Mathematische Principien der Naturlehre/Buch1-V

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Mathematische Principien der Naturlehre (1872) von Isaac Newton, übersetzt von Jakob Philipp Wolfers Buch I. Abschnitt V.

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ABSCHNITT V.

Bestimmung der Bahnen, wenn keiner von beiden Brennpunkten gegeben ist.

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§. 45. Lehnsatz. Werden von einem Punkte P auf einem Kegelschnitte nach den vier Seiten eines, in demselben beschriebenen, Vierecks ABDC vier gerade Linien PQ, PR, PS und PT unter gegebenen Winkeln mit den einzelnen Seiten gezogen; so steht das Rechteck aus den beiden, aus entgegengesetzten Seiten gezogenen, Linien

PQ · PR

zu dem aus den beiden andern Linien

PS · PT

in einem constanten Verhältniss.

Fig. 40.

Erster Fall. Es sei

PQ $\scriptstyle \parallel$ AC

und

PR $\scriptstyle \parallel$ AC

eben so

PS $\scriptstyle \parallel$ AB

und

PT $\scriptstyle \parallel$ AB

ausserdem

AC $\scriptstyle \parallel$ BD.

Die gerade Linie, welche die parallelen Seiten halbirt, wird daher ein Durchmesser des Kegelschnittes sein und auch RQ halbiren. Es sei dieser Halbirungspunkt, also PO eine Ordinate in Bezug auf jenen Durchmesser als Abscissenaxe. Man verlängere PO bis K, so dass

OK = OP

werde; alsdann ist OK die Ordinate auf der entgegengesetzten Seite des Durchmessers. Da die Punkte

A, B, P, K

auf dem Umfang des Kegelschnittes liegen und PK die Seite AB unter einem gegebenen Winkel schneidet, so ist (nach Appollonius, Buch III., Satz 17., 19., 21. und 23.).

1.   $\scriptstyle {\frac {PQ\cdot QK}{AQ\cdot QB}}=Constans.$^[1]

Da aber

OP = OK

und

OR = OQ,

so ist

PR = KQ

und

PQ · QK = PQ · PR.

Da ferner

AQ = PS

und

QB = PT,

also

AQ · QB = PS · PT;

so steht das Rechteck PQ · PR zu dem PS · PT in einem gegebenen constanten Verhältniss.   W. Z. B. W.

Fig. 41.

Zweiter Fall. Es sei nicht AC $\scriptstyle \parallel$ BD, man ziehe aber

Bd $\scriptstyle \parallel$ AC,

ferner schneide Bd die Linie ST in t und den Kegelschnitt in d. Hierauf ziehe man Cd welche PQ in r schneidet, ferner

DM $\scriptstyle \parallel$ PQ, so dass DM die Linie Cd im M, die AB in N schneide. Da nun Δ BTt ∼ DNB und Δ CRr ∼ CDM,

so haben wir

Bt : Tt = DN : BN Rr : AQ = DM : AN,

also

2.   Bt · Rr : Tt · AQ = DM · DN : AN · BN.

Da aber

Bt = PQ AQ = PS;

so wird aus 2.

3.   PQ · Rr : Tt · PS = DM · DN : AN · BN.

Nach dem ersten Falle ist aber, wenn man D als Punkt in der Curve ansieht,

4.   DM · DN : AN · BN = PQ · Pr : PS · Pt

mithin

5.   PQ · Pr : PS · Pt = PQ · Rr : Tt · PS,

und hieraus

PQ · (Pr — Rr) : PS · (Pt — Tt) = PQ · Rr : Tt · PS

d. h.

6.   PQ · PR : PS · PT = DM · DN : AN · BN = Constans.   W. Z. B. W.

Fig. 42.

Dritter Fall. Gesetzt, die vier Linien

PQ, PR, PS, PT

seien nicht parallel den Seiten AC und AB, sondern beliebig gegen sie geneigt. Man ziehe nun,

Pq $\scriptstyle \parallel$ AC,   Pr $\scriptstyle \parallel$ AC, Ps $\scriptstyle \parallel$ AB,   Pt $\scriptstyle \parallel$ AB;

alsdann kennt man, weil die Winkel PQq, PRr, PSs, PTt gegeben sind, die Verhältnisse

PQ : Pq, PR : Pr, PS : Ps, PT : Pt.

Nach dem vorhergehenden Beweise ist aber das Verhältniss

Pq · Pr : Ps · PT

constant, mithin ist dies auch mit dem Verhältniss

PQ · PR : PS · PT

der Fall.   W. Z. B. W.

§. 46. Lehnsatz. Unter denselben Voraussetzungen, wie im vorhergehenden Lehnsatze, sei das Verhältniss

PQ · PR : PS · PT

constant; alsdann liegt der Punkt P, von welchem die vier Linien PQ, PR, PS, PT ausgehen, auf dem um das Viereck ABCD beschriebenen Kegelschnitt.

Durch die vier Punkte A, B, C, D und einen der unbestimmten

Fig. 43.

Punkte P, etwa p, denke man sich einen Kegelschnitt beschrieben; alsdann wird behauptet, dass auch P auf demselben liege. Wollte man dies nicht zugeben, so ziehe man die Linie AP, welche den Kegelschnitt in einem andern Punkte als P etwa in π schneiden mag. Nun ziehe man ferner von beiden Punkten p und π unter gegebenen Winkeln, nach den Seiten des Vierecks die Linien

pq, pr, ps, pt und πϰ, πϱ, πσ, πτ,

alsdann ist nach §. 45.

1.   πϰ · πϱ : πσ · πτ = pq · pr : ps · pt

und nach der Voraussetzung

2.   πϰ · πϱ : πσ · πτ = PQ · PR : PS · PT.

Da nun

πϰAσ ∼ PQAS,

hat man

3.   πϰ : πσ = PQ : PS;

es geht mithin die Proportion 2. über in die folgende:

4.   πϱ : πτ = PR : PT;

und es ist

Dϱπτ ∼ DRPT,

wesshalb ihre Diagonalen Dπ und DP zusammenfallen müssen. Es fällt daher π in den Durchschnitt der Linien AP und DP, also in P. Dieser, wo er auch angenommen werde, fällt auf den angegebenen Kegelschnitt.

Zusatz. Werden drei Linien PQ, PR, PS vom gemeinschaftlichen Punkte P nach andern, der Lage nach gegebenen, geraden Linien AB, CD, AC, jede mit jeder unter gegebenem Winkel gezogen, und ist das Verhältniss

PQ · PR : PS².

constant; so liegt der Punkt P auf demjenigen Kegelschnitt, welcher die Linien AB und CD in A und C berührt, und umgekehrt. Fällt nämlich BD mit AC zusammen, während die Lage der drei Linien AB, CD, AC unverändert bleibt; so fällt auch PT mit PS zusammen und es geht das Rechteck PS · PT in das Quadrat PS² über. Die Linien AB und CD, welche die Curve in den Punkten A und B, C und D schnitten, können jetzt dieselbe in den zusammenfallenden Punkten nicht mehr schneiden, sondern nur berühren.

§. 47. Anmerkung. Der Name Kegelschnitt erstreckt sich in diesem Lehnsatze so weit, dass so wohl der geradlinige, durch den Scheitel gehende, als auch der kreisförmige, der Basis parallele Schnitt eingeschlossen werden.

Fällt nämlich der Punkt p auf die gerade Linie, durch welche je zwei der vier Punkte A, B, C, D mit einander verbunden werden, so verwandelt sich der Kegelschnitt in zwei gerade Linien, von denen eine diejenige ist, auf welcher der Punkt p liegt, die andere diejenige, welche die beiden andern Punkte mit einander verbindet.

Sind die gegenüberstehenden Winkel des Vierecks Supplementswinkel, und die Linien PQ, PR, PS, PT entweder senkrecht, oder unter beliebigen aber gleichen Winkeln gezogen und

PQ · PR = PS ·PT;

so ist der Kegelschnitt ein Kreis. Dasselbe findet statt, wenn die vier Linien unter beliebigen Winkeln gezogen werden, und

PQ · PR : PS . PT = sin S · sin T : sin Q · sin R,

wo P, Q, R, S die Winkel sind, welche die vier Linien mit den vier Seiten bilden.^[2]

In den übrigen Fällen ist der Ort des Punktes P eine der drei Figuren, welche man gewöhnlich Kegelschnitte nennt. Anstatt des Vierecks ABDC kann man auch ein anderes substituiren, dessen zwei gegenüberliegende Seiten sich überzwerch schneiden.

