stetige Function bezeichnet wird. Das eben gewonnene Resultat lässt sich auch aus dem Satze von Gauss (§. 12) herleiten. Wir machen auf der Curve ein Element $ds\,$, das als geradlinig angesehen werden darf, zur Axe eines geraden Kreiscylinders mit dem Radius $t\,$ (Fig. 10). Da $t\,$ in Null übergehen soll, so kann man es so klein wählen, dass das Verhältnis $t\,:\,ds$ gleich Null wird. Die Endflächen des Cylinders sind dann verschwindend klein im Vergleich zu der Mantelfläche,