Schwere, Elektricität und Magnetismus:079

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Die anziehende Masse ist über eine beliebige Linie vertheilt.

und daher darf der Beitrag zu dem Integral $\int N\,d\sigma$ welcher von den Endflächen herrührt, vernachlässigt werden.

Fig. 10.

Für einen Punkt der Mantelfläche fällt die Richtung der nach innen gezogenen Normale zusammen mit der Richtung der abnehmenden $t\,$. Es ist also hier

$N=-{\frac {\partial V}{\partial t}},$

und diese Componente der Anziehung hat wegen der unendlich kleinen Dimensionen des Cylinders denselben Werth in allen Punkten seiner Mantelfläche. Danach findet sich das Integral $\int N\,d\sigma$ hier

$=-{\frac {\partial V}{\partial t}}\cdot 2\pi \,t\,ds.$

Die anziehende Masse liegt im Innern des Cylinders, in seiner Axe. Bezeichnen wir die Dichtigkeit in einem Punkte von $ds\,$ mit $\rho _{0}\,$, so lautet der Satz von Gauss:

$-{\frac {\partial V}{\partial t}}\cdot 2\pi \,t\,ds=4\pi \,\rho _{0}\,ds,$

d. h. nach gehöriger Reduction

(7)	$\lim \left(t{\frac {\partial V}{\partial t}}\right)_{t=0}=-2\rho _{0}.$

 Daraus geht ohne weiteres hervor, dass für ein unendlich ahnehmendes $t\,$ die Function $V\,$ unendlich wird wie $2\rho _{0}\lg {\frac {1}{t}}$.

§. 18. Recapitulation.

 Wir recapituliren noch einmal die gewonnenen Resultate.

 Die anziehende Masse kann in einzelnen getrennt liegenden Punkten concentrirt sein. Dann ist

$V=\sum {\frac {m}{r}},$

und die Summirung bezieht sich auf sämmtliche Massenpunkte.