Ferner können von den vier Punkten A, B, C, D einer oder zwei sich in unendlicher Entfernung befinden; alsdann werden diejenigen Seiten, welche nach jenen Punkten hin convergiren, parallel. In diesem Falle geht der Kegelschnitt durch die übrigen Punkte und dehnt sich nach der Seite der Parallelen zu ins Unendliche aus.

Fig. 44.

§. 48. Lehnsatz. Den Punkt P so zu bestimmen, dass, wenn man von ihm nach den vier, der Lage nach gegebenen, Linien

AB, BD, DC, AC

die vier Linien

PQ, PT, PR, PS

zieht, alsdann das Verhältniss

PQ · PR : PS · PT

ein gegebenes constantes werde.

Die Linien AB und CD, nach denen die beiden, das eine Rechteck bildenden, PQ und PR gezogen werden, mögen mit den beiden andern gegebenen Linien in den Punkten A, B, C, D zusammentreffen. Von einem derselben, etwa A, ziehe man die beliebige Linie AH, auf welcher der Punkt P gefunden werden soll und sie mag die Linie CD in J, die BD in H schneiden. Da alle Winkel der Figur gegeben sind, kennt man die Verhältnisse

1.   PQ : PA und PA : PS,

folglich auch das

2.   PQ : PS. Nimmt man dieses ven dem gegebenen Verhältniss 3.   PQ · PR : PS · PT

fort, so erhält man

4.   PR : PT,

und verbindet man dieses mit den beiden Verhältnissen

5.   $\scriptstyle {\begin{cases}PJ:PR\\PT:PH\end{cases}}$;

so erhält man das Verhältniss

6.   PJ : PH

und so den Punkt P.

Zusatz 1. Hiernach kann man auch an einem der unbestimmten Punkte P, etwa D eine Tangente ziehen; denn die Sehne PD wird, wenn P und D zusammenfallen, d. h. wenn AH durch D gezogen wird, eine Tangente. In diesem Falle findet man das letzte Verhältniss der verschwindenden Linien JP und PH wie oben. Zieht man nun

CP $\scriptstyle \parallel$ AD,

so dass CF die Linie BD in F schneidet und selbst bei jenem letzten Verhältniss in E geschnitten wird; so wird DE die Tangente, weil

CF $\scriptstyle \parallel$ der verschwindenden JH,

und beide in P unter gleichem Verhältniss geschnitten werden.

Fig. 45.

Zusatz 2. Man kann auch den Ort aller Punkte P bestimmen. Man ziehe nämlich durch einen der Punkte A, B, C, D, etwa durch A die Tangente AE, und durch einen andern, etwa B

BP $\scriptstyle \parallel$ AE,

welche erstere den Ort in F trifft. Man findet F nach dem Lehnsatze, balbirt man BF in G und zieht AG, so wird diese die Richtung eines Durchmessers haben, zu welchen BG und AG als Ordinaten gehören. Trifft nun AG den Ort in H, so ist AH die Länge des Durchmessers, dessen Parameter

$\scriptstyle {\frac {BG^{2}}{AG\cdot AH}}$

proportional ist.

Begegnet AG nirgends dem Orte, so ist AH = ∞, der Ort eine Parabel, deren Parameter = $\scriptstyle {\frac {BG^{2}}{AG}}$

Begegnet sie dem Orte irgendwo so ist der Ort eine Hyperbel, wenn die Punkte A und H auf derselben Seite von G liegen, eine Ellipse, wenn G sich zwischen beiden befindet. Im letztern Falle erhält man einen Kreis, wenn

$\scriptstyle \angle$ AGB = 90° und ausserdem BG² = AG · GH

ist.

Auf diese Weise wird die Aufgabe der Alten, welche mit den vier Linien des Euclid’s begann und von Apollonius fortgesetzt ward, nicht durch Rechnung, sondern wie die Alten sie suchten, durch Construction in diesem Zusatze dargestellt.

Fig. 46.

§. 49. Lehnsatz. Ein beliebiges Parallelogramm ASPQ berührt in den beiden entgegengesetzten Eckpunkten A und P einen Kegelschnitt, und die unbestimmt verlängerten Schenkel AQ, AS des einen der beiden Winkel begegnen demselben Kegelschnitt in B und C. Ferner werden von irgend einem fünften Punkte D jener Curve die geraden Linien BD und CD gezogen, welche die beiden andern gehörig verlängerten Seiten PS und PQ in T und B schneiden. Alsdann stehen die abgeschnittenen Stücke PK und PT der Seiten zu einander im gegebenen Verhältniss. Umgekehrt, stehen diese Linien im gegebenen Verhältniss zu einander, so liegt D in dem Kegelschnitt, welcher durch die vier Punkte A, B, P, C geht,

Erster Fall. Man ziehe die Linien BP und CP, und von D aus

DG $\scriptstyle \parallel$ AB, DE $\scriptstyle \parallel$ AC,

von denen

DG die Linien	BP, PQ, AC in H, J, G,
DE „ „	PC, PS, AB in F, K, E

schneidet. Alsdann ist nach §. 45. das Verhältniss

1.   DE · DF : DG · DH

constant, aber ferner

PQ : JQ = PB : BH, oder weil JQ = DE PQ : DE = PB : BH = PT : DH

oder

2.   PQ : PT = DE : DH.

Ferner haben wir

PR : DF = RC : DC = JG : DG = PS : DG

oder

3.   PR : PS = DF : DG.

Verbindet man nun die Proportionen 2. und 3. mit einander, so entsteht

4.   PQ · PR : PT · PS = DE · DF : DG · DH,

also nach 1.

PQ · PR : PS · PT constant,

und da auch

PQ : PS   constant;

muss dasselbe auch bei dem Verhältniss

PR : PT   der Fall sein.   W. Z. B. W. Zweiter Fall. Ist das Verhältniss PR : PT

gegeben, so folgt, indem man auf dieselbe Weise rückwärts schliesst, dass auch

DE · DF : DG · DH

ein gegebenes Verhältniss sein, folglich nach §. 46. D in dem durch A, B, P, C gehenden Kegelschnitt liegen muss.   W. Z. B. W.

Zusatz 1. Zieht man die Linie BC, welche PQ in r schneidet, und nimmt man auf PT den Punkt t so an, dass

Pt : Pr = PT : PR

wird, so ist Bt eine Tangente des Kegelschnitts im Punkte B. Denkt man sich nämlich D mit B zusammenfallend, so dass, wann die Sehne BD verschwindet, BT Tangente wird; so werden CD und BT respective mit CB und Bt zusammenfallen.

Zusatz 2. Umgekehrt, ist Bt Tangente, und treffen BC und CD in irgend einem Punkte des Kegelschnittes zusammen; so wird

PR : PT = Pr : Pt.

Ist ferner ersteres der Fall, und wird zugleich vorausgesetzt, dass

PR : PT = Pr : Pt

sei; so treffen BC und CD in irgend einem Punkte D des Kegelschnittes zusammen.

Zusatz 3. Ein Kegelschnitt kann einen andern in nicht mehr als 4 Punkten schneiden.

Wollte man nämlich, wenn es möglich wäre, annehmen, dass beide Regelschnitte durch die 5 Punkte

A, B, C, P, O

Fig. 47.

gingen und die gerade Linie BD beide Curven in den Curven D und d schnitte, wie auch, dass die Linie PQ durch Cd im Punkt g getroffen würde; so hätte man

PR : PT = Pϱ : PT,

also

PR = Pϱ,

was gegen die Voraussetzung ist.

§. 50. Lehnsatz. Zwei bewegliche und unbestimmte gerade Linien BM und CM werden um die gegebenen Punkte B und C als Pole geführt und beschreiben so eine dritte, der Lage nach gegebene, gerade Linie MN. Zwei andere gerade Linien BD und CD, welche mit den beiden ersteren in B und C gegebene Winkel DBM und DCM bilden, werden ebenfalls herumgeführt. Alsdann beschreiben diese letzteren in ihrem Durchschnittspunkte D einen Kegelschnitt, welcher durch die Punkte B, C geht. Umgekehrt, beschreiben die letzteren Linien in ihrem Durchschnittspunkte D einen Kegelschnitt, welcher durch die Punkte B, C und A geht, und ist immer

$\scriptstyle \angle$ DBM = ABC und DCM = AGB,

so liegt M auf einer, der Lage nach gegebenen, geraden Linie.

Es werde auf der Geraden MN ein Punkt N gegeben, und wenn der bewegliche Punkt M nach N gelangt, möge sich der bewegliche Punkt D im festen Punkte P befinden. Zieht man nun die Linien

CN, BN, CP, BP,

macht man

$\scriptstyle \angle$ BPT = BNM CPR = CNM

und verlängert man BD und CD, bis sie bezüglich mit PT und PR zusammentreffen; so ist nach der Voraussetzung

$\scriptstyle \angle$ MBD = NBP

d. h.

