Schwere, Elektricität und Magnetismus:081

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 67
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Recapitulation.

Derivirte ${\frac {\partial V}{\partial p}}$ändert sich sprungweise beim Durchgang durch die Fläche, und zwar so, dass

(3)	$\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+\varepsilon }-\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-\varepsilon }=-4\pi \rho .$

Mit $\rho \,$ ist die Dichtigkeit in dem Punkte der Fläche bezeichnet, auf dessen Normale die unendlich kleinen Abstände $+\varepsilon$ und $-\varepsilon$ gezählt werden.

 Bei stetiger Vertheilung der Masse in einer Linie (§. 16) genügt die Potentialfunction $V\,$ im ganzen unendlichen Raume der Differentialgleichung (1). Sie ist endlich und stetig variabel, so lange der Punkt $(x,\,y,\,z)$ in endlicher Entfernung von der anziehenden Linie bleibt. Nimmt man seinen Abstand $t\,$ von der Linie unendlich klein, so wird die Function $V\,$ unendlich wie $2\rho \lg {\frac {1}{t}}$, und es gilt demnach die Gleichung:

(4)	$\lim \left(t{\frac {\partial V}{\partial t}}\right)=-2\rho$ für $t=0.\,$

Hier bedeutet $\rho \,$ die Dichtigkeit an der Stelle der anziehenden Linie, in welche der Punkt $(x,\,y,\,z)$ für $t=0\,$ hineinrückt.

 Ist endlich die Masse $m\,$ in einem Punkte concentrirt, so gilt für den ganzen unendlichen Raum die partielle Differentialgleichung (1). Die Function $V\,$ ist endlich und stetig variabel, so lange der Punkt $(x,\,y,\,z)$ in endlicher Entfernung von dem anziehenden Punkte liegt. Bezeichnet $r\,$ diese Entfernung, so findet sich leicht

(5)	$rV=-r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}=m,$

und diese Gleichung gilt noch fur $r=0\,$.

 Je nach der Art der Massenvertheilung gilt also neben der partiellen Differentialgleichung (1) noch eine von den Gleichungen (2), (3), (4), (5). Zur vollständigen Bestimmung der Function $V\,$ sind nun noch Gleichungen hinzuzufügen, in denen sich ausspricht, was aus der Function und ihren ersten Derivirten wird, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ in unendliche Entfernung rückt.

 Wir setzen

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\,$

und bemerken, dass

$\lim {\frac {R}{r}}=\lim {\sqrt {\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}}{\left(a-x\right)^{2}+\left(b-y\right)^{2}+\left(c-z\right)^{2}}}}=1$