Mathematische Principien der Naturlehre/Buch1-VI

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Mathematische Principien der Naturlehre (1872) von Isaac Newton, übersetzt von Jakob Philipp Wolfers Buch I. Abschnitt VI.

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ABSCHNITT VI.

Von der Bestimmung der Bewegung in gegebenen Bahnen.

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Fig. 69.

§. 68. Aufgabe. Ein Körper bewegt sich in einer gegebenen Parabel; man soll seinen Ort zu einer gegebenen Zeit finden. Es sei S der Brennpunkt, und A der Hauptscheitelpunkt der Parabel, so wie der Flächeninhalt des Sectors

APS = 4 · AS · M,

welche Fläche durch den Radius vector SP entweder nach dem Ausgange vom Scheitel beschrieben worden ist, oder bis zur Auskunft des Körpers im Scheitelpunkte beschrieben werden soll. Die Fläche ist durch die ihr proportionale Zeit bekannt.

Man halbire AS in G, errichte das Perpendikel GH und mache dasselbe

= 3M;

alsdann wird der aus H als Mittelpunkt, mit HS als Radius, beschriebene Kreis die Parabel in dem gesuchten Punkte P schneiden.

Fällt man nämlich aus P das Perpendikel PO auf die Axe, so ist

1.   HG² + GS² = HS² = HP² = GO² + (PO — HG)² = GO² + PO² — 2PO · HG + HG²

oder

2HG · PO = GO² + PO² — GS² = (GO + GS) (GO — GS) + PO² 2.   2HG · PO = AO² — 2AG · AO + PO².

Nach der Gleichung der Parabel

3. PO² = 4AS · AO = 8AG · AO

wird

$\scriptstyle AO={\frac {PO^{2}}{4AS}}$

daher nach 2.

2HG · PO = AO · $\scriptstyle {\frac {PO^{2}}{4AS}}$ - ¼PO² + PO² = AO · $\scriptstyle {\frac {PO^{2}}{4AS}}$ + ¾PO²

und hieraus

4.   8GH · AS = AO · PO + 3P0 · AS

oder

5. 4/3GH · AS = $\scriptstyle {\frac {AO+3AS}{6}}$ · PO. Da nun GH = 3M

ferner

AO + 3AS = AO + 3(AO — OS) = 4A0 — 3 · OS,

so wird nach 5.

4 · AS · M = $\scriptstyle {\frac {4AO-3\cdot OS}{6}}$ · PO

oder 6.

4 · AS · M = ⅔AO · PO - ½OS · PO.

Da nun aber

⅔A0 · PO = der parabolischen Fläche AOPA ½OS · PO = dem Dreiecke SOP,

so wird endlich 7.

ASP = 4 · AS · M.   W. Z. B. W.

Zusatz 1. Es verhält sich daher

GH : AS,

wie die Zeit, in welcher der Körper den Bogen AP beschreibt, zu derjenigen, in welcher er den Bogen von A bis zu dem, zur Ordinate im Brennpunkte S gehörigen, Punkte zurücklegt.^[1]

Zusatz 2. Da der Kreis ASP stets durch den sich bewegenden Körper geht, so verhält sich die Geschwindigkeit des Punktes G zu der Geschwindigkeit, welche der Körper im Scheitelpunkte hatte, wie

3 : 8,^[2]

und in demselben Verhältniss steht daher auch die Linie GH zu derjenigen geraden Linie, welche der Körper während der Zeit seiner Bewegung von A bis P, mit derjenigen Geschwindigkeit, die er im Scheitel hatte, beschreiben könnte.

Zusatz 3. Man kann auch umgekehrt die Zeit finden, in welcher der Körper einen gegebenen Bogen AP beschreiben kann. Man ziehe nämlich AP und errichte in deren Mitte ein Perpendikel, welches GH in H schneidet.

§. 69. Lehnsatz. Es existirt keine ovale Figur, deren Flächenraum durch beliebige gerade Linien abgeschnitten, allgemein durch Gleichungen von begrenzter Zahl der Glieder und Dimensionen gefunden werden könnte.