MBN + NBD = NBD + DBP

also

$\scriptstyle \angle$ MBN = DBP.

Ferner

$\scriptstyle \angle$ BMN = BPT ex constructione

mithin

1. Δ MBN ∼ BPT.

Eben so ist nach der Voraussetzung

$\scriptstyle \angle$ MCD = NCP

d. h.

MCN + NCD = NCD + DCP

oder

$\scriptstyle \angle$ MCN = DCP

und

$\scriptstyle \angle$ CMN = CPR

also

2. Δ MCN ∼ CPR.

Nach 1. und 2. ist daher

PT : MN = BP : BN PR : MN = CP : CN

und da B, C, N und P feste Punkte sind, haben also

PT und PR

gegebene Verhältnisse zu MN, mithin auch zu einander; folglich trifft nach §. 49. der Punkt D (der beständige Durchschnittspunkt der beweglichen Linien BT und CB) einen Kegelschnitt, welcher durch die Punkte B, C und P geht.   W. Z. B. W.

Wenn umgekehrt der Punkt D den durch die Punkte B, C und A gehenden Kegelschnitt trifft, und stets

$\scriptstyle \angle$ DBM = ABC

wie auch

$\scriptstyle \angle$ DCM = AGB

ist; wenn aber, im Fall D nach und nach, zwei beliebige Punkte p und F trifft, M ebenfalls auf die unbeweglichen Punkte N und n fällt: so ziehe man die gerade Linie nN, welche der beständige Ort des beweglichen Punktes M sein wird. Man nehme nun einmal an, M bewege sich auf irgend einer Curve. Alsdann trifft D den durch die Punkte

C, p, P, B und A

gehenden Kegelschnitt, während M sich beständig auf der angenommenen krummen Linie befindet. Nach dem bereits ausgeführten Beweise aber trifft auch D den durch dieselben fünf Punkte gehenden Kegelschnitt, während M eine gerade Linie beschreibt; es würden daher zwei Kegelschnitte durch dieselben fünf Punkte gehen, was §. 49., Zusatz 3. widerspricht. Es ist daher absurd anzunehmen, dass M sich auf einer Curve bewege.   W. z. b. w.

§. 51. Aufgabe. Eine Curve durch fünf gegebene Punkte zu beschreiben.

Fig. 48.

Es seien

A, B, C, D, P

die fünf gegebenen Punkte, man ziehe von einem derselben, etwa A, nach zwei andern B und C, welche Pole genannt werden mögen, die geraden Linien AB und AC und diesen parallel die Linien SPT und PRQ durch den vierten Punkt P. Hierauf ziehe man von beiden Polen B und C durch den fünften Punkt D die unbegrenzten Linien BDT und CRD, welche die eben gezogenen Linien SPT und PRQ respective in T und R schneiden. Endlich ziehe man von einem beliebigen Punkte t auf PT

tr $\scriptstyle \parallel$ TR,

so dass

Pt : Pr = PT : PR

wird, und zieht man nun von den Polen nach den Punkten t und r die geraden Linien Bt und Cr; so liegt ihr Durchschnittspunkt d in der gesuchten Curve.

Der Punkt d liegt nämlich nach §. 49. in dem, durch die vier Punkte

A, B, P, C

gehenden, Kegelschnitt, und wenn die Linien Rr und Tt verschwinden, fällt der Punkt d mit dem Punkt D zusammen; folglich geht der Kegelschnitt durch die fünf Punkte

A, B, P, C und D.

W. z. b. w.

Zweite Auflösung derselben Aufgabe. Von den gegebenen Punkten verbinde man drei beliebige, etwa

A, B und C

Fig. 49.

durch gerade Linien und drehe die, der Grösse nach gegebenen Winkel ABC und AGB dermaassen um B und C als Pole, dass die Schenkel BA und CA zuerst an D, dann an P gelegt werden, und bezeichne die Punkte M und N, in denen in beiden Fällen die andern Schenkel BL und CL sich respective überzwerch schneiden. Zieht man nun die unbegrenzte Linie MN und dreht man die beweglichen Winkel am ihre Pole B und C nach dem Gesetze, dass der Durchschnitt der Schenkel BA und CA oder BD und CD, welcher jetzt d sein möge, die Curve PADdB beschreibt, so ist diese die gesuchte.

Nach §. 50. trifft nämlich d den Kegelschnitt, welcher durch die Punkte B und C geht, und wenn der Punkt m nach

M, L, N

gelangt, kommt d der Construction zufolge zu den Punkten

D, A, P.

Es wird daher auf diese Weise ein Kegelschnitt beschrieben, welcher durch die fünf Punkte

A, B, C, D und P geht.

Zusatz 1. Hiernach kann leicht eine gerade Linie gezogen werden, welche die gesuchte Curve im gegebenen Punkte B berührt. Lässt man z. B. den Punkt d mit B zusammenfallen, so wird Bd eine der gesuchten Tangenten.

Zusatz 2. Eben so können hier die Mittelpunkte, Durchmesser und Parameter der Curven gefunden werden, wie §. 48. Zusatz 2.

§. 52. Anmerkung. Die erste Construction (§. 51) wird etwas einfacher, wenn man BP zieht, und auf ihr, oder, wenn es erforderlich ist, ihrer Verlängerung

Bp : BP = PR : PT

annimmt, hierauf durch den so gefundenen Punkt p

pδ $\scriptstyle \parallel$ SPT pδ = Pr

macht und nun Bδ und Cr zieht, welche einander in d schneiden werden.

Da nämlich

Pr : Pt = PR : PT = Bp : BP

und auch

pδ = Bp : BP

so wird

pδ = Pr.

Nach dieser Methode kann man sehr leicht Punkte der Curve finden, wenn man es nicht vorzieht, wie in der zweiten Auflösung, die Curve mechanisch zu beschreiben.

§. 53. Aufgabe. Eine Curve zu beschreiben, welche durch vier gegebene Punkte geht, und eine ihrer Lage nach gegebene gerade Linie berührt.

Erster Fall. HB sei die gegebene Tangente, B der Berührungspunkt, C, D und P die andern drei Punkte.

Fig. 50.

Man ziehe BC, ferner

PS $\scriptstyle \parallel$ BH PQ $\scriptstyle \parallel$ BC.

Hierauf ziehe man BD, welche SP in T schneidet und CD, welche PQ in R schneidet und verbinde R mit T. Indem man nun auf SP von einem beliebigen Punkte t

tr $\scriptstyle \parallel$ TR

zieht, wodurch also

Pr : Pt = PR : PT

wird, und Bt und Cr zieht, welche einander in d schneiden, wird nach S. 49., Zusatz 2. der letztere Punkt immer in die zu beschreibende Curve fallen.

Fig. 51.

Zweite Auflösung derselben Aufgabe. Man drehe den der Grösse nach gegebenen Winkel CBH um den Pol B, und den Radius DC um den Pol C und verlängere zugleich DC nach beiden Seiten. Nimmt der Schenkel BH die Lagen BP, BD ein, so befindet sich der andere BC bezüglich in den Lagen BM, BN, und es werden die letztern durch die gehörig verlängerten entsprechenden Radien CP, CD, u. s. w. zusammentreffen und der Durchschnittspunkt derselben Radien mit dem Schenkel BH bestimmt einen Punkt der gesuchten Curve.

Lässt man nämlich in der Figur der vorhergehenden Aufgabe den Punkt A mit dem Punkte B zusammenfallen, so treffen auch die Linien CA und CB zusammen und die Linie AB geht zuletzt in die Tangente BH über. Demnach wird die dort ausgeführte Construction mit der vorliegenden identisch.

Der Durchschnittspunkt des Schenkels BH mit dem Radius CD beschreibt daher einen Kegelschnitt, welcher durch die Punkte C, D und P geht und die Linie BH als Tangente hat.

Zweiter Fall. Es sind die vier Punkte B, C, D und P ausserhalb der Tangente HJ gegeben.

Man ziehe BD und CP, welche einander in G und die Tangente in H und J schneiden. Hierauf schneide man die Tangente in A so, dass

1.   $\scriptstyle HA:AJ={\sqrt {BH\cdot HD}}\cdot {\sqrt {CG\cdot GP}}\cdot {\sqrt {PJ\cdot JC}}\cdot {\sqrt {DG\cdot GB}}$

sei; alsdann wird A der Berührungspunkt sein.

