Schwere, Elektricität und Magnetismus:080

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 80
<< Zurück	Vorwärts >>
fertig
Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.

Erster Abschnitt. §. 18.

Oder die Masse ist stetig vertheilt über einen Raum, resp. über eine Fläche, resp. über eine Linie. In diesen drei Fällen ist

$V=\int {\frac {dm}{r}},$

und man hat die Integration üiber das ganze mit Masse erfüllte geometrische Gebilde auszudehnen. Unter allen Umständen genügt die Potentialfunction in einem Punkte $(x,\,y,\,z)\,$, wo keine Masse vorhanden ist, der Gleichung von Laplace:

(1)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0.$

 Wir wollen voraussetzen, dass kein Theil der anziehenden Masse in unendlicher Entfernung liege.

 Ist die Masse über einen Raum stetig vertheilt, so genügt die Potentialfunction ausserhalb dieses Raumes der partiellen Differentialgleichung (1), innerhalb desselben aber [§. 13 (4)] der partiellen Differentialgleichung

(2)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=-4\pi \rho ,$

und es bedeutet $\rho \,$ die Dichtigkeit in dem inneren Punkte $(x,\,y,\,z)$. Die Function $V\,$ und ihre ersten Derivirten sind im ganzen unendlichen Raume endlich und stetig variabel.

 Bei stetiger Vertheilung der Masse auf einer Fläche genügt die Potentialfunction $V\,$ im ganzen unendlichen Raume der partiellen Differentialgleichung (1). Die Function $V\,$ selbst ist überall endlich und stetig variabel. Die ersten Derivirten ${\frac {\partial V}{\partial x}}$, ${\frac {\partial V}{\partial y}}$, ${\frac {\partial V}{\partial z}}$ sind endlich und stetig variabel, so lange der Punkt $(x,\,y,\,z)$ in endlicher, wenn auch noch so kleiner Entfernung von der Fläche sich befindet. Für einen Punkt in der Fläche oder unendlich nahe an derselben hat man eine Verschiebung $ds\,$ in der Fläche von einer Verschiebung $dp\,$ auf der Normale zu unterscheiden. Die Derivirte ${\frac {\partial V}{\partial s}}$ ist in der Fläche endlich und stetig variabel. Sie weicht nur unendlich wenig ab von den Werthen der gleichnamigen Derivirten in einem ausserhalb der Fläche unendlich nahe gelegenen Punkte auf der einen wie auf der anderen Seite. Die