Innerhalb des Ovals sei irgend ein Punkt gegeben, um welchen als Pol eine gerade Linie sich beständig gleichförmig dreht, und es bewege sich inzwischen auf dieser Linie vom Pole aus ein Punkt fortwährend mit einer Geschwindigkeit, welche dem Quadrat jener Linie innerhalb des Ovals proportional ist. Bei dieser Bewegung beschreibt jener Punkt eine Spirale von unzähligen Windungen.

Kann nun die Fläche des durch jene Linie abgeschnittenen Ovals durch eine endliche Gleichung gefunden werden, so wird durch dieselbe Gleichung auch die Entfernung des Punktes vom Pole, welche dieser Fläche proportional ist, folglich jeder Punkt der Spirallinie durch eine endliche Gleichung gefunden, und daher auch der Durchschnitt einer jeden der Lage nach gegebenen geraden Linie mit derselben Curve durch eine solche Gleichung ausgedrückt werden. Nun schneidet aber jede unbestimmt verlängerte gerade Linie die Spirale in unendlich vielen Punkten und die Gleichung, durch welche irgend ein Durchschnitt zweier Linien bestimmt wird, stellt alle Durchschnittspunkte derselben durch eben so viele Wurzeln dar; sie steigt mithin zu so vielen Dimensionen an, als es Durchschnitte giebt.

Da zwei Kreise sich gegenseitig in zwei Punkten schneiden, wird ein Durchschnitt nur mittelst einer Gleichung von zwei Dimensionen gefunden, und dieselbe Gleichung bestimmt zugleich den zweiten Durchschnittspunkt.

Da zwei Kegelschnitte vier Durchschnittspunkte haben können, kann stets einer von ihnen im Allgemeinen durch eine Gleichung von vier Dimensionen gefunden werden und durch dieselbe erhält man zugleich alle übrigen Punkte. Suchte man nämlich jene Durchschnitte einzeln, so würde, weil bei allen dasselbe Gesetz und dieselbe Bedingung stattfindet, in jedem einzelnen Falle auch dieselbe Rechnung erfolgen. Es gilt daher stets dieselbe Schlussfolge, welche alle Durchschnittspunkte zugleich umfassen und darstellen muss. Desshalb werden auch die Durchschnittspunkte von Kegelschnitten und Curven dritter Ordnung alle zugleich sich durch eine Gleichung von sechs Dimensionen ergeben, weil eben so viele Durchschnitte stattfinden können und eben so bei zwei Curven dritter Ordnung durch eine Gleichung von neun Dimensionen. Wäre dies nicht nothwendig der Fall, so würde man alle Angaben im Raume auf Ebenen und noch mehr auf andere im Raume reduciren können. Ich rede hier von Curven, deren Gleichung in Bezug auf ihren Grad nicht zu reduciren ist. Könnte nämlich die Gleichung, welche die Curve bestimmt, auf eine niedrigere Potenz reducirt werden, so würde die Curve nicht einfach, sondern aus zwei oder mehreren zusammengesetzt sein, deren Durchschnittspunkte durch verschiedene Rechnungen einzeln gefunden werden können.

Aus derselben Ursache ergeben sich die zwei Durchschnittspunkte einer geraden Linie und eines Kegelschnittes aus einer Gleichung von zwei Dimensionen, die drei einer Linie und einer unreducirbaren Curve dritter Ordnung aus einer Gleichung von zwei, die vier einer geladen Linie und einer unreducirbaren Curve vierter Ordnung aus einer Gleichung von vier Dimensionen u. s. w. Es erfordern daher die unendlich vielen Durchschnittspunkte einer geraden Linie mit einer Spirale, da diese Curve einfach, nicht auf mehrere zu reduciren ist, und weil bei allen dasselbe Gesetz und dieselbe Rechnung stattfindet, eine Gleichung von unendlich vielen Dimensionen und Wurzeln, wodurch alle sogleich dargestellt werden können.