Zieht man nämlich

HX $\scriptstyle \parallel$ PJ,

so dass HX die Curve in den Punkten X und Y schneidet; so ist nach der Lehre von der Kegelschnitten

2.   HA² : AJ² = (HX · HY) (BH · HD) : (BH · HD) (PJ · JC)

oder da

HX · YH : BH · HD = CG · GP : DG · GB 3. HA² : AJ² = (BH · HD) (CG · GP) : (PJ · JC) (DG · GB).

Fig. 52.

Nachdem der Berührungspunkt A gefunden worden ist, wird die Curve wie im ersten Falle beschrieben. Der Punkt A kann zwischen den Punkten H und J oder auch ausserhalb derselben angenommen und daher die Curve auf zweifache Weise beschrieben werden.

§. 54. Aufgabe. Eine Curve zu beschreiben, welche durch drei gegebene Punkte geht, und zwei der Lage nach gegebene Linien berührt.

Gegeben sind die Tangenten HJ und KL, und die Punkte B, C, D. Man ziehe BD, welche die Tangenten in H und K, so wie CD, welche dieselben in J und L schneidet. Die so gezogenen Linien schneide man in R und S so, dass

1.   $\scriptstyle HR:KR={\sqrt {BH\cdot HD}}:{\sqrt {BK\cdot KD}}$ 2.   $\scriptstyle JS:LS={\sqrt {CJ\cdot JD}}:{\sqrt {CL\cdot LD}}$

Fig. 53.

Mag der Durchschnittspunkt beliebig zwischen K und H, J und L, oder ausserhalb derselben fallen. Hierauf ziehe man RS, welche die Tangenten in P und A schneidet, letztere sind alsdann die Berührungspunkte.

Nimmt man nun an, A und P seien Berührungspunkte, welche beliebig auf den Tangenten liegen, und zieht man durch einen der vier Punkte H, J, K, L, etwa durch J

JY $\scriptstyle \parallel$ KL, so dass JY die Curve in X und Y schneide und nimmt man auf ihr 3.   $\scriptstyle JZ={\sqrt {JX\cdot JY}}$;

so ist nach der Lehre von den Kegelschnitten

JX · JY : LP² = CJ · JD : CL · LD

oder nach der Construction

JZ² : LP² = JS² : LS²

mithin

4.   JZ : LP = JS : LS;

mithin liegen die Punkte S, P, Z in Einer geraden Linie. Schneiden sich ferner beide Tangenten in G, so ist nach der Lehre von den Kegelschnitten:

5.   JX · JY : JA² = GP² : GA²

und da nach Gl. 3.

JX · JY = JZ² 6.   JZ · JA = GP · GA.

Es liegen mithin die Punkte P, Z, A in Einer geraden Linie, folglich auch die Punkte S, P, A.

Auf dieselbe Art beweist man, dass die Punkte R, P, A auf Einer geraden Linie liegen; die Berührungspunkte A und P liegen daher auf der geraden Linie SR.

Nachdem diese gefunden ist, beschreibt man die Curve wie §. 53, Erster Fall.

In diesem Paragraphen und im zweiten Falle des vorhergehenden finden dieselben Constructionen statt; mag die Linie XY die Curve in X und Y schneiden, oder nicht. Jene hängen nicht von diesem Durchschnitt ab. Nachdem aber die Construction für den Fall des Schnittes erwiesen ist, kennt man dieselbe auch für den Fall, dass kein Schnitt nicht stattfindet.

Bei der weitern Auseinandersetzung will ich der Kürze halber verweilen.

§. 55. Lehnsatz. Figuren in andere derselben Art in verwandeln.

Fig. 54.

Die zu verwandelnde Figur sei etwa die HGJB. Man ziehe beliebig zwei Parallelen AG und BL, welche eine dritte, der Lage nach gegebene Linie AB in A und B schneiden, und ziehe ferner von einem beliebigen Punkte G der Figur

GD $\scriptstyle \parallel$ 0A

bis erstere AB in D schneidet. Hierauf ziehe man von einem auf AO gegebenen Punkte O die Verbindungslinie OD, welche BL in d schneidet, ziehe durch diesen die Linie gd, welche irgend einen gegebenen Winkel mit BL bildet und bestimme den Punkt g so, dass

1.   gd : Od = GD : OD^[3]

sei. Alsdann ist g derjenige Punkt in dar neuen Figur hgi, welcher dem G in der alten entspricht. Auf dieselbe Weise geben die einzelnen Punkte der alten Figur eben so viel Punkte der neuen. Man denke sich daher, dass der Punkt G mit stetiger Bewegung die erste Figur durchlaufe, alsdann wird der Punkt g ebenfalls stetig die neue Figur durchlaufen und beschreiben.

Der Unterscheidung wegen nennen wir

DG die erste Ordinate, dg die neue Ordinate,

AD die erste Abscisse, ad die neue Abscisse,
O den Pol,
OD den abschneidenden Radius
OA den ersten ordinirten Radius, Oa ($\scriptstyle \parallel$ AB] den neuen ordinirten Radius.

Wenn nun der Punkt G auf einer, der Lage nach gegebenen, geraden Linie liegt, so liegt auch g auf einer, der Lage nach gegebenen Geraden. Trifft G einen Kegelschnitt, so ist dasselbe mit g der Fall, und zwar zähle ich hier den Kreis zu den Kegelschnitten. Trifft ferner G eine Curve dritter Ordnung, so trifft auch g eine Curve derselben Ordnung, und eben so bei Curven höherer Ordnung, so dass G und g immer Curven derselben Ordnung treffen werden.

Wir haben nämlich

ad : OA = Od : OD = dg : DG (Prop. 1.) 2.   ad : OA = AB : AD

mithin

3.   $\scriptstyle AD={\frac {OA\cdot AB}{ad}}$ und $\scriptstyle DG={\frac {OA\cdot dg}{ad}}$.

Trifft nun G eine gerade Linie, steigen also in der Gleichung, welche eine Relation zwischen den unbestimmten Grössen, der Abscisse AD und Ordinate DG aufstellt, die letztem nur zur ersten Dimension auf; so wird man, indem die Werthe von AD und DG in dieser Gleichung substituirt werden, eine neue Gleichung erhalten, in welcher die neue Abscisse ad und die neue Ordinate dg sich nur zur ersten Dimension erheben, mithin eine gerade Linie bestimmen.

Wenn AD und DG (oder eine von beiden) in der ersten Gleichung zur zweiten Dimension ansteigen, wird dasselbe mit ad und dg in der neuen Gleichung der Fall sein, u. s. w. bei drei und mehr Dimensionen. Die Unbestimmten ad und dg in der neuen, und AD und DG in der ersten Gleichung steigen immer zu derselben Zahl der Dimensionen an, und daher sind die Linien, welche g und G treffen, stets von derselben analytischen Ordnung.

Wenn ferner irgend eine gerade Linie die Curve in der ersten Figur berührt, so wird diese Gerade, nachdem sie übertragen worden ist, auch in der neuen Figur die Curve berühren; und umgekehrt. Denn wenn irgend zwei Punkte der Curve sich in der ersten Figur einander nähern und zusammenfallen, so werden dieselben Punkte, nachdem sie übertragen worden sind, auch in der neuen Figur zusammenfallen, mithin die Verbindungslinien dieser zwei Punkte in beiden Figuren in Tangenten übergehen.

Die Beweise dieser Behauptungen könnten nach einer mehr geometrischen Weise geführt werden, allein Kürze schien mir rathsam.

Soll daher eine geradlinige Figur in eine andere verwandelt werden, so genügt es, die Durchschnittspunkte der geraden Linien zu übertragen, und durch dieselben in der neuen Figur gerade Linien zu ziehen. Hat man eine krummlinige Figur zu verwandeln, so muss man Punkte, Tangenten und andere gerade Linien übertragen, wodurch die Curve bestimmt wird.

Es dient aber dieser Lehnsatz zur Auflösung schwieriger Aufgaben, indem man die gegebenen Figuren in einfachere verwandelt. Beliebige convergirende gerade Linien werden nämlich in parallele verwandelt, indem man statt des ersten ordinirten Radius AO eine gerade Linie anwendet, welche durch den Durchschnittspunkt der convergirenden Linien geht. Es entfernt sich nämlich auf diese Weise der Durchschnittspunkt ins Unendliche, und Linien sind ja parallel, wenn sie nach einem unendlich entfernten Punkte hin convergiren. Nachdem alsdann die Aufgabe in der neuen Figur gelöst worden ist, verwandelt man diese durch die umgekehrten Operationen in die ursprüngliche und erhält so die gesuchte Auflösung.

Nützlich ist dieser Lehnsatz auch bei Aufgaben, welche Körper betreffen. Sobald nämlich zwei Kegelschnitte einander begegnen, durch deren Schnitt die Aufgabe gelöst werden kann, darf man nur eine von beiden, wenn er eine Hyperbel oder Parabel ist, in eine Ellipse und diese in einen Kreis verwandeln. Die gerade Linie und ein Kegelschnitt werden daher, bei der Construction von Aufgaben in der Ebene, in eine Gerade und einen Kreis verwandelt.

§. 56. Aufgabe. Eine Curve zu beschreiben, welche durch zwei gegebene Punkte gehe und drei, der Lage nach gegebene, gerade Linien berühre.

Fig. 55.

Durch den Durchschnittspunkt zweier von diesen Tangenten und durch den Punkt, in welchem die Verbindungslinie der beiden gegebenen Punkte die dritte Tangente trifft, ziehe man eine unbestimmte gerade Linie und wende dieselbe als ersten ordinirten Radius an; alsdann wird nach §. 55. die Figur in eine neue verwandelt, in welcher jene zwei Tangenten einander, und die dritte Tangente der Verbindungslinie der zwei gegebenen Punkte parallel wird. Es seien demnach

hi und kl	die beiden parallelen Tangenten,
ik	die dritte Tangente,
hl	die gerade, dieser dritten Tangente

parallele Linie, welche durch die zwei Punkte a und b, durch die der Kegelschnitt gezogen werden soll, geht; demnach wird hikl ein vollständiges Parallelogramm sein.

Man schneide hi, ik und kl in den Punkten c, d und e so dass

$\scriptstyle hc:{\sqrt {ah\cdot hb}}=ic:id$ = ke : kd $\scriptstyle hc:{\sqrt {ah\cdot hb}}=ic:id=$ 1.   $\scriptstyle hc:{\sqrt {ah\cdot hb}}=hi+kl:ik+{\sqrt {ah\cdot hb}}+{\sqrt {al\cdot lb}}$;

alsdann sind c, d und e die Berührungspunkte.

Nach der Lehre von den Kegelschnitten ist nämlich

hc² : ah · hb = ic² : id² = ke² : kd² = el² : al · bl,

mithin auch

2.   $\scriptstyle hc:{\sqrt {ah\cdot hb}}=ic:id=ke:kd=el:{\sqrt {al\cdot lb}}i$

oder auch durch Zusammensetzung;

$\scriptstyle {\begin{array}{ccc}hc+ic+ke+el:{\sqrt {ah\cdot hb}}+id+kd+{\sqrt {al\cdot lb}}&=hc:{\sqrt {ab\cdot hb}}\\&=ic:id\\&=ke:kd\\&=el:{\sqrt {al\cdot lb}}\end{array}}$

d. h. da

$\scriptstyle {\begin{array}{ccc}hc+ic=hi\\ke+el=kl\\id+kd=ik\\hi+kl:ik+{\sqrt {ah\cdot hb}}+{\sqrt {al\cdot lb}}&=hc:{\sqrt {ah\cdot hb}}\\&=ic:id\\&=ke:kd\\&=el:{\sqrt {al\cdot lb}}\end{array}}$

Man hat also auf diese Weise die Berührungspunkte c, d, e der neuen Figur. Durch die umgekehrten Operationen des §. 55. übertrage man diese Punkte in die ursprüngliche Figur und beschreibe dort, nach §. 51. Erste Construction, die Curve.

Eben so wie die Punkte a und b innerhalb oder ausserhalb h und l liegen, müssen übrigens auch die Punkte e, d, e respective innerhalb oder ausserhalb h und i, i und k, k und l liegen. Liegt der eine von beiden Punkten a und b innerhalb, der andere ausserhalb h und l, so ist die Aufgabe unmöglich.

§. 57. Aufgabe. Eine Curve zu beschreiben, welche durch einen gegebenen Punkt geht und vier, der Lage nach gegebene, gerade Linie berührt.

Fig. 56.

Von dem Durchschnittspunkte zweier beliebigen Tangenten ziehe man eine gerade Linie nach dem Durchschnittspunkte der beiden andern, und verwandele, indem man diese so erhaltene Linie als ersten ordinirten Radius annimmt, nach §. 55. die Figur in eine neue. Alsdann werden je zwei Tangenten, welche vorher nach dem ordinirten Radius zu convergirten, parallel. Es seien hi und kl, ik und hl die Tangenten, welche das Parallelogramm hikl einschliessen. Ferner sei p der Punkt in der neuen Figur, welcher dem in der ursprünglichen Figur gegebenen entspricht. Zieht man von p durch den Mittelpunkt Q der Figur die Linie pO und macht man

Qq = Qp,

so ist q ein zweiter Punkt in der neuen Figur, durch welchen der Kegelschnitt gehen muss. Durch die umgekehrten Operationen des §. 55. übertrage man diesen Punkt in die ursprüngliche Figur und erhält so in dieser zwei Punkte, durch welche die Curve gehen soll. Nach §. 56. ist alsdann der Kegelschnitt zu beschreiben.

Fig. 57.

§. 58. Lehnsatz. Werden zwei ihrer Lage nach gegebene Linien AC und BD in gegebenen Punkten A und B begrenzt und haben sie zu einander ein gegebenes Verhältniss; wird die Verbindungslinie CD beider in K in demselben Verhältniss getheilt; so liegt K in einer der Lage nach gegebenen Linie.

Es mögen AC und AD einander in E schneiden, und man nehme auf BE den Punkt G so an, dass

1.   BG : AE = BD : AC,

und es sei stets

FD = EG.

Alsdann wird

2.   AE + AC : BQ + BD = AC : BD,

d. h. weil

AE + AC = CE BG + BD = GD = GP + FD = GF + GE = EF

also

3.   CE : EF gegeben = AC : BD.

Es ist mithin das Dreieck EFC seiner Form nach gegeben. Man schneide nun CF in L so, dass

4.   CL : CF = CK : CD;

alsdann ist auch das Dreieck EFL seiner Form nach gegeben, und es liegt der Punkt L auf der, der Lage nach gegebenen, geraden Linie EL. Man ziehe nun KL, und da FD wie auch das Verhältniss

LK : FD

gegeben ist, so kennt man auch LK. Macht man endlich

EH = LK,

so ist ELKH ein Parallelogramm und es liegt der Punkt K auf der, der Lage nach gegebenen, Seite HK des Parallelogrammes.   W. z. b. w.

Zusatz. Wegen der ihrer Form nach gegebenen Figur EFLC haben die drei Linien EF, EL und EC oder

GD, HK und ED

gegebene Verhältnisse zu einander.

§. 59. Lehnsatz. Wenn drei gerade Linien, von denen zwei einander parallel und der Lage nach gegeben sind, einen beliebigen Kegelschnitt berühren; so ist der, diesen beiden Tangenten parallele Halbmesser des Schnittes die mittlere Proportionale zwischen den Stücken jener, welche zwischen den Berührungspunkten und der dritten Tangente liegen.

Fig. 58.

Es seien AF und BG die beiden parallelen Tangenten, in den Punkten A und B des Kegelschnittes ADBM, EF eine dritte gerade Linie, welche die Curve in J berührt und die beiden Tangenten in F und G schneidet, endlich CD der diesen parallele Halbmesser; alsdann wird behauptet, dass

AF : CD = CD : BG

Treffen die conjugirten Durchmesser AB und DM die Tangente FG in E und H, und einander in C und vollendet man das Pallelogramm JKCL; so ist nach der Lehre von den Kegelschnitten

1.   CA : LC = EC : CA.^[4]

Hieraus folgt

EC — CA : CA — LC = EC : CA.

d. h.

2.   EA : AL = EC : CA.

Ferner

EA : EA + AL = EC : EC + CA

d. h.

3.   EA : EL = EC : EB.

Da nun

Δ EAF ∼ ELJ ∼ ECH ∼ EBG 4.   AF : Jh = CH : BG (mittelst 3.)

ferner nach der Lehre von den Kegelschnitten, wie oben

5.   CK : CD = CD : CH

und durch Verbindung von 4. und 5., weil CK = JL,

AF : CD = CD : BG.   W. a. b. w.

Zusatz 1. Wenn die beiden Tangenten FG und PQ den parallelen Tangenten AT und BG respective in F und G, so wie in P und Q begegnen, sich selbst aber in O schneiden; so ist

AF : CD = CD : BG

und eben so

BQ : CD = CD : PA

mithin

6.   AF : BQ = PA : BG oder AP — AF : AP = BG — PQ : BG

d. h.

7.   PF : AP = GQ : BG

oder

8.   AF : BQ = PF : GQ = FO : GO.

Zusatz 2. Die Verbindungslinie der Punkte P und G, und die der Punkte F und Q begegnen einander in der Linie ACB, welche durch den Mittelpunkt der Figur und die Berührungspunkte A und B geht.

§. 60. Lehnsatz. Die vier Seiten eines Parallelogramms berühren, unbestimmt verlängert, irgend einen Kegelschnitt und werden durch eine fünfte Tangente geschnitten. Bezieht man nun die begrenzten Abcissen auf entgegengesetzte Winkel des Parallelogrammes als Anfangspunkte; so verhält sich die Abscisse einer Seite zu dieser selbst, wie der Theil der zweiten Seite zwischen dem Berührungspunkte und der dritten

Fig. 59.

Seite zur Abscisse dieser zweiten Seite, vom entgegengesetzten Winkelpunkte aus gerechnet.

Die Seiten ML, JK, KL und MJ des Parallelogramms MLKJ schneiden den Kegelschnitt in den vier Punkten A, B, C und die fünfte Tangente FQ schneidet diese Seiten in den Punkten F, Q, H und E. Die Behauptung ist daher:

ME : MJ = BK : KQ

und

KM : KL = MA : MF.

Nach §. 59., Zusatz 1. ist nämlich

1.   ME : EJ = BK : BQ

also

ME : ME + EJ = BK : BK + BQ oder 2.   ME : MJ = BK : KQ.

Auf dieselbe Weise wird

3.   KH : HL = BK : AP, und da BK = AM KH : HL — KH = AM : AF — AM

oder

4.   KH : KL = AM : MF.   W. z. b. w.

Zusatz 1. Ist das Parallelogramm MJKL gegeben, so kennt man auch das Rechteck KQ · ME und das diesem gleiche HK · MF.

Diese Rechtecke sind nämlich einander gleich, weil

Δ HKQ ∼ EFM.

Zusatz 2. Wird eine sechste Tangente eq gezogen, welche die frühern Tangenten JK und JM in q und e schneidet; so wird

KQ · EM = Kq · eM

also

5.   KQ : eM = Kq : EM

oder

KQ : Kq — KQ = eM : EM · eM

d. h.

6.   KQ : eM = Qq : Ee.

Zusatz 3. Zieht man die Linien Eq und eQ, und halbirt man dieselben, so geht die gerade Verbindungslinie der Halbirungspunkte durch den Mittelpunkt des Kegelschnitts. Da nämlich (Prop. 6).

Qq : Ee = KQ : eM,

so geht dieselbe gerade Linie durch die Mittelpunkte aller Linien Eq, eQ und MK (nach §. 58), und der Mittelpunkt der Linie MK ist mit dem Mittelpunkte des Kegelschnittes identisch.

§. 61. Aufgabe. Eine Curve zu beschreiben, welche fünf der Lage nach gegebene gerade Linien berührt.

Gegeben sind ihrer Lage nach die Tangenten:

ABG, BCF, GCD, FDE, und EA. In dem Viereck ABFE, welches vier dieser Tangenten bilden, halbire man beide Diagonalen AF und BE

Fig. 60.

in M und N; alsdann wird nach §. 60., Zusatz 3. die Verbindungslinie MN beider Halbirungspunkte durch den Mittelpunkt der Curve gehen. Hierauf halbire man in dem Viereck BGDF, weiches durch die vier andern Tangenten gebildet wird, wieder die Diagonalen (wenn man sie so nennen darf) BD und FG in F und Q; alsdann wird die Verbindungslinie PQ dieser Halbirungspunkte ebenfalls durch den Mittelpunkt gehen und der Durchschnittspunkt beider so erhaltenen Verbindungslinien den Mittelpunkt geben, welcher in O liegen mag.

Zieht man hierauf parallel mit der beliebigen Tangente BC und in gleicher Entfernung wie diese von O, die Linie KL, so wird die letztere ebenfalls die Curve berühren. Es möge nun diese letztere Tangente zwei der übrigen GCD und FDE in L und K schneiden. Durch die Durchschnittspunkte der nicht parallelen Tangenten CL und FK mit den parallelen CF und KZ, nämlich

C und K F „ L

ziehe man die geraden Linien CK und FL, welche einander in einem Punkte R schneiden mögen. Zieht man hierauf die Linie OR; so wird diese die Tangenten CF und KL in den Berührungspunkten schneiden, wie aus §. 59., Zusatz 2. erhellt. Nach derselben Methode kann man die andern Berührungspunkte finden und dann nach §. 51., erstem Fall die Curve beschreiben.

§. 62. Anmerkung. Aufgaben, bei denen entweder die Mittelpunkte oder die Asymptoten gegeben werden, sind in den vorhergehenden mit eingeschlossen. Sind nämlich Punkte und Tangenten zugleich mit dem Mittelpunkte gegeben, so kennt man eben so viel andere Punkte und Tangenten, welche auf der entgegengesetzten Seite des Mittelpunktes und in gleicher Entfernung von ihm liegen. Asymptoten aber hat man als Tangenten anzusehen, deren unendlich entfernter Punkt (wenn man so sagen darf) der Berührungspunkt ist. Man denke sich, dass der Berührungspunkt irgend einer Tangente sich ins Unendliche entferne; alsdann gebt sie in eine Asymptote über, und die Constructionen der §. 53. und 51., ersten Falles verwandeln sich in Constructionen von Aufgaben, bei denen die Asymptoten gegeben sind.

Fig. 61.

Nachdem die Curve beschrieben ist, kann man ihre Axen und Brennpunkte nach folgender Methode finden. In der Construction des §. 50. bewirke man, dass die Schenkel BP und CP der beweglichen Winkel PBN und PCN, durch deren Durchschnitt die Curve beschrieben wurde, einander parallel werden, und indem sie diese Lage gegeneinander beibehalten lasse man sie um die Pole B und C jener Figur sich drehen. Alsdann beschreiben die andern Schenkel BN und CN jener Winkel in ihren Durchschnittspunkten K oder k den Kreis JBKGC, dessen Mittelpunkt sich in O befinde.

Von diesem fälle man auf die gerade Linie HN, auf welcher die Schenkel CN und BN sich schnitten, während die Curve beschrieben wurde, das Perpendikel OH, welches den Kreis in K und L schneidet Treffen die beiden Schenkel CK und BK im Punkte K zusammen, welcher der Directrice (MN) am nächsten liegt, so giebt die Lage von BP und CP die Sichtung der grossen Axe an, indem die letztere parallel BP, und die kleine Axe auf BP senkrecht ist. Das Umgekehrte findet statt, wenn BK und CK statt in K im entfernten Punkte L zusammentreffen. Ist daher der Mittelpunkt der Curve gegeben, so hat man nun auch ihre Axen, und nachdem diese bekannt sind, kann man die Brennpunkte leicht finden.

Die Quadrate beider Axen verhalten sich zu einander wie

KH : LH,

und es ist daher leicht, eine ihrer Art nach gegebene Curve durch vier bekannte Punkte zu beschreiben. Nimmt man nämlich zwei derselben als Pole C und B, so giebt der dritte die beweglichen Winkel PCK und PBK und man kann hiermit den Kreis BKGC beschreiben. Ferner kennt man, weil die Curve ihrer Art nach gegeben ist, das Verhältniss

OH : OK

und daher OH selbst.

Beschreibt man aus als Mittelpunkt mit OH als Radius einen andern Kreis, und zieht durch den vierten Punkt eine Tangente an denselben; so erhält man die Directrice MN, durch deren Hülfe die Curve beschrieben wird. Man kann daher auch umgekehrt ein seiner Natur nach gegebenes Viereck (wenn man einige unmögliche Fälle ausnimmt) in einem beliebigen gegebenen Kegelschnitt beschreiben.

Es giebt noch andere Lehnsätze, durch deren Hülfe speciell gegebene Curven, bei gegebenen Punkten und Tangenten, beschrieben werden können. Dieser Art ist derjenige, bei welchem, wenn eine gerade Linie durch einen gegebenen Punkt gezogen wird und einen gegebenen Kegelschnitt in zwei Punkten schneidet, der Halbirungspunkt der so erhaltenen Sehne in einem Kegelschnitt derselben Art als jener liegt, und die Axen beider Curven einander parallel sind. Ich eile jedoch zu nützlicheren Sätzen.

§. 63. Lehnsatz. Man soll die drei Ecken eines, der Form und Grösse nach gegebenen, Dreiecks auf eben so viele, der Lage nach gegebene, gerade Linien, welche nicht alle einander parallel sind, je eine auf je eine legen.

Es sind drei unbestimmte gerade Linien

AB, AC und BC

ihrer Lage nach gegeben. Man soll das Dreieck DEF so legen, dass die Ecke

D in die Linie	AB
E „ „ „	AC
F „ „ „	BC

falle. Man beschreibe über DE, DF und EF drei Kreissegmente

DRE, DGF und EMF,

welche die Winkel

BAC, ABC und ABC

respective fassen. Man beschreibe diese Segmente aber nach denjenigen Seiten der Linien DE, DF und EF, dass die Buchstaben

D, B, E, D in derselben Reihefolge wie	B, A, C, B
D, G, F, D „ „ „ „	A, B, C, A
E, M, F, E „ „ „ „	A, C, B, A

Fig. 62.

stehen; hierauf ergänze man die Segmente zu ganzen Kreisen. Die beiden ersten Kreise mögen einander in G schneiden, ihre Mittelpunkte P und Q sein. Man ziehe die Linien GP and PQ und bestimme die Linie Ga so, dass

1.   Ga : AB = GP : PQ,

und beschreibe aus G als Mittelpunkt mit Ga als Radius einen Kreis, welcher den ersten Kreis DGE in a schneidet. Vollendet man nun die Figur abcDEF, so wird dieselbe ähnlich und gleich ABCdef. Man ziehe die Linie cF, welche aD in n schneidet, ziehe ferner aG, bG, PD, OG und QD, und verlängere PQ nach R; alsdann ist nach der Construction

$\scriptstyle \angle$ EaD = CAB $\scriptstyle \angle$ acP = ACB

also

Δ anc ∼ ABC.

Mithin wird

$\scriptstyle \angle$ anc = FnD = ABC = FbD

und es fällt der Punkt n mit b zusammen. Ferner ist

$\scriptstyle \angle$ GPQ = ½GPD = GaD $\scriptstyle \angle$ GQR = ½GQD (des erhabenen Winkels) = GbD

also

180° — GQR = 180 — GbD

d. h.

$\scriptstyle \angle$ PQG = abG

und so

Δ GPQ ∼ abG.

Wir haben mithin die Proportion

2.   Ga : ab = GP : PQ.

Nach den Proportionen 1. und 2. ist daher

ab = AB

und

Δ abc $\scriptstyle \cong$ ABC.

Da nun die Ecken D, E, F des Dreiecks DEF auf den Seiten ab, ac und bc des Dreiecks abc respective liegen, so kann die Figur

ABCdef $\scriptstyle \cong$ abcDEF

vollendet und so die Aufgabe gelöst werden.

Zusatz. Hiernach kann eine gerade Linie gezogen werden, deren Theile von gegebener Länge zwischen Linien von gegebener Lage fallen.

Man stelle sich nämlich vor, dass das Dreieck DEF, indem der Punkt D sich EF nähert und die Seiten DE und DF in eine gerade Linie fallen, sich selbst in eine gerade Linie verwandelt, deren gegebener Theil DE zwischen die gegebenen Linien AB und AC, hingegen DF zwischen AB und BC fallen soll. Wendet man die vorhergehende Construction auf diesen Fall an, so hat man die Lösung der Aufgabe.

§. 64. Aufgabe. Eine der Form und Grösse nach gegebene Curve zu beschreiben, deren gegebene Theile zwischen geraden Linien von gegebener Lage zu liegen kommen.

Es sei eine Curve zu beschreiben, welche der DFE congruent, und durch die drei, der Lage nach gegebenen, Linien AB, AC und BC in Stücke getheilt werden, die den Theilen DF und FE congruent sind.

Fig. 63.

Man ziehe die geraden Linien DE, EF und DF, und lege die Ecken dieses Dreiecks DEF nach §. 63. auf die der Lage nach gegebenen geraden Linien. Hierauf beschreibe man um das Dreieck eine der Curve DFE congruente zweite Curve.

§. 65. Lehnsatz. Ein der Form nach gegebenes Viereck zu beschreiben, dessen einzelne vier Eckpunkte auf vier, der Lage nach gegebene Linien, (welche weder alle einander parallel sind, noch alle nach demselben Punkte zu convergiren) je einer auf je eine fallen.

Es seien ABC, AD, BD und CE die vier, ihrer Lage nach gegebenen Linien, von denen die erste die zweite in A, die dritte in B und die vierte in C schneidet; zu construiren ist das Viereck

fghi $\scriptstyle \cong$ FGHJ,

so dass

Eckpunkt	f	auf	ABC
„	g	„	AD
„	h	„	BD
„	i	„	CE

falle. Man ziehe FH, und construire über FG, FH und FJ eben so viele Kreisabschnitte FSG, FTH und FVJ, deren ersterer einen Winkel = BAD, der zweite einen Winkel CBD, der dritte einen Winkel BCE umfasst. Die Abschnitte müssen aber nach derjenigen Seite der Linien FG, FH und FJ beschrieben werden, dass die Reihenfolge der Buchstaben

F, S, G, F	dieselbe als	B, A, D, B
F, T, H, F	„ „	C, B, D, C
F, V, J, F	„ „	A, C, E, A

sei. Man ergänze die Abschnitte zu Kreisen, und es sei P der Mittelpunkt des ersten Kreises FSG, Q der des zweiten FTH. Man ziehe PQ, verlängere die Linie nach beiden Seiten und bestimme auf ihr den Punkt R so, dass

QR : PQ = BC : AB.

Man nehme QB auf der Seite von Q, dass die Reihefolge der Buchstaben

P, Q, R dieselbe als die von A, B, C sei und beschreibe aus R als Mittelpunkt mit RF als Radius einen vierten Kreis FNc, welcher den dritten FVJ in c schneidet. Hierauf ziehe man Fc, welche den ersten Kreis in a, den zweiten in b schneidet, und construire, indem man aG, bH, cJ zieht, eine Figur

Fig. 64.

ABCihgf ∼ abcJHGF;

alsdann wird fghi das verlangte Viereck sein.

Es mögen die beiden ersten Kreise FSG und FTH einander in K schneiden, man ziehe die Linien

PK, QK, KK aK, bK, cK,

und verlängere QP bis L. Alsdann sind die Peripheriewinkel

FaK, FbK, FcK

die Hälften der Mittelpunktswinkel

FPK, FQK, FRK,

mithin gleich

LPK, LQK, LBK.

Daher ist

PQRK ∼ abcK,

und so

ab : bc = PQ : QR = AB : AC (nach der Constr.)

Ausserdem sind nach der Construction die Winkel

fAg, fBh, fCi

gleich den Winkeln

FaG, FbH, FcJ;

man kann daher die Figur

ABCfghi ∼ abcFGHJ vollenden, und es wird alsdann fghi ∼ FGHJ,

die vier Ecken

liegen mithin respective auf den Linien

ABC, AD, BD, CE.

Zusatz. Man kann hiernach eine Linie ziehen, deren zwischen vier, der Lage nach gegebenen, Linien befindlichen Theile zu einander ein bestimmtes Verhältniss haben. Man vergrössere nämlich die Winkel FGH und GHJ so weit, dass die Linien FG, GH und HJ in Eine gerade Linie fallen, und indem man in diesem Falle die Aufgabe construirt, erhält man eine gerade Linie fghi, deren Theile fg, gh, hi zwischen

AB und AD, AD und BD, BD und CE

liegen und an einander dasselbe Verhältniss haben, wie FG, GH und HJ, und auch dieselbe Reihenfolge beobachten werden. Dasselbe geschieht kürzer auf folgende Weise.

Man verlängere AB bis K und BD bis L, so dass

1.   BK : AB = HJ : GH

und

2.   DL : BD = GJ : FG

und ziehe LK, welche verlängert CE in i schneidet. Man verlängere iL bis M, so dass

3.   LH : iL = GH : HJ^[5]

werde, und ziehe

MQ $\scriptstyle \parallel$ LB,

bis sie AD in g schneidet; alsdann ist gi, welche BD in h und AB in t schneidet, die verlangte Linie.

Fig. 65.

Es schneide Mg die Linie AB in Q und AD die Gerade KL in S, man ziehe

AP $\scriptstyle \parallel$ BD, bis sie iL in P schneidet; alsdann ist 4.   Mg : Lh = Mi : Li = gi : hi = AK : BK = AP : BL.

Hierauf theile man DL in R so, dass

5.   DL : RL = Mg : Lh = etc.;

da nun

gS : gM = AS : AP = DS : DL,

und

gM : Lh = AP : BL = DL : RL,

so erhält man aus diesen beiden Proportionen

6.   gS : Lh = AS : BL = DS : RL

oder

BL — RL : Lh — BL = AS — DS : gS — AS

d. h.

7.   BR : Bh = AD : gA = BD : gQ

oder

8.   BR : BD = Bh : gQ = fh : fg.

Nach der Construction (Prop. 4. and 5.) ist aber

DL : RL = AK : BK,

woraus folgt

9.   DR : DL = AB : AK = GH : GJ (Prop. 1.)

Nun hatten wir (Prop. 2.)

DL : BD = GJ : FG,

mithin ergiebt sich

10.   DR : BD = GH : FG,

und hieraus

11.   BR : BD = FH : FG.

Aus Proportion 8. und 11. folgt also

fh : fg = FH : FG,

und da nach Prop. 4. und 3.

ig : ih = Mi : iL = GJ : HJ;

so ergiebt sich, dass die beiden Linien

FJ	in	G	und H
fi„	g„	h

ähnlich getheilt sind.

Man kann auch bei der Construction dieses Zusatzes nachdem LK bis zum Durchschnittspunkt i mit CE verlängert ist, letztere über C hinaus so weit fortfahren, dass

EV : iE = FH : FJ

wird und alsdann

Vf $\scriptstyle \parallel$BD

ziehen.

Endlich erreicht man auch noch dasselbe, wenn man aus i als Mittelpunkt mit JH als Radius einen Kreis beschreibt, welcher BD in X schneidet, hierauf iX zieht und bis Y verlängert, so dass

iY = JF

wird und dann

Yf $\scriptstyle \parallel$ BD zieht. Andere Losungen dieser Aufgaben haben einst Wren und Wallis erdacht.

§. 66. Aufgabe. Eine der Form nach gegebene Curve zu construiren, welche durch vier grade Linien in solche Stücke getheilt wird, die der Reihefolge, Form und dem Verhältniss nach gegeben sind.

Fig. 65.

Man soll die Curve fghi beschreiben, welche der gegebenen Curve FGHJ ähnlich werde, und deren Theile

fg, gh, hi

den Theilen

FG, GH, HJ

jener, ähnlich und proportional werden, und respective zwischen den Linien

AB und AD, AD und BD, BD und CE

liegen.

Man construire das Viereck FGHJ, beschreibe

fghi ∼ FGHJ,

so dass die Eckpunkte des erstern auf den vier Linien

AB, AD, BD, CE

nach der festgesetzten Reihefolge zu liegen kommen (§. 65.). Hierauf beschreibe man nach §. 64. um dieses Viereck eine Curve, welche der gegebenen FGHJ ähnlich werde.

Fig. 66.

Fig. 67.

§. 67. Anmerkung. Diese Aufgabe kann auch folgendermassen construirt werden.

Man ziehe die Linien

FG, GH, HJ, JF,

verlängere Fg nach V, ziehe FH und JG und mache alsdann

$\scriptstyle \angle$ CAK = FGH DAL = VFH.

Es mögen AK und AL die Linie BD in K und L schneiden, und man siehe die Linien KM und LN, so dass

$\scriptstyle \angle$ AKM = GHJ ALN = FHJ

und

KM : AK = HJ : GH LN : AL = HJ : FH.

Man construire aber die Linien

AK, KM, AL, LN

nach den Seiten der Linien

AD, AK, AL,

dass die Buchstaben

C, A, K, M, C; A, L, K, A; D, A, L, N, D

in derselben Ordnung auf einander folgen, wie die

F, G, H, J, F.

Zieht man nun die Linie MN, so möge dieselbe CE in i schneiden und man mache

$\scriptstyle \angle$ iEP = JGF

und

PE : Ei = FG : GJ,

ziehe durch P die Linie PQf, welche mit ADE den Winkel

PQE = FJG

bildet und AB in f schneidet; ferner ziehe man fi. PE und PQ müssen aber nach den Seiten der Linien CE und PQ gezogen werden, dass die Buchstaben

P, E, i, P und P, E, Q, P

in derselben Ordnung auf einander folgen, als die

F, G, H, J, F.

Construirt man endlich über fi in derselben Reihenfolge das Viereck

fghi ∼ FGHJ,

und beschreibt um dasselbe die der Form nach gegebene Curve, so ist die Aufgabe gelöst. —

So weit über die Bestimmung der Bahnen. Es bleibt noch übrig, dass wir die Bewegung der Körper in den bereits gefundenen Bahnen bestimmen.

Bemerkungen und Erläuterungen [des Übersetzers]

1. No. 27. S. 89. Ist in einer Ellipse ein Halbmesser CB = a, sein ihm conjugirter Halbmesser CD = b, die Abscisse CL eines beliebigen Punktes H, in Bezug auf den ersten als Abscissenaxe = x, die zugehörige Ordinate HL = y, alsdann ist bekanntlich

   

   Fig. 235.

   1.   $\scriptstyle y^{2}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}\left(a^{2}-x^{2}\right)$.

   Nun verlege man den Anfangspunkt der Coordinaten nach F, so dass CF = α sei; alsdann wird, wenn die Richtung der Coordinaten unverändert bleibt, die Abscisse FJ = CL = x, die Ordinate HJ = y¹ = y — α, und daher nach 1. die Gleichung in Bezug auf die neuen Coordinaten

   2.   $\scriptstyle \left(y^{1}+\alpha \right)^{2}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}\left(a^{2}-x^{2}\right)$.

   Aus 1. und 2. folgt

     $\scriptstyle y^{1}+2\alpha y^{1}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}\left(a^{2}-x^{2}\right)-\alpha ^{2}$.

   oder

   3.   $\scriptstyle y^{1}\left(y^{1}+2\alpha \right)={\frac {b^{2}}{a^{2}}}\left(a^{2}-x^{2}\right)-\alpha ^{2}$.

   Aus 3. folgt aber für y¹ = 0

   4.   $\scriptstyle x^{2}=EF^{2}=FG^{2}=\gamma ^{2}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}\left(b^{2}-\alpha ^{2}\right)$

   und hieraus $\scriptstyle \alpha ^{2}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}\left(a^{2}-\gamma ^{2}\right)$. Substituirt man diesen Werth von α² in Gl. 3., so ergiebt sich

   5.   $\scriptstyle y^{1}\left(y^{1}+2\alpha \right)={\frac {b^{2}}{a^{2}}}\left(\gamma ^{2}-x^{2}\right)={\frac {b^{2}}{a^{2}}}(\gamma +x)(\gamma -x)$.

   Da nun y¹ = HJ, γ + X = EJ, y¹ + 2α = JK, γ — x = JG, so wird $\scriptstyle {\frac {HJ\cdot JK}{EJ\cdot JG}}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}={\mathsf {Constans}}$.

2. 

   Fig. 236.

   No. 28 S. 92. Ist ABDC das gegebene Viereck, und A + D = 180°, B + C = 180°, PQ $\scriptstyle \parallel$ AC, ST $\scriptstyle \parallel$ AB; so hat man in diesem Falle PQ · PR = PS · PT. Sind nun Pg, Pr, Ps, Pt respective perpendikulär auf AB, CD, AC, BD; so wird $\scriptstyle \angle$ S = A = Q; sin R = sin SCD = sin B = sin T, mithin

   PQ sin Q · PR sin R = PS sin S · PT sin T

   und entweder

   PQ · PR : PS · PT = sin S · sin T : sin Q sin R

   oder

   Pq · Pr = Ps · Pt.

3. 

   Fig. 237.

   No. 29. S. 101. Um die Linie dg zu construiren, verbinde man G mit O, ziehe aus d die Linie dg' $\scriptstyle \parallel$ DG, ziehe unter dem gegeben Winkel mit BL hier dg' die Linie dg und mache dg = dg', alsdann ist offenbar g'd : GD = Od : OD oder gd : Od = GD : OD.

4. No. 30. S. 106. Es ist nämlich, wenn man AC = a, CD = b, AL = x, JL = y setzt (Fig. 58). $\scriptstyle y^{2}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}\left(2ax-x^{2}\right)$, und $\scriptstyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {a-x}{y}}$. Ferner EL = Subtg. = $\scriptstyle y:{\frac {dy}{dx}}={\frac {y^{2}}{{\frac {b^{2}}{a^{2}}}(a-x)}}={\frac {2ax-x^{2}}{a-x}}$. $\scriptstyle EL+LC=EC={\frac {2ax-x^{2}}{a-x}}+a-x={\frac {a^{2}}{a-x}}$, und $\scriptstyle {\frac {EC}{AC}}={\frac {a}{a-x}}={\frac {AC}{CL}}$ oder CA : CL = EC : CA.
5. No. 31. S. 115. Aus den Proportionen 1. BK : AB = HJ : GJ (Fig. 65) 2. DL : BD = GJ : FG

   folgen die später in Anwendung kommenden, und zwar aus 1. BK : AK = HJ : GJ und AB : AK = GH : HJ. Aus 3. folgt Mi : iL = GJ : HJ oder Mi : iL = AK : BK.

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