Wird nun vom Pol auf jene gerade Linie ein Perpendikel gefällt, und dreht sich dieses Perpendikel zugleich mit der schneidenden Linie um den Pol, so werden die Durchschnittspunkte der Spirallinie wechselweise in einander übergehen und derjenige, welcher der erste und nächste war, wird nach einer Umdrehung der zweite, nach zwei Umdrehungen der dritte werden u. s. w.

Die Gleichung ändert sich inzwischen nicht weiter, als nach Verhältniss der Veränderung derjenigen Grössen, durch welche die Lage der schneidenden Linie bestimmt wird. Da nun jene Grössen nach den einzelnen Umdrehungen zu ihren ersten Werthen zurückkehren, so kehrt auch die Gleichung zu ihrer ersten Form zurück; mithin stellt eine und dieselbe alle Durchschnittspunkte dar und hat desswegen unendlich viele Wurzeln, wodurch alle dargestellt werden können. Es kann daher der Durchschnitt einer geraden Linie mit einer Spirallinie durch seine endliche Gleichung allgemein gefunden werden und folglich existirt keine ovale Figur, deren durch gegebene gerade Linien begrenzter Flächeninhalt durch eine solche Gleichung allgemein dargestellt werden könnte.

Auf dieselbe Weise kann man, wenn man den Abstand des Pols von dem Punkte, der die Spirale beschreibt, dem Umfange des abgeschnittenen Ovals proportional annimmt, darthun, dass die Länge des Umfanges durch keine endliche Gleichung dargestellt werden könne. Ich rede hier von solchen Ovalen, welche nicht von conjugirten, ins Unendliche fortgehenden Figuren berührt werden.

Zusatz. Es ergiebt sich daher der Flächeninhalt einer Ellipse, welche durch einen, vom Brennpunkte nach dem beweglichen Punkte gezogenen Radius vector beschrieben wird, aus der gegebenen Zeit durch keine endliche Gleichung, und sie kann daher nicht durch die Beschreibung geometrisch-rationaler Figuren dargestellt werden. Geometrisch-rationale Figuren nenne ich solche, deren Punkte alle durch Längen, die mittelst Gleichungen gegeben sind, d. h. durch zusammengesetzte Verhältnisse der Längen bestimmt werden können, die übrigen (wie Spirallinien, Trochoiden) nenne ich geometrisch-irrationale. Denn die Längen, welche sich wie eine Zahl zu einer Zahl, oder nicht auf diese Weise verhalten (wie im 10. Buche der Elemente Euklid’s,) sind arithmetisch-rational oder irrational. Die der Zeit proportionale Fläche einer Ellipse schneide ich daher durch eine geometrisch-irrationale Curve ab, und zwar auf folgende Weise:

§. 70. Aufgabe. Ein Körper bewegt sich in einer Ellipse; man soll seinen Ort zu einer gegebenen Zeit finden.

In der Ellipse APB sei A der Hauptscheitelpunkt, S der Brennpunkt, O das Centrum und P der zu findende Ort des Körpers. Man verlängere OA bis G, so dass

1.   OG : OA = OA : OS

sei, errichte GH auf AG perpendikulär und beschreibe aus O als Mittelpunkt, mit OG als Halbmesser, den Kreis EFG. Auf der geraden Linie GH als Grundlinie lasse man den Kreis EFG sich fortbewegen, indem er sich sogleich um seine Axe dreht, so dass der Punkt A die Trochoide ALJ beschreibe. Ist dies geschehen, so nehme man GK in dem Verhältniss zur Peripherie GEFG, wie die Zeit, in welcher der Körper den

Fig. 70.

elliptischen Bogen AP zurücklegt, zur ganzen Umlaufszeit in der Ellipse. Errichtet man nun das Perpendikel KL, welches die Trochoide in L schneidet, zieht man

LP $\scriptstyle \parallel$ GK,

so ist der Durchschnittspunkt P der erstem Linie mit der Ellipse der verlangte Punkt.

Man beschreibe nämlich aus O als Mittelpunkt, mit O als Radius den Halbkreis AQB, so dass dieser und LP sich in Q schneiden, und ziehe SQ und OQ. Die letzte Linie schneide den Kreis EFG in F und man fälle SR perpendikulär auf OQ. Alsdann ist der elliptische Sector APS dem Kreissector AQS proportional.

Es ist aber

AQS = OQA — OQS 2.   AQS = ½OQ · QA — ½OQ · RS,

mithin, da ½OQ gegeben und constant ist, der Flächeninhalt von APS proportional der Differenz

QA — RS.

Da nun

3.   SR : sin AQ = OS : OQ = OS : OA = OA : OG = AQ : GF;

so wird auch

4.   AQ — SR : GF — sin AQ = AQ : GF = OS : OA

und

QA — SR = $\scriptstyle {\frac {OS}{AO}}$ (GF — sin AQ); mithin der Sector AQS proportional dem Unterschiede GF — sin AQ,^[3]

das heisst nach der der Gleichung der Trochoide der Linie GK.   W. z. b. w.

§. 71. Anmerkung. Wegen der schwierigen Construction dieser Curve ist es vorzuziehen, in der Praxis andere Constructionen anzuwenden, welche der Wahrheit sehr nahe kommen.

Fig. 71.

Man suche einen bestimmten Winkel B, welcher sich zu dem Winkel = 57°,29578, den ein dem Radius gleicher Bogen unterspannt, verhält wie die Entfernung SH beider Brennpunkte von einander zur grossen Axe AB. Es sei mithin

1.   B : 57°,29578 = SH : AB.

Ferner suche man eine Linie L, welche zum Radius im Verhältniss

2.   AB : SH

steht. Hat man beide einmal gefunden, so löst man die Aufgabe durch folgende Analyse:

Nach irgend einer Construction oder irgend einer Conjectur, bestimme man den Ort P möglichst nahe dem Orte p. Fällt man von ihm auf die Axe der Ellipse die Ordinate PR, so erhält man die Ordinate QR des um die Ellipse beschriebenen Kreises AQB aus dem Verhältniss beider Axen der Ellipse und es ist alsdann

3.   QR = AC · sin ACQ,

woraus man den Winkel ACQ erhält, den man nur nebenbei durch Rechnung zu bestimmen braucht. Man kennt ferner auch den, der Zeit proportionalen Winkel, d. h. denjenigen, welcher sich zu 360° verhält, wie die zur Beschreibung des Bogens, Ap erforderliche Zeit, zur ganzen Umlaufszeit in der Ellipse. Dieser Winkel sei = N, und man nehme hierauf einen Winkel D so an, dass

4.   D : B = sin ACQ : Radius

und einen Winkel E, sd dass

5.   N — ACQ + D = L : L $\scriptstyle \mp$ sin(ACQ + D) $\scriptstyle \mp$, je nachdem ACQ $\scriptstyle \lessgtr$ 90°.^[4]

Ferner bestimme man die Winkel F und G, so dass

6.   F : B = sin (ACQ + E) : Radius 7.   G : N — ACQ — E + F = L : L $\scriptstyle \mp$ sin(ACQ + E) $\scriptstyle \mp$, je nachdem ACQ + E $\scriptstyle \lessgtr$ 90°.

Hierauf H und J, so dass

8.   H : B = sin(ACQ + E + G) : Radius 9.   J : N — ACQ — E — G + L : L $\scriptstyle \mp$ sin(ACQ + E +G) $\scriptstyle \mp$, je nachdem ACQ + E + G $\scriptstyle \lessgtr$ 90°.

Auf diese Weise kann man ins Unendliche fortfahren. Zuletzt nehme man

10.   ACq = ACQ + E + G + J + etc;

man erhält dann aus seinem Cosinus, welcher

aus ACq = Cr

und der aus der Proportion

11.   pr : sin ACq = : Kleine Axe : Grosse Axe

folgenden, Ordinate pr den verbesserten Ort p des Körpers.

Wird in einem bestimmten Falle der Winkel

N — ACQ + D

negativ, so muss das Zeichen + bei E überall in —, und umgekehrt — in + verwandelt werden. Dasselbe gilt von Zeichen der Winkel G und J, wenn die Winkel

N — ACQ — E + F und ACQ — E — G + H

negativ ausfallen.

Die unendliche Reihe

ACQ + E + G + J + etc.

convergirt übrigens sehr schnell, so dass man kaum jemals über das zweite Glied E hinaus zu gehen nöthig haben wird. Die Rechnung gründet sich auf den Satz, dass der Flächenraum APS dem Unterschied zwischen dem Bogen AQ und dem Perpendikel von S auf CQ proportional ist.^[5]

Fig. 72.

Durch eine nicht unähnliche Rechnung wird die Aufgabe für die Hyperbel gelöst. Es sei C ihr Mittelpunkt, A der Scheitel-, S der Brennpunkt und CK die Asymptote. Man kennt den Flächeninhalt des Sectors APS, welcher der Zeit proportional ist; er sei = A gesetzt. Man nehme eine Lage von SP an, welche sehr nahe jenen Flächeninhalt abschneidet. Man ziehe CP, ferner von A und P die Linien AJ und PK parallel der andern Asymptote; alsdann kennt man mittelst der Logarithmentafeln den Flächeninhalt von AJPK und den ihm gleichen von CPA,^[6] welcher letztere, vom Δ CPS abgezogen, den Flächeninhalt von APS übrig lässt. Fällt man nun auf die Tangente PT vom Brennpunkt S das Perpendikel SN und legt an dieses den halben Unterschied von A und APS, also

½APS — ½A oder ½A — ½APS;

so erhält man die Länge von PQ. Man hat PQ zwischen A und P zu nehmen, wenn

APS > A,

auf der entgegengesetzten Seite von P, wenn

APS < A.

Der Punkt Q ist dann der verbesserte Ort, und durch fortgesetzte Wiederholung der Operation wird man denselben immer genauer erhalten. —

Fig. 73.

Durch diese Rechnungen wird die Aufgabe im allgemeinen analytisch gelöst, für den astronomischen Gebrauch ist aber die folgende besondere Rechnungsweise bequemer. Hat man die halben Axen der Ellipse

AO, BO, OD

und den Parameter L gefunden; so suche man die Winkel Y und Z durch die Proportionen

12.   $\scriptstyle {\begin{cases}\sin Y:Radius=D\cdot (AO+OD):AB^{2}\\\sin Z:Radius=2D\cdot SH:3\cdot AO^{2},\end{cases}}$

wo D = OD — ½L. Nachdem dieselben so bestimmt sind, nehme man den Winkel T proportional der Zeit, in welcher der Bogen BP beschrieben worden ist, oder gleich (der sogenannten) mittleren Bewegung und setze

13.	V : Y = sin 2T : Radius	(wo V die erste Gleichung der mittlern Bewegung, Y die erste grösste Gleichung heisst.
14.	X : Z = sin T³ : Radius³	(wo X die zweite Gleichung, Z die zweite grösste Gleichung heisst.)

Hierauf setze man

$\scriptstyle \angle$ BHP	= T + X + V,	wenn T < 90°
	= T + X — V,	wenn T > 90° und < 180°.

Trifft nun HP die Ellipse in P, so wird die Linie SP den Sector BSP sehr nahe der Zeit proportional abschneiden.

Dieses practische Verfahren erscheint sehr kurz, weil man von den sehr kleinen Winkeln V und X (die, wenn es beliebt, in Secunden angesetzt werden können) nur die zwei oder drei ersten Stellen zu suchen braucht. Allein, es genügt auch für die Theorie der Planeten, indem selbst in der Marsbahn, deren grösste Mittelpunktsgleichung 10° gleich ist, der Fehler kaum grösser als 1" sein wird. Nachdem aber der Winkel BHP der mittlern gleichen Bewegung gefunden worden ist, erhält man den Winkel HSP der wahren Bewegung und den Abstand SP sogleich nach einer wohlbekannten Methode.

So weit über die Bewegung der Körper in krummen Linien. Es kann aber auch geschehen, dass ein Körper geradlinig fällt oder steigt, und ich will jetzt dasjenige auseinandersetzen, was sich auf eine derartige Bewegung bezieht.

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Bemerkungen und Erläuterungen [des Übersetzers]

1. No. 32. S. 120. Die der Zeit proportionale Fläche ASP ist nach § 68 = 4/3 GH · AS. Die ebenfalls der verwendeten Zeit proportionale Fläche ASp = ⅔AS · Sp = ⅔AS · 2AS = 4/3 AS · AS; mithin verhalten sich die erforderlichen Zeiten wie ASP : ASp = GH : AS.

2. 

   Fig. 233.

   No. 33. S. 120. Für einen dem Scheitel verschwindend nahe liegenden Punkt π drückt Aπ die Geschwindigkeit des Punktes A und Gh die Geschwindigkeit des Punktes G aus, wenn h der Mittelpunkt des durch π gehenden Kreises ist. Die Fläche ASπ ist nun nach §. 68., Gl. 5. = 4/3 · Gh · AS, aber sie ist auch, da Aπ verschwindend klein ist = $\scriptstyle {\frac {A\pi \cdot AS}{2}}$ mithin $\scriptstyle {\frac {A\pi \cdot AS}{2}}={\frac {4}{3}}Gh\cdot AS$ oder Gh : Aπ = 3 : 8.

3. No. 34. S. 124. Fig. 70. Setzt man OA = a, OS = ae und $\scriptstyle \angle$ QOA = E, so wird aus OG : OA = OA : OS, OG = $\scriptstyle {\frac {a}{e}}$. Ferner wird GF = OG · E = $\scriptstyle {\frac {a}{e}}$E sin AQ = a sin E, und daher der Sector AQS proportional e ($\scriptstyle {\frac {a}{e}}$ E — a sin E) = a (E — e sin E), ein Ausdruck, welcher dem in der theoria motus von Gauss befindlichen entspricht.
4. No. 35. S. 124. Fig. 71. Setzt man B = $\scriptstyle {\frac {SH}{AB}}$ · 57°.29578 = e", wo e = sin φ und e" = e · 57°,29578, N = M, L = $\scriptstyle {\frac {AB}{SH}}={\frac {1}{e}}$, E = Δ E', ACQ = E', so wird D = e" sin E', $\scriptstyle \Delta E'={\frac {{\frac {1}{e}}[M-E'+e''\sin \ E']}{{\frac {1}{e}}\mp \cos \ E'}}={\frac {M-E'+e''\sin \ E'}{1\mp e\ \cos \ E'}}$, wie im Berliner astronomischen Jahrbuch für 1838, Pag. 281.
5. No. 36. S. 125. In der Theorie motus befindet sich die Gleichung $\scriptstyle {\frac {kt{\sqrt {1+\mu }}}{a^{\frac {3}{2}}}}=E-e\sin \ E$. Setzt man daher hier $\scriptstyle \angle$ ACQ = E, AC = a, SC = ae, so wird AQ = aE, das Perpendikel von S auf CQ = SC sin ACQ = ae sin E, und so hier APS = a (E — e sin E), d. h. APS proportional E — e sin E.
6. No. 37. S. 125. Setzt man der Kürze wegen CK = x, PK = z, CJ = ½e = ½$\scriptstyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$, wo 2a und 2b die beiden Axen der Hyperbel bezeichnen, so ist AJKP = ½ ab log hyp. $\scriptstyle \left({\frac {2x}{e}}\right)$. Ferner ist Δ CJA 1/8 e² sin AJC, Δ CKP = ½ xy sin CKP, = ½ · ¼ e² sin AJC, mithin Δ CJA = CKP, und indem man jedes dieser Dreiecke von CAPKC subtrahirt: AJKP = Δ APC